文档内容
第 65 讲 双曲线及其性质
知识梳理
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 ）的点的
轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为
．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当 时，点的轨迹是以 和 为端点的两条射线；当 时，点的轨
迹是线段 的垂直平分线．
（3） 时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“ ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 ，
的值），注意 的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程
图形
A
2
焦点坐标
， ，
对称性 关于 ， 轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标
， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为 ，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令 ， 令 ，
焦点到渐近线的距离为 焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双
曲线方程
共渐近线的
双曲线方程
切线方程
为切点 为切点
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中 换为 ， 换成
切线方程
便得．
为双曲线
切点弦所在 为双曲线外一点
外一点
直线方程
点 为双曲线与两渐近线之间的点
设直线与双曲线两交点为 ， ， ．
则弦长 ，
弦长公式
，其中“ ”是消“ ”后关于“ ”的一元二
次方程的“ ”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于 的弦）是同支中的最短弦，其长为双曲线上一点 与两焦点 构成的 成为焦点三角形，
设 ， ， ，则 ，
焦点三角形
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 离心率
等轴双曲线
两渐近线互相垂直 渐近线方程为 方程可设为
．
【解题方法总结】
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．
通径长为 ．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线 ，点 在双曲线内部，等价于 ．
点 在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数 ；顶点到两条渐近线的距离为常数
；
性质2：双曲线上的任意点 到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ；（4）双曲线焦点三角形面积为 （可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越
小，面积越大）
（5）双曲线的切线
在双曲线 上，过点 作双曲线的切线方程为
点
．若点 在双曲线 外，则点 对应切点弦方
程为
必考题型全归纳
题型一：双曲线的定义与标准方程
例1．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 分别是离心率为2的双曲线
的左，右焦点，过点 的直线与双曲线的左､右两支分别交于点
， ，且 ， ，则 的标准方程为 .
【答案】
【解析】由题意知 ，∴ ，由双曲线的定义知 ，
，
则 ，∴ ， ，∴ ，∴ 的标准方程为 .
故答案为： .
例2．（2024·山东临沂·高二校考期末）已知双曲线 ： （ ， ），矩
形 的四个顶点在 上， ， 的中点为 的两个焦点，且 ，则
双曲线 的标准方程是 ．
【答案】
【解析】由题意得 ， ．如图所示，设 ， 的中点分别为 ， ，在 中， ，故 ．
由双曲线的定义可得 ，
则 ，又 ，所以 ， ．
所以双曲线 的标准方程是 ．
故答案为： .
例3．（2024·高二课时练习）设椭圆C 的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若
1
曲线C 上的点到椭圆C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 的标准方程为
2 1 2
．
【答案】
【解析】根据题意可知椭圆方程中的a=13，
∵ =
∴c=5
根据双曲线的定义可知曲线C 为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8
2
∴虚轴长为6
∴双曲线方程为
变式1．（2024·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为 且经过点的双曲线标准方程为 ．
【答案】
【解析】设渐近线方程为 且经过点 的双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，
所以，所求双曲线的方程为 ，其标准方程为 .
故答案为： .
变式2．（2024·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线 有相同的
渐近线，且经过点 ，则双曲线C的标准方程是 ．
【答案】
【解析】由双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，
可设双曲线C的方程为 ，又C过点 ，
所以 ， ，
整理得双曲线C的标准方程是 ．
故答案为：
变式3．（2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）双曲线 经过两点 ，
，则双曲线 的标准方程是 ．【答案】
【解析】设双曲线的方程为 ，
由题意可得： ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程是 .
故答案为： .
变式4．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的左、
右焦点，M是双曲线C的右支上一点，双曲线C的焦点到渐近线的距离为3， 与
的夹角为 ， ，则双曲线C的标准方程为 .
【答案】
【解析】∵双曲线 的一条渐近线为 ，即 ，
故焦点 到渐近线 的距离 ，∴ .
∵向量 与 的夹角为 ，∴ .
∵ ，
∴ ，∴ ，
由双曲线的定义知， ，∴ ， .在 中，由余弦定理知
，
又 ，∴ ，∴ ，
∴该双曲线的标准方程为 .
故答案为： .
变式5．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线 ，四点
、 、 、 中恰有三点在 上，则双曲线 的标准方程为
．
【答案】
【解析】因为点 、 关于原点对称，且双曲线 也关于原点对称，故点 、 都在双曲
线 上，
对于点 ， ， ，所以， ，即点 不在双曲线 上，
所以，点 、 、 都在双曲线 上，所以， ，解得 ，
因此，双曲线 的标准方程为 .
故答案为： .变式6．（2024·高二课时练习）（1）若双曲线过点 ，离心率 ，则其标准
方程为 ．
（2）若双曲线过点 ，渐近线方程是 ，则其标准方程为 ．
（3）若双曲线与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 ，则其标准方程为
．
【答案】
【解析】（1）由 ，设 ，则 ， ．
设所求双曲线的方程为 ①或 ②，
把 代入①，得 ，与 矛盾，舍去；
把 代入②，得 ．
∴所求双曲线的标准方程为 ．
（2）由渐近线方程 ，可设所求双曲线的方程为 ①，
将点 的坐标代入①式，得 ，
∴所求双曲线的标准方程为 ．
（3）设所求双曲线的方程为 ，
点 在双曲线上，
∴ ，即 ，∴双曲线的标准方程为 ．
故答案为： ； ； .
【解题方法总结】
求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：
a b c
（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数 ， ， ，即
利用待定系数法求方程．
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，
即利用定义法求方程．
题型二：双曲线方程的充要条件
例4．（2024·全国·高三对口高考）若曲线 表示双曲线，那么实数k的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】曲线 表示双曲线，所以 即可.
解得 或 ，
所以实数k的取值范围是： .
故选：B.
例5．（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知 ，则“
”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既
不充分也不必要条件【答案】B
【解析】若方程 表示双曲线，则 ，即 ，
由 能推出 ，必要性成立，
由 不能推出 ，充分性不成立，
故“ ”是“方程 表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
例6．（2024·全国·高三专题练习）若方程 表示双曲线，则m的取值范围是
（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】B
【解析】由题意 ，解得 ．
故选：B.
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知方程 ，则
E表示的曲线形状是（ ）
A．若 ，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则 或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为 ，则
【答案】B
【解析】由题意得，当 时， ，
即 ，要表示椭圆，需满足 ，解得 且 ，故A错误；
若E表示双曲线，则 不能为0，
故 化为 ，
则 ，即 或 ，故B正确；
由B的分析知， 时， ，此时c不确定，
故焦距不是定值，C错误；
若E的离心率为 ，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知， 且 ，
当 时， ，此时 ，
则 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，
则 ，解得 ，故D错误，
故选：B
变式8．（2024·四川南充·统考三模）设 ，则“方程 表示双曲线”
的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，方程 表示双曲线，
则 ，所以 ，根据选项，“方程 表示双曲线”的必要不充分条件为B.
故选：B.
【解题方法总结】
表示椭圆的充要条件为： ；
表示双曲线方程的充要条件为： ；
表示圆方程的充要条件为： ．
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例7．（2024·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线 为坐
标原点， 为双曲线 的两个焦点，点 为双曲线上一点，若 ，
则双曲线 的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 为双曲线的下焦点， 为双曲线的上焦点，
如图所示，过点 作 于点 .因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
故 ，得 .
因为 ，所以 ，故点 ，
将 代入双曲线 中，
即 ，化简得 ，
，
解得 或 （舍去），故B项正确.
故选：B.
例8．（2024·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分
别为 、 ，直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 ，则 的面积等
于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【解析】直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 ，
则四边形 为矩形，所以 ， ，由双曲线 可得 ， ，则 ，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
故选：C．
例9．（2024·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知双曲线 的左右焦
点分别为 ，过 的直线分别交双曲线 的左右两支于 两点，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线 得出 .
因为 ，所以 .
作 于C，则C是AB的中点.
设 ，则由双曲线的定义 ，可得 .
故 ，
又由余弦定理得 ，
所以 ，解得 .
故选：C
变式9．（2024·湖北恩施·校考模拟预测）已知 ， 分别为双曲线C：
的左右焦点，且 到渐近线的距离为1，过 的直线 与C的左、右两支曲线分别交于
两点，且 ，则下列说法正确的为（ ）
A． 的面积为2 B．双曲线C的离心率为
C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线C的半焦距为 ，
因为双曲线C的焦点在x轴上，且 ，
则其中一条渐近线方程为 ，即 ，且 ，则 到渐近线的距离 ，可得 .
对于选项A：因为 ，且 ，
可得 ，解得 ，
所以 的面积为 ，故A错误；
对于选项B：双曲线C的离心率为 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，可得 ，
所以 ，故
C错误；
对于选项D：设 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 ，
所以 ，故D正确；
故选：D.
变式10．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理
结合起来．
变式11．（2024·全国·高三专题练习）双曲线 的左､右焦点分别是 ､ ，过
的弦AB与其右支交于A､B两点， ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题可得 ，
则 的周长为 .
故选：C．
变式12．（2024·云南保山·统考模拟预测）已知 是离心率等于 的双曲线
的左右焦点，过焦点 的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，若
的周长20，则 等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【解析】设双曲线 的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为 ，则 ，
．
因为离心率 ，则 ，所以 ， ，
由双曲线的定义知， ， ，则 ，
所以 的周长 ， ，
故选：D．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）设 ， 分别是双曲线 的左､右焦点，
是该双曲线上的一点，且 ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】设 ， ，则由双曲线的定义可得：
，所以 ，故 ， ，又 ，故
，故 ，所以 的面积为
.
故选：C.
变式14．（2024·全国·高三专题练习）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
点P在双曲线上，下列说法正确的是（ ）
A．若 为直角三角形，则 的周长是
B．若 为直角三角形，则 的面积是6
C．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
D．若 为钝角三角形，则 的取值范围是
【答案】C
【解析】因为双曲线 ，所以 ，
不妨设点P在第一象限，则 ，
若 为直角三角形，
当 时，则 ，
又 ，即 ，所以 ，
，
所以 ，
所以 的周长是 ， 的面积是 ；
当 时，设 ，
代入方程解得 （负值舍去），所以 ，
故 ，所以 ，
所以 的周长是 ， 的面积是6，
综上所述，若 为直角三角形，
则 的周长是 或8，
的面积是3或6，
故A、B错误；
若 为锐角三角形，根据上述，则 的取值范围是 ，故C正确；
若 为钝角三角形，根据上述，则 的取值范围是 ，故D
错误.
故选：C.变式15．（2024·吉林四平·高三双辽市第一中学校联考期末）设双曲线
的左、右焦点分别 、 ，点 为双曲线右支上一点，
的内切圆圆心为 ，则 的面积与 的面积之差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 内切圆的半径为 ，则 ， ，
.
过点 作 于点 ， 于点 ， 于点 ，
则由 的内切圆圆心为 知： ， ，
， ，
，解得： ，.
故选：C.
变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，若
双曲线上一点P使得 ，求 的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先根据双曲线方程得到 ， ， ，设 ， ，可得，
. 由 ，在 根据余弦定理可得:
，即可求得答案. ，所以 ，
， ，
在双曲线上，设 ， ，
①
由 ，在 根据余弦定理可得:
故 ②
由①②可得 ，
直角 的面积
故选：C.变式17．（2024·上海浦东新·统考三模）设 为双曲线 （ ）的上一点，
，（ 为左、右焦点），则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】双曲线 ，则
不妨设 是双曲线的右支上一点，
则由双曲线的定义，得
则 ,
所以
所以 ，即
所以
所以
故选：C
【解题方法总结】||PF|−|PF||=2a
1 2
对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即 ，
1
S = |PF|¿|PF|sinθ
ΔPF F 2 1 2
1 2
在焦点三角形面积问题中若已知角，则用 ，
1
||PF|−|PF||=2a S = ⋅2c⋅|y |
1 2 ΔPF 1 F 2 2 0
及余弦定理等知识；若未知角，则用 ．
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左右焦点为 ， ，点
为双曲线 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据双曲线的定义，设点 在双曲线 右支上，则 ，设
，再根据二次函数的性质计算可得；由题意知， ， ，
不妨设点 在双曲线 右支上，则 ，设 ，所
以 ，所以当 时， 的值最小，
最小为1，故选：A.
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知 是双曲线 上一点， 是左焦
点， 是右支上一点， 与 的内切圆切于点 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 与 的内切圆切于点 ，∴ ,由双曲线定义
=
,当且仅当A,B, 共线时取等
故选B
例12．（2024·全国·高三专题练习）已知点 ，点 在曲线 上运
动，点 在曲线 上运动，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图所示：
在双曲线 中， ， ， ，
圆 的圆心为 ，半径长为 ，
所以，双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，
由双曲线的定义可得 ， ，所以， ，
当且仅当 为射线 与圆 的交点，且 时，等号成立，
故 的最小值是 .
故答案为： .
变式18．（2024·河北衡水·统考模拟预测）已知双曲线 ，其右焦点为 ， 为
其上一点，点 满足 =1， ，则 的最小值为( )
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】双曲线 的右焦点F（5，0）
∵M满足| MF |=1，∴点M在以F为圆心，1为半径的圆上
∵ ，即圆的半径 ，即| MP |为圆F的切线长
由圆的几何性质，要使| MP |最小，只需圆心F到P的距离|FP|最小
∵P是双曲线 上一点
∴|FP|最小为c-a=5-3=2，此时| MP |=
故选：B．变式19．（2024·高二课时练习）已知直线l与双曲线 交于A，B两点，且
（ 为坐标原点），若M是直线 上的一个动点，则
的最小值为（ ）
A．12 B．6 C．16 D．8
【答案】D
【解析】由 ，可知A，B，O三点共线，即直线l过原点O，
根据双曲线对称性知O为AB中点，即 ，
可得 ，
当 和 同时取最小值时， 取最小值，
又由 的最小值为原点O到直线 距离 ，
且 ，即 的最小值是 ．
故选：D.
变式20．（2024·广东韶关·高二统考期末）已知点 ， 是双曲线 的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点 向 的角平分线作垂线，垂足为点Q，则
点 和点Q距离的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】如图所示，延长 ，交 于点T，则因为 平分 ， ，所以
， ，
因为P在双曲线 上，所以 ，所以 ，
连接 ，则 ，
因为 ，
所以 ，当 三点共线时取等号，
即点 和点Q距离的最大值为3，
故选：C
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化．
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
例13．（2024·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点 在轴上，中心在坐标原点，点 的坐标为 ， 为双曲线右支上一动点，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为等轴双曲线的左、右焦点 在 轴上，中心在坐标原点，
所以可设双曲线的方程为 ，
又因为双曲线的焦距为8，所以 ，
而 ，所以 ，故双曲线的标准方程为 .
由双曲线的定义可知， ，
由题意可知， ， ， ，
所以 ,故 的最大值为 ，
当且仅当 三点共线且点 位于第一象限时取得最大值.
故选：B
例14．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线 ，其一条渐近线
方程为 ，右顶点为A，左，右焦点分别为 ， ，点P在其右支上，点 ，三角形 的面积为 ，则当 取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则由三角形 的面积为 可得 ，
即 ，又双曲线一条渐近线方程为 ，故 ，即 ，故
，故 ，解得 ，故 ，双曲线
.
又由双曲线的定义可得 ，当且仅当 共线且
在 中间时取得等号.
此时直线 的方程为 ，即 ，联立 可得
，解得 ，由题意可得 在 中间可得 ，代入可得 ，故 .
故选：B
例15．（2024·全国·高二专题练习）已知F是双曲线C： 的右焦点，P是C的左
支上一点， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由双曲线方程 可知， ， ，故右焦点 ，左焦点 ，
当点 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 ，所以 ，
从而 ，又 为定值，
所以 ，此时点 在线段 与双曲线的交点处（三点共线距离最短），
故选：B.
变式21．（2024·宁夏银川·校联考二模）已知拋物线 上一点 到准线的距离
为 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的一动点，则 的最小值为
（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【解析】拋物线 的准线为 ，则点 到准线的距离为 ，所以 ，
则 ，故 ，
设 是双曲线 的右焦点，
则 ，则 ，
故 ，
当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：D.
变式22．（2024·全国·高二专题练习）已知点 ，双曲线 的左焦点为
，点 在双曲线 的右支上运动.当 的周长最小时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线 得到 , , ，左焦点 ，
设右焦点 .当 的周长最小时， 取到最小值，所以只需求出
的最小值即可.= = = .
故选：C.
变式23．（2024·福建宁德·高三统考阶段练习）已知双曲线 ，点F是C的右
焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则 的最
小值为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】A
【解析】由双曲线 ,可得 ， ,
设双曲线左焦点为 ，不妨设一条渐近线为 ，即 ，
作 ，垂足为E，即 ，
作 ,垂足为H，则 ，
因为点P为C左支上的动点，
所以 ，可得 ，
故 ，
由图可知，当 三点共线时，即E和H点重合时， 取得最小值，最小值为 ，
即 的最小值为 ，
故选：A．
变式24．（2024·全国·高二专题练习）设 ， 为双曲线C： 的左、右焦点，Q
为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当 取最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义得 ,
故
如图示，当 三点共线，即Q在M位置时， 取最小值，
，故 方程为 ，
联立 ，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，
故
故选：A变式25．（2024·全国·高二专题练习）设P是双曲线 上一点，M､N分别是两圆
和 上的点，则 的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．14
【答案】B
【解析】因为双曲线方程为 ，故 ，则其焦点为 ，
根据题意，作图如下：
则 ，当且仅当 三点共线，且 在 之间时取得等号；
，当且仅当 三点共线，且 在 之间时取得等号；
则 ，
故可得 ，
故 的最大值为： .
故选：B.
变式26．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知点 是右焦点为 的双曲线
上一点，点 是圆 上一点，则 的最小值是
.【答案】
【解析】设双曲线 的左焦点为 ，则 ，
设圆 的圆心为 ，则 ，半径 .
因为双曲线 表示双曲线 的右支（除去顶点），
由定义可知： ，
所以
（当且仅当 三点共线时等号成立），
因为 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为： .
变式27．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线 的左焦点为 ，点 是双
曲线 右支上的一点，点 是圆 上的一点，则 的最小值为
（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【答案】C
【解析】记双曲线 的右焦点为 ，所以
，
当且仅当点 为线段 与双曲线 的交点时，取到最小值．
故选：C．变式28．（2024·全国·高一专题练习）已知双曲线 是其左右焦点.圆
，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则
的最小值是（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】A
【解析】
由题设知， ， ， ，圆 的半径
由点 为双曲线 右支上的动点知
，∴
∴ .
故选：A
变式29．（2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考期中）已知 是双曲线
的右焦点，动点 在双曲线左支上，点 为圆 上一点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线 中 ， ， ， ，圆 半径为 ，
，
∴ ， （当且仅当 共线且 在
间时取等号．
∴ ，当且仅当
是线段 与双曲线的交点时取等号．
∴ 的最小值是9．
故选：A．
变式30．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）过双曲线 的右支
上一点 ，分别向圆 ： 和圆 ： 作切线，切点分别为 ，
，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆C ：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r＝2；
1 1
圆C ：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r＝1，
2 2
设双曲线x2 1的左右焦点为F（﹣4，0），F（4，0），
1 2连接PF，PF，FM，FN，可得
1 2 1 2
|PM|2﹣|PN|2＝（|PF|2﹣r2）﹣（|PF|2﹣r2）
1 1 2 2
＝（|PF|2﹣4）﹣（|PF|2﹣1）
1 2
＝|PF|2﹣|PF|2﹣3＝（|PF|﹣|PF|）（|PF|+|PF|）﹣3
1 2 1 2 1 2
＝2a（|PF|+|PF|﹣3＝2（|PF|+|PF|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．
1 2 1 2
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选D．
【解题方法总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问
题的过程中，如果发现动点 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能
迎刃而解．
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
例16．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知 ， 分别为双曲线Ε：
的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一
象限），延长 交E于点C，若 ， ，则双曲线E的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A【解析】结合双曲线的对称性可知， ， ，
所以 为等边三角形，则 ，则 .
由双曲线的定义，得 ，所以 ， ，
则 .
故选：A
例17．（2024·陕西西安·高三校联考开学考试）已知 ， 分别为双曲线
的左、右焦点，过原点 的直线 与 交于 ， 两点（点 在
第一象限），延长 交 于点 ，若 ， ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】结合双曲线的对称性可知， ， ，
所以 为等边三角形，则 ，则 .
由双曲线的定义，得 ，所以 ， ，则 .
故选：A
例18．（2024·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为 ， ，若在 上存在点 不是顶点 ，
使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 与y轴交于Q点，连接 ，则 ，因为 ，故P点在双曲线右支上，且 ，
故 ，而 ，
故 ，
在 中， ，即 ，
故 ，
由 ，且三角形内角和为 ，
故 ，则 ，
即 ，即 ，
所以 的离心率的取值范围为 ，
故选：A
变式31．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为 为坐标原点，过原点的直线 与 相交
于 两点， ，四边形 的面积等于 ，则 的离心率等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A【解析】如图，不妨设点A在第一象限，
由题意可得： ，则四边形 为平行四边形，
因为 ，即 ，则 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
因为 ，即 ，整理得 .
故选：A.
变式32．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知双曲线
的左､右焦点分别是 ， ，点 在 上且位于第一象限，圆
与线段 的延长线，线段 以及 轴均相切， 的内切圆为圆 .若圆 与圆
外切，且圆 与圆 的面积之比为 ，则 的离心率为（ ）A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】由已知及平面几何知识可得圆心 ， 在 的角平分线上，如图，
设圆 ， 与 轴的切点分别为 ， ，显然，直线 为两圆的公切线，切点 也在
的角平分线上，
所以 ，由双曲线的定义知 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， .
又圆 与圆 的面积之比为 ，这样圆 与圆 的半径之比为 ，
因为 ，所以 ，即 ，整理得 ，
故双曲线 的离心率 .
故选：D.
方向2：建立关于 和 的一次或二次方程与不等式
变式33．（2024·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知双曲线
的左､右焦点分别为 ，过点 的直线与双曲线在第二象限的交
点为 ，若 ，则双曲线 的离心率是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
由双曲线的定义知 ，所以 .
如图，过 作 ， 为垂足，
因为 ，所以 为 的中点， ，
由 得 ，即 ，
所以，在直角 中， ,
即 ，即 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以双曲线 的离心率是 .
故选：A变式34．（2024·湖南·校联考模拟预测）如图， 是双曲线
的左、右焦点，过 的直线交双曲线的左、右两支于 两点，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】注意到 ，则 ，连接 ．
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理有 ，解得 ，
∴ ，
在 中，由 ，得 ，
解得 ．
故选B．变式35．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知 是双曲线 的一个
焦点， 为 的虚轴的一个端点， （ 为坐标原点），直线 垂直于 的一条
渐近线，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设 为右焦点， 为 的虚轴的端点且在 轴的正半径轴上，则
，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以直线 的斜率为 ，
因为双曲线 渐近线方程为 ，
因为直线 垂直于 的一条渐近线，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，故选：A
变式36．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知双曲线 的
左焦点为 ，右顶点为 ，一条渐近线与圆 在第一象限交于点 ，
交 轴于点 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接 ，由双曲线 的渐近线方程为 ，
根据题意，点 在第一象限，将 代入 ，
可得 ，
可得
由求根公式，可得 ，
因为 ，且 ，所以 ，所以点
由 ，可得 ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，化简得 ，
两边同除以 ，得 ，解得 或 （舍去）．
故选：C.
变式37．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线
为左焦点， 分别为左､左顶点， 为 右支上的点，且
（ 为坐标原点）.若直线 与以线段 为直径的圆相交，则 的离心率的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的右焦点为 ，则 ，
则 ，为 右支上的点，取 的中点为B，连接 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
又直线 与以线段 为直径的圆相交，故 ，
设 ，则 ，
则需使 ，解得 ，
即双曲线离心率的范围为 ，
即 的离心率的取值范围为 ，
故选：D
变式38．（2024·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知双曲线
的上下焦点分别为 ，点 在 的下支上，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为
，若 恒成立，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点 作渐近线的垂线，垂足为 ，
设 ，则点 到渐近线 的距离 .
由双曲线的定义可得 ，故 ，所以 ，即 的最小值为 ，
因为 恒成立，
所以 恒成立，即 恒成立，
所以， ，即 ，即 ，
所以， ，即 ，解得 .
故选：A.
方向3：利用 ，其中 为焦距长，
变式39．（2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知 分别是双曲线
的左､右焦点，斜率为 的直线 过 ，交 的右支于点 ，交
轴于点 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题可知 ，
又因为 ，所以 ，因为直线 的斜率为 ，所以 ，
设 为 的中点，连接 ，易知 ，
所以 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的离心率为 ．
故选：A.
变式40．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线 的左、
右焦点分别为 ，过 斜率为 的直线与 的右支交于点 ，若线段 恰被 轴平分，
则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】如图，设 交y轴与A，A为 的中点，因为O为 的中点，故 为 的中位线，
则 ，而 ，则 ,
因为直线 的斜率为 ，故 中， ，
故设 ，则 ，
结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有 ，
则 ，
故选：C
变式41．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知点 是双曲线 右支上
一点， 分别是 的左、右焦点，若 的角平分线与直线 交于点
，且 ，则 的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】作 的平分线交 的平分线于 ，过 作
轴，垂足分别为 ，如图，则点 为 的内心，有 ，设 ，
，则 ，
于是直线 与直线 重合，而 的角平分线与直线 交于点 ，即 与 重合，
则点 为 的内心，
因此令 ，由 ，得
，
因此 ，即有 ，即 ，
所以双曲线 的离心率为 .
故选：B
变式42．（2024·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知 ， 分别
是双曲线C： （ ， ）的两个焦点，P为双曲线C上一点，
且 ，那么双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为 ，则 ，
由题意可得： ，
因为 ，整理得 .
故选：D.
方向4：坐标法
变式43．（2024·上海嘉定·校考三模）已知双曲线 的离心率为 ，
点 的坐标为 ，若 上的任意一点 都满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，因为 ，所以 ，
则 ，
所以当 时 取得最小值为 ，
依题意 恒成立，所以 ，
即 ，化简整理得， ，
即 ，又 ，所以 ，解得 .故选：C
变式44．（2024·江西·江西师大附中校考三模）已知 是双曲线C：
的左焦点， ，直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】双曲线 的渐近线为 ，
又 ， ，所以直线 的斜率为 ，
因为直线 与双曲线 有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，
直线 与双曲线的一条渐进线 平行，所以 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ，
故选：B
变式45．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）圆 （ 为原点）是半径为
的圆分别与 轴负半轴､双曲线 的一条渐近线交于 两点（ 在第
一象限），若 的另一条渐近线与直线 垂直，则 的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，由双曲线 的渐近线方程为 ，联立方程组 ，解得 ，
因为 且另一条渐近线与直线 垂直，可得 ，
整理得 ，又由 ，所以 ，
解得 ，所以离心率为 .
故选:B.
变式46．（2024·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试）已知A，B分别是双曲线
的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限
的点，且 轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题意可得， ， ，
点的横坐标为 ，代入 ，又 ，所以 ，
， ，则 ，可得 ．
即双曲线的离心率为2．
故选：C．
变式47．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）如图，已知双曲线
的右焦点为 ，点 分别在 的两条渐近线上，且 在第一
象限， 为坐标原点，若 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线方程知：渐近线方程为 ，
， ， ，设 ，则 ， ，即 ，
， ，又 ， ， ，
， ， ，
双曲线的离心率 .
故选：D.
变式48．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为 的直
线与双曲线C： 的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，
若三角形 的面积大于 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设 是双曲线 的左焦点，由题可知，直线 的方程为 ，
由 ，得 ，且 ，
所以 ， ，
因为 ，且 大于
，所以 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，解得 ，
所以 ，
故选：D．
方向5：找几何关系，利用余弦定理
变式49．（2024·河南郑州·三模）已知 ， 分别是双曲线 ： 的
左、右焦点，过 的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，
， 平分 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
因为 ，则 ，所以 ∽ ，
设 ，则 ，设 ，则 ， ．
因为 平分 ，由角平分线定理可知， ，
所以 ，所以 ，
由双曲线定义知 ，即 ， ，①
又由 得 ，
在 中，由余弦定理知 ，
在 中，由余弦定理知 ，
即 ，化简得 ，
把①代入上式得 ，解得 ．
故选：A．
变式50．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知双曲线C： （， ）的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线l与C的左、右两支分别交于
A，B两点，若 ， 的周长为8a，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 .因 .
则 .因 的周长为8a， ，
则 .
则 .由余弦定理： .
则在 中，由余弦定理，
.
故选：C
变式51．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）已知 分别为双曲线E：
的左、右焦点，过 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点．若 是等边三角形，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线的定义，得 ， ，
又 ，所以 ，
在 中，
即 ，所以 ，即 ，
所以
故选：C．
变式52．（2024·江苏·校联考模拟预测）已知圆O： 与双曲线C：
的右支交于点A，B，若 ，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，解得 ，
因为点A，B关于x轴对称，
所以 ，
在 中，
由余弦定理得 ，即 ，即 ，
解得 ，所以 或 （舍去），
故选：B
变式53．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点
分别为 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于点 为坐标原点，过
点 作 ，垂足为 ，若 ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，直线 的斜率为 ，可得其倾斜角为 ，
由题意得 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，解得 .
故选：C.变式54．（2024·重庆·统考模拟预测）已知 ， 分别为双曲线C：
的左、右焦点，点 为双曲线C在第一象限的右支上一点，
以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若 ，且 ，则双曲线
C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为点A在第一象限，由 ，可得 ，
则 ，
点 在双曲线上，则 ，即 ，
可得 ，
可得在点 处的切线方程为 ，令 ，解得 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，
即点 ，
设双曲线C的半焦距为 ，则 ， ，
因为 ，则 ，整理得 ，
则 ，
可得 ，
且点 为双曲线C在第一象限的右支上一点，则 ，
可得 ，
在 中，由余弦定理可得： ，
即 ，整理得 ，
所以双曲线C的离心率 .
故选：D.变式55．（2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知 分别是双曲线
的左、右焦点，过点 作直线 交 于 两点. 现将 所
在平面沿直线 折成平面角为锐角 的二面角，如图，翻折后 两点的对应点分别为
，且 若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的半焦距为 ，
由题意可得： ，
则 ，
且 ，则锐角二面角 ，
在 中，由余弦定理可得：，
在 中，由余弦定理可得：
，
因为 ，即 ，
可得 ，解得 .
故选：C.
变式56．（2024·河南·校联考二模）已知双曲线 ： 的左､右焦点分
别是 ， ， 是双曲线 上的一点，且 ， ， ，则双曲线
的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线 的半焦距为 .
由题意，点 在双曲线 的右支上， ， ，由余弦定理得 ，
解得 ，即 ， ，
根据双曲线定义得 ，
解得 ，
故双曲线 的离心率 .
故选：D
方向6：找几何关系，利用正弦定理
变式57．（多选题）（2024·湖南·高二期末）已知双曲线 的左、右
焦点分别为 ，双曲线上存在点 （点 不与左、右顶点重合），使得
，则双曲线 的离心率的可能取值为 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【解析】∵ ，则离心率 ，则排除A；
记 ， ， ，
则 ，
由正弦定理结合分比定理可知： ，
则 ，
所以B，C是正确的，D不正确.故选：BC.
变式58．（2024·全国·高三专题练习（理））已知双曲线 的左､右焦
点分别为 ， 为双曲线右支上的一点，若 在以 为直径的圆上，且
，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 在以 为直径的圆上， ，
， ， ， ，
由双曲线定义知： ，即 ，
；
， ， ，
则 ， ，
即双曲线离心率的取值范围为 .
故选：D.
变式59．（2024·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知 、 分别为双曲线C： 的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足 ，且
，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为 ， 分别为双曲线的左右焦点，
由正弦定理得到 ，
又因为 得 ，
又∵ ，
∴ ， ，
在 中， ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
所以 ，
化简得 .
故选：D.
方向7：利用基本不等式变式60．（2024·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线 ，
F为右焦点，过点F作 轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，
连接AB，BF，当 取得最大值时，双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】如图，
根据题意 ， ， ，
∴ ， ，
设直线 的倾斜角为 ，
∴ ，
当且仅当 时等号成立，
即 ， ， ，又
∴ ，
故答案为： ．
变式61．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知双曲线的左、右顶点为 、 ，若该双曲线上存在点 ，使得直线 、
的斜率之和为 ，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】设点 ，其中 ，易知点 、 ，且有 ，则
，
，
当点 在第一象限时， ， ，则 ， ，且 ，
由基本不等式可得 ，
因为存在点 ，使得直线 、 的斜率之和为 ，则 ，即 ，
.
故答案为： .
变式62．（2024·四川·高三开学考试（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝
钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯
的主体部分可以近似看作是双曲线 的部分的旋转体．若该双曲线
上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该
双曲线离心率的取值范围为______．【答案】
【解析】设点 ，其中 ，
易知点 ， ，且有 ，则 ，
，
当点P在第一象限时， ， ，
则 ， ，且 ，
由基本不等式可得 ，
∵存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和为4，
则 ，即 ，
∴ .
故答案为： ．
方向8：利用渐近线的斜率求离心率
变式63．（2024·广西·校联考模拟预测）已知双曲线C： ，O为坐
标原点，过C的右焦点F作C的一条渐近线的平行线交C的另一条渐近线于点Q，若
，则C的离心率为（ ）A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
，则 ，
解得 （舍去）或 ，
∴ ，∴ .
故选：D．
变式64．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知直线 与双曲线
的两条渐近线分别交于点 ， （不重合）， 的垂直平分线
过点 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为直线 ，所以 ，
由题可知 的垂直平分线的方程为 ，将 与 联立可得 ，即 的中点坐标为 ．
设 ， ，则 ，且 ， ，
两式作差可得 ，
即 ，所以 ，
则双曲线 的离心率为 ．
故选：D
变式65．（2024·山东聊城·统考三模）已知双曲线 ： 的右焦点为 ，
过 分别作 的两条渐近线的平行线与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，不妨设点 在第一象限，
由双曲线的性质可得，直线 和直线 关于 轴对称，
所以 和 关于 轴对称，又 ，则设 ， ，
又直线 的方程为： ，
所以代入点 得： ，解得： ，
即点 ，将点 代入双曲线的方程得： ，
化解得： ，解得： 或 ，
又因为 ，所以 ，
则双曲线的离心率 ，
故选：A.
变式66．（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）设F，F 是双曲线C： （a>0，b>0）
1 2
的左、右焦点，O是坐标原点．过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF|＝3|
2 1
OP|，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为 ，
则 ， ，
，
在 中， ，
在 中， ，
，即 ，
所以
故选：A ．变式67．（2024·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知P为双曲线
上的动点，O为坐标原点，以OP为直径的圆与双曲线C的两条
渐近线交于 ， 两点（A，B异于点O），若 恒成立，则该双曲线离
心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线C的两条渐近线方程为 ，若 恒成立，
则A，B两点始终位于x轴同侧，则 ，故 ，即 ，即 ，得
，又 ，
所以双曲线离心率的取值范围为 ．故选：A．
变式68．（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知双曲线
的上焦点为 ，过焦点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，
并与另一条渐近线交于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【解析】当 时，直线 与另一条渐近线平行，所以 ．
当 时，如图1，过 作另一条渐近线的垂线，垂足为 ，则 ，
由 得： ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ．
当 时，如图2，过 作另一条渐近线的垂线，垂足为 ，则 ，由 得： ，则 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ．
综上， 的离心率为 或 ．
故选：D
变式69．（2024·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为 ， ，点P为第一象限内一点，且点P在双曲
线C的一条渐近线上， ，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设双曲线C的焦距为2c，由 可得 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
故选：A．
变式70．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知双曲线C的方程为
，斜率为 的直线 与圆 相切于M，与双曲线
C的两条渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设直线 的方程为 ，圆 的方程
可化为 ，即圆心坐标为 ，半径为 ，
因为直线 与圆相切于M，所以 ，由 可化简得 ，则直线 的方程为 ，双曲线C的两条渐近线分别为 ， ，
由 得 ，同理可得 ，
因为M为AB中点，由中点坐标公式可得 ，
M在圆上，将M的坐标代入圆方程可得 ，
化简整理得 ，从而可得 ，
则双曲线C的离心率 .
故选：B
变式71．（2024·江苏无锡·校联考三模）已知点 在双曲线 上，
到两渐近线的距离为 ， ，若 恒成立，则 的离心率的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，设双曲线上的点 ，所以 ，即
则 到两条渐近线 的距离分别为 ， ，
所以 ，
又 ，
因为 恒成立，所以 ，整理得 ，即
所以离心率 ，则 的离心率的最大值为 .
故选：A.
方向9：利用双曲线第三定义
变式72．（多选题）（2024·云南·罗平县第一中学高二期中）已知双曲线 ：
的左焦点为 ，过点 作 的一条渐近线的平行线交 于点 ，交
另一条渐近线于点 .若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的渐近线方程为
C．点 到两渐近线的距离的乘积为
D． 为坐标原点，则
【答案】ABD
【解析】双曲线的渐近线方程为 ，不妨设过左焦点F的直线与直线 平行，
交C于点A.对于A：设双曲线半焦距为c，过点 与直线 平行的直线的方程为
，与 联立，解得 ，
设 ，由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线 的离心率为 ，故选项A正确；
对于B：由 ，可得 ，所以 ，
所以渐近线方程为 ，故选项B正确；
对于C：A到两渐近线距离的乘积 ，故选项C错误；
对于D： ，
所以 ，
所以 ，故选项D正确．
故选：ABD.
变式73．（2024·湖南郴州·高二期末）双曲线 的左右顶点为 ，
过原点的直线 与双曲线 交于 两点，若 的斜率满足 ，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】由题意知： ， ，
若 为坐标原点，则 ， ， 四边形 为平行四边形，
，即 ， ；
设 ，则 ，
，
双曲线 的离心率 .
故答案为： .
变式74．（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设直线 与双曲线
相交于 两点， 为 上不同于 的一点，直线 的斜率
分别为 ，若 的离心率为 ，则 （ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意可知点 关于原点对称，设 ，则有
， ，
都在双曲线上，有 ， ，两式相减得 ，则 ，得 ，即 ，
又由 ，则 .
故选： .
变式75．（2024·江西南昌·统考三模）不与x轴重合的直线l经过点 ，双
曲线 上存在两点 关于l对称， 中点M的横坐标为 ，若
，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，
即 ，所以 ，
因为 是AB垂直平分线，有 ，所以 ，
即 ，化简得 ，故 .
故选：C.
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围
变式76．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 .若双曲线 的右支上存在点 ，使 ，则双
曲线 的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】依题意，点 在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在 中，由正弦定理得：
，因 ，于是得 ，
而点P在双曲线M的右支上，即 ，从而有 ，
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有 ，
因此 ，而 ，整理得 ，即 ，
解得 ，又 ，故有 ，
所以双曲线M的离心率的取值范围为 .
故答案为：
变式77．（2024·吉林长春·二模（文））已知双曲线 的左、右焦点
分别为 ， ，点P在双曲线的右支上，且 ，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．【答案】B
【解析】由双曲线定义可知，， ，结合 可得 ，从而
，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围
为 ，故选B.
变式78．（2024·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线 的焦距为
，左、右焦点分别是 ， ，点P在C的右支上，且 ，则C的离
心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，得 ，
又 ，所以 ．
故选：C
变式79．（2024·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试）设双曲线
的左､右焦点分别为 ､ ，点P在双曲线的右支上，且 ，
则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得 ，又 ，所以 ，即 ，则 ，
因为双曲线中， ，
即 ，则 ，即 ，
又双曲线的离心率大于 ，所以 .
故选：A.
变式80．（2024·湖南·衡阳市八中一模（文））已知双曲线 的左、
右焦点分别为 、 ，点P在双曲线的右支上，且 ，则此双曲线的离心率e
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点P在双曲线的右支上，所以
因为 ，所以可得
根据点P在双曲线的右支上，可得
所以 ，即
所以双曲线的离心率e的最大值为
故选：C
变式81．（2024·全国·高三专题练习）已知 是双曲线 的左、右焦
点， 为双曲线左支上一点，若 的最小值为 ，则该双曲线的离心率的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线定义可得：
|PF|-|PF|=2a，|PF|=2a+|PF|， = = +4a+|PF| ≥8a，
2 1 2 1 1
当且仅当 =|PF|，即|PF|=2a时取得等号.此时
1 1
由双曲线的几何性质可得， ，即可 ，又双曲线的离心率 ，
∴ .
故选:C.
【解题方法总结】
求离心率的本质就是探究 之间的数量关系，知道 中任意两者间的等式关系或
不等关系便可求解出 的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法．
题型七：双曲线的简单几何性质问题
例19．（2024·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）等轴双曲线 的焦距为
.
【答案】
【解析】由题意得， ，故 ，故 ，焦距为 .
故答案为：
例20．（2024·四川自贡·统考三模）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，
，过 作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则 的内切圆的半径为 ．
【答案】
【解析】
双曲线C： 的左焦点为 ，到渐近线 的距离 ,
联立方程组 ，
解得
可得 ，
设 的内切圆的半径为 ，在 中， ，
故答案为： .
例21．（2024·四川·校联考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，过双曲线上一点 （ ）的直线 与直线 相交于点 ，与直线
相交于点 ，则 .
【答案】
【解析】因为 在双曲线 ，即有 ，又
由 得 ，由 得 ，
因此， ，
，
则 ，
所以 .
故答案为：
变式82．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，存在
过点 的直线与双曲线 的右支交于 两点，且 为正三角形．试写出一个满足上
述条件的双曲线 的方程： ．
【答案】 （答案不唯一，符合题意即可）【解析】如图，取 ，且 x轴，
可得 ， ，
即 ， 为正三角形，
符合题意，此时双曲线 的方程为 .
故答案为： .
变式83．（2024·陕西渭南·统考一模）已知双曲线 的焦距为4，
焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为
【答案】
【解析】由双曲线对称性得，一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为 ，
即 ，焦点为 ，
则焦点到渐近线的距离 ，
由焦距为4得 ，故 ，故C的渐近线方程为 .
故答案为： .
变式84．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）已知双曲线 （ ， ）
的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若 的虚轴长为4，则 的实轴长为 .
【答案】4
【解析】由题意可知，双曲线 的一条渐近线为直线 ，故 ，故其实轴长为
.
变式85．（2024·河北唐山·统考二模）已知直线 ： 过双曲线 ：
的一个焦点，且与 的一条渐近线平行，则 的实轴长为 ．
【答案】2
【解析】直线 与 轴交点为 ，斜率为 ，
由题意 ，解得 ，
所以双曲线的实轴长为 ．
故答案为：2.
变式86．（2024·北京房山·高三统考开学考试）已知双曲线 的离心率
为 ，其中一条渐近线与圆 交于 两点，则 .
【答案】
【解析】双曲线 的离心率为 ，
可得 ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为： ，
一条渐近线与圆 交于 ， 两点，圆的圆心 ，半径为1，
圆的圆心到直线 的距离为： ，
所以 ．
故答案为： ．
【解题方法总结】
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为
双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
题型八：利用第一定义求解轨迹
例22．（2024·全国·高三对口高考）已知动圆P过点 ，且与圆
外切，则动圆P圆心 的轨迹方程为 .
【答案】 ，
【解析】定圆的圆心为 ，与 关于原点对称，
设动圆 的半径为 ，则有 ，因为与圆 外切，
所以 ，即 ，
所以点 的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，
则 ， ， ，
所以轨迹方程为 ， ，即 ， .
故答案为： ，例23．（2024·全国·高考真题）设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线
段 的中点，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 ， ，
则 ，即 ，
又 ，则 ，
整理得 ，
即点M的轨迹方程为 .
故答案为：
例24．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C ：（x＋3）2＋y2＝1和圆C ：（x－3）2＋y2
1 2
＝9，动圆M同时与圆C 及圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
1 2
【答案】
【解析】设动圆圆心 的坐标为 ，半径为 ，
则由题意可得 ， ，相减可得 ，
故点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左支，
由题意可得 ， ， ，
故点 的轨迹方程为 ．
故答案为：
变式87．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 ， 、 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线 右支上一点， 是 的平分线，过 作 的垂线，垂足为 ，
则点 的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】延长 ，交 于 ，因为 ， ，
，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为M是双曲线C右支上一点，所以 ，
又因为P是 的中点，O是 的中点，所以 ，
所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，
所以点P的轨迹方程为 ．
故答案为： .
变式88．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内两定点 ， ，动点M满足
，则点M的轨迹方程是 .【答案】
【解析】由题意知： ， ，故M的轨迹是以 为焦点，实轴
长 的双曲线，
设双曲线方程为 ，由 可得 ，故点M的轨迹方程是
.
故答案为： .
变式89．（2024·全国·高三专题练习）若动圆与两定圆 及
都外切，则动圆圆心的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设圆 为 可得圆心 ，半径 ，
设圆 为 可得圆心 ，半径 ，且 ，
设动圆圆心为 ，半径为 ，因为动圆 同时与圆 外切和圆 外切，
所以 ， ，
所以 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的左支，
所以 ， ， ，
所以动圆的圆心 的轨迹方程为： .故答案为： .
变式90．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 ： 和圆 ： ，
动圆M同时与圆 及圆 外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题，设动圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，圆 的半径为 ,
当动圆 与圆 ，圆 外切时, , ,
所以 ,
因为圆心 , ，即 ，又
根据双曲线的定义，得动点 的轨迹为双曲线的上支，其中 ， ，
所以 ,则动圆圆心 的轨迹方程是 ；
故答案为：
变式91．（2024·全国·高三专题练习）已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足 ， ，
8成等差数列，则点P的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由已知得 ，
∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
设双曲线的方程为
则a＝4，b＝3，c＝5，∴点P的轨迹方程为 ．
故答案为： ﹒
变式92．（2024·全国·高三专题练习）已知点 ， ， ，动圆 与直线
切于点 ，分别过点 且与圆 相切的两条直线相交于点 ，则点 的轨迹方程为
.
【答案】
【解析】如图所示：
设PM，PN分别与圆C相切与R，Q，
由圆的切线长定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，
所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=20)，且满足条件sin C－sin B＝ sin A，则动点A的轨迹方程是
．
【答案】 (x>0且y≠0)
【解析】由sin C－sin B＝ sin A，利用正弦定理得 (R为外接圆半
径)，
所以|AB|－|AC|＝ |BC|= ，
可得动点 的轨迹为双曲线，为双曲线右支(除去右顶点)．
且实轴长为 ,虚轴 ，焦点为 ，
所以方程为 (x>0且y≠0).
故答案为 (x>0且y≠0).
变式97．（2024·全国·统考一模）设 ､ 是双曲线 的左右焦点，
是双曲线上任意一点，过 作 平分线的垂线，垂足为 ，则点 的轨迹方程是
.
【答案】
【解析】点 关于 的角平分线PQ的对称点P在直线 的延长线上，故，又OQ是 的中位线，故 ，点Q的轨迹是以原点为
圆心，a为半径的圆，则点Q的轨迹方程为 .
【解题方法总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动
点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称
的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标
志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意
在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
题型九：双曲线的渐近线
例25．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线
方程为 ．
【答案】
【解析】 ， ，即 ， ，
双曲线方程为 ， 渐近线方程为 ．
故答案为：
例26．（2024·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）双曲线 两条渐近线的夹
角大小是
【答案】60°/
【解析】双曲线 的两条渐近线的方程为 ，
由直线 的斜率为 ，可得倾斜角为 ，
的斜率为 ，可得倾斜角为 ，所以两条渐近线的夹角的大小为 ，
故答案为： .
例27．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 为双曲线 上一
点，以 为切点的切线为 ，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，则
（ 为坐标原点）的面积为 ．
【答案】
【解析】双曲线 的渐近线为 ，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点
，
显然直线 不垂直于y轴，设直线 ， ，
由 得点 的纵坐标 ，由 得点 的纵坐标 ，
由 消去x得 ，
于是 ，化简得 ，
直线 与x轴交点的横坐标为 ，所以 的面积 .
故答案为：
变式98．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知 为双曲线 的左、
右焦点，过 作直线 的垂线分别交双曲线的左、右两支于 两点（如图）.若
构成以 为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】由题意可得 ，由双曲线的定义及点 在右支上，
，
又点 在左支上，则 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
而 与渐近线 垂直，于是 ，即 ，从而得 ，
所以 ，即 ，化简得 ，解得 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .故答案为：
变式99．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 点M､N是函数 图
象上不同的两个点，则 （ 为坐标原点）的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当 时， ，求导得 ，即函数 在
上单调递增，
当 时，由 ，得 ，于是函数 的图
象是焦点在y轴上的双曲线在第二象限的部分， 是其渐近线，如图，
令过原点的直线与曲线 相切的切点为 ，则
，
整理得 ，令 ， ，函数 在 上单
调递增，
而 ，因此当且仅当 时， ，则 的解为 ，
即过原点的直线与曲线 相切的切点为 ，切线方程为 ，设其倾斜角
为 ，有 ，
因为点M、N是函数 图象上不同的两个点，则 ，而正切函数 在 上单调递增，因此 ，
又 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
变式100．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分
别为 ，过 作渐近线的垂线交双曲线的左支于点 ，已知 ，则双曲线的渐近
线方程为 ．
【答案】
【解析】依题意， ， ，则 ，令双曲线半焦距
为c，
双曲线 的渐近线方程为 ，则点 到渐近线的距离
，有 ，
在 中，由余弦定理 ，
得 ，整理得 ，即 ，解得
，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故答案为：变式101．（2024·重庆万州·统考模拟预测）已知双曲线C： 的左、
右焦点分别为 ， ，P是C在第一象限上的一点，且直线 的斜率为 ， 的
平分线交x轴于点A，点B满足 ， ，则双曲线C的渐近线方
程为 ．
【答案】
【解析】过 作 ，
由点 满足 ，
则 在 方向上的投影与 在 方向上的投影长度相等,
即 ，则 ,
即 ，即 为 的平分线,
则 为 的内心，
连接 ，又点 满足 ,,
,
又 ，则 ,
又 直线 的斜率为 ， ,
在 中结合余弦定理
，
可得 ，
化简得 ，则 ，
即 ，即双曲线 的渐近线方程为 .
故答案为： .
【解题方法总结】
掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，
a b
由渐近线方程可得出 ， 的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐
b
近线的距离为虚半轴长 ．题型十：共焦点的椭圆与双曲线
例28．（2024·河南南阳·南阳中学校考三模）已知椭圆 与双曲线 共焦点，双曲线 实
轴的两顶点将椭圆 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆 的标准方程为 ，
双曲线 的标准方程为 ，设 ，
因为双曲线 实轴的两顶点将椭圆 的长轴三等分，则 ，
设椭圆 与双曲线 的公共焦点为 、 ，且 、 为两曲线的左、右焦点，
设椭圆 与双曲线 在第一象限的交点为 ，在第三象限的交点为 ，
则 ，解得 ，由对称性可知 、 的中点均为原点 ，所以，四边形 为平行四边形，
因为 、 、 、 四点共圆，则有 ，故 ，
由勾股定理可得 ，即 ，即 ，
即 ，故椭圆 的离心率为 .
故选：C.
例29．（2024·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们在第一象限的交点
为 ，设 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，交点 到两焦点的距离分别为
，焦距为 ，利用余弦定理得到 ，再根据椭圆和
双曲线的定义，得到 ， 代入求解.设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实
轴长为 ，
交点 到两焦点的距离分别为 ，焦距为 ，
则 ，又 ， ，故 ， ，
所以 ，
化简得 ，
即 .
故选：B
例30．（2024·全国·高二专题练习）已知F是椭圆 ： （ ）的右焦
点，A为椭圆 的下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，若
直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最小
值为 ．
【答案】
【解析】设 的半焦距为c（ ），则 ，又 ，
所以 ，又直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
即 的最小值为 ．
故答案为：
变式102．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）已知双曲线与椭圆 共焦点，它们的
离心率之和为 ，则双曲线方程为 .
【答案】
【解析】先由椭圆方程求出椭圆的离心率以及 ，再结合双曲线的离心率得出双曲线方程.
椭圆 的
双曲线的离心率
由题意可知 ，解得
故双曲线方程为
故答案为：
【解题方法总结】椭圆离心率 与双曲线离心率 必定满足的关系式为：
