第06讲函数的概念_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第6讲 函数的概念 知识梳理 1、函数的概念 (1)一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确 定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数． 记作：x→y=f(x)，x∈A．集合A叫做函数的定义域，记为D，集合 y   y=f(x)，x∈A   叫 做值域，记为C． (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这 种函数称为分段函数． 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切y=tanx的定义域是 x  π  x∈R,且x≠kx+ ,k∈Z  2  ； (6)已知fx  的定义域求解f gx    的定义域，或已知f gx    的定义域求fx  的定义 域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相 同； (7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的 定义域． 2、基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R． (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 y   y≥ 4ac-b2  4a  ；当a<0时， 值域为 y   y≥ 4ac-b2  4a  ． k (3)y= (k≠0)的值域是 y x   y≠0   ． (4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0，+∞)． 第 页 共 页 71 3427(5)y=log x(a>0且a≠1)的值域是R． a 必考题型全归纳 1 题型一：函数的概念 119 (2024·山东潍坊·统考一模)存在函数fx  满足：对任意x∈R都有 ( ) A. f x    =x3 B. fsinx  =x2 C. fx2+2x  =x  D. f x    =x2+1 【答案】D 【解析】对于A，当x=1时，f 1    =f(1)=1；当x=-1时，f -1    =f(1)=-1， 不符合函数定义，A错误； 对于B,令x=0，则fsinx  =f(0)=0，令x=π，则fsinπ  =f(0)=π2， 不符合函数定义，B错误； 对于C, 令x=0，则f(0)=0，令x=-2，则f(0)=f(-2)2+2(-2)  =2， 不符合函数定义，C错误； 对于D, f x    =x2+1=|x|2+1,x∈R,则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)=x2+1， 符合函数定义，即存在函数f(x)=x2+1,(x≥0)满足：对任意x∈R都有f x    =x2+ 1，D正确， 故选：D 120 (2024·重庆·二模)任给u∈-2,0  ，对应关系f使方程u2+v=0的解v与u对应，则v= f(u)是函数的一个充分条件是 ( ) A.v∈[-4,4] B.v∈-4,2  C.v∈[-2,2] D.v∈-4,-2  【答案】A 【解析】根据函数的定义，对任意u∈[-2,0]，按v=-u2，在v的范围中必有唯一的值与 之对应，u2∈[0,4]，则-u2∈[-4,0]，则v的范围要包含[-4,0]， 故选：A． 121 (2024·全国·高三专题练习)如图，可以表示函数fx  的图象的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据函数的定义，对于一个x，只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求 第 页 共 页 72 3427故选：D 122 (2024·全国·高三专题练习)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点个数 ( ) A.至少1个 B.至多1个 C.仅有1个 D.有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线x=1没有交点， 若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线x=1有1个交点， 故选：B. 【解题方法总结】 利用函数概念判断 2 题型二：同一函数的判断 123 (2024·高三课时练习)下列各组函数中，表示同一个函数的是()． A. fx  =lgx2，gx  =2lgx B. fx  x+1 =lg ，gx x-1  =lgx+1  -lgx-1  C. fu  1+u = ，gv 1-u  1+v = 1-v D. fx  = x  2，gx  = x2 【答案】C 【解析】对于A：fx  =lgx2的定义域为R，gx  =2lgx的定义域为0,+∞  .因为定义 域不同，所以fx  和gx  不是同一个函数.故A错误； 对于B：fx  x+1 =lg 的定义域为-∞,-1 x-1  ∪1,+∞  ，gx  =lgx+1  -lgx-1  的 定义域为1,+∞  .因为定义域不同，所以fx  和gx  不是同一个函数.故B错误； 对于C：fu  1+u = 的定义域为-1,1 1-u  ，gv  1+v = 的定义域为-1,1 1-v  ，所以定 义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确； 对于D：fx  = x  2的定义域为0,+∞  ，gx  = x2的定义域为R.因为定义域不同， 所以fx  和gx  不是同一个函数.故D错误； 故选：C 124 (2024·全国·高三专题练习)下列四组函数中，表示同一个函数的一组是 ( ) A.y=x  ,u= v2 B.y= x2,s=( t)2 x2-1 C.y= ,m=n+1 D.y= x+1⋅ x-1,y= x2-1 x-1 【答案】A 【解析】对于A，y=x  和u= v2的定义域都是R，对应关系也相同，是同一个函数，故 选项A正确； 对于B，函数y= x2的定义域为R，函数s=( t)2的定义域为[0,+∞)，定义域不同，不 是同一个函数，故选项B错误； x2-1 对于C，函数y= 的定义域为{x|x≠1}，函数m=n+1的定义域为R，定义域不 x-1 同，不是同一个函数，故选项C错误； 对于D，函数y= x+1⋅ x-1的定义域为{x|x≥1}，函数y= x2-1的定义域为( -∞,-1]∪[1,+∞)，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误， 第 页 共 页 73 3427故选：A. 125 (2024·全国·高三专题练习)下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A. f(x)=elnx，g(x)=x x2-4 B. f(x)= ,g(x)=x-2 x+2 C. f(x)=x0，g(x)=1 D. f(x)=|x|，x∈{-1，0，1}，g(x)=x2，x∈{-1，0，1} 【答案】D 【解析】对于A：f(x)的定义域是(0,+∞)，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不相 同，不是同一函数， 对于B：f(x)=x-2，(x≠-2)，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一 函数， 对于C：f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是 同一函数， 对于D：f(x)对应点的坐标为{(-1,1)，(0,0)，(1,1)}，g(x)对应点的坐标为{(-1,1)，(0, 0)，(1,1)}，两个函数对应坐标相同，是同一函数， 故选：D． 【解题方法总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不 同的函数． 3 题型三：给出函数解析式求解定义域 x-1 126 (2024·北京·高三专题练习)函数f(x)= 的定义域为 . x2+1 【答案】xx≥1  x-1 【解析】令 ≥0，可得x-1≥0，解得x≥1. x2+1 x-1 故函数f(x)= 的定义域为xx≥1 x2+1  . 故答案为:xx≥1  . x2-9+ 9-x2 127 (2024·全国·高三专题练习)若y= +1，则3x+4y= . x-2 【答案】-5或13 x2-9+ 9-x2 【解析】由y= +1有意义可得 x-2 x2-9≥0,9-x2≥0,x-2≠0， 所以x=3或x=-3， 当x=3时，y=1，3x+4y=13， 当x=-3时，y=1，3x+4y=-5， 故答案为：-5或13. 128 (2024·高三课时练习)函数f(x)= 2x2+x-3+log 3+2x-x2 3  的定义域为 ． 【答案】1,3  2x2+x-3≥0 【解析】要使函数有意义，则  3+2x-x2>0 ，解得1≤x<3. 第 页 共 页 74 3427所以函数的定义域为[1,3). 故答案为：[1,3). a 129 (2024·全国·高三专题练习)已知正数a，b满足a=b2,loga= ，则函数f(x)= b b 1 -log x的定义域为 . b a 【答案】0,2  a a a a 【解析】由loga= 可得bb=a，即bb=b2，所以 =2⇒a=2b，代入a=b2 b b b 即2b=b2，解得b=2或b=0(舍)，则a=4 所以fx  1 = -log x 2 4 x>0   1 解得00 由  得1040-2x 【解题方法总结】 对求函数定义域问题的思路是： (1)先列出使式子fx  有意义的不等式或不等式组； (2)解不等式组； (3)将解集写成集合或区间的形式． 4 题型四：抽象函数定义域 131 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=f1+ 1-x  的定义域为{x |0≤x≤1 }， 则函数y=f(x)的定义域为 【答案】[1,2] 【解析】令u=1+ 1-x，由0≤x≤1得：-1≤-x≤0⇔0≤1-x≤1， 所以0≤ 1-x≤1⇔1≤1+ 1-x≤2，即1≤u≤2， 所以，函数y=f(x)的定义域为[1,2]. 故答案为：[1,2] 132 (2024·高三课时练习)已知函数fx  1 1 的定义域为 - ,  2 2  1 ，则函数y=fx2-x- 2  的 定义域为 ． 【答案】  1- 5 ,0  2   1+ 5 ∪1,  2  1 1 【解析】因为函数y=f(x)的定义域为 - ,  2 2  ， 第 页 共 页 75 34271 所以在函数y=fx2-x- 2  1 1 1 1- 5 中，- ≤x2-x- ≤ ，解得 ≤x≤0或1≤x 2 2 2 2 1+ 5 ≤ ， 2 1 故函数y=fx2-x- 2  的定义域为  1- 5 ,0  2   1+ 5 ∪1,  2  . 故答案为：  1- 5 ,0  2   1+ 5 ∪1,  2  . 133 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx+1  定义域为1,4  ，则函数fx-1  的定义域 为 . 【答案】3,6  【解析】因fx+1  的定义域为1,4  ，则当1≤x≤4时，2≤x+1≤5， 即fx  的定义域为2,5  ，于是fx-1  中有2≤x-1≤5，解得3≤x≤6， 所以函数fx-1  的定义域为3,6  . 故答案为：3,6  134 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  的定义域为3,6  f2x ，则函数y=  log 2-x 1 2  的定义域为 3 【答案】  ,2  2  【解析】由函数f(x)的定义域是3,6  3≤2x≤6  ，得到3≤2x≤6，故 2-x>0 即  log (2-x)>0  1 2 3   2 ≤x≤3 . 2>x  10恒成立， a=0时，ax2+ax+1=1>0恒成立， a>0 a≠0时，则  Δ=a2-4a<0 ，解得00的解集为R，所以Δ=a2-4<0，解得-2 2x-1 2  . 第 页 共 页 80 34273+x 7 【解析】(1)分式函数y= =-1- ， 4-x x-4 定义域为xx≠4  7 ，故 ≠0，所有y≠-1， x-4 故值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)； 5 (2)函数y= 中，分母t=2x2-4x+3=2x-1 2x2-4x+3  2+1≥1， 5 则y= ∈0,5 t  ，故值域为0,5  ； 1 (3)函数y= 1-2x-x中，令1-2x≥0得x≤ ， 2 易见函数y= 1-2x和y=-x都是减函数， 1 1 1 故函数y= 1-2x-x在x≤ 时是递减的，故x= 时y =- ， 2 2 min 2 1 故值域为 - ,+∞  2  ； x2+4x+3 x+1 3 (4)y= = =1+ ,x≠-3 x2+x-6 x-2 x-2  ， 2 故值域为yy≠1 且y≠ 5  ； (5)y=4- 3+2x-x2=4- -(x-1)2+4，x∈-1,3  而0≤-(x-1)2+4≤4，x∈0,4  ， ∴0≤ -(x-1)2+4≤2，∴4-2≤4- -(x-1)2+4≤4-0， 即2≤y≤4，故值域为2,4  ； 1 (6)函数y=x+ 1-2x，定义域为-∞, 2  ，令t= 1-2x≥0， 1-t2 1-t2 t2 1 所以x= ，所以y= +t=- +t+ ,t≥0，对称轴方程为t=1， 2 2 2 2 1 1 所以t=1时，函数y max =- 2 +1+ 2 =1，故值域为-∞,1  ； x-3≥0 (7)由题意得  ，解得3≤x≤5， 5-x≥0 则y2=2+2 x-3  5-x  =2+2 -x-4  2+1,3≤x≤5， 故-x-4  2+1∈0,1  ，2 -x-4  2+1∈0,2  ，∴2≤y2≤4， 由y的非负性知， 2≤y≤2，故函数的值域为 2,2  ； (8)函数y= -x2-6x-5= -x+3  2+4，定义域为-5,-1  ，-x+3  2+4∈0,4  ， 故y= -x+3  2+4∈0,2  ，即值域为0,2  ； 3x+1 7 (9)函数y= =3+ ，定义域为xx≠2 x-2 x-2  ， 7 故 ≠0，所有y≠3，故值域为(-∞,3)∪(3,+∞)； x-2 2x2-x+1 2x-1 (10)函数y= = 2x-1  2+2x-1  +2 22x-1  1 = 2x-1 2  2 + 2x-1      1 + ， 2 1 1 2 令t=2x-1，则由x> 知，t>0，y= t+ 2 2 t  1 + ， 2 2 根据对勾函数t+ 在0, 2 t  递减，在 2,+∞  递增, 1 1 1 1 可知t= 2时，y = ×2 2+ = 2+ ，故值域为  2+ ,+∞ min 2 2 2  2  . 147 (2024·全国·高三专题练习)若函数y=f(x)的值域是-1,3  ，则函数g(x)=3-2f(x+ 第 页 共 页 81 34271)的值域为 ． 【答案】-3,5  【解析】因为函数y=f(x)的值域是-1,3  ， 所以函数y=f(x+1)的值域为-1,3  ， 则y=-2f(x+1)的值域为-6,2  ， 所以函数g(x)=3-2f(x+1)的值域为-3,5  ． 故答案为：-3,5  ． sinx+2 148 (2024·全国·高三专题练习)函数y= 的值域为 cosx-2 【答案】  -4- 7 , -4+ 7  3 3  sinx+2 【解析】y= 表示点cosx,sinx cosx-2  与点2,-2  连线的斜率， ∵cosx,sinx  的轨迹为圆x2+y2=1， sinx+2 ∴y= 表示圆x2+y2=1上的点与点2,-2 cosx-2  连线的斜率， 由图象可知：过2,-2  作圆x2+y2=1的切线，斜率必然存在， 则设过2,-2  的圆x2+y2=1的切线方程为y+2=kx-2  ，即kx-y-2k-2=0， ∴圆心0,0  -2k-2 到切线的距离d=  -4± 7 =1，解得：k= ， k2+1 3 结合图象可知：圆x2+y2=1上的点与点2,-2  连线的斜率的取值范围为 -4- 7 -4+ 7  ,  3 3  ， 即y= sinx+2 的值域为  -4- 7 , -4+ 7 cosx-2  3 3  . 故答案为：  -4- 7 , -4+ 7  3 3  . x2+4 149 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)函数y= 的最大值为 . x2+5 2 【答案】 /0.4 5 x2+4 x2+4 1 【解析】因为y= = = ， x2+5 x2+4+1 x2+4+ 1 x2+4 令t= x2+4，则t≥2， 令gx  1 =x+ ，x∈2,+∞ x  ，因为函数gx  1 =x+ 在2,+∞ x  上单调递增，所以 gx  5 ∈  ,+∞  2  ， 第 页 共 页 82 34271 5 即 x2+4+ ∈  ,+∞ x2+4  2  1 2 ，则 ∈0, 1 5 x2+4+ x2+4  ， x2+4 2 即函数y= 的最大值为 ，当且仅当x=0时取等号. x2+5 5 2 故答案为： 5 150 (2024·全国·高三专题练习)函数y= 1-x+ 2+x的值域为 . 【答案】 3, 6  1-x≥0 【解析】由y= 1-x+ 2+x有意义可得  ，所以-2≤x≤1， 2+x≥0 y= 1-x+ 2+x的定义域为[-2,1]， y= ( 1-x+ 2+x)2= 1-x+2+x+2 1-x⋅ 2+x 1 = 2 (1-x)(2+x)+3= 2 -x2-x+2+3= 2 -x+ 2  2 9 + +3， 4 1 设t=-x+ 2  2 ，则t∈ - 9 ,0  4  9 ，y= 2 t+ +3，则y∈[ 3, 6]. 4 故答案为： 3, 6  ． 【解题方法总结】 函数值域的求法主要有以下几种 (1)观察法：根据最基本函数值域(如x2≥0，ax>0及函数的图像、性质、简单的计算、推 理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． (2)配方法：对于形如y=ax2+bx+ca≠0  的值域问题可充分利用二次函数可配方的 特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． (3)图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． (4)基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． (5)换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y=ax+b+ cx+d的值城，可通过 换元将原函数转化为二次型函数． (6)分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分 析． (7)判别式法：把函数解析式化为关于x的-元二次方程，利用一元二次方程的判别式求 ax2+bx+c 值域，一般地，形如y=Ax+B， ax2+bx+c或y= 的函数值域问题可运用 dx2+ex+f 判别式法(注意x的取值范围必须为实数集R)． (8)单调性法：先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性，再求出值域．对于形如y = ax+b+ cx+d或y=ax+b+ cx+d的函数，当ac>0时可利用单调性法． (9)有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反 解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． (10)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大(小)值，从而求出函数 的值域． 8 题型八：分段函数的应用 f(x+1), x≤0  151 (2024·四川成都·成都七中统考模拟预测)已知函数f(x)= ，则 x2-3x-4, x>0 第 页 共 页 83 3427f f-4    = ( ) A.-6 B.0 C.4 D.6 【答案】A 【解析】由分段函数知：当x≤0时，周期T=1， 所以f-4  =f-4+5  =f1  =1-3-4=-6， 所以f f-4    =f-6  =f-6+7  =f1  =-6． 故选：A 152 (2024·河南·统考模拟预测)已知函数fx  3x+1-1,x≥1, = -log 3x+5    且fm -2,x<1,  =-2，则 fm+6  = ( ) A.-16 B.16 C.26 D.27 【答案】C 【解析】当m≥1时，fm  =-2⇒3m+1-1=-2⇒3m+1=-1⇒m∈∅， 当m<1时，fm  =-2⇒-log 3m+5  -2=-2⇒m=-4， 所以fm+6  =f2  =32+1-1=26， 故选：C 153 (2024·全国·高三专题练习)已知fx  -x2+2x, x≥0  = ，满足fa x2+2x, x<0  0时，fa  =-a2+2a,f-a  =a2-2a， 所以fa  0，解得a>2， 所以，a的取值范围是-2,0  ∪2,+∞  故选：D 154 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  2x, x≤0 = log 2 x    ，则使f fx , x>0    =1 的x可以是 ( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 【答案】BCD 【解析】①当fx  ≤0时，由f fx    =2fx  =1，可得fx  =0， 若x≤0时，则fx  =2x>0，此时fx  =0无解， 若x>0时，由fx  =log 2 x  =0，解得x=1； ②当fx  >0时，由f fx    = log 2 fx    =1，可得fx  =2或fx  1 = . 2 若x≤0时，则fx  =2x∈0,1  ，由fx  1 =2x= 可得x=-1，方程fx 2  =2无解， 第 页 共 页 84 3427若x>0时，由fx  =log 2 x  1 2 = 可得x= 2或x= ，由fx 2 2  =log 2 x  =2可得x= 1 或x=4. 4 综上所述，满足f fx    2 1 =1的x的取值集合为-1,1, 2, , ,4  2 4  . 故选：BCD. 155 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  -3x+5, x≥0  = 1 ，若f fa x+ , x<0 x    = 5 - ，则实数a的值可能为 ( ) 2 7 4 11 A. B.- C.-1 D. 3 3 6 【答案】ACD 【解析】根据题意，函数fx  -3x+5, x≥0  = 1 ， x+ , x<0 x 当a≥0时，fa  =-3a+5， 5 其中当0≤a≤ 时，fa 3  ≥0，此时f fa    =-3-3a+5  5 5 +5=- ，解可得a= ， 2 6 符合题意； 5 当a> 时，fa 3  <0，此时f fa    =-3a+5  1 5 7 + =- ，解可得a= 或 -3a+5 2 3 11 ，符合题意； 6 当a<0时fa  1 =a+ ，必有fa a  <0， 此时f fa    1 =a+ a  1 5 1 1 + =- ，变形可得a+ =-2或- ， 1 2 a 2 a+ a 1 若a+ =-2，解可得a=-1， a 1 1 若a+ =- ，无解； a 2 5 7 11 综合可得：a=-1或 或 或 ，分析可得选项可得：ACD符合； 6 3 6 故选：ACD． 【解题方法总结】 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析 式代入求值 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间 内． 第 页 共 页 85 3427