第57讲直线的方程_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第57讲 直线的方程 知识梳理 知识点一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l重合所成的角 称为直线l的倾斜角，通常用α，β，γ，⋯表示 (1)若直线与x轴平行(或重合)，则倾斜角为0 (2)倾斜角的取值范围α∈[0，π) 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为k=tanα π (1)当α= 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 2 (2)所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 (3)斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广(与 直线方程相联系) (4)k  越大，直线越陡峭 (5)倾斜角α与斜率k的关系 当k=0时，直线平行于轴或与轴重合； 当k>0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大； 当k<0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 y -y 已知直线上任意两点，A(x ，y)，B(x ，y )则k= 2 1 1 1 2 2 x -x 2 1 (1)直线的斜率是确定的，与所取的点无关． (2)若x =x ，则直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 1 2 4、三点共线． 两直线AB，AC的斜率相等→A、B、C三点共线；反过来，A、B、C三点共线，则直线 AB，AC的斜率相等(斜率存在时)或斜率都不存在． 知识点二：直线的方程 1、直线的截距 若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a，b分别为直线l的横截距，纵截距 (1)截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0(不要顾名思义 误认为与“距离”相关) 第 页 共 页 583 1043(2)横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y 1 =kx-x 1  不含垂直于x轴的直线 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 y-y x-x 两点式 1 = 1 不含直线x=x(x ≠x )和直线y=y(y ≠y ) y -y x -x 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 x y 截距式 + =1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 a b Ax+By+C=0 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 (A2+B2≠0) 3、求曲线(或直线)方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线(或直线)方程的思路通常有两种： (1)直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则 需找到两个点，或者一点一斜率 (2)间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方 程，然后再利用条件解出参数的值(通常条件的个数与所求参数的个数一致) 4、线段中点坐标公式 若点P，P 的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )且线段PP 的中点M的坐标为(x，y)，则 1 2 1 1 2 2 1 2 x +x x= 1 2 2  ，此公式为线段PP 的中点坐标公式． y +y 1 2 y= 1 2 2 5、两直线的夹角公式 k -k 若直线y=kx+b 与直线y=k x+b 的夹角为α，则tanα= 2 1 1 1 2 2 1+kk 1 2  . 必考题型全归纳 1 题型一：倾斜角与斜率的计算 2973 (2024·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测)已知α是直线x-2y+3=0的倾斜角，则 π 2sinα+ 4  +sinα 的值为 ( ) cos2α 4 4 5 4 5 3 5 A. B. C. D. 3 3 15 20  2974 (2024·重庆·重庆南开中学校考模拟预测)已知直线l的一个方向向量为p= π π sin ,cos 3 3  ，则直线l的倾斜角为 ( ) π π 2π 4π A. B. C. D. 6 3 3 3 2975 (2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习)经过A(-1 ,3) ,B( 3, - 3)两点的直线的倾斜角是 ( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 第 页 共 页 584 10432976 (2024·全国·高二专题练习)如图，若直线l,l ,l 的斜率分别为k,k ,k ，则 ( ) 1 2 3 1 2 3 A.k 0 a  表示的直线可能是 ( ) A. B. C. D. 2999 (2024·全国·高三专题练习)已知过定点直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都 是正值，且截距之和最小，则直线的方程为 ( ) A.x-2y-7=0 B.x-2y+7=0 C.2x+y-6=0 D.x+2y-6=0 a c 3000 (2024·全国·高三专题练习)若直线l的方程y=- x- 中，ab>0，ac<0，则此直线 b b 必不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3001 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为-1，则直 线l的方程为 ( ) 第 页 共 页 587 10433 3 A.y=- x-1 B.y=- x+1 C.y= 3x-1 D.y= 3x+1 3 3 5 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 3002 (2024·全国·高三专题练习)若一条直线经过点A-2,2  ，并且与两坐标轴围成的三角形 面积为1，则此直线的方程为 ． 3003 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半 轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 . 3004 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l的方程为：2+m  x+1-2m  y+4-3m  =0． (1)求证：不论m为何值，直线必过定点M； (2)过点M引直线l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l 的方程． 1 1 3005 (2024·全国·高三专题练习)直线l过点M(1,2)，且分别与x,y轴正半轴交于A、B两点， O为原点. (1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程； (2)求OA  +2OB  的最小值及此时直线l的方程. 3006 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，直线l过定点P3,2  ，且与x轴 的正半轴交于点M，与y轴的正半轴交于点N. (1)当PM⋅PN取得最小值时，求直线l的方程； (2)求△MON面积的最小值. 3007 (2024·北京怀柔·高二北京市怀柔区第一中学校考期中)已知直线l经过点P2,2  ，O为 坐标原点． (1)若直线l过点Q-2,0  ，求直线l的方程，并求直线l与两坐标轴围成的三角形面积； (2)如果直线l在两坐标轴上的截距之和为8，求直线l的方程． 3008 (2024·高二单元测试)已知直线l过点P4,3  ，与x轴正半轴交于点A、与y轴正半轴交 于点B. (1)求△OAB面积最小时直线l的方程(其中O为坐标原点)； (2)求PA  ∙PB  的最小值及取得最小值时l的直线方程. 3009 (2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习)过点M(4,3)的动直线l交x轴的正半轴 于A点，交y轴正半轴于B点. (Ⅰ)求ΔOAB(O为坐标原点)的面积S最小值，并求取得最小值时直线l的方程. (Ⅱ)设P是ΔOAB的面积S取得最小值时ΔOAB的内切圆上的动点，求u=PO  2+ PA  2+PB  2的取值范围. 3010 (2024·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知直线l：kx-y+1+2k =0． (1)求l经过的定点坐标P； (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B． ①△AOB的面积为S，求S的最小值和此时直线l的方程； 1 ②当PA+ PB取最小值时，求直线l的方程． 2 3011 (2024·河南郑州·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习)已知直线l:kx-y+2+3k 第 页 共 页 588 1043=0经过定点P． (1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限； 1 1 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当 |PA|+ |PB|取最小值时， 2 3 求直线l的方程． 3012 (2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习)已知直线l过定点P-2,1  ， 且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点． (1)若△AOB的面积为4，求直线l的方程； (2)求OA  +OB  的最小值，并求此时直线l的方程； (3)求PA  ⋅PB  的最小值，并求此时直线l的方程． 6 题型六：两直线的夹角问题 3013 (2024·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末)直线x- 3y+2=0与直线 3x+ 2y=1所成夹角的余弦值等于 3014 (2024·高三课时练习)直线x+2y+2=0与直线3x-y-2=0相交，则这两条直线的 夹角大小为 . 3015 (2024·上海宝山·高三统考阶段练习)已知直线l:2x-y=0,l :3x+y-1=0，则l 与l 1 2 1 2 的夹角大小是 . 1 1 3016 (2024·重庆·高考真题)曲线y=2- x2与y= x3-2在交点处切线的夹角是 2 4 ．(用弧度数作答) 3017 (2024·全国·模拟预测)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与x-7y -4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ． 3018 (2024·全国·高三专题练习)两条直线l: 3x-y- 3=0，l :x- 3y-1=0的夹角平 1 2 分线所在直线的方程是 ． 7 题型七：直线过定点问题 3019 (2024·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测)已知直线l:x-my+1=0过定 1 点A，直线l 2 :mx+y-m+3=0过定点B，l 1 与l 2 相交于点P，则PA  2+PB  2= ． 3020 (2024·全国·高三专题练习)已知实数a,b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0过定点 . 3021 (2024·陕西咸阳·统考二模)直线y=kx-k+e恒过定点A，则A点的坐标为 ． 3022 (2024·辽宁营口·高二校考阶段练习)直l的方程为kx-y+2k+1=0k∈R  ，则该直线 过定点 ． 3023 (2024·上海宝山·高二统考期末)若实数a、b、c成等差数列，则直线ax+by+c=0必经 过一个定点，则该定点坐标为 . 8 题型八：轨迹方程 第 页 共 页 589 10433024 (2024·全国·高三对口高考)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为 A2,3  、B1,-1  、C5,1      ，点P在直线BC上运动，动点Q满足PQ=PA+PB+PC，求 点Q的轨迹方程． 3025 (2024·安徽蚌埠·统考三模)如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的 坐标分别是3,0  、1,3  ，点D是线段AB上的动点. (1)求AB所在直线的一般式方程； (2)当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程. 3026 (2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习)如图，已知点A是直线l:x-2y+1=0 1 上任意一点，点B是直线l :x-2y-4=0上任意一点，连接AB，在线段AB上取点C使 2   得2CA=3BC. (1)求动点C的轨迹方程； (2)已知点P4,-2  ，是否存在点C，使得PC  =3？若存在，求出点C的坐标；若不存在， 说明理由. 3027 (2024·全国·高三专题练习)已知A-1,1  ，B2,1  ，动点M与A，B两点连线的斜率分 别为k 、k ，若k =2k ，求动点M的轨迹方程 MA MB MA MB 3028 (2024·高二课时练习)在△ABC中，A(3,3),B(2,-2),C(-7,1)，求∠A的平分线AD所 在直线的方程. 3029 (2024·江苏·高二假期作业)已知动点C到两个定点C 1-1，0  ，C 23，4  的距离相等，求 点C的轨迹方程．  3030 (2024·全国·高三专题练习)已知O是坐标原点，A(3,1),B(-1,3).若点C满足OC=   αOA+βOB，其中α,β∈R，且α+β=1，求点C的轨迹方程. 9 题型九：中点公式 3031 (2024·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习)已知点A，B分别是直线x+2y+ 4=0和直线x+2y-10=0上的点，点P为AB的中点，设点P的轨迹为曲线C． 第 页 共 页 590 1043(1)求曲线C的方程； (2)过点D-2,1  的直线l与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为MN的中点，求直 线l的方程. 3032 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l ：kx-y+1+2k=0k∈R  过定点T，若直线l 被直线x-y+6=0和x轴截得的线段恰好被定点T平分，求k的值. 3033 (2024·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习)已知直线1-a  x+1+a  y+3a-3= 0a∈R  . (1)求证：直线经过定点，并求出定点P； (2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线l:2x-y-2=0与l :x+y+3=0之间的线 1 2 段恰被P平分，求直线l的方程. 3034 (2024·全国·高三专题练习)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l ：2x+y-8=0和l ：x 1 2 -3y+10=0截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程. 3035 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l：(2+m)x+(1+2m)y+4-3m=0． (1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M； (2)过定点M作一条直线l ，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l 的方程． 1 1 3036 (2024·全国·高三专题练习)过点M(0，1)作直线，使它被两直线l:x-3y+10=0和l : 1 2 2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程. 第 页 共 页 591 1043