第77讲定点、定值问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第77讲 定点、定值问题 知识梳理 1、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量 -函数-定值”，具体操作程序如下： (1)变量----选择适当的量为变量． (2)函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． (3)定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系F(k,m)=0，用一个参数表示另外一个 参数k=f(m)，即可带用其他式子，消去参数k． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如： y-2+kg(x)=0，只要因式g(x)=0，就和参数k没什么关系了，或者说参数k不起作 用． 3、求解直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证 明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲 线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标 的点即为所求点； (3)求证直线过定点x 0 ,y 0  ，常利用直线的点斜式方程y-y 0 =kx-x 0  或截距式y=kx+ b来证明． 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：y=kx+m，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到k和m的关系：m=f(k)，等式带入消参，消掉m． ③参数无关找定点：找到和k没有关系的点． 必考题型全归纳 1 题型一：面积定值 x2 y2 4297 (2024·安徽安庆·安庆一中校考三模)已知椭圆C: + =1(a>b>0)过点A-a,0 a2 b2  , B0,-b  3 两点，椭圆的离心率为 ，O为坐标原点，且S =1. 2 △OAB 第 页 共 页 797 1043(1)求椭圆C的方程； (2)设P为椭圆C上第一象限内任意一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于 点N，求证：四边形ABNM的面积为定值. x2 y2 4298 (2024·陕西汉中·高三统考阶段练习)已知双曲线C： - =1a>0,b>0 a2 b2  的焦距为 2 6，且焦点到近线的距离为1. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两 点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值. x2 y2 4299 (2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a>0, a2 b2 x b>0)，渐近线方程为y± =0，点A2,0 2  在C上； (1)求双曲线C的方程； (2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点(不与A点重合)，且两条 直线的斜率k ，k 满足k +k =1，直线PQ与直线x=2，y轴分别交于M，N两点，求 1 2 1 2 证：△AMN的面积为定值. x2 y2 4300 (2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)设椭圆E： + = a2 b2 1a>b>0  过点M 2,1  ，且左焦点为F 1- 2,0  ． (1)求椭圆E的方程； (2)△ABC内接于椭圆E，过点P4,1  和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与  BC交于点Q，满足AP   QD   =AQ   PD  ，证明：△PBC面积为定值，并求出该定值． y2 4301 (2024·全国·高二专题练习)已知l ，l 既是双曲线C ：x2- =1的两条渐近线，也是双 1 2 1 4 x2 y2 曲线C ： - =1的渐近线，且双曲线C 的焦距是双曲线C 的焦距的 3倍. 2 a2 b2 2 1 第 页 共 页 798 1043MN (1)任作一条平行于l 的直线l依次与直线l 以及双曲线C ，C 交于点L，M，N，求 1 2 1 2 NL 的值； (2)如图，P为双曲线C 上任意一点，过点P分别作l ，l 的平行线交C 于A，B两点，证 2 1 2 1 明：△PAB的面积为定值，并求出该定值. x2 4302 (2024·四川成都·高二树德中学校考阶段练习)已知椭圆C: +y2=1，A,B是椭圆上的 4 两个不同的点，O为坐标原点，A,O,B三点不共线，记△AOB的面积为S . △AOB  (1)若OA=x 1 ,y 1   ,OB=x 2 ,y 2  1 ，求证：S △AOB = 2 x 1 y 2 -x 2 y 1  ； 1 (2)记直线OA,OB的斜率为k,k ，当kk =- 时，试探究S2 是否为定值并说明理 1 2 1 2 4 △AOB 由. 2 题型二：向量数量积定值 x2 y2 4303 (2024·新疆昌吉·高二统考期中)已知椭圆C: + =1(a>b>0)，F，F 是C的左、 a2 b2 1 2 右焦点，过F 的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且△ABF 的周长为4 2，椭圆 1 2 C的其中一个焦点在抛物线y2=4x准线上， (1)求椭圆C的方程； 5 (2)已知点M- ,0 4    ，证明:MA⋅MB为定值. 4304 (2024·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末)已知M4,m  是抛物线C:y2= 2pxp>0  上一点，且M到C的焦点的距离为5. (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)如图所示，过点P2,0    的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设QA=λPA，   QB=μPB，求证：λ+μ是定值. 4305 (2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考开学考试)已知点P到A(-2,0)的距离 是点P到B1,0  的距离的2倍. (1)求点P的轨迹方程； 第 页 共 页 799 1043 (2)若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q的轨迹Γ交于E，F两点，探索BE⋅  BF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. x2 y2 4306 (2024·全国·高二校联考阶段练习)已知椭圆E: + =1a>b>0 a2 b2  的右焦点为 F1,0  3 ，点P-1, 2  在E上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分   别交x=4于M，N两点，O为坐标原点，求证：OM⋅ON为定值． x2 y2 4307 (2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的离 2 心率为 ，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 2 (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线y=kx-1  k>0  与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两 点.   7 ①若MB=AN，求k的值；②若点Q的坐标为 ,0 4    ，求证：QA⋅QB为定值. 3 题型三：斜率和定值 x2 y2 4308 (2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试)已知C 1 : a + 4-a =104 b 4-b  ． (1)证明：y=x  -2总与C 和C 相切； 1 2 (2)在(1)的条件下，若y=x  -2与C 在y轴右侧相切于A点，与C 在y轴右侧相切于 1 2 B点．直线l与C 和C 分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线l使得对任意题干所 1 2 给a，b，总有k +k +k +k 为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理 AP AQ BP BQ 由． 4309 (2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p > 1 1 1 0)与抛物线C :x2=2p y(p >0)在第一象限交于点P. 2 2 2 (1)已知F为抛物线C 1 的焦点，若PF的中点坐标为1,1  ，求p ； 1 (2)设O为坐标原点，直线OP的斜率为k.若斜率为k 的直线l与抛物线C 和C 均相 1 2 1 2 切，证明k +k 为定值，并求出该定值. 1 2 4310 (2024·河南许昌·高二统考期末)已知△PAB的两个顶点A，B的坐标分别是(0,3),(0, -3),且直线PA，PB的斜率之积是-3，设点P的轨迹为曲线H. (1)求曲线H的方程； (2)经过点(1,3)且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F(均异于A，B)，证明： 直线BE与BF的斜率之和为定值. x2 y2 4311 (2024·河南商丘·高二校考阶段练习)已知A 1 ，A 2 ，B是椭圆 a2 + b2 =1a>b>0  的顶 3 点(如图)，直线l与椭圆交于异于顶点的P，Q两点，且l⎳A B，若椭圆的离心率是 ， 2 2 且A 2 B  = 5， 第 页 共 页 800 1043(1)求此椭圆的方程； (2)设直线AP和直线BQ的斜率分别为k ，k ，证明k +k 为定值. 1 1 2 1 2 4312 (2024·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习)过点M1,0  的直线为l,N 为圆C:x2+(y-2)2=4与y轴正半轴的交点. (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程： (2)证明：若直线l与圆C交于A,B两点，直线AN,BN的斜率之和为定值. 4 题型四：斜率积定值 x2 y2 4313 (2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)已知椭圆C： + = a2 b2 1a>b>0  2 的离心率为 ，以C的短轴为直径的圆与直线y=ax+6相切． 2 (1)求C的方程； (2)直线l:y=kx-1  k≥0  与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线 段AB于点Q，且PQ平分∠APB，设直线OP的斜率为k(O为坐标原点)，判断k⋅k是 否为定值？并说明理由． 4314 (2024·内蒙古包头·高三统考开学考试)已知点M-3,0  ,N3,0  ，动点Px,y  满足直线 1 PM与PN的斜率之积为- ，记点P的轨迹为曲线C． 3 (1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连 接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值． 4315 (2024·江苏南通·高三统考开学考试)在直角坐标系xOy中，点P到点F 3,0  的距离 4 3 3 与到直线l：x= 的距离之比为 ，记动点P的轨迹为W. 3 2 (1)求W的方程； 1 (2)过W上两点A，B作斜率均为- 的两条直线，与W的另两个交点分别为C，D.若 2 直线AB，CD的斜率分别为k ，k ，证明：kk 为定值. 1 2 1 2 x2 y2 4316 (2024·全国·高二随堂练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  2 的离心率为 ，点 2 2, 2  在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB 的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 5 题型五：斜率比定值 x2 y2 4317 (2024·福建厦门·高二厦门一中校考期中)已知双曲线Γ： - =1实轴AB长为4(A a2 b2 第 页 共 页 801 10434 在B的左侧)，双曲线Γ上第一象限内的一点P到两渐近线的距离之积为 . 5 (1)求双曲线Γ的标准方程； (2)设过T4,0  的直线与双曲线交于C，D两点，记直线AC，BD的斜率为k ，k ，请从下 1 2 列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明. ①k +k 为定值； 1 2 ②k ⋅k 为定值； 1 2 k ③ 1 为定值 k 2 x2 y2 4318 (2024·四川成都·高二校考期中)已知椭C： + =1(a>b>0)，F,F 为其左右焦 a2 b2 1 2 3 点，离心率为 2 ，F 1- 3,0  (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点Px 0 ,y 0  (x y ≠0)，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为k ，PF， 0 0 0 1 k +k PF 的斜率分别为k ，k ，则 1 1 是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由. 2 1 2 k kk 0 1 2 x2 y2 4319 (2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)已知双曲线C: - =1,a>0,b>0 a2 b2  的实轴长为4，左右两个顶点分别为A 1 ,A 2 ，经过点B4,0  的直线l交双曲线的右支于M, N两点，且M在x轴上方，当l⊥x轴时，MN=2 6. (1)求双曲线方程. (2)求证：直线MA,NA 的斜率之比为定值. 1 2 6 题型六：线段定值 4320 (2024·浙江·高二校联考期中)已知圆C ：x2+y2=m与圆C ：x2+y2-4x=0. 1 2 (1)若圆C 与圆C 内切，求实数m的值； 1 2 (2)设A3,0  ，在x轴正半轴上是否存在异于A的点Bb,0  ，使得对于圆C 上任意一点 2 PA P，  PB  为定值？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由. 4321 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ. (1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P为圆心的动圆经过点 F-1,0  ，且内切于圆K:x-1  2+y2=16；②已知点T-1,0  ，直线l：x=-4，动点P到 1 点T的距离与到直线l的距离之比为 ；③设E是圆O:x2+y2=4上的动点，过E作直 2   3 线EG垂直于x轴，垂足为G，且GP= GE. 2 (2)在(1)的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A，B，若过点K1,0  的直线m的 斜率存在且不为0，设直线m交曲线Γ于点M，N，直线n过点T-1,0  且与x轴垂直，直 TP 线AM交直线n于点P，直线BN交直线n于点Q，则线段的比值  TQ  是否为定值?若 是，求出该定值；若不是，请说明理由. x2 y2 4322 (2024·江西九江·统考一模)如图，已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别 1 a2 b2 为F，F，点A为C 上的一个动点(非左右顶点)，连接AF 并延长交C 于点B，且△ABF 1 2 1 1 1 2 的周长为8，△AFF 面积的最大值为2． 1 2 第 页 共 页 802 1043(1)求椭圆C 的标准方程； 1 (2)若椭圆C 的长轴端点为F,F，且C 与C 的离心率相等，P为AB与C 异于F 的交 2 1 2 2 1 2 1 点，直线PF 交C 于M,N两点，证明：|AB|+|MN|为定值． 2 1 4323 (2024·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试)已知抛物线C 1 :y2=pxp>0  的焦点 为F 1 ，抛物线C 2 :y2=2px的焦点为F 2 ，且F 1 F 2  1 = ． 2 (1)求p的值； (2)若直线l与C 交于M，N两点，与C 交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四 1 2 象限，且MP  =2NQ  MN ，证明：  PQ  为定值． 4324 (2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试)已知抛物线E:x2=2py(p为常数，p> 0).点Mx 0 ,y 0  是抛物线E上不同于原点的任意一点. x (1)若直线l:y= 0x-y 与E只有一个公共点，求p； 2 0 (2)设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A,B，且直线PA，PB与x轴分 别交于C，D两点. ①证明：PA⊥PB PC ②试问  ⋅AB  PB  ⋅CD  是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 4325 (2024·山东淄博·高二校联考阶段练习)已知圆O：x2+y2=r2与直线x-y+3 2=0相 切. (1)若直线l:y=-2x+5与圆O交于M，N两点，求MN  ； (2)已知C-9,0  ，D-1,0  PD ，设P为圆O上任意一点，证明： 为定值. PC x2 y2 4326 (2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测)已知A，B分别是椭圆C： + = a2 b2 1a>b>0  的右顶点和上顶点，AB  1 = 5，直线AB的斜率为- . 2 (1)求椭圆的方程； (2)直线l⎳AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于点C，D. (i)求△OCM的面积与△ODN的面积之比； (ⅱ)证明：CM  2+MD  2为定值. 4327 (2024·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中)已知圆C过点A1,2  ，B2,1  ，且圆心 C在直线y=-x上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点. (1)求圆C的方程； (2)若点P的坐标为0,-3  ，求证：无论l的位置如何变化PM  ⋅PN  恒为定值； (3)对于(2)中的定值，使PM  ⋅PN  恒为该定值的点P是否唯一？若唯一，请给予证明； 第 页 共 页 803 1043若不唯一，写出满足条件的点P的集合. 4328 (2024·云南·校联考模拟预测)已知点M到定点F3,0  25 的距离和它到直线l：x= 的 3 3 距离的比是常数 ． 5 (1)求点M的轨迹C的方程； (2)若直线l：y=kx+m与圆x2+y2=16相切，切点N在第四象限，直线l与曲线C交于 A，B两点，求证：△FAB的周长为定值． 7 题型七：直线过定点 x2 y2 4329 (2024·全国·高三专题练习)已知F,F 分别为椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦 1 2 a2 b2 点，过点F(-1,0)且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，△ABF 的周长为8. 1 2 12 2 (1)若△ABF 的面积为 ，求直线AB的方程； 2 7 (2)过A,B两点分别作直线x=-4的垂线，垂足分别是E,F，证明：直线EB与AF交于定 点. x2 y2 4330 (2024·江西南昌·高三校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的离心率为 3 ，左、右焦点分别为F，F，点P为椭圆C上任意一点，△PFF 面积最大值为 3. 2 1 2 1 2 (1)求椭圆C的方程； (2)过x轴上一点F1,0  的直线与椭圆交于A,B两点，过A,B分别作直线l:x=a2的垂 线，垂足为M，N两点，证明：直线AN，BM交于一定点，并求出该定点坐标. x2 4331 (2024·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中)在平面直角坐标系中，椭圆C： + a2 y2 5 3 =1(a>b>0)过点 , b2 2 2  2 5 ，离心率为 . 5 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点K(2，0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x a2 = 的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A ，B ，试问直线AB 与AB的交点 c 1 1 1 1 是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. x2 y2 4332 (2024·甘肃天水·高二统考期末)已知椭圆E: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点分别 2 2 为F,F，离心率e= ，点P1, 1 2 2 2  在E上． (1)求E的方程； (2)过点F 作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M， 2 N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点． x2 4333 (2024·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： + a2 第 页 共 页 804 1043y2 =1a>b>0 b2      的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，AF=3FB，AF⋅FB =3． (1)求椭圆C的方程； (2)不过点A的直线 l交椭圆C于M、N两点，记直线 l、AM、AN的斜率分别为k、 k 1 、k 2 .若kk 1 +k 2  =1，证明直线 l过定点，并求出定点的坐标． x2 y2 4334 (2024·全国·高三专题练习)已知A、B分别为椭圆E∶ + =1(a>b>0)的右顶点 a2 b2 2 2 和上顶点、椭圆的离心率为 ，F、F 为椭圆的左、右焦点，点P是线段AB上任意一 3 1 2   71 点，且PF ⋅PF 的最小值为- . 1 2 10 (1)求椭圆E的方程； 3 2 3 2 (2)若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点 , 2 2  处的切线，点M是直线l上任一点， 过点M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线 GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. x2 y2 4335 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的右顶点是M(2，0)，离 1 心率为 ． 2 (1)求椭圆C的标准方程． (2)过点T(4，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D， 问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 8 题型八：动点在定直线上 4336 (2024·江苏南通·高二校考阶段练习)已知B-1,0  ,C1,0  为△ABC的两个顶点，P为 △ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之和为6. (1)求点P的轨迹T的方程. (2)已知点N-3,0  ,E-2,0  ,F2,0  ，直线PN与曲线T的另一个公共点为Q，直线EP 与FQ交于点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不 是，请说明理由. x2 4337 (2024·上海·高二专题练习)已知双曲线 -y2=1的两焦点为F,F，P为动点，若 2 1 2 PF 1  +PF 2  =4. (1)求动点P的轨迹E方程； (2)若A(-2,0),A (2,0)M(1,0)，设直线l过点M，且与轨迹E交于R、Q两点，直线AR 1 2 1 与A Q交于S点.试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这 2 条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由. 3 4338 (2024·全国·高二专题练习)已知椭圆C的离心率e= ，长轴的左、右端点分别为 2 A 1-2,0  ，A 22,0  (1)求椭圆C的方程； (2)设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线AP与A Q交于点S，试问：当m 1 2 变化时，点S是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不 第 页 共 页 805 1043是，请说明理由. x2 y2 4339 (2024·全国·高三专题练习)已知曲线E: + =1，直线l:y=x+m与曲线E交于y 6 3 轴右侧不同的两点A,B． (1)求m的取值范围； (2)已知点P的坐标为2,1  ，试问：△APB的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出 该直线方程；若不是，请说明理由． 4340 (2024·浙江台州·高二校联考期中)已知直线l：x=my+1与圆C：x2+y2-4x=0交于 A、B两点. (1)若m=1时，求弦AB的长度； (2)设圆C在点A处的切线为l ，在点B处的切线为l ，l 与l 的交点为Q.试探究：当m 1 2 1 2 变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 4341 (2024·全国·高二专题练习)已知直线l:x=my-1，圆C:x2+y2+4x=0. (1)证明：直线l与圆C相交； (2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程； (3)在(2)的条件下，设圆C在点A处的切线为l ，在点B处的切线为l ，l 与l 的交点为 1 2 1 2 Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是， 请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. x2 y2 4342 (2024·吉林四平·高二校考阶段练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右顶点分 3 别为M 、M ，短轴长为2 3，点C上的点P满足直线PM 、PM 的斜率之积为- ． 1 2 1 2 4 (1)求C的方程； (2)若过点1,0  且不与y轴垂直的直线l与C交于A、B两点，记直线MA、M B交于点 1 2 Q．探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． x2 y2 4343 (2024·高二课时练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)过点P2, 2 a2 b2  ，且离心率为 2 ． 2 (1)求椭圆C的方程； (2)记椭圆C的上下顶点分别为A,B，过点0,4  斜率为k的直线与椭圆C交于M,N两 点，证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程． 9 题型九：圆过定点 x2 y2 4344 (2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末)已知椭圆C： + =1(a>b>0) a2 b2 2 的离心率e= ，左、右焦点分别为F,F，抛物线y2=4 2x的焦点F恰好是该椭圆的一 2 1 2 个顶点. (1)求椭圆C的方程； 2 (2)已知圆M：x2+y2= 的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于A,B两 3 点，求证：以AB为直径的圆是否经过坐标原点. 第 页 共 页 806 1043x2 y2 2 4345 (2024·四川宜宾·校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率e= ， a2 b2 2 左、右焦点分别为F、F，抛物线y2=4 2x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点. 1 2 (1)求椭圆C的方程； 2 (2)已知圆M:x2+y2= 的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于A、B两 3 点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理 由. x2 y2 4346 (2024·辽宁葫芦岛·统考二模)已知直线l:x-y+1=0过椭圆C: + =1(b>0) 1 4 b2 的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切. (1)求椭圆C及抛物线M的标准方程; (2)直线l 过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过 2 右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存 在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由. 4347 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x=4的距离等于 点M到点D(1,0)的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； 1 3 (2)已知斜率为 的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点P1, 2 2  ，设 直线PA、PB的斜率分别为k 、k ，求k +k 的值； PA PB PA PB (3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以EF为直径的圆 恰过Q点，试判断直线EF是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点， 请说明理由． 4348 (2024·广西·高三象州县中学校考阶段练习)在直角坐标系xOy中，动点M到定点F(1, 0)的距离比到y轴的距离大1． (1)求动点M的轨迹方程； (2)当x≥0时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线 OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若 是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． x2 y2 4349 (2024·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期末)已知双曲线C： - = a2 b2 1a>0,b>0  经过点A2,0  2 21 ，且点A到C的渐近线的距离为 ． 7 (1)求双曲线C的方程； (2)过点4,0  作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M，N两点，直线x=4分别交直线 AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点 坐标；反之，请说明理由． 10 题型十：角度定值 x2 y2 4350 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  上的点到它的两个焦点 的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C 的左、右顶点. (1)求圆O和椭圆C的方程； 第 页 共 页 807 1043(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点(P，Q位于y轴两侧)，且直线PQ与x轴平 行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：∠MQN为定值. x2 y2 4351 (2024·北京·高三北京八中校考期中)已知椭圆C: + =1(a>b>0)上的点到它的 a2 b2 两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别 是椭圆C的左、右顶点． (1)求圆O和椭圆C的方程． (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点(P，Q位于y轴两侧)，且直线PQ与x轴平 行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值． 4352 (2024·全国·高三专题练习)已知点F-2，0  x2 y2 是椭圆E： + =1(a>b>0)的左焦 a2 b2 10 点，过F且垂直x轴的直线l交E于P，Q，且|PQ|= . 3 (1)求椭圆E的方程； (2)四边形ABCD(A，D在x轴上方)的四个顶点都在椭圆E上，对角线AC，BD恰好交 于点F，若直线AD，BC分别与直线l交于M，N，且O为坐标原点，求证：∠MOF= ∠NOF． 4353 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图3所示，点F，A分别为椭圆E: 1 x2 y2 + =1(a>b>0)的左焦点和右顶点，点F为抛物线C:y2=16x的焦点，且OF= a2 b2 2OA=4OF(O为坐标原点). 1 (1)求椭圆E的方程； (2)过点F 作直线l交椭圆E于B，D两点，连接AB，AD并延长交抛物线的准线于点 1 M，N，求证：∠MFN为定值. 1 4354 (2024·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中)已知圆F:(x-2 3)2+y2=64，N为圆上一动 2 点，F(-2 3,0)，若线段NF 的垂直平分线交NF 于点M. 1 1 2 (1)求动点M的轨迹方程E; (2)如图，点P(2, 3),Q(2,- 3)在曲线E上，A, B是曲线E上位于直线PQ两侧的 第 页 共 页 808 1043动点，当A, B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线A B的斜率是否为定值，请 说明理由. 4355 (2024·广东阳江·高三统考开学考试)已知A2,0  ，B-2,0  x2 y2 分别是椭圆C: + = a2 b2 1a>b>0  长轴的两个端点，C的焦距为2．M3,0  4 ，N ,0 3  ，P是椭圆C上异于A， B的动点，直线PM与C的另一交点为D，直线PN与C的另一交点为E． (1)求椭圆C的方程； (2)证明：直线DE的倾斜角为定值． 4356 (2024·陕西榆林·高二校考阶段练习)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y 轴，且过A2,-1  6 ，B- 2, 2  两点. (1)求E的方程； 8 (2)若直线l与圆O：x2+y2= 相切，且直线l交E于M，N两点，试判断∠MON是否为 5 定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第 页 共 页 809 1043