第87讲二项式定理_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第87讲 二项式定理 知识梳理 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 (1)二项式定理 一般地，对于任意正整数 ，都有：(a+b)n=C0an+C1an-1b+⋯+Cran-rbr+⋯ n n n +Cnbn(n∈N∗)， n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展 开式． 式中的Cran-rbr做二项展开式的通项，用T 表示，即通项为展开式的第r+1项：T n r+1 r+1 =Cran-rbr， n 其中的系数Cr(r=0，1，2，⋯，n)叫做二项式系数， n (2)二项式(a+b)n的展开式的特点： ①项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第r+1项的二项式系数为Cr，最大二项式系数项居中； n ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b 升幂排列，次 数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； ④项的系数：二项式系数依次是C0，C1，C2，⋅⋅⋅，Cr，⋅⋅⋅，Cn，项的系数是a与b的系数 n n n n n (包括二项式系 数)． (3)两个常用的二项展开式： ①(a-b)n=C0an-C1an-1b+⋯+(-1)r⋅Cran-rbr+⋯+(-1)n⋅Cnbn( ) n n n n ②(1+x)n=1+C1x+C2x2+⋯+Crxr+⋯+xn n n n (4)二项展开式的通项公式 二项展开式的通项：T r+1 =Cr n an-rbr r=0,1,2,3,⋯,n  公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 ； ②字母b的次数和组合数的上标相同； ③a与b的次数之和为n． 注意：①二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项Cran-rbr和(b+a)n的二项展开式的 n 第r+1项Crbn-rar是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的． n ②通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a-b)n的二项展开式的通项是 T =(-1)rCran-rbr(只需把-b看成b代入二项式定理)． r+1 n 2、二项式展开式中的最值问题 (1)二项式系数的性质 ①每一行两端都是1，即C0=Cn；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即Cm =Cm-1+ n n n+1 n Cm． n 第 页 共 页 930 1043②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cm=Cn-m． n n ③二项式系数和令a=b=1，则二项式系数的和为C0+C1+C2+⋯+Cr+⋯+Cn=2n，变形 n n n n n 式C1+C2+⋯+Cr+⋯+Cn=2n-1． n n n n ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a=1，b=-1， 则C0-C1+C2-C3+⋯+(-1)nCn=(1-1)n=0， n n n n n 1 从而得到：C0+C2+C4⋅⋅⋅+C2r+⋅⋅⋅=C1+C3+⋯+C2r+1+⋅⋅⋅= ⋅2n=2n-1． n n n n n n n 2 ⑤最大值： n 如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项T 的二项式系数C2最大； n+1 n 2 n-1 n+1 如果二项式的幂指数n是奇数，则中间两项T ，T 的二项式系数C 2 ，C 2 相等且最 n+1 n+1+1 n n 2 2 大． (2)系数的最大项 求(a+bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A ，A ， 1 2 A ≥A ⋅⋅⋅，A n+1 ，设第r+1项系数最大，应有  A r+1 ≥A r ，从而解出r来． r+1 r+2 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： (1)设a+b  n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2+⋯+Cran-rbr+⋯+Cnbn， n n n n n 二项式定理是一个恒等式，即对a，b的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选 取a，b的值． ①令a=b=1，可得：2n=C0+C1+⋯+Cn n n n ②令a=1，b=1，可得：0=C0 n -C1 n +C2 n -C3 n ⋯+-1  nCn，即： n C0+C2+⋯+Cn=C1+C3+⋯+Cn-1(假设n为偶数)，再结合①可得： n n n n n n C0+C2+⋯+Cn=C1+C3+⋯+Cn-1=2n-1． n n n n n n (2)若f(x)=a xn+a xn-1+a xn-2+⋯+ax+a ，则 n n-1 n-2 1 0 ①常数项：令x=0，得a =f(0)． 0 ②各项系数和：令x=1，得f(1)=a +a +a +⋯+a +a ． 0 1 2 n-1 n ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 f(1)+f(-1) (i)当n为偶数时，奇数项的系数和为a +a +a +⋯= ； 0 2 4 2 f(1)-f(-1) 偶数项的系数和为a +a +a +⋯= ． 1 3 5 2 (可简记为：n为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配) f(1)-f(-1) (ii)当n为奇数时，奇数项的系数和为a +a +a +⋯= ； 0 2 4 2 f(1)+f(-1) 偶数项的系数和为a +a +a +⋯= ． 1 3 5 2 (可简记为：n为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配) 若f(x)=a +ax1+a x2+⋯+a xn-1+a xn，同理可得． 0 1 2 n-1 n 注意：常见的赋值为令x=0，x=1或x=-1，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 第 页 共 页 931 1043必考题型全归纳 1 题型一：求二项展开式中的参数 2 4805 (2024·河南郑州·统考模拟预测) -x x  4 1 的展开式中的常数项与x- +a x2  3 展开式 中的常数项相等，则a的值为 ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 1 x 4806 (2024·四川成都·成都实外校考模拟预测)已知 - x 2  n 的展开式中存在常数项，则 n的可能取值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.8 2 4807 (2024·全国·高三专题练习)ax- x  6 展开式中的常数项为-160，则a= ( ) A.-1 B.1 C.±1 D.2 a 4808 (2024·全国·高三专题练习)已知x+ x  6 的展开式中的常数项为-160，则实数a= ( ) A.2 B.-2 C.8 D.-8 2 4809 (2024·全国·高三专题练习)已知 x- x  n 的展开式中第3项是常数项，则n= ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 2 题型二：求二项展开式中的常数项 a 4810 (2024·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习)已知a>0，二项式x+ x2  6 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为 ( ) A.36 B.30 C.15 D.10 1 4811 (2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习)二项式2 x- x  8 的展开式 中的常数项为 ( ) A.1792 B.-1792 C.1120 D.-1120 2 4812 (2024·北京房山·高三统考开学考试)x2- x  6 的展开式中的常数项是 ( ) A.240 B.-240 C.15 D.-15 1 4813 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试) +2 x3  1 x2- x  6 的展开式中的常数项 为 ( ) A.-20 B.20 C.-10 D.10 1 2 4814 (2024·全国·高三专题练习)若 +x3 x  n n∈N*  的展开式中存在常数项，则n= ( ) 第 页 共 页 932 1043A.2kk∈N*  B.3kk∈N*  C.5kk∈N*  D.7kk∈N*  1 4815 (2024·全国·高三对口高考)若 3x+ x  n n∈N*  展开式中含有常数项，则n的最小值 是 ( ) A.2 B.3 C.12 D.10 3 题型三：求二项展开式中的有理项 4816 (2024·全国·高三专题练习)在 x- 3y  5的展开式中，有理项的系数为 ( ) A.-10 B.-5 C.5 D.10 4817 (2024·全国·高考真题)二项式( 2+ 33x)50的展开式中系数为有理数的项共有 ( ) A.6项 B.7项 C.8项 D.9项 1 4818 (2024·江西南昌·高三统考阶段练习)x- 3x  8 的展开式中所有有理项的系数和为 ( ) A.85 B.29 C.-27 D.-84 1 4819 (2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习)二项式 4x+ x  24 展开式 中，有理项共有( )项． A.3 B.4 C.5 D.7 1 4820 (2024·安徽宣城·高三统考期末)在二项式2 x+ 3x  12 的展开式中，有理项共有 ( ) A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 4821 (2024·全国·高三专题练习)若(3⋅ 6x5-2 x)n的展开式中有且仅有三个有理项，则正 整数n的取值为 ( ) A.4 B.6或8 C.7或8 D.8 4 题型四：求二项展开式中的特定项系数 4822 (2024·四川成都·校联考模拟预测)已知x-2y  n的展开式中第4项与第5项的二项式 系数相等，则展开式中的x5y2项的系数为 ( ) A.-4 B.84 C.-280 D.560 1 4823 (2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)1+ 2x2  (2-x)6展开式中x2的系数为 ( ) A.270 B.240 C.210 D.180 4824 (2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)x-1  2 1+x  6的展开式中x4的系数是 ( ) A.20 B.-20 C.10 D.-10 第 页 共 页 933 10432 4825 (2024·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习)已知x2- x  n n∈N*  的展开式 中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中x3的系数为 ( ) A.-240 B.240 C.-160 D.160 2 4826 (2024·全国·高三专题练习)在二项式 x- x  8 的展开式中，含x的项的二项式系数为 ( ) A.28 B.56 C.70 D.112 2 4827 (2024·北京·高三专题练习)在二项式x- x  5 的展开式中，含x3项的二项式系数为 ( ) A.5 B.-5 C.10 D.-10 5 题型五：求三项展开式中的指定项 1 4828 (2024·全国·高三专题练习)在1+x- x2022  12 的展开式中，x2的系数为 . 4829 (2024·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试)(x-2y+1)5展开式中含xy3项的系 数为 ． 4830 (2024·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测)(x+2y-3z)6的展开式中xy2z3的系数为 (用数字作答)． 1 4831 (2024·福建三明·高三统考期末)x- +2 x  5 展开式中常数项是 .(答案用数字作 答) 1 4832 (2024·江苏·金陵中学校联考三模)x4+y2+ 2xy  7 展开式中的常数项为 . 4833 (2024·湖南岳阳·统考模拟预测)(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为 ． 2 4834 (2024·广东汕头·统考三模)x2+ +1 x  7 展开式中x5的系数是 . 6 题型六：求几个二(多)项式的和(积)的展开式中条件项系数 4835 (2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习)(1-2x)(1+3x)5的展开式中 x3的系数为 ． 4836 (2024·河北保定·高三校联考开学考试)在x3+1  2  x- x  5 的展开式中含x项的系数 是 . 4837 (2024·江西南昌·高三统考开学考试)1-x+x2  (1+x)6展开式中x7的系数是 . 1 4838 (2024·江苏苏州·高三统考开学考试)x+ +1 x  x+1  6的展开式常数项是 .(用 数字作答) 4839 (2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)已知多项式(x+2)3(x-1)4 =a 1 (x+1)7+a 2 (x+1)6+⋯+a 7x+1  +a ，则a = . 8 7 第 页 共 页 934 10434840 (2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)x+y  x-2y  6的展开式中含x4y3项的系数 为 ．(用数字作答) 4841 (2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习)设1-mx  2 x- x  5 展开式中的常 数项为80，则实数m的值为 . 4842 (2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)(x+1)6 x2+2x+1  展开式中 x3的系数为 . 7 题型七：求二项式系数最值 1 4843 (2024·山东青岛·统考三模)若 + x 3x  n 展开式的所有项的二项式系数和为256，则展 开式中系数最大的项的二项式系数为 ．(用数字作答) 2 4844 (2024·全国·高三专题练习)二项式x+ x  n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最 大，则含x6的项是 ． 4845 (2024·人大附中校考三模)已知二项式(2x-a)n的展开式中只有第4项的二项式系数 最大，且展开式中x3项的系数为20，则实数a的值为 . 1 4846 (2024·浙江绍兴·统考模拟预测)二项式2x- 3x  n 的展开式中当且仅当第4项的二项 式系数最大，则n= ，展开式中含x2的项的系数为 ． 4847 (2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二 项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 . 3 4848 (2024·湖北·校联考模拟预测)在 3x- x  n 的二项展开式中，只有第5项的二项式系数 最大，则该二项展开式中的常数项等于 ． 8 题型八：求项的系数最值 4849 (2024·海南海口·海南华侨中学校考一模)在x+1  4 y+z  6的展开式中，系数最大的项 为 . 4850 (2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模)已知1+3x  n的展开式中，末三项的二项式 系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为 .(不用计算，写出表达式即可) 4851 (2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测)(x+1)8的二项式展开中，系数最大的项为 ． 4852 (2024·全国·高三专题练习)已知(1-3x)n的展开式中各项系数之和为64，则该展开式 中系数最大的项为 ． 2 4853 (2024·全国·高三专题练习)若 x+ 4x  n展开式中前三项的系数和为163，则展开式 中系数最大的项为 ． 1 4854 (2024·全国·高三专题练习) x+ 3x  2n n∈N*  展开式中只有第6项系数最大，则其 第 页 共 页 935 1043常数项为 . 1 4855 (2024·安徽蚌埠·高三统考开学考试)若二项式x+ 2  n 展开式中第4项的系数最大，则 n的所有可能取值的个数为 . 9 题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 4856 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知1-2x  2023=a +ax+a x2+⋯+a x2023， 0 1 2 2023 则下列结论正确的是 ( ) A.展开式中所有项的二项式系数的和为22023 32023+1 B.展开式中所有奇次项的系数的和为 2 32023-1 C.展开式中所有偶次项的系数的和为 2 a a a a D. 1 + 2 + 3 +⋯+ 2023 =-1 2 22 23 22023 4857 (多选题)(2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)已知x-1  x+2  6 =a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x7，则 ( ) 0 1 2 7 A.a =-64 B.a =63 0 1 C.a +a +⋅⋅⋅+a =0 D.a +a +a +a =1 0 1 7 1 3 5 7 4858 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知(1-x)9=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x9，则 0 1 2 9 ( ) A.a =1 B.a +a +a +⋅⋅⋅+a =0 0 1 2 3 9 C.a +a +a +a +a =-256 D.2a +22a +23a +⋅⋅⋅+29a =-2 1 3 5 7 9 1 2 3 9 4859 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知(2x-1)10=a +ax+a x2+⋯+a x10，则 0 1 2 10 ( ) A.a =1 B.a =-20 0 1 C.a +a +⋯+a =0 D.a +a +⋯+a =1-310 1 2 10 1 3 9 4860 (多选题)(2024·山东日照·三模)已知x-1  (x+2)6=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x7，则 0 1 2 7 ( ) A.a =-64 B.a =-1 0 7 C.a +a +⋅⋅⋅+a =0 D.a +a +a +a =1 1 2 7 1 3 5 7 4861 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)设1+x+x2  n=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x2n，则下 0 1 2 2n 列选项正确的是 ( ) A.a =1 B.a +a +a +⋅⋅⋅a =2n 0 0 1 2 2n 3n+1 3n-1 C.a +a +a ⋅⋅⋅+a = D.a +a +a +⋅⋅⋅+a = 0 2 4 2n 2 1 3 5 2n-1 2 4862 (多选题)(2024·河北·统考模拟预测)已知x-1  (x+2)6=a +ax+a x2+⋯+a x7． 0 1 2 7 则 ( ) A.a =-64 B.a =48 0 2 C.a +a +⋯+a =0 D.a +a +a +a =1 1 2 7 1 3 5 7 第 页 共 页 936 10434863 (多选题)(2024·全国·校联考三模)若在(1+2x)2+(1+2x)3+⋯+(1+2x)n=a +ax 0 1 +⋯+a xn-1+a xn中，a =5，则 ( ) n-1 n 0 37-9 A.n=7 B.a +a +⋯+a +a = 0 1 n-1 n 2 C.a =224 D.a =64 2 6 4864 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知2x-m  7=a 0 +a 11-x  +a 21-x  2+⋯ +a 71-x  a a a 7，若a + 1 + 2 +⋯+ 7 =-128，则有 ( ) 0 2 22 27 A.m=2 B.a =-280 3 C.a =-1 D.-a +2a -3a +4a -5a +6a -7a =14 0 1 2 3 4 5 6 7 4865 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知1+2x  n+a3-x  7=a +ax+... 0 1 +a 6 x6 a≠0  ，则 ( ) A.n=6 B.a=128 a a a 7 C. 0 + 1 +⋅⋅⋅+ 6 = 37 36 3 3  7 D.a +2a +⋅⋅⋅+6a =-64 1 2 6 4866 (多选题)(2024·安徽芜湖·统考模拟预测)已知x2+x+1  9=a +ax+a x2+⋅⋅⋅ 0 1 2 +a x18，下列说法正确的有 ( ) 18 A.a =1 B.a =42 0 2 39+1 C.a +a +⋅⋅⋅+a = D.a +2a +3a +⋅⋅⋅+18a =311 2 4 18 2 1 2 3 18 4867 (多选题)(2024·福建宁德·统考模拟预测)若(x-1)6=a 0 +a 1x+1  +a (x+1)2+a 2 3 (x+1)3+⋯+a (x+1)6，则 ( ) 6 A.a =64 B.a +a +a +a =365 0 0 2 4 6 C.a =12 D.a +2a +3a +4a +5a +6a =-6 5 1 2 3 4 5 6 4868 (多选题)(2024·广西柳州·统考模拟预测)已知1-2x  7=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x7，则 0 1 2 7 ( ) A.a =1 B.a =27 0 2 C.a 0 +a 1 +a 2 +⋅⋅⋅+a 7 =-1 D. a 0  +a 1  +a 2  +⋅⋅⋅+a 7  =37 4869 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)若1+x  +1+x  2+⋯+1+x  2022=a +ax+⋯ 0 1 +a x2022，则 ( ) 2022 A.a =2022 B.a =C3 0 2 2023 2022 2022 C.(-1)ia =-1 D.(-1)i-1ia =1 i i i=1 i=1 10 题型十：求奇数项或偶数项系数和 4870 (2024·北京东城·高三北京二中校考阶段练习)设(2x-1)6=a x6+a x5+⋯+ax+a ， 6 5 1 0 则a +a +a = ．(用数字作答) 1 3 5 4871 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)设多项式(x+1)6+(x-1)10=a x10+ 10 a x9+⋯+ax+a ，则a +a +a +a +a +a = . 9 1 0 0 2 4 6 8 10 4872 (2024·新疆·高三八一中学校考开学考试)已知(x+m)(x-2)4=a +ax+a x2+⋯ 0 1 2 第 页 共 页 937 1043+a x5，若a =16，则a +a +a = ． 5 0 1 3 5 4873 (2024·全国·模拟预测)在a+x  1-x  6的展开式中，x的所有奇次幂的系数和为-32， 则其展开式中的常数项为 ． 4874 (2024·全国·高三专题练习)已知(1-x)5+(1+x)7=a -ax+a x2-a x3+a x4-a x5 0 1 2 3 4 5 +a x6-a x7，则a +a +a 的值为 ． 6 7 2 4 6 4875 (2024·安徽·高考真题)已知(1-x)5=a +ax+a x2+a x3+a x4+a x5，则(a +a + 0 1 2 3 4 5 0 2 a )(a +a +a )的值等于 ． 4 1 3 5 4876 (2024·全国·高三专题练习)已知2x-1  n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的 和小38，则C1+C2+C3+⋅⋅⋅+Cn= ． n n n n 4877 (2024·全国·高三专题练习)已知2x+1  4=a 0 +a 1x-1  +a 2x-1  2+a 3x-1  3+ a 4x-1  4，则a +a +a 的值为 . 0 2 4 11 题型十一：整数和余数问题 4878 (2024·河北·高三校联考期末)9810除以1000的余数是 ． 4879 (2024·全国·高三专题练习)若(x+5)2023=a +ax+a x2+⋯+a x2023,T=a +a + 0 1 2 2023 0 1 a +⋯+a ，则T被5除所得的余数为 ． 2 2023 4880 (2024·浙江金华·模拟预测)99100除以100的余数是 ． 4881 (2024·辽宁沈阳·统考一模)若1+x  2023=a +ax+⋅⋅⋅+a x2023，则a +a +a +⋅⋅⋅ 0 1 2023 0 2 4 +a 被5除的余数是 ． 2022 4882 (2024·全国·高三专题练习)写出一个可以使得992023+a被100整除的正整数a= . 4883 (2024·全国·高三专题练习)已知742022+a能够被15整除，其中a∈0,15  ，则a= . 12 题型十二：近似计算问题 4884 (2024·全国·高三专题练习)用二项式定理估算1.0110= .(精确到0.001) 4885 (2024·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习)C10.998+C20.9982+ 5 5 C30.9983+C40.9984+C50.9985≈ (精确到0.01) 5 5 5 4886 (2024·全国·高三专题练习)某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.9810的处 理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是 . 4887 (2024·全国·高三专题练习)(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 ． 4888 (2024·全国·高三专题练习)1.028≈ (小数点后保留三位小数)． 13 题型十三：证明组合恒等式 2 4889 (2024·全国·高三专题练习)求证：2 2  2 +3 2  2 +4 2  2 +5 2  2 +⋯+n 2  = 第 页 共 页 938 1043(n-1)n(n+1)(3n+2) 24 n 4890 (2024·全国·高三专题练习)证明： Ck n k=0   2=Cn ． 2n n 4891 (2024·全国·高三专题练习)证明： C2k-1 2n k=1  1 2= 2 C2 4 n n +-1   n-1Cn 2n   ． 4892 (2024·全国·高三专题练习)求证：2n-C1×2n-1+C2×2n-2+⋯+(-1)n-1Cn-1×2+( n n n -1)n=1. n+1 4893 (2024·全国·高三专题练习)(1)设m、n∈N*，m≤n，求证：Cm+1= Cm； n+1 m+1 n (2)请利用二项式定理证明：3n>2n2+1n≥3,n∈N*  . 4894 (2024·江苏·校联考模拟预测)对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等 式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有 趣的组合恒等式. (1)根据恒等式1+x  m+n=1+x  m 1+x  n m,n∈N*  两边xp的系数相同直接写出一个 恒等式，其中p∈N,p≤m,p≤n； p (2)设m,n∈N*,p∈N,p≤m,p≤n，利用上述恒等式证明：C1 n C m p- + 1 n-1 -Ci n C m p-i i-1 i=2  =Cp -Cp. m+n m 14 题型十四：二项式定理与数列求和 4895 (2024·北京·高三强基计划)设n为正整数，Ck为组合数，则C0 +3C1 +5C2 +⋯ n 2018 2018 2018 +4037C2018= ( ) 2018 A.2018⋅22018 B.2018! C.C2018 D.前三个答案都不对 4036 4896 (2024·全国·高三专题练习)1C1+4C2+9C3+⋯+n2Cn= ( ) n n n n A.n(n+1)2n-2 B.n2n-1 C.2n-1 D.n(n+1)(n+2)2n-3 4897 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世 sinx x2 纪的“巴赛尔级数”难题．当n∈N*时， =1- x π2  x2 1- 4π2  x2 1- 9π2  ⋯ x2 1- n2π2  x3 x5 -1 ⋯，又根据泰勒展开式可以得到sinx=x- + +⋯+ 3! 5!  n-1x2n-1 2n-1  +⋯， ! 1 1 1 1 根据以上两式可求得 + + +⋯+ +⋯= ( ) 12 22 32 n2 π2 π2 π2 π2 A. B. C. D. 6 3 8 4 4898 (2024·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测)已知(1+x)2021=a +ax+a x2 0 1 2 +a x3+⋯+a x2021，则a +2a +3a +4a +⋯+2020a +2021a = ( ) 3 2021 2020 2019 2018 2017 1 0 A.2021×22021 B.2021×22020 C.2020×22021 D.2020×22020 4899 (2024·湖南邵阳·高三统考期末)已知2- x  n n≥2,n∈N  ，展开式中x的系数为 fn  2 22 23 22019 ，则 + + +⋯⋯+ 等于 ( ) f(2) f(3) f(4) f(2020) 第 页 共 页 939 10432019 2019 1009 1009 A. B. C. D. 110 505 1010 505 4900 (2024·北京·高三强基计划)设a k ∈{1,2,3,4}(k=1,2,3,4)，对于有序数组a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4  ， 记Na 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4  为a,a ,a ,a 中所包含的不同整数的个数，例如N(1,1,2,2)=2,N(1,2,3, 1 2 3 4 1)=3．当a 1 ,a 1 ,a 3 ,a 4  取遍所有的44个有序数组时，Na 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4  的平均值为 ( ) 173 87 175 11 A. B. C. D. 64 32 64 4 15 题型十五：杨辉三角 4901 (多选题)(2024·海南·海南中学校考三模)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种 几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧 洲发现早500年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数 都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确 的是 ( ) A.在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是15 B.由“第n行所有数之和为2n”猜想：C0+C1+C2+⋯+Cn=2n n n n n C.C2+C2+C2+⋅⋅⋅+C2 =164 3 4 5 10 D.存在k∈N∗，使得Ck -Ck  n+1 n  为等差数列 4902 (多选题)(2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)“杨辉三角”是二项式系数在 三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中 就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩 上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是 ( ) A.在第10行中第5个数最大 第 页 共 页 940 1043B.C2+C2+C2+⋯+C2=84 2 3 4 8 C.第8行中第4个数与第5个数之比为4:5 D.在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为2n-1 4903 (多选题)(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)“杨辉三角”是二项式系数 在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书 中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其 “肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是 ( ) A.C2+C2+C2+⋅⋅⋅+C2 =164 3 4 5 10 B.在第2022行中第1011个数最大 n+1 C.记“杨辉三角”第n行的第i个数为a，则∑ 2i-1a i i i=1  =3n D.第34行中第15个数与第16个数之比为2:3 4904 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵， 该三角形数阵的两腰分别是一个公差为1的等差数列和一个公差为2的等差数列，每一 行是一个公差为1的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成 一个数列a n  ：1、2、3、3、4、5、4、5、6、7、⋯，其前n项和为S ，则下列说法正确的有 n 1 ( )(参考公式：12+22+⋅⋅⋅+n2= nn+1 6  2n+1  ) A.a =22 B.22第一次出现是a 100 100 C.22在a n  中出现了11次 D.S =1345 100 第 页 共 页 941 1043