第27讲多元最值问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第27讲 多元最值问题 知识梳理 解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角 代换法、齐次式等解题技能． 必考题型全归纳 1 题型一：消元法 1041 (2024·全国·高三专题练习)已知正实数x，y满足lnx=yex+lny，则y-e-x的最大值 为 . 1042 (2024·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习)已知实数m,n满足：m⋅em=(n- lnt 1)ln(n-1)=t(t>0)，则 的最大值为 . m(n-1) 1043 (2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)对任给实数x>y>0,不等式x2-2y2≤ cx(y-x)恒成立,则实数c的最大值为 . 2 题型二：判别式法 1044 (2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中)若x,y∈R，4x2+y2+xy=1，则当x= 时，x+y取得最大值，该最大值为 . 1045 (2024·全国·高三竞赛)在△ABC中，2cosA+3cosB=6cosC，则cosC的最大值为 ． ax+b 1046 (2024·高一课时练习)设非零实数a，b满足a2+b2=4，若函数y= 存在最大值 x2+1 M和最小值m，则M-m= . 1 1047 (2024·江苏·高三专题练习)若正实数x,y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+ 2y 的最大值为 ． 1048 (2024·全国·高三专题练习)设a,b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是 5， 则λ= . 3 题型三：基本不等式法 1049 设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数fx,y,z  xy+yz = 的最大值是 . x2+y2+z2 1050 (2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)若实数x,y满足2x2+xy-y2=1，则 x-2y 的最大值为 . 5x2-2xy+2y2 ab+bc 1051 (2024·全国·高三专题练习)已知正数a,b,c，则 的最大值为 ． 2a2+b2+c2 4 题型四：辅助角公式法 第 页 共 页 202 10431052 (2024·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β  的 范围是 ． 1053 y=cos(α+β)+cosα-cosβ-1的取值范围是 ． 5 题型五：柯西不等式法 1054 (2024·广西钦州·高二统考期末)已知实数a，b ∈R，(i=1，2⋯，n)，且满足a2+a2+⋯ i i 1 2 +a2=1，b2+b2+⋯+b2=1，则ab +a b +⋯+a b 最大值为 ( ) n 1 2 n 1 1 2 2 n n A.1 B.2 C.n 2 D.2 n 1055 (2024·陕西渭南·高二校考阶段练习)已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x2+2y2 +z2的最小值为 . 1056 (2024·江苏淮安·高二校联考期中)已知x2+y2+z2=1，a+3b+ 6c=16，则x-a  2 +y-b  2+z-c  2的最小值为 . 1057 (2024·全国·高三竞赛)已知x、y、z∈R ，且s= x+2+ y+5+ z+10，t= x+1 + + y+1+ z+1，则s2-t2的最小值为. A.3 5 B.4 10 C.36 D.45 1058 (2024·全国·高三竞赛)设a、b、c、d为实数，且a2+b2+c2-d2+4=0.则3a+2b+c- 4d  的最大值等于. A. 2 B.0 C.- 2 D.-2 2 6 题型六：权方和不等式法 1 1 1059 (2024·甘肃·高三校联考)已知x>0，y>0，且 + =1，则x+2y的最小值 2x+y y+1 为 . 2 1 1060 已知实数x,y满足x>y>0且x+y=1，则 + 的最小值是 x+3y x-y a2 b2 1061 已知a>1,b>1，则 + 的最小值是 ． b-1 a-1 1 2 2 1062 已知x,y>0, + =1，则 x2+y2的最小值是 ． x y 7 题型七：拉格朗日乘数法 1063 x>0，y>0，xy+x+y=17，求x+2y+3的最小值． 1064 设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是 ． 8 题型八：三角换元法 1065 (2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习)已知函数f(x)=-3x3-3x+3-x-3x+3， 若f(3a2)+f(b2-1)=6，则a 1+b2的最大值是 1066 (2024·浙江温州·高一校联考竞赛)2x2+xy+y2=1，则x2+xy+2y2的最小值为 第 页 共 页 203 1043. 9 题型九：构造齐次式 2xy xy 1067 (2024·江苏·高一专题练习)已知x>0，y>0，则 + 的最大值是 x2+8y2 x2+2y2 . 3a 1068 (2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知实数a,b>0，若a+2b=1，则 + b 1 的最小值为 ( ) ab A.12 B.2 3 C.6 3 D.8 ab 1069 (2024·天津南开·高三统考期中)已知正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，则 的 c 最大值为 ． 10 题型十：数形结合法 1070 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =x2+ax+b  (a，b∈R)在区间[0，c](c>0)上的 最大值为M，则当M取最小值2时，a+b+c= 1071 (2024·江苏扬州·高三阶段练习)已知函数fx  xlnx, x>0  = ，若x 1 ≠x 2 且fx 1 2x+4e, x≤0  = fx 2  ，则x 1 -x 2  的最大值为 ( ) 1 5 A.2e- B.2e+1 C. 5e D. e e 2 1072 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  xlnx, x>0  = ，若x 1 ≠x 2 且fx 1 x+1, x≤0  =fx 2  ， 则x 1 -x 2  的最大值为 ( ) A.2 2 B.2 C. 2 D.1 1073 (2024·江苏·高三专题练习)已知函数fx  x,0≤x≤1, = ln2x    ,1