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第 20 讲 三次函数的图象和性质
知识梳理
1、基本性质
设三次函数为： ( 、 、 、 且 )，其基本性质有：
性质1：①定义域为 ．②值域为 ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③
单调性和图像：
图像
性质2：三次方程 的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数
来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数: ，
判别式为：△= ，设 的两根为 、 ，结合函数草图
易得：
(1) 若 ，则 恰有一个实根；
(2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根；
(3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根；
(4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根.
说明:(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即
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在 R 上为单调函数（或两极值同号），所以 （或 ，且
）;
(5) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之
一为切点，所以 ，且 ;
(6) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 .
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； ；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 对称轴为 ，所以对称中心的横坐标
也就是导函数的对称轴，可见， 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，
且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
（2） 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关
于直线
对称.
（3）若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.
（4）已知三次函数 的对称中心横坐标为 ，若 存在两
个极值点 ， ，则有 .
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必考题型全归纳
题型一：三次函数的零点问题
例1．（2024·全国·高三专题练习）函数 存在3个零点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
例2．（2024·江苏扬州·高三校考阶段练习）设 为实数，函数 ．
（1）求 的极值；
（2）是否存在实数 ，使得方程 恰好有两个实数根?若存在，求出实数 的值；
若不存在，请说明理由．
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【解析】（1） ，令 ，得 或 ．
∵当 时， ；当 时， ；当 时， ．
所以 在 上递减，在 上递增，在 上递减，
的极小值为 ，极大值为 ．
（2）由（1）知， 在 上递减，在 上递增，在 上递减，
而 ，即函数的极大值大于极小值．
∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线 与 轴恰好有两个交点，即方程
恰好有两个实数根，如图1所示． ，即 ．
当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线 与 轴恰有两个交点，即方程
恰好有两个实数根，如图2所示． ，即 ．
综上所述，当 或 时，方程 恰好有两个实数根．
例3．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数
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，且 在 和 处取得极值.
(1)求函数 的解析式；
(2)设函数 ，若 有且仅有一个零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
因为 在 和 处取得极值，
所以 和 是方程 ＝0的两个根，
则 ，解得 ，经检验符合已知条件，
所以 ；
（2）由题意知 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
又 取足够大的正数时， ， 取足够小的负数时， ，
因此，为使曲线 与 轴有一个交点，结合 的单调性，
得： 或 ，
∴ 或 ，
即当 或 时，使得曲线 与 轴有一个交点.
变式1．（2024·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知 ，
.
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（1）当 ，求 的极值；
（2）当 ， ，设 ，求不等式 的解集；
（3）当 时，若函数 恰有两个零点，求 的值.
【解析】（1） ，∴ ， ， .
0
+ 0 - 0 +
-4
∴ 在 时，取极大值 .
在 时，取极小值-4.
（2） ，即 ，
设 ， ， 单调增函数，且 ，
∴不等式的解集为 .
（3） ， ，
. ， 单调递增， 单调递减， 单调递增，
而 ，所以至多一个零点，（舍去）.
. ， 单调增，所以至多一个零点，（舍去）.
. ， 单调递增， 单调递减， 单调递增，
而 ， ，∴ 在 上有一个零点，
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所以 在 上有一个零点，根据 在 单调递增， 单调递减.
∴ .
变式2．（2024·河北保定·高三统考阶段练习）已知函数 .
（1）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（2）若 在 上有解，求 的取值范围；
（3）设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若函数 的零点
为 ，则点 恰好就是该函数 的对称中心.试求
的值.
【解析】（1）因为
所以所求切线的斜率
又因为切点为
所以所求的切线方程为
（2）因为 ，所以
因为 在 上有解，
所以 不小于 在区间 上的最小值.
因为 时， ，
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所以 的取值范围是 .
（3）因为 ，所以 .
令 可得 ，
所以函数 的对称中心为 ，
即如果 ，则 ，
所以 .
变式3．（2024·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数
过点 ，且函数 在点 处的切线恰好是直线
.
(1)求函数 的解析式；
(2)设函数 ，若函数 在区间 上有两个零点，求实数 的
取值范围.
【解析】（1） ，
由题意可知： ；
（2）令 ，
设 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，
因为函数 在区间 上有两个零点，
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所以直线 与函数 的图象有两个交点，
故有 ，即实数 的取值范围为 .
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围．
【解析】（1） ， ，
因函数 在 上单调递增，
所以 在 恒成立，即 ，
的最小值为 ．
（2） ，
， ．
①若 ，则 ， 在 上恒成立，
在 上单调递增． ， ，
当 时，函数 的图象与 轴有且只有一个交点．
②若 ，则 ，
有两个不相等的实数根，不妨设为 ， ， ．
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， ．
当 变化时， ， 的取值情况如下表：
0 0
增 极大值 减 极小值 增
， ，
，
同理 ，
．
因为 有且只有一个零点，故 ，解得 ．
故当 时，函数 的图象与 轴有且只有一个交点．
综上所述， 的取值范围是 ．
题型二：三次函数的最值、极值问题
例4．（2024·云南·高三统考期末）已知函数 ， .
（1）若函数 在 上存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
（2）设 .若 ， 在 上的最小值为 ，求 的零点.
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【解析】（1）∵ 在 上存在单调递增区间，∴ 在
上有解，
又 是对称轴为 的二次函数，所以 在 上的最大值大于0，
而 的最大值为 ，∴ ，
解得： .
（2） ，
∴ ，
由 得： ， ，
则 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
又∵当 时， ， ，
∴ 在 上的最大值点为 ，最小值为 或 ，
而 ，
当 ，即 时， ，得 ，
此时， 的零点为 ；
当 ，即 时， ，得 （舍）.
综上 的零点为 .
例5．（2024·高三课时练习）已知函数 ， .
（1）若函数 在 上存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
（2）设 .若 ， 在 上的最小值为 ，求 在 上
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取得最大值时，对应的 值.
【解析】（1）∵ 在 上存在单调递增区间，
∴ 在 上有解，
即 在 上成立，
而 的最大值为 ，
∴ ，
解得： .
（2） ，
∴ ，
由 得： ， ，
则 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
又∵当 时， ， ，
∴ 在 上的最大值点为 ，最小值为 或 ，
而 ，
当 ，即 时， ，得 ，
此时，最大值点 ；
当 ，即 时， ，得 （舍）.
综上 在 上的最大值点为 .
例6．（2024·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考期中）已知函数f(x)=
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，其中a>0.
(1)当a=1时，求f(x)的单调增区间；
(2)若曲线y=f(x)在点 处的切线与y轴的交点为（0，b），求b+ 的最小值.
【解析】(1)当a=1时， ，
令 ，得 或 ，
故 的增区间为 ， .
(2) ，则 ，而 ，
故曲线 在 的切线方程为：
，
它与 轴的交点为 ，故 ，
故 ，其中 ，
设 ，则 ，
当 时， ； 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 即 的最小值为 .
变式5．（2024·广东珠海·高三校联考期中）已知函数 （a，
），其图象在点 处的切线方程为 ．
(1)求a，b的值；
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(2)求函数 的单调区间和极值；
(3)求函数 在区间 上的最大值．
【解析】（1） ， ，
，
又图象在点 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）得 ， ，
或 时， ， 时， ，
所以 的增区间是 和 ，减区间是 ，
极大值是 ，极小值是 ；
（3）由（2）知 在 和 上递增，在 上单调递减，
又 ， ，
所以 在 上的最大值是 ，最小值是 ．
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，且 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 上的最大值．
【解析】（1）由 得 ，
，解得
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，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
（2）由（1），令 得 或 ，令 得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
函数 在区间 上的最大值为
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上是增函
数，在 上是减函数，且 的一个根为
（1）求 的值；
（2）求证： 还有不同于 的实根 、 ，且 、 、 成等差数列；
（3）若函数 的极大值小于 ，求 的取值范围
【解析】（1） ，
由题意，可知 是极大值点，故 .
（2）令 ，得 或 ,
由 的单调性知 ，
是方程 的一个根，
则 ，
，
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方程 的根的判别式，
，
又 ，（ ）
即 不是方程 的根
有不同于 的根 、 ，
， 、 、 成等差数列.
（3）根据函数的单调性可知 是极大值点,
，于是 ,
令 ，
求导 ，
时， ，
在 上单调递减，
，
即 .
变式8．（2024·浙江宁波·高三效实中学校考期中）已知函数
(其中 ).
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 有两个不同的极值点 ， ，求 的取值范围.
【解析】（1） ,
①当 即 时， ， 在 上单调递增；
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②当 时， ， ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
(2) ， 为 ( )的两根，
，
设 ( )
，
当 时，
在 上单调递减
，即 .
题型三：三次函数的单调性问题
例7．（2024·陕西商洛·高三校考阶段练习）已知三次函数
在R上是增函数，则m的取值范围是( )
A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．2≤m≤4
【答案】D
【解析】 ，由题意得
恒成立，
， ，故选D.
例8．（2024·全国·高三专题练习）三次函数 在 上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】A
【解析】对函数 求导，得
因为函数 在 上是减函数，则 在 上恒成立，
即 恒成立，
当 ，即 时， 恒成立；
当 ，即 时， ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ；
又因为当 时， 不是三次函数，不满足题意，
所以 .
故选：A．
例9．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数 ， ，
m是实数.
（1）若 在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下,函数 有三个零点，求m的取值范围.
【解析】(1) ，因为 在区间 为增函数,
所以 在区间 恒成立,
所以 ,即 恒成立,由 ,得 .
所以 的取值范围是 .
(2) ，
所以 ,令 ,解得 或 ,
时, , 在 上是增函数,不合题意,
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时,令 ,解得 或 ,令 ,解得 ,
所以 在 递增,在 递减,
所以 极大值为 , 极小值为 ,
要使 有3个零点,需 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
变式9．（2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知三次函数 在
处取得极值，且在 点处的切线与直线 平行.
（1）求 的解析式；
（2）若函数 在区间(1，2)上单调递增，求 的取值范围.
【解析】（1） ，由题意 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1） ， ，
在 是递增，则 在 上恒成立，
， 时， ，所以 ．
变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递增，
则 的取值范围为______．
f ( x)
【答案】
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【解析】①当 对任意的 恒成立时，则 ，
则 ， 对任意的 恒成立，
则 ，此时 ；
②当 对任意的 恒成立时，则 ，
则 ， 对任意的 恒成立，
则 ，此时 不存在；
③当 时， ，则 ，
当 时， 恒成立，则 ；
当 时， 恒成立，则 ，可得 ，解得
，
此时 .
f ( x)
综上所述，实数 的的取值范围为 .
f ( x)
故答案为： .
题型四：三次函数的切线问题
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例10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 ， 处的切线方程；
(2)设常数 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，求 的取值范围．
【解析】（1） 函数 ， ．
切线方程为 ，即 ．
（2）由已知关于 的方程 ，即 有三个不等实根．
令 ，则 ．
可知 在 递减，在 递增，在 递减，
的极小值为： ，极大值为 ．
所以 .
例11．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，若过点 可作曲线 的三条切线，证明: .
【解析】（1） 则在点 处的切线方程为
整理得
（2）
构造函数 ，
即 过点 可做曲线 的三条切线等价于
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函数 有三个不同的零点.
，故函数 在 上单调递减， 上单调递增， 上
单调递减，
所以 ，即 可得
例12．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数 ，
满足 ，已知点 是曲线 上任意一点，曲线在 处的切线为 .
(1)求切线 的倾斜角 的取值范围；
(2)若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，则
，
解得 ，所以 ，
则 ，故 ， ，
， ， ， 切线 的倾斜角的 的取值范围是 ， ， .
（2）设曲线 与过点 ， 的切线相切于点 ，
则切线的斜率为 ，所以切线方程为
因为点 ， 在切线上，
所以 ，即 ，
由题意，该方程有三解
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设 ，则 ，令 ，解得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
故 的极小值为 ，极大值为 ，
所以实数 的取值范围是 .
变式11．（2024·安徽·高三校联考期末）已知函数 在 处取
得极值．
（1）求m的值；
（2）若过 可作曲线 的三条切线，求t的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，所以 ．
经验证 符合题意；
（2）设切点坐标为 ，
由 ，得 ，
所以方程为 ，
将 代入切线方程，得 ．
令 ，则 ，
则 ，解得 ．
当 或 时， ，
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所以 在 ， 上单调递增；
当 时， ，
所以 在 上单调递减．
所以 的极大值为 ， 的极小值为 ．
因为有三条切线，所以方程 有三个不同的解，
与 的图象有三个不同的交点，
所以 ．
变式12．（2024·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数 在点 处的
切线方程为 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ，
由 在点 处的切线方程为 ，
得 ， ，故 ，故 ，
（2）由（1）得 ，
过点 向曲线 做切线，设切点为 ，
则切线方程为 ．
因为切线过 ，故 ，
整理得到： ，
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∵过点 可做曲线 的三条切线，
故方程 有3个不同的解.
记 ， ．
∴当 时， 有极大值 ，当 时， 有极小值 ．
故当 ，即 时，函数 有3个不同零点．
∴实数 的取值范围是 ．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）设函数 在 处取得极
值 ．
(1)设点 ，求证：过点 的切线有且只有一条，并求出该切线方程；
(2)若过点 可作曲线 的三条切线，求 的取值范围；
(3)设曲线 在点 、 处的切线都过点 ，证明：
．
【解析】（1）证明：由 ，得： ，
由题意可得 ，所以， ．
此时， ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以，函数 在 处取得极大值 ．
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设切点为 ，则切线方程为 ，
即 ，
即为 ，
将点 的坐标代入方程可得 ，
即 ，所以 ，即点 为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条．
所以切线方程为 .
（2）因为切线方程为 ，
把点 的坐标代入切线方程可得 ，
因为有三条切线，故方程得 有三个不同的实根．
设 ，
，令 ，可得 和 ．
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
所以，函数 在 处取得极大值，且 ，
函数 在 处取得极小值，且 ，
因为方程 有三个根，则 ，解得 ，
因为 ， ，
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由零点存在定理可知，函数 有三个零点，
综上所述， ．
（3）证明：假设 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ．
由（2）可得 ，两式相减可得 ．
因为 ，故 ．
把 代入上式可得， ，
所以 ， ，所以 ．
又由 ，这与 矛盾．
所以假设不成立，即证得 ．
题型五：三次函数的对称问题
例13．（2024·全国·高三专题练习）给出定义：设 是函数 的导函数，
是函数 的导函数.若方程 有实数解 ，则称 为函数
的“拐点”.经研究发现所有的三次函数 都有“拐
点”，且该“拐点”也是函数 的图象的对称中心.若函数 ，则
（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【解析】由 ，可得 ，
令 ，可得 ，又 ，
所以 的图像的对称中心为 ，
即 ，
所以
，
故选：B.
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的图象 上存在一定点 满足：
若过点 的直线 与曲线 交于不同于 的两点 ，就恒有 的定值
为 ，则 的值为______.
【答案】2
【解析】因为 为定点， 为定值，所以 两点关于点 对称，
由 可得 ，
设 ，
令 ，解得 ，
所以根据三次函数的对称中心的二阶导数为0可得 是三次函数 的对称
中心，
所以 ，即 .
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故答案为：2
例15．（2024·新疆·统考二模）对于三次函数 ，给出定义：
设 是 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称
点 为曲线 的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设
函数 ，则 _____________.
【答案】－3033
【解析】因为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
令 ，可得 ，
又
，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
变式14．（多选题）（2024·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期末）对于三次函
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数 ，给出定义： 是函数 的导数， 是函
数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐
点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中
心，且“拐点”就是对称中心.若函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的极大值为
B． 有且仅有2个零点
C．点 是 的对称中心
D．
【答案】ACD
【解析】由函数 ，可得 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 单调递增，
当 时， 取得极大值，极大值为 ，所以A正确；
又由极小值 ，且当 时， ，
当 时， ，所以函数 有3个零点，所以B错误；
由 ，可得 ，令 ，可得 ，
又由 ，所以点 是函数 的对称中心，
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所以C正确；
因为 是函数 的对称中心，所以 ，
令 ，
可得 ，
所以
，
所以 ，即 ，
所以D正确.
故选：ACD.
变式15．（多选题）（2024·广东佛山·高三南海中学校考期中）定义：设 是 的
导函数， 是函数 的导数.若方程 有实数解 ，则称点 为函
数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三
次函数图像的对称中心，已知函数 的对称中心为 ，则下列
说法中正确的有（ ）
A． ，
B．函数 有三个零点
C．过 可以作两条直线与 图像相切
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D．若函数 在区间 上有最大值，则
【答案】ACD
【解析】对于A中，由 ，可得 ，则 ，
因为点 是对称中心，结合题设中“拐点”的定义可知，
且 ，解得 ，所以A正确；
对于B中，由 ，可知 ，则 ，
令 ，可得 或 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
又 ，则函数 图象如图所示，
由图象可知，函数 只有一个零点，所以B错误；
对于C中，因为 ，所以点 恰好在 的图象上，
画出函数 的切线，如图所示，
由图象可知过点 可作函数 的两条切线，所以C正确；
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对于D中，若 在区间 上有最大值，由上图可知，最大值只能是 ，
所以 且 ，解得 ，所以D正确.
故选：ACD.
变式16．（多选题）（2024·安徽阜阳·高三安徽省太和中学校考竞赛）定义：设 是
的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点
为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且
“拐点”就是三次函数图像的对称中心.已知函数 的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ，
B． 的值是199.
C．函数 有三个零点
D．过 可以作三条直线与 图像相切
【答案】AB
【解析】因为 ，所以 ，
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从而 ，由题意 ，即 ，解得 ，故A正确；
因为函数 的对称中心为 ，
所以有 ，
设 ，
所以有 ，
得， ，所以
即 的值是199.故B正确；
因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 在 与 处取得极大值与极小值，
又 ， ，即 的极大值与极小值大于0，
所以函数不会有3个零点，故C错误；
设切点为 ，则切线方程为 ，
又切线过 ，则 ，
化简得 ，即 ，解得 或 ，
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即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D错误.
故选：AB.
题型六：三次函数的综合问题
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上是增函数，
在 上是减函数，且方程 有3个实数根，它们分别是 ， ，2，则 的
最小值是（ ）
A．5 B．6 C．1 D．8
【答案】A
【解析】由 得 ，因为 在 上是增函数，
在 上是减函数，所以 ，所以 ，此时 的另外一个根 ，
所以 ，因为方程 有3个实数根，它们分别是 ， ，2，所以 ，所
以
且 ，
所以 则
所以 ，因为 ，所以 ，所
以 的最小值是5.
故选：A．
例17．（2024·陕西西安·高三西安中学校考期中）已知函数 ，
，给出下列四个结论，分别是：① ；② 在 上单调；③ 有唯
[在此处键入][在此处键入]
一零点；④存在 ，使得 ．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是
（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】 ，
假设①错误，则 ，因此二次函数 是开口向下的抛物线，
因此④一定正确，当 时，即 时，②成立，当 时，
，当 时， ，所以③ 有唯一零点正确；
假设②错误，则 在 上不单调，所以有 ，即 ，两根为：
，显然④正确，要想①正确，二次函数
是开口向上的抛物线，所以函数 从左到右先增后减再增，
要想③正确，只需 或 ，比如当 时可以使①③正确；
假设③错误，则 在 上单调，且 ，因此 ，所以④也错误；
假设④错误，则 ，因此② 在 上单调递增，显然此时有 ，
当 时， ，当 时， ，
所以③ 有唯一零点正确，
故选：C
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，且
，现给出如下结论：
① ；② ；③ ；
[在此处键入][在此处键入]
④ ；⑤ ．
其中正确结论的序号是__．
【答案】③④⑤
【解析】求导函数可得 ，
当 时， ；当 ，或 时， ，
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
所以 的极大值为 ，
的极小值为 ，函数没有最值，
要使 有三个解 、 、 ，那么结合函数 草图可知： ，
所以 ，且 ，所以 ，
， ， ，故①②错误；③④⑤正确.
故答案为：③④⑤．
变式17．（2024·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）已知
，现给出如下结论：
① ； ② ； ③ ； ④ .
其中正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①③
【答案】A
[在此处键入][在此处键入]
【解析】分析：先求出f′（x），再进行因式分解，求出f′（x）＜0和f′（x）＞0对应x的
范围，即求出函数的单调区间和极值，再由条件判断出a、b、c的具体范围和f（1）＞0且
f（2）＜0，进行求解得到abc的符号，进行判断出f（0）的符号．
由题意得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），
∴当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞），减区间是（1，2），
∴函数的极大值是f（1）= ，函数的极小值是f（2）=2﹣abc，
∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，
∴a＜1＜b＜2＜c，f（1）＞0且f（2）＜0，解得2＜ ，
∴f（0）=﹣abc＜0，
则f（0）f（1）＜0、f（0）f（2）＞0，
故答案为：A．
变式18．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）函数 的图象关于坐标原点成中心对
称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.已知函数
.
(1)若函数 的对称中心为 ，求函数 的解析式.
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元 次复系数多项式 在复数集中可以分解
为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）.如设实
系数一元二次方程 ，在复数集内的根为 ， ，则方程
可变形为 ，展开得： 则有
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，即 ，
类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系，
①若 ，方程 在复数集内的根为 、 、 ，当 时，求 的
最大值；
②若 ，函数 的零点分别为 、 、 ，求 的值.
【解析】（1） 为奇函数，则 恒成立.
即 ，
整理得： 恒成立，故 ，解得 ，
故 .
（2）①若 ，则 ，由题有 的三个实根为 ， ， .
设 ，
展开得 ，
故 ，
则 ，
又 ，故 ，
综上：当 时， 的最大值为0；
② 时， ，由 有 ，
[在此处键入][在此处键入]
同时除以 得 ，令 ， ， ，
由题知 是方程 的三个根，
则 ，展开得 ，
则 .
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上为增函
数，在 上为减函数，且方程 的三个根分别为 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）求 的取值范围．
【解析】（1）求导函数得 ，
由题设 两根为 ，则 ，所以 .
（2）由（1）和条件得 , ，则 ，
所以
所以 是方程 的两根，
所以 ，解得 ，又 ，
所以
所以 .
所以 的范围是 .
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变式20．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）给出定义：设 是函数
的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称
为函数 的.“固点”.经研究发现所有的三次函数
都有“固点”，且该“固点”也是函数 的图象的对称中心.根据以上信息和
相关知识回答下列问题：已知函数 .
(1)当 时，试求 的对称中心.
(2)讨论 的单调性；
(3)当 时， 有三个不相等的实数根 ，当 取得最大值时，求
的值.
【解析】（1） ， ， ，
令 ， ， ，
故 的对称中心为 .
（2） ，
令 ，则 ， ，
当 时， ， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，在 ， 上， ，函数 在 ，
上单调递增，在 上， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，在 ， 上， ，函数 在 ，
[在此处键入][在此处键入]
上单调递增，在 上， ，函数 在 上单调递减.
综上所述：
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（3） ， ，
令 ， ， ，所以对称中心为 ，
当 和 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
；
，
要使得 有三个解，故 ， ，
且 ， ， 是方程 的根，
由于对称性，为了简化研究，只研究 的情况，
，
根据常数项知： ，根据对称性知： ，
，且 ，
故 ，即 ，
.
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当 时， 取得最大值 ，此时 .
题型七：三次函数恒成立问题
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知三次函数 的导函数 且
， ．
（1）求 的极值；
（2）求证：对任意 ，都有 ．
【解析】（I）由题意，令 且 所以 由
的单调性可知 的极小值为 极大值为
（II） 且 从而问题转化为
在
上恒成立.
试题解析：
（I）依题意得 ，
知 在 和 上是减函数，在 上是增函数
∴ ，
（II）法1：易得 时， ，
依题意知，只要
由 知，只要
令 ，则
注意到 ，当 时， ；当 时， ，
[在此处键入][在此处键入]
即 在 上是减函数，在 是增函数，
即 ，综上知对任意 ，都有
法2：易得 时， ，
由 知, ,令
则
注意到 ，当 时， ；当 时， ，
即 在 上是减函数，在 是增函数， ，所以 ,
即 .
综上知对任意 ，都有 .
法3: 易得 时， ，
由 知, ,令 ,则
令 ,则 ,知 在 递增,注意到 ,所以,
在 上是减函数，在 是增函数,有 ,即
综上知对任意 ，都有 .
例20．（2024·全国·高三专题练习）设 为实数，函数 ， .
(1)求 的极值；
(2)对于 ， ，都有 ，试求实数 的取值范围.
【解析】(1)函数 的定义域为 ， ，
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令 ，可得 或 ，列表如下：
极小
增 极大值 减 增
值
故函数 的极大值为 ，极小值为 .
(2)对于 ， ，都有 ，则 .
由（1）可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， ，
因为 ，且 ，则 且 不恒为零，
故函数 在 上单调递增，故 ，
由题意可得 ，故 .
例21．（2024·四川泸州·高三泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知三次函数
．
（1）若函数 在点 处的切线方程是 ，求函数 的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间 上任意两个自变量的值 ， ，都有
，求出实数 的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 在点 处的切线方程是 ，
[在此处键入][在此处键入]
可得 ，解得 ， ，所以 ．
（2）由（1）知 ，令 ，即 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ；当
时， ；
所以 在 和 上分别单调递增，在 上单调递减，
而 ， ， ， ，
所以在区间 上 ， ，
所以对于区间 上任意两个自变量 ， ，
都有 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 ．
变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，
为函数 的导函数
(1)若 为函数 的极值点，求实数 的值；
(2) 的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数 的取值范围；
(3)对任意 时，任意实数 ，都有 恒成立，
求实数 的最大值.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
因为 为函数 的极值点，
所以 ，解得 或 ；
[在此处键入][在此处键入]
当 时， ，则 ，
所以，当 时 ，函数 单调递增，当 或 时 ，函数
单调递减，故函数在 处取得极小值，符合题意；
当 时， ，则 ，
所以，当 时 ，函数 单调递增，当 或 时 ，函数
单调递减，故函数在 处取得极小值，符合题意；
综上， 或 ．
（2） ，
因为， 的单调增区间内有且只有两个整数，
所以，有且只有两个整数满足不等式 ，即有且只有两个整数满足不等式
，
显然 ，
当 时，解得 ，即不等式的解集为 ，
所以 ，解得 ；
当 时，解得 ，即不等式的解集为 ，
所以 ，解得 ；
综上可得
[在此处键入][在此处键入]
（3）因为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 或 ，
因为 ，所以 ， ，
所以当 ， 和 ， 时， ，函数 单调递减，当 时，
，函数 单调递增，
所以函数 的极小值为 ，
又 ，
令 ， 在 上成立，
所以，当 时，函数 单调递增，故 ，
所以 ，
即当 ， 时， ，
又
其对应函数图像的对称轴为 ，
所以 时， ，
所以 ，故有 ，
[在此处键入][在此处键入]
所以， ， ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，即实数 的最大值为 .
变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，
．
(1)对任意 ，使得 是函数 在区间 上的最大值，试求最大的实数
．
(2)若 ，对于区间 的任意两个不相等的实数 、 ，且 ，都有
成立，求 的取值范围．
【解析】（1） 是函数 在区间 上的最大值， 区间
恒成立，
即 在区间 上恒成立，
又 ，所以只需 在区间 上恒成立，
，函数 的对称轴为
只需 对一切 恒成立，
记 ，关于a的单调递减的一次函数，
只需 ，解得 ，
最大的实数 为2．
（2）当 ， ，求导
[在此处键入][在此处键入]
函数 在区间 上是减函数，
， 成立，
成立，
即 ， ，
构造函数 和 在区间 上是减函数．
所以 ，即 在区间 上恒成立，
利用二次函数的性质知 的最大值为
，即 ；
同理 ，即 在区间 上恒成立，
利用二次函数的性质知 的最大值为
，即 ；
， 不存在．
变式23．（2024·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考期中）已知函数 ，
是 上的奇函数，当 时， 取得极值 ．
(1)求函数 的单调区间和极大值；
(2)若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若对任意 ， ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 是 上的奇函数，
，即 ，得 恒成立，
可得 ，即 ，
又当 时， 取得极值 ， ，
[在此处键入][在此处键入]
解得 ，故函数 ，导函数 ，
令 解得 ，当 或 时， ，
当 时， ，
单调增区间为 和 ，单调减区间为 ，
故当 时， 取到极大值
（2） ，对任意 ，都有 成立，只需
在 时恒成立，
构造函数 ， ，则有 ，
令 可得 或 ，当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， 取到极大值 ，又 ，故 的最大值为8，
故实数 的取值范围为： ；
（3）若对任意 ， ，都有 成立，
即 在区间 上的最大值都小于或等于 的最小值，
由（1）可知：当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故当 时，函数 取到极小值，也是该区间的最小值 ，
而 为开口向上的抛物线，对称轴为 ，故当 时取最大值
[在此处键入][在此处键入]
，
由 ，解得
故实数 的取值范围为：
变式24．（2024·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知函数
，其中 ， .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 ，且 时，
（i）若 有两个极值点 ， ，求证： ；
（ii）若对任意的 ，都有 成立，求正实数 的最大值.
【解析】（1） ，
.
令 ，得 ， .
①当 ，即 时， ，
在 上递增；
②当 ，即 时，
在 ， 上递增，在 递减；
[在此处键入][在此处键入]
③当 ，即 时， 在 ， 上递增，在 上递减.
（2）（i）证明： ， .
由已知 ， 是方程 ，即 的两实根，
故 ，又 ，所以 .
由韦达定理得： ， ，
因为 ，
所以 ， .
.
设 ，
则
所以 递增，
故 ，即 .
（ii）当 时，不等式恒成立；
当 时，不等式 化为 .
设 ，
[在此处键入][在此处键入]
因为 ，
所以 在 上单调递减.
因为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 .
又 ，所以 ，
此时 .
变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值，
．
（1）求 的值与 的单调区间；
（2）设 ，已知函数 ，若对于任意 、 ， ，都有
，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由题意得 的定义域为 ， ，
函数 在 处取得极值，
（2） ，解得 ，
则由 得 或 ，
[在此处键入][在此处键入]
、 、 的关系如下表：
2
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
函数 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ；
（2）由（1）得函数 ，
当 时，对任意 、 ， ，都有 ，
即当 ， ，时， ，
在 ， 上单调递减， ， ， ，
在 ， 上单调递减，
则 ， ，
则 ，
即 ，解得 或 ，结合 ，得 ，
故实数 的取值范围为
[在此处键入]
