文档内容
第9讲 指数与指数函数
知识梳理
1、指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中(n>1，n∈N∗)，记为 na，n称为根
指数，a称为根底数．
(2)根式的性质：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于
底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
n个
①正整数指数幂an=a⋅a⋅a⋅⋯⋅a (n∈N∗)；②零指数幂a0=1 (a≠0)；
1
③负整数指数幂a-n= (a≠0，n∈N∗)；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数
an
幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①aman=am+n(a>0，m，n∈Q)；②(am)n=amn(a>0，m，n∈Q)；
m
③(ab)m=ambm(a>0，b>0，m∈Q)；④ nam=an(a>0，m，n∈Q)．
2、指数函数
y=ax
01
图象
性质 ①定义域R，值域(0，+∞)
②a0=1，即时x=0，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1；x>0时，0< x<0时，00时，ax
ax<1 >1
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【解题方法总结】
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137 34271、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“a>1”和“01时x→+∞，y→0；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．
1 (3)指数函数y=ax与y=
a
x 的图象关于y轴对称．
必考题型全归纳
1 题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
3 7
244 (2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测)
27
7+3
= ( )
1 3
A.9 B. C.3 D.
9 9
【答案】B
3 7
【解析】
27
7+3 3 7
=
33
7+3
=3 7-3 7+3=3 7-3 7+3
1
=3-2= .
9
故选：B.
245 (2024·全国·高三专题练习)下列结论中，正确的是 ( )
4 3
A.设a>0,则a3⋅a4=a B.若m8=2，则m=±82
C.若a+a-1=3，则a2 1 +a - 2 1 =± 5 D. 4 2-π 4=2-π
【答案】B
4 3 4+3 25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得a3⋅a4=a3 4=a12≠a，选项A错误；
对于B，m8=2，故m=±82，选项B正确；
对于 C，a+ 1 =3，a2 1 +a - 2 1
a
2 =a+a-1+2=3+2=5，因为a>0，所以a2 1 +a - 2 1 =
5，选项C错误；
对于D，4 2-π 4=2-π =π-2，选项D错误.
故选：B．
9 246 (2024·全国·高三专题练习)
16
-0.5 + (2-π)2+23 2 2 3×
3
1 2 4×
3
3 4= ( )
A.π B.2+π C.4-π D.6-π
【答案】B
9 【解析】
16
-0.5 + (2-π)2+23 2 2 3×
3
1 2 4×
3
3 4 2 4= +π-2+4× =2+π.
3 3
故选：B
247 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两人解关于x的方程2x+b⋅2-x+c=0，甲写错了常数
17
b，得到的根为x=-2或x=log ，乙写错了常数c，得到的根为x=0或x=1，则原方
2 4
程的根是 ( )
A.x=-2或x=log 3 B.x=-1或x=1
2
C.x=0或x=2 D.x=-1或x=2
【答案】D
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138 3427【解析】令t=2x，则方程2x+b⋅2-x+c=0可化为t2+ct+b=0，甲写错了常数b，
1 17 1 17
所以 和 是方程t2+ct+m=0的两根，所以c=- +
4 4 4 4
9
=- ，
2
乙写错了常数c，所以1和2是方程t2+nt+b=0的两根，所以b=1×2=2，
9 1
则可得方程t2- t+2=0，解得t = ,t =4，
2 1 2 2
所以原方程的根是x=-1或x=2
故选：D
248 (2024·全国·高三专题练习)若关于x的方程9x+3x+1-m+1=0有解，则实数m的取值
范围是 ( )
A. 1,+∞
5
B. - ,+∞ 4 C. -∞,3 D. 1,3
【答案】A
【解析】方程9x+3x+1-m+1=0有解，
∴(3x)2+3×3x-m+1=0有解，
令3x=t>0，
则可化为t2+3t-m+1=0有正根，
则t2+3t=m-1在0,+∞ 有解，又当t∈0,+∞ 时，t2+3t>0
所以m-1>0⇒m>1，
故选：A．
1 249 (2024·上海青浦·统考一模)不等式2x2-2x-3<
2
3(x-1) 的解集为 ．
【答案】(-3,2)
1 【解析】函数y=2x在R上单调递增，则2x2-2x-3<
2
3(x-1) ⇔2x2-2x-3<2-3(x-1)⇔x2-2x
-3<-3(x-1)，
即x2+x-6<0，解得-3b，af(x)2-1 ，
∴t=2时，函数取得最小值，即gt =-5，t=8时，函数取得最大值，即gt
min
=31，
max
∴fx ∈-5,31 .
故答案为：-5,31 .
254 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =ax a>0,a≠1 在1,2 内的最大值是最小值
的两倍，且gx
fx
=
+1, x≥1 1
，则g
log x-1, 01时，函数fx 在1,2 内单调递增，
此时函数fx 的最大值为f2 =a2，最小值为f1 =a，
由题意得a2=2a，解得a=2，则gx
2x+1, x≥1
= ，
log x-1, 00且a≠1
【答案】C
【解析】由指数函数定义知(a-2)2=1，同时a>0，且a≠1，所以解得a=3.
故选：C
256 (2024·全国·高三专题练习)函数fx =eax-b 2的大致图像如图，则实数a，b的取值只
可能是 ( )
A.a>0,b>1 B.a>0,01 D.a<0,00，y=eax-b为增函数，
且x→+∞,y→+∞,f(x)→+∞，与图象不符，
若a<0，y=eax-b为减函数，
且x→+∞,y→-b,f(x)→b2，与图象相符，所以a<0，
当f(x)=0时，eax=b，
结合图象可知，此时x<0，所ax>0，则eax>e0=1，所以b>1，
故选:C.
257 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =ax-4+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，
若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny=4m>0,n>0
1 2
，则 + 的最小值为
m n
( )
A.8 B.24 C.4 D.6
【答案】C
【解析】因为函数fx =ax-4+1a>0,a≠1 图象恒过定点4,2
又点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny=4m>0,n>0 ，
所以4m+2n=4，
即2m+n=2
1 2 1
所以 + = 2m+n
m n 2
1 2
+
m n
1 4m n
= 4+ +
2 n m
1 4m n
≥ 4+2 ⋅
2 n m
=4，
4m n
当且仅当 = 即n=2m=1时取等号；
n m
1 2
所以 + 的最小值为4．
m n
故选：C．
258 (多选题)(2024·浙江绍兴·统考模拟预测)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算
法”使用的公式是P =P(1+k)n(k>-1)，其中P 为预测期人口数，P 为初期人口数，k
n 0 n 0
为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则 ( )
A.当k∈-1,0 ，则这期间人口数呈下降趋势
B.当k∈-1,0 ，则这期间人口数呈摆动变化
1
C.当k= ,P ≥2P 时，n的最小值为3
3 n 0
1 1
D.当k=- ,P ≤ P 时，n的最小值为3
3 n 2 0
【答案】AC
【解析】P >0,0<1+k<1，由指数函数的性质可知：P =P(1+k)n(k>-1)是关于n
0 n 0
的单调递减函数，
即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
1 4
k= ,P =P 3 n 0 3
n 4
≥2P，所以 0 3
n
≥2，所以n≥log 2n∈N 4
3
，
log 2∈2,3
4
3
，所以n的最小值为3，故C正确；
1 2
k=- ,P =P 3 n 0 3
n 1 2
≤ P，所以 2 0 3
n 1 1
≤ ，所以n≥log n∈N 2 2 2
3
，
1
log =log 2∈1,2
2 2 3
3 2
，所以n的最小值为2，故D不正确；
故选：AC.
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142 3427259 (多选题)(2024·山东聊城·统考二模)已知函数fx
2x
= ，则 ( )
2x+1
A.函数fx 是增函数
B.曲线y=fx
1
关于0,
2
对称
C.函数fx
1
的值域为0,
2
D.曲线y=fx
1
有且仅有两条斜率为 的切线
5
【答案】AB
【解析】根据题意可得fx
2x 1 1
= =1- ，易知y= 是减函数，
2x+1 2x+1 2x+1
所以fx
1
=1- 是增函数，即A正确；
2x+1
由题意可得f-x
2-x 1
= = ，所以f-x
2-x+1 2x+1
+fx
2x 1
= + =1，
2x+1 2x+1
即对于任意x∈R，满足f-x +fx =1，所以y=fx
1
关于0,
2
对称，即B正确；
由指数函数值域可得2x+1∈1,+∞
1
，所以 ∈0,1
2x+1
，即fx
1
=1- ∈0,1
2x+1
，
所以函数fx 的值域为0,1 ，所以C错误；
易知fx
2xln2
=
2x+1
，令fx
2
1
= ，整理可得2x
5
2-5ln2-2 ⋅2x+1=0，
令2x=t∈0,+∞ ，即t2-5ln2-2 t+1=0，
易知Δ=5ln2-2 2-4，又因为25=32<36<6.252=2.540在
R上恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】(-∞,0]．
【解析】令f(x)=t(t>0),H(t)=t2+t,t>0,
1
因为H(t)=t+
2
2 1
- 在区间(0,+∞)上是增函数，
4
所以H(t)>H(0)=0.
因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立，应有m≤0，即所求实数m的取值范围为
(-∞,0]．
故答案为：(-∞,0].
261 (2024·全国·高三专题练习)设fx
2x-2-x
= ，当x∈R时，fx2+mx
2
+f1 >0恒成
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143 3427立，则实数m的取值范围是 .
【答案】(-2,2)
2x-2-x 1 1 1 【解析】由函数f(x)= = ⋅(2x-2-x)= 2x-
2 2 2 2
x
，
1 ∵y =2x,y =- 1 2 2 x 均为在R上的增函数，故函数fx 是在R上的单调递增函数，
且满足f(-x)=2-x-1-2x-1=-(2x-1-2-x-1)=-f(x)，所以函数fx 为奇函数，
因为f(x2+mx)+f(1)>0，即f(x2+mx)>-f(1)=f(-1)，
可得x2+mx>-1恒成立，即x2+mx+1>0在x∈R上恒成立，
则满足m2-4<0，即m2<4，解得-20，对于a∈(-∞,3]恒成立，则实
数x的取值范围是 ．
【答案】(-∞，0)∪(1，+∞)
【解析】设t=2x，t>0，
则t2-at+2>0，对于a∈(-∞，3]恒成立，
2
即a3，
t
即t2-3t+2>0，
解得t>2或t<1，
即2x>2或2x<1，
解得x>1或x<0，
综上，x的取值范围为(-∞，0)∪(1，+∞)．
故答案为：(-∞，0)∪(1，+∞)﹒
263 (2024·全国·高三专题练习)若x∈[-1,+∞)，不等式4x-m⋅2x+1>0恒成立，则实数
m的取值范围是 ．
【答案】(-∞,2)
1
【解析】令t=2x，∵x∈[-1,+∞)，∴t∈ ,+∞
2
，
1 1
∵4x-m⋅2x+1>0恒成立，∴m< +t,t∈ ,+∞
t 2
恒成立，
1
∵t+ ≥2，当且仅当t=1时，即x=0时，表达式取得最小值，
t
∴m<2，
故答案为(-∞,2)．
264 (2024·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试)已知函数fx
3x+b
= 是定义域为R的奇
3x+1
函数.
(1)求实数b的值，并证明fx 在R上单调递增；
(2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x 1 、x 2 ∈1,3 ，都有fx 1
3
+ ≥ax2-2恒成立，求实 2
数a的取值范围.
【解析】(1)因为函数fx
3x+b
= 是定义域为R的奇函数，
3x+1
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144 3427则f0
1+b
= =0，解得b=-1，此时fx
2
3x-1 2
= =1- ，
3x+1 3x+1
对任意的x∈R，3x+1>0，即函数fx 的定义域为R，
f-x
3-x-1 3x 3-x-1
= =
3-x+1
3x 3-x+1
1-3x
= =-fx
1+3x
，即函数fx 为奇函数，合乎题意，
任取t 、t ∈R且t 1时，则有a≤2，此时1fx2 的解集为 ( )
A. -2,1 ∪1,+∞ B. -1,1 ∪3,+∞
1
C. - ,1
2
∪3,+∞ D. -3,1 ∪3,+∞
【答案】B
【解析】依题意，x≠1，fx
2x x
= + ，
4x-4 x-1
故f1+x +f1-x
2x+1 1 21-x 1 2x+1 2x+1
= +1+ + +1- = + +2=
4x+1-4 x 41-x-4 x 4x+1-4 4-4x+1
2，
故函数fx 的图象关于1,1 中心对称，
1 2 1
当x>1时，y= ，y= ，y=1+ 单调递减，
2x+2 4x-4 x-1
故fx 在1,+∞ 上单调递减，且fx
1 2 1
= + +1+ >1，
2x+2 4x-4 x-1
函数fx 的图象关于1,1 中心对称，fx 在-∞,1 上单调递减，fx <1，
而f2x+3 >fx2 ，故2x+33，故所求不等式的解集为-1,1 ∪3,+∞ ，
故选：B.
266 (2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)设fx
1 1
=x +
2x-a 2
.若函数y=
fx 的定义域为-∞,1 ∪1,+∞ ，则关于x的不等式ax≥fa 的解集为 .
【答案】1,+∞
【解析】若a≤0，对任意的x∈R，2x-a>0，则函数fx 的定义域为R，不合乎题意，
所以，a>0，由2x-a≠0可得x≠log a，
2
因为函数y=fx 的定义域为xx≠1 ，所以，log a=1，解得a=2， 2
所以，fx
1 1
=x +
2x-2 2
，则fa =f2
1 1
=2 +
22-2 2
=2，
由ax≥fa
可得2x≥2，解得x≥1.
因此，不等式ax≥fa 的解集为1,+∞ .
故答案为：1,+∞ .
267 (2024·河南安阳·统考三模)已知函数fx
2a-1
=b+ (a>0)的图象关于坐标原点对
2x-a
称，则a+b= .
3
【答案】 /1.5
2
【解析】依题意函数fx 是一个奇函数，
又2x-a≠0，所以x≠log a，
2
所以fx 定义域为x|x≠log a 2 ，
因为fx 的图象关于坐标原点对称，所以log a=0，解得a=1. 2
又f-x =-fx
1 1
，所以b+ =-b+
2-x-1 2x-1
，
2x 1
所以b- =-b+
2x-1 2x-1
2x 1 2x-1
，即2b= - = =1，
2x-1 2x-1 2x-1
1 3
所以b= ，所以a+b= .
2 2
3
故答案为： .
2
268 (2024·江西景德镇·统考模拟预测)已知fx 是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，
fx =ex，则满足fx+1 ≥f2 x 的x的取值范围是 ．
1
【答案】 - ,1
3
【解析】由函数性质知f2 x =f2x ，
∵fx+1 ≥f2 x =f2x ，
∴f x+1 ≥f 2x ,x+1 ≥2x ，
即x+1 2≥2x
1 1
2，解得- ≤x≤1，∴x∈ - ,1
3 3
，
1
故答案为： - ,1
3
.
2
269 (2024·河南信阳·校联考模拟预测)已知实数a，b满足4a+2a=3，log 33b+1+b= ，
2 3
3
则a+ b= ．
2
【答案】1
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146 34272
【解析】因为log 2 33b+1+b= 3 ，化简得log 23b+1 +3b+1 =3．
所以2log23b+1 +log 23b+1 =3，又4a+2a=22a+2a=3，
构造函数fx =2x+x，
因为函数y=2x，y=x在-∞,+∞ 上都为增函数，
所以函数fx 在-∞,+∞ 上为单调递增函数，
由f1 =3，∴2a=log 23b+1 =1，
1 1
解得a= ，b= ，
2 3
3
∴a+ b=1．
2
故答案为：1.
270 (多选题)(2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模)点Mx 1 ,y 1 在函数y=ex的图象
上，当x 1 ∈0,1
y +1
，则 1 可能等于 ( ) x -1
1
A.-1 B.-2 C.-3 D.0
【答案】BC
y +1
【解析】由 x 1 -1 表示Mx 1 ,y 1
1
与点A(1,-1)所成直线的斜率k，
又Mx 1 ,y 1 是y=ex在x∈0,1 部分图象上的动点，图象如下：
如上图，B(1,e)，则k∈(-∞,-2]，只有B、C满足.
故选：BC
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