第09讲指数与指数函数_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第9讲 指数与指数函数
知识梳理
1、指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中(n>1，n∈N∗)，记为 na，n称为根
指数，a称为根底数．
(2)根式的性质：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于
底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
n个
①正整数指数幂an=a⋅a⋅a⋅⋯⋅a (n∈N∗)；②零指数幂a0=1 (a≠0)；
1
③负整数指数幂a-n= (a≠0，n∈N∗)；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数
an
幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①aman=am+n(a>0，m，n∈Q)；②(am)n=amn(a>0，m，n∈Q)；
m
③(ab)m=ambm(a>0，b>0，m∈Q)；④ nam=an(a>0，m，n∈Q)．
2、指数函数
y=ax
0<a<1 a>1
图象
性质 ①定义域R，值域(0，+∞)
②a0=1，即时x=0，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1；x>0时，0< x<0时，0<ax<1；x>0时，ax
ax<1 >1
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【解题方法总结】
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137 34271、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情形讨论．
(2)当0<a<1时，x→+∞，y→0；a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．
当a>1时x→+∞，y→0；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．
1 (3)指数函数y=ax与y=
a
 x 的图象关于y轴对称．
必考题型全归纳
1 题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
3 7
244 (2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测)
27

7+3
= ( )
1 3
A.9 B. C.3 D.
9 9
【答案】B
3 7
【解析】
27

7+3 3 7
=
33

7+3
=3 7-3  7+3=3 7-3   7+3 
1
=3-2= .
9
故选：B.
245 (2024·全国·高三专题练习)下列结论中，正确的是 ( )
4 3
A.设a>0,则a3⋅a4=a B.若m8=2，则m=±82
C.若a+a-1=3，则a2 1 +a - 2 1 =± 5 D. 4 2-π  4=2-π
【答案】B
4 3 4+3 25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得a3⋅a4=a3 4=a12≠a，选项A错误；
对于B，m8=2，故m=±82，选项B正确；
对于 C，a+ 1 =3，a2 1 +a - 2 1
a
 2 =a+a-1+2=3+2=5，因为a>0，所以a2 1 +a - 2 1 =
5，选项C错误；
对于D，4 2-π  4=2-π  =π-2，选项D错误.
故选：B．
9 246 (2024·全国·高三专题练习)
16
 -0.5 + (2-π)2+23  2 2 3×
3
 1 2 4×
3
 3 4= ( )
A.π B.2+π C.4-π D.6-π
【答案】B
9 【解析】
16
 -0.5 + (2-π)2+23  2 2 3×
3
 1 2 4×
3
 3 4 2 4= +π-2+4× =2+π.
3 3
故选：B
247 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两人解关于x的方程2x+b⋅2-x+c=0，甲写错了常数
17
b，得到的根为x=-2或x=log ，乙写错了常数c，得到的根为x=0或x=1，则原方
2 4
程的根是 ( )
A.x=-2或x=log 3 B.x=-1或x=1
2
C.x=0或x=2 D.x=-1或x=2
【答案】D
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138 3427【解析】令t=2x，则方程2x+b⋅2-x+c=0可化为t2+ct+b=0，甲写错了常数b，
1 17 1 17
所以 和 是方程t2+ct+m=0的两根，所以c=- +
4 4 4 4

9
=- ，
2
乙写错了常数c，所以1和2是方程t2+nt+b=0的两根，所以b=1×2=2，
9 1
则可得方程t2- t+2=0，解得t = ,t =4，
2 1 2 2
所以原方程的根是x=-1或x=2
故选：D
248 (2024·全国·高三专题练习)若关于x的方程9x+3x+1-m+1=0有解，则实数m的取值
范围是 ( )
A. 1,+∞ 
5
B.  - ,+∞  4  C. -∞,3  D. 1,3 
【答案】A
【解析】方程9x+3x+1-m+1=0有解，
∴(3x)2+3×3x-m+1=0有解，
令3x=t>0，
则可化为t2+3t-m+1=0有正根，
则t2+3t=m-1在0,+∞  有解，又当t∈0,+∞  时，t2+3t>0
所以m-1>0⇒m>1，
故选：A．
1 249 (2024·上海青浦·统考一模)不等式2x2-2x-3<
2
 3(x-1) 的解集为 ．
【答案】(-3,2)
1 【解析】函数y=2x在R上单调递增，则2x2-2x-3<
2

3(x-1) ⇔2x2-2x-3<2-3(x-1)⇔x2-2x
-3<-3(x-1)，
即x2+x-6<0，解得-3<x<2，
所以原不等式的解集为(-3,2).
故答案为：(-3,2)
250 (2024·全国·高三专题练习)不等式10x-6x-3x≥1的解集为 .
【答案】1,+∞ 
1 【解析】由10x-6x-3x≥1，可得
10
 x 6 +
10
 x 3 +
10
 x ≤1.
令fx 
1
=
10

x 6
+
10

x 3
+
10

x
，
1
因为y=
10

x 6
,y=
10

x 3
,y=
10

x
均为R上单调递减函数
则fx  在R上单调逆减，且f1  =1，
∴fx  ≤f1  ，
∴x≥1
故不等式10x-6x-3x≥1的解集为1,+∞  .
故答案为：1,+∞  .
【解题总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如af(x)=b，af(x)>b，af(x)<b的形式常用“化同底”转
化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a2x+Bax+C=0或a2x
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139 3427+Bax+C≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
2 题型二：指数函数的图像及性质
251 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)函数fx 
a
=2x+ a∈R
2x
 的图象可能为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a赋值，判断选项.当a=0时，
fx  =2x，图象A满足；
当a=1时，fx 
1
=2x+ ，f0
2x
 =2，且f-x  =fx  ，此时函数是偶函数，关于y轴对
称，图象B满足；
当a=-1时，fx 
1
=2x- ，f0
2x
 =0，且f-x  =-fx  ，此时函数是奇函数，关于原点
对称，图象D满足；
图象C过点0,1  ，此时a=0，故C不成立.
故选：ABD
252 (2024·全国·高三专题练习)已知f(x)= 3x2+2ax-a-1的定义域为R，则实数a的取值范围
是 ．
【答案】[-1,0]
【解析】∵f(x)= 3x2+2ax-a-1的定义域为R，
∴3x2+2ax-1-1≥0对任意x∈R恒成立，
即3x2+2ax-a≥1=30恒成立，
即x2+2ax-a≥0对任意x∈R恒成立，
∴Δ=4a2+4a≤0，则-1≤a≤0．
故答案为[-1,0]．
253 (2024·宁夏银川·校联考二模)已知函数fx  =4x-2x+2-1，x∈0,3  ，则其值域为
．
【答案】-5,31 
【解析】令t=2x，∵x∈0,3  ，∴1≤t≤8，
第 页 共 页
140 3427∴gt  =t2-4t-1=(t-2)2-5，t∈1,8 
又y=gt  关于t=2对称，开口向上，所以gt  在1,2  上单调递减，在2,8  上单调递
增，且8-2  >2-1  ，
∴t=2时，函数取得最小值，即gt  =-5，t=8时，函数取得最大值，即gt
min
 =31，
max
∴fx  ∈-5,31  .
故答案为：-5,31  .
254 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =ax a>0,a≠1  在1,2  内的最大值是最小值
的两倍，且gx 
fx
=
  +1, x≥1 1
 ，则g
log x-1, 0<x<1 3
3
 +g2  =
3
【答案】3或-
4
【解析】当a>1时，函数fx  在1,2  内单调递增，
此时函数fx  的最大值为f2  =a2，最小值为f1  =a，
由题意得a2=2a，解得a=2，则gx 
2x+1, x≥1

= ，
log x-1, 0<x<1
3
1
此时g 3  +g2 
1
=log -1+22+1=3； 33
当0<a<1时，函数fx  在1,2  内单调递减，
此时函数fx  的最大值为f1  =a，最小值为f2  =a2，
1 由题意得a=2a2，解得a= ，则gx
2

1
 = 2 
x
 +1, x≥1  ，
log x-1, 0<x<1
3
1
此时g 3  +g2 
1 1
=log -1+ 33 2 
2 3
+1=- ． 4
3
故答案为：3或- .
4
255 (2024·全国·高三专题练习)函数y=(a-2)2ax是指数函数，则 ( )
A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a>0且a≠1
【答案】C
【解析】由指数函数定义知(a-2)2=1，同时a>0，且a≠1，所以解得a=3.
故选：C
256 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =eax-b  2的大致图像如图，则实数a，b的取值只
可能是 ( )
A.a>0,b>1 B.a>0,0<b<1
C.a<0,b>1 D.a<0,0<b<1
【答案】C
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141 3427【解析】若a>0，y=eax-b为增函数，
且x→+∞,y→+∞,f(x)→+∞，与图象不符，
若a<0，y=eax-b为减函数，
且x→+∞,y→-b,f(x)→b2，与图象相符，所以a<0，
当f(x)=0时，eax=b，
结合图象可知，此时x<0，所ax>0，则eax>e0=1，所以b>1，
故选:C.
257 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =ax-4+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，
若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny=4m>0,n>0 
1 2
，则 + 的最小值为
m n
( )
A.8 B.24 C.4 D.6
【答案】C
【解析】因为函数fx  =ax-4+1a>0,a≠1  图象恒过定点4,2 
又点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny=4m>0,n>0  ，
所以4m+2n=4，
即2m+n=2
1 2 1
所以 + = 2m+n
m n 2

1 2
 +
m n

1 4m n
= 4+ +
2 n m

1 4m n
≥ 4+2 ⋅
2 n m
 =4，
4m n
当且仅当 = 即n=2m=1时取等号；
n m
1 2
所以 + 的最小值为4．
m n
故选：C．
258 (多选题)(2024·浙江绍兴·统考模拟预测)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算
法”使用的公式是P =P(1+k)n(k>-1)，其中P 为预测期人口数，P 为初期人口数，k
n 0 n 0
为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则 ( )
A.当k∈-1,0  ，则这期间人口数呈下降趋势
B.当k∈-1,0  ，则这期间人口数呈摆动变化
1
C.当k= ,P ≥2P 时，n的最小值为3
3 n 0
1 1
D.当k=- ,P ≤ P 时，n的最小值为3
3 n 2 0
【答案】AC
【解析】P >0,0<1+k<1，由指数函数的性质可知：P =P(1+k)n(k>-1)是关于n
0 n 0
的单调递减函数，
即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
1 4
k= ,P =P 3 n 0 3 
n 4
≥2P，所以 0 3 
n
≥2，所以n≥log 2n∈N 4
3
 ，
log 2∈2,3
4
3
 ，所以n的最小值为3，故C正确；
1 2
k=- ,P =P 3 n 0 3 
n 1 2
≤ P，所以 2 0 3 
n 1 1
≤ ，所以n≥log n∈N 2 2 2
3
 ，
1
log =log 2∈1,2
2 2 3
3 2
 ，所以n的最小值为2，故D不正确；
故选：AC.
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142 3427259 (多选题)(2024·山东聊城·统考二模)已知函数fx 
2x
= ，则 ( )
2x+1
A.函数fx  是增函数
B.曲线y=fx 
1
关于0,
2
 对称
C.函数fx 
1
的值域为0,
2

D.曲线y=fx 
1
有且仅有两条斜率为 的切线
5
【答案】AB
【解析】根据题意可得fx 
2x 1 1
= =1- ，易知y= 是减函数，
2x+1 2x+1 2x+1
所以fx 
1
=1- 是增函数，即A正确；
2x+1
由题意可得f-x 
2-x 1
= = ，所以f-x
2-x+1 2x+1
 +fx 
2x 1
= + =1，
2x+1 2x+1
即对于任意x∈R，满足f-x  +fx  =1，所以y=fx 
1
关于0,
2
 对称，即B正确；
由指数函数值域可得2x+1∈1,+∞ 
1
，所以 ∈0,1
2x+1
 ，即fx 
1
=1- ∈0,1
2x+1
 ，
所以函数fx  的值域为0,1  ，所以C错误；
易知fx 
2xln2
=
2x+1

，令fx
2

1
= ，整理可得2x
5
 2-5ln2-2  ⋅2x+1=0，
令2x=t∈0,+∞  ，即t2-5ln2-2  t+1=0，
易知Δ=5ln2-2  2-4，又因为25=32<36<6.252=2.54<e4，即25<e4，
所以5ln2<4，即0<5ln2-2<2，因此Δ=5ln2-2  2-4<0；
即关于t的一元二次方程t2-5ln2-2  t+1=0无实数根；
所以2x  2-5ln2-2  ⋅2x+1=0无解，即曲线y=fx 
1
不存在斜率为 的切线，即D
5
错误；
故选：AB
【解题总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从
图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
3 题型三：指数函数中的恒成立问题
260 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2x,x∈R，若不等式f2(x)+f(x)-m>0在
R上恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】(-∞,0]．
【解析】令f(x)=t(t>0),H(t)=t2+t,t>0,
1
因为H(t)=t+
2

2 1
- 在区间(0,+∞)上是增函数，
4
所以H(t)>H(0)=0.
因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立，应有m≤0，即所求实数m的取值范围为
(-∞,0]．
故答案为：(-∞,0].
261 (2024·全国·高三专题练习)设fx 
2x-2-x
= ，当x∈R时，fx2+mx
2
 +f1  >0恒成
第 页 共 页
143 3427立，则实数m的取值范围是 .
【答案】(-2,2)
2x-2-x 1 1 1 【解析】由函数f(x)= = ⋅(2x-2-x)= 2x-
2 2 2 2
  x 

 ，
1 ∵y =2x,y =- 1 2 2  x 均为在R上的增函数，故函数fx  是在R上的单调递增函数，
且满足f(-x)=2-x-1-2x-1=-(2x-1-2-x-1)=-f(x)，所以函数fx  为奇函数，
因为f(x2+mx)+f(1)>0，即f(x2+mx)>-f(1)=f(-1)，
可得x2+mx>-1恒成立，即x2+mx+1>0在x∈R上恒成立，
则满足m2-4<0，即m2<4，解得-2<m<2，
所以实数m的取值范围是(-2,2).
故答案为：(-2,2).
262 (2024·全国·高三专题练习)已知不等式4x-a⋅2x+2>0，对于a∈(-∞,3]恒成立，则实
数x的取值范围是 ．
【答案】(-∞，0)∪(1，+∞)
【解析】设t=2x，t>0，
则t2-at+2>0，对于a∈(-∞，3]恒成立，
2
即a<t+ ，对于a∈(-∞，3]恒成立，
t
2
∴t+ >3，
t
即t2-3t+2>0，
解得t>2或t<1，
即2x>2或2x<1，
解得x>1或x<0，
综上，x的取值范围为(-∞，0)∪(1，+∞)．
故答案为：(-∞，0)∪(1，+∞)﹒
263 (2024·全国·高三专题练习)若x∈[-1,+∞)，不等式4x-m⋅2x+1>0恒成立，则实数
m的取值范围是 ．
【答案】(-∞,2)
1
【解析】令t=2x，∵x∈[-1,+∞)，∴t∈  ,+∞
 2
 ，
1 1
∵4x-m⋅2x+1>0恒成立，∴m< +t,t∈  ,+∞
t  2
 恒成立，
1
∵t+ ≥2，当且仅当t=1时，即x=0时，表达式取得最小值，
t
∴m<2，
故答案为(-∞,2)．
264 (2024·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试)已知函数fx 
3x+b
= 是定义域为R的奇
3x+1
函数.
(1)求实数b的值，并证明fx  在R上单调递增；
(2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x 1 、x 2 ∈1,3  ，都有fx 1 
3
+ ≥ax2-2恒成立，求实 2
数a的取值范围.
【解析】(1)因为函数fx 
3x+b
= 是定义域为R的奇函数，
3x+1
第 页 共 页
144 3427则f0 
1+b
= =0，解得b=-1，此时fx
2

3x-1 2
= =1- ，
3x+1 3x+1
对任意的x∈R，3x+1>0，即函数fx  的定义域为R，
f-x 
3-x-1 3x 3-x-1
= =
3-x+1

3x 3-x+1

1-3x
= =-fx
1+3x
 ，即函数fx  为奇函数，合乎题意，
任取t 、t ∈R且t <t ，则0<3t1<3t2，
1 2 1 2
所以，ft 1  -ft 2 
2
=1- 3t1+1 
2
-1- 3t2+1 
23t1-3t2
=

3t1+1

3t2+1

<0，则ft 1  <ft 2  ，
所以，函数fx  在R上单调递增.
(2)由(1)可知，函数fx  在1,3  上为增函数，
对于任意的x 1 、x 2 ∈1,3  ，都有fx 1 
3 3
+ ≥ax2-2，则ax2-2- ≤f1 2 2 
1
= ， 2
∴ax2-2≤2，
因为x 2 ∈1,3  ，则x 2 -2∈-1,1  .
1
当0<a<1时，则有a-1≤2，解得 ≤a<1；
2
当a>1时，则有a≤2，此时1<a≤2.
1
综上所述，实数a的取值范围是  ,1  2  ∪1,2  .
【解题总结】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
4 题型四：指数函数的综合问题
265 (2024·全国·合肥一中校联考模拟预测)已知函数fx 
1 2 1
= + +1+ ，则
2x+2 4x-4 x-1
不等式f2x+3  >fx2  的解集为 ( )
A. -2,1  ∪1,+∞  B. -1,1  ∪3,+∞ 
1
C. - ,1
2
 ∪3,+∞  D. -3,1  ∪3,+∞ 
【答案】B
【解析】依题意，x≠1，fx 
2x x
= + ，
4x-4 x-1
故f1+x  +f1-x 
2x+1 1 21-x 1 2x+1 2x+1
= +1+ + +1- = + +2=
4x+1-4 x 41-x-4 x 4x+1-4 4-4x+1
2，
故函数fx  的图象关于1,1  中心对称，
1 2 1
当x>1时，y= ，y= ，y=1+ 单调递减，
2x+2 4x-4 x-1
故fx  在1,+∞  上单调递减，且fx 
1 2 1
= + +1+ >1，
2x+2 4x-4 x-1
函数fx  的图象关于1,1  中心对称，fx  在-∞,1  上单调递减，fx  <1，
而f2x+3  >fx2  ，故2x+3<x2<1或x2<1<2x+3或1<2x+3<x2，
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145 3427解得-1<x<1或x>3，故所求不等式的解集为-1,1  ∪3,+∞  ，
故选：B.
266 (2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)设fx 
1 1
=x +
2x-a 2
 .若函数y=
fx  的定义域为-∞,1  ∪1,+∞  ，则关于x的不等式ax≥fa  的解集为 .
【答案】1,+∞ 
【解析】若a≤0，对任意的x∈R，2x-a>0，则函数fx  的定义域为R，不合乎题意，
所以，a>0，由2x-a≠0可得x≠log a，
2
因为函数y=fx  的定义域为xx≠1  ，所以，log a=1，解得a=2， 2
所以，fx 
1 1
=x +
2x-2 2
 ，则fa  =f2 
1 1
=2 +
22-2 2
 =2，
由ax≥fa

可得2x≥2，解得x≥1.
因此，不等式ax≥fa  的解集为1,+∞  .
故答案为：1,+∞  .
267 (2024·河南安阳·统考三模)已知函数fx 
2a-1
=b+ (a>0)的图象关于坐标原点对
2x-a
称，则a+b= .
3
【答案】 /1.5
2
【解析】依题意函数fx  是一个奇函数，
又2x-a≠0，所以x≠log a，
2
所以fx  定义域为x|x≠log a 2  ，
因为fx  的图象关于坐标原点对称，所以log a=0，解得a=1. 2
又f-x  =-fx 
1 1
，所以b+ =-b+
2-x-1 2x-1
 ，
2x 1
所以b- =-b+
2x-1 2x-1

2x 1 2x-1
，即2b= - = =1，
2x-1 2x-1 2x-1
1 3
所以b= ，所以a+b= .
2 2
3
故答案为： .
2
268 (2024·江西景德镇·统考模拟预测)已知fx  是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，
fx  =ex，则满足fx+1  ≥f2 x  的x的取值范围是 ．
1
【答案】 - ,1
 3

【解析】由函数性质知f2 x  =f2x  ，
∵fx+1  ≥f2 x  =f2x  ，
∴f x+1    ≥f 2x    ,x+1  ≥2x  ，
即x+1  2≥2x 
1 1
2，解得- ≤x≤1，∴x∈ - ,1
3  3
 ，
1
故答案为： - ,1
 3
 .
2
269 (2024·河南信阳·校联考模拟预测)已知实数a，b满足4a+2a=3，log 33b+1+b= ，
2 3
3
则a+ b= ．
2
【答案】1
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146 34272
【解析】因为log 2 33b+1+b= 3 ，化简得log 23b+1  +3b+1  =3．
所以2log23b+1  +log 23b+1  =3，又4a+2a=22a+2a=3，
构造函数fx  =2x+x，
因为函数y=2x，y=x在-∞,+∞  上都为增函数，
所以函数fx  在-∞,+∞  上为单调递增函数，
由f1  =3，∴2a=log 23b+1  =1，
1 1
解得a= ，b= ，
2 3
3
∴a+ b=1．
2
故答案为：1.
270 (多选题)(2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模)点Mx 1 ,y 1  在函数y=ex的图象
上，当x 1 ∈0,1 
y +1
，则 1 可能等于 ( ) x -1
1
A.-1 B.-2 C.-3 D.0
【答案】BC
y +1
【解析】由 x 1 -1 表示Mx 1 ,y 1
1
 与点A(1,-1)所成直线的斜率k，
又Mx 1 ,y 1  是y=ex在x∈0,1  部分图象上的动点，图象如下：
如上图，B(1,e)，则k∈(-∞,-2]，只有B、C满足.
故选：BC
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147 3427