第09讲指数与指数函数_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第9讲 指数与指数函数
知识梳理
1、指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中(n>1，n∈N∗)，记为 na，n称为根
指数，a称为根底数．
(2)根式的性质：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于
底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
n个
①正整数指数幂an=a⋅a⋅a⋅⋯⋅a (n∈N∗)；②零指数幂a0=1 (a≠0)；
1
③负整数指数幂a-n= (a≠0，n∈N∗)；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数
an
幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①aman=am+n(a>0，m，n∈Q)；②(am)n=amn(a>0，m，n∈Q)；
m
③(ab)m=ambm(a>0，b>0，m∈Q)；④ nam=an(a>0，m，n∈Q)．
2、指数函数
y=ax
0<a<1 a>1
图象
性质 ①定义域R，值域(0，+∞)
②a0=1，即时x=0，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1；x>0时，0< x<0时，0<ax<1；x>0时，ax
ax<1 >1
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【解题方法总结】
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71 10431、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情形讨论．
(2)当0<a<1时，x→+∞，y→0；a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．
当a>1时x→+∞，y→0；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．
1 (3)指数函数y=ax与y=
a
 x 的图象关于y轴对称．
必考题型全归纳
1 题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
3 7
244 (2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测)
27

7+3
= ( )
1 3
A.9 B. C.3 D.
9 9
245 (2024·全国·高三专题练习)下列结论中，正确的是 ( )
4 3
A.设a>0,则a3⋅a4=a B.若m8=2，则m=±82
C.若a+a-1=3，则a2 1 +a - 2 1 =± 5 D. 4 2-π  4=2-π
9 246 (2024·全国·高三专题练习)
16
 -0.5 + (2-π)2+23  2 2 3×
3
 1 2 4×
3
 3 4= ( )
A.π B.2+π C.4-π D.6-π
247 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两人解关于x的方程2x+b⋅2-x+c=0，甲写错了常数
17
b，得到的根为x=-2或x=log ，乙写错了常数c，得到的根为x=0或x=1，则原方
2 4
程的根是 ( )
A.x=-2或x=log 3 B.x=-1或x=1
2
C.x=0或x=2 D.x=-1或x=2
248 (2024·全国·高三专题练习)若关于x的方程9x+3x+1-m+1=0有解，则实数m的取值
范围是 ( )
A. 1,+∞ 
5
B.  - ,+∞  4  C. -∞,3  D. 1,3 
1 249 (2024·上海青浦·统考一模)不等式2x2-2x-3<
2
 3(x-1) 的解集为 ．
250 (2024·全国·高三专题练习)不等式10x-6x-3x≥1的解集为 .
2 题型二：指数函数的图像及性质
251 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)函数fx 
a
=2x+ a∈R
2x
 的图象可能为 ( )
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72 1043A. B.
C. D.
252 (2024·全国·高三专题练习)已知f(x)= 3x2+2ax-a-1的定义域为R，则实数a的取值范围
是 ．
253 (2024·宁夏银川·校联考二模)已知函数fx  =4x-2x+2-1，x∈0,3  ，则其值域为
．
254 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =ax a>0,a≠1  在1,2  内的最大值是最小值
的两倍，且gx 
fx
=
  +1, x≥1 1
 ，则g
log x-1, 0<x<1 3
3
 +g2  =
255 (2024·全国·高三专题练习)函数y=(a-2)2ax是指数函数，则 ( )
A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a>0且a≠1
256 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =eax-b  2的大致图像如图，则实数a，b的取值只
可能是 ( )
A.a>0,b>1 B.a>0,0<b<1
C.a<0,b>1 D.a<0,0<b<1
257 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =ax-4+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，
若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny=4m>0,n>0 
1 2
，则 + 的最小值为
m n
( )
A.8 B.24 C.4 D.6
258 (多选题)(2024·浙江绍兴·统考模拟预测)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算
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73 1043法”使用的公式是P =P(1+k)n(k>-1)，其中P 为预测期人口数，P 为初期人口数，k
n 0 n 0
为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则 ( )
A.当k∈-1,0  ，则这期间人口数呈下降趋势
B.当k∈-1,0  ，则这期间人口数呈摆动变化
1
C.当k= ,P ≥2P 时，n的最小值为3
3 n 0
1 1
D.当k=- ,P ≤ P 时，n的最小值为3
3 n 2 0
259 (多选题)(2024·山东聊城·统考二模)已知函数fx 
2x
= ，则 ( )
2x+1
A.函数fx  是增函数
B.曲线y=fx 
1
关于0,
2
 对称
C.函数fx 
1
的值域为0,
2

D.曲线y=fx 
1
有且仅有两条斜率为 的切线
5
3 题型三：指数函数中的恒成立问题
260 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2x,x∈R，若不等式f2(x)+f(x)-m>0在
R上恒成立，则实数m的取值范围是 .
261 (2024·全国·高三专题练习)设fx 
2x-2-x
= ，当x∈R时，fx2+mx
2
 +f1  >0恒成
立，则实数m的取值范围是 .
262 (2024·全国·高三专题练习)已知不等式4x-a⋅2x+2>0，对于a∈(-∞,3]恒成立，则实
数x的取值范围是 ．
263 (2024·全国·高三专题练习)若x∈[-1,+∞)，不等式4x-m⋅2x+1>0恒成立，则实数
m的取值范围是 ．
264 (2024·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试)已知函数fx 
3x+b
= 是定义域为R的奇
3x+1
函数.
(1)求实数b的值，并证明fx  在R上单调递增；
(2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x 1 、x 2 ∈1,3  ，都有fx 1 
3
+ ≥ax2-2恒成立，求实 2
数a的取值范围.
4 题型四：指数函数的综合问题
265 (2024·全国·合肥一中校联考模拟预测)已知函数fx 
1 2 1
= + +1+ ，则
2x+2 4x-4 x-1
不等式f2x+3  >fx2  的解集为 ( )
A. -2,1  ∪1,+∞  B. -1,1  ∪3,+∞ 
1
C. - ,1
2
 ∪3,+∞  D. -3,1  ∪3,+∞ 
266 (2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)设fx 
1 1
=x +
2x-a 2
 .若函数y=
fx  的定义域为-∞,1  ∪1,+∞  ，则关于x的不等式ax≥fa  的解集为 .
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74 1043267 (2024·河南安阳·统考三模)已知函数fx 
2a-1
=b+ (a>0)的图象关于坐标原点对
2x-a
称，则a+b= .
268 (2024·江西景德镇·统考模拟预测)已知fx  是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，
fx  =ex，则满足fx+1  ≥f2 x  的x的取值范围是 ．
2
269 (2024·河南信阳·校联考模拟预测)已知实数a，b满足4a+2a=3，log 33b+1+b= ，
2 3
3
则a+ b= ．
2
270 (多选题)(2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模)点Mx 1 ,y 1  在函数y=ex的图象
上，当x 1 ∈0,1 
y +1
，则 1 可能等于 ( ) x -1
1
A.-1 B.-2 C.-3 D.0
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75 1043