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第10讲 对数与对数函数
知识梳理
1、对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，
记作x=log N，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
a
(2)常见对数：
①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为logN，读作以a为底N的对数；
a
②常用对数：以10为底，记为lgN；
③自然对数：以e为底，记为lnN；
(3) 对数的性质和运算法则：
①log1=0；loga=1；其中a>0且a≠1；
a a
②aloga N =N(其中a>0且a≠1，N>0)；
log b
③对数换底公式：log b= c ；
a log a
c
④log (MN)=log M+log N；
a a a
M
⑤log =log M-log N；
a N a a
n
⑥log bn= log b(m，n∈R)；
am m a
⑦alogab=b和log ab=b；
a
1
⑧log b= ；
a loga
b
2、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 y=log x(a>0且a≠1)叫做对数函数．
a
对数函数的图象
a>1 00，当x≥1时，y
y≥0 ≤0
【解题方法总结】
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148 34271、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当00，
a lga lga
1
所以lg2a+2lga+1=(lga+1)2=0，即lga=-1，故a= .
10
1
故答案为：
10
273 (2024·上海徐汇·位育中学校考模拟预测)方程lg(-2x)=lg3-x2 的解集为 ．
【答案】x|x=-1
【解析】因为lg(-2x)=lg3-x2 ,
-2x=3-x2
则-2x>0 ，解得x=-1，
3-x2>0
所以方程lg(-2x)=lg3-x2 的解集为x|x=-1 .
故答案为：x|x=-1
274 (2024·山东淄博·统考二模)设p>0,q>0，满足log 4 p=log 6 q=log 92p+q
p
，则 = q
.
1
【答案】 /0.5
2
【解析】令log 4 p=log 6 q=log 92p+q =k，则p=4k,q=6k,2p+q=9k，
2k 所以2p+q=2⋅4k+6k=9k，整理得2⋅
3k
2 2 +
3
k =1，
2k 1 p 4k 2k 1
解得 = (负值舍去)，所以 = = = .
3k 2 q 6k 3k 2
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149 34271
故答案为： .
2
3
275 (2024·天津南开·统考二模)计算log 32⋅log 9-log +log 6的值为 .
3 4 24 2
【答案】8
3 3
【解析】原式=log 25⋅log 32-log +log 6=5log 2⋅log 3-log +log 6
3 22 24 2 3 2 24 2
3 6
=5-log +log 6=5+log =5+log 8=8.
24 2 2 3 2
4
故答案为：8.
276 (2024·全国·高三专题练习)若log 2=a，14b=5，用a，b表示log 28=
14 35
1+a
【答案】
1+b-a
【解析】因为14b=5，所以b=log 5，
14
log 28 log 14+log 2 1+a
log 28= 14 = 14 14 = .
35 log 35 log 14+log 5-log 2 1+b-a
14 14 14 14
1+a
故答案为： .
1+b-a
1 1
277 (2024·上海·高三校联考阶段练习)若12a=3b=m，且 - =2，则m= ．
a b
【答案】2
1 1
【解析】∵12a=3b=m，且 - =2，
a b
∴m>0且m≠1，
∴a=log m,b=log m，
12 3
1 1
∴ =log 12, =log 3，
a m b m
1 1
∴ - =log 12-log 3=log 4=2，
a b m m m
∴m=2.
故答案为：2.
278 (2024·全国·高三专题练习)log 6 3 2+log 6 2
2lg3⋅lg2
2+ lg3+lg2 = ； 2
【答案】1
【解析】原式=log 6 3 2+log 6 2
2lg3⋅lg2
2+ lg6⋅lg6
=log 6 3 2+log 6 2 2+2log 3⋅log 2 6 6
=log 6 3+log 6 2 2
=log 6 6 2=1．
故答案为：1.
279 (2024·全国·高三专题练习)解关于x的不等式log (2-4x)0，即22x<2，有2x<1，解得x< ，
2
解2-4x<2x，即22x+2x-2>0，化为(2x+2)(2x-1)>0，有2x>1，解得x>0，
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150 34271
因此00时，fx =log 2 x，则fx ≥-2的解集是 .
【答案】-4,0 ∪
1
4 ,+∞
【解析】当x<0时，-x>0，所以f(-x)=log 2-x ，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-log 2-x ，
所以当x<0时，f(x)=-log 2-x ，
-log 2-x
所以f(x)=
, x<0
0, x=0，
log x, x>0
2
x>0 x<0 要解不等式f(x)≥-2，只需
或
log 2 x≥-2 -log 2-x
或 x=0 ，
≥-2 0≥-2
1
解得x≥ 或-4≤x<0或x=0，
4
综上，不等式的解集为 -4,0 ∪
1
4 ,+∞ .
故答案为：-4,0 ∪
1
4 ,+∞ .
281 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)方程2x+log x=17的解为
4
．
【答案】x=4
【解析】设函数fx =2x+log 4 x，x∈0,+∞ ，由于函数y=2x,y=log 4 x在x∈0,+∞
上均为增函数，
又f4 =24+log 4=16+1=17，故方程2x+log x=17的解为x=4. 4 4
故答案为：x=4.
【解题方法总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是
要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注
意对数的真数为正.
2 题型二：对数函数的图像
282 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=log ax+b (a，b为常数，其中a>0且a≠1)的
图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
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151 3427A.a=0.5，b=2 B.a=2，b=2
C.a=0.5，b=0.5 D.a=2，b=0.5
【答案】D
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以a>1，排除A，C；
又因为函数过点(0.5,0),
所以b+0.5=1，解得b=0.5．
故选：D
283 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)=log (x-1)+2的图象恒过定点 ( )
a
A.(2,2) B.(2,1) C.(3,2) D.(2,0)
【答案】A
【解析】当x=2时f(2)=log 1+2=2，即函数图象恒过(2,2).
a
故选：A
284 (2024·北京·统考模拟预测)已知函数fx =log 2 x-x-1 2，则不等式f(x)<0的解集为
( )
A. -∞,1 ∪2,+∞ B. 0,1 ∪2,+∞
C. 1,2 D. 1,+∞
【答案】B
【解析】由题意，不等式f(x)<0，即log 2 x-x-1 2<0，
等价于log 2 x<x-1 2在0,+∞ 上的解，
令gx =log 2 x，hx =x-1 2，则不等式为gx 0的解集为
3
．
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152 3427【答案】x10⇒log x> (x-1)(x-2)，
3 3 2
在同一直角坐标系内画出函数fx =log 3 x,gx
1
= (x-1)(x-2)的图象如下图所示： 2
因为f3 =g3 =1，
所以由函数的图象可知：当x∈(1,3)时，有fx >gx ，
故答案为：x11时，不满足题意；
1 1
当00，
又因为y=1-ax>0在(-∞,1]恒成立，
所以y =1-a>0解得a<1，
min
所以a的取值范围为0a
【解析】因为2a-4b=log b-log a，
2 2
所以2a+log a=4b+log b=22b+log b+log 2-1=22b+log 2b-1，
2 2 2 2 2
设f(x)=2x+log x，则f(a)=f(2b)-1，
2
所以f(a)0,a≠1 在1,4 上的最大值是2，
则a等于
【答案】2
【解析】当a>1时，函数fx =log a x在1,4 上单调递增，
则f4 =log 4=2，解得a=2， a
当00且a≠1)在 ,4
a 2
上的最大值为
2，最小值为m，函数g(x)=(3+2m) x在[0,+∞)上是增函数，则a-m的值是
．
【答案】3
【解析】当a>1时，函数fx =log a x是正实数集上的增函数，而函数fx =log x在 a
1
,4
2
1
上的最大值为2，因此有f(4)=log 4=2，解得a=2，所以m=log =-1，此时
a 22
gx = x在0,+∞ 上是增函数，符合题意，因此a-m=2--1 =3；
当00对任意的实数x恒成立，
由于二次函数u=x2-ax+1有最小值，此时函数fx =log x2-ax+1 a 没有最小值；
当a>1时，外层函数y=log u为增函数，对于内层函数u=x2-ax+1，
a
函数u=x2-ax+1有最小值，若使得函数fx =log x2-ax+1 a 有最小值，
则
Δ=a2-4<0
，解得11
综上所述，实数a的取值范围是1,2 .
故答案为：1,2 .
293 (2024·河南·校联考模拟预测)写出一个同时具有下列性质①②③的函数:f(x)= .
① fx 1 x 2 =fx 1 +fx 2 ;②当x∈(0,+∞)时，f(x)单调递减;③f(x)为偶函数.
【答案】log x
1
2
(不唯一)
【解析】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底01
a
是 ( )
A. 0,1 B.[2,+∞)
1
C. 0,
2
∪(2,+∞) D. 0,1 ∪[2,+∞)
【答案】D
a>1
【解析】若f(x) 在R上单调递增，则
，解得a∈[2,+∞)，
2+a≤2a+log 1
a
0g(x )恒成立，则实数m的取值范围是 .
2 1 2
【答案】(-∞,0)
【解析】函数f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2在[1，4]上单调递增，g(x)=log x+m在
2
[1，4]上单调递增，
∴fx =f1
min
=2，gx =g4
max
=2+m，
对任意的x ，x ∈[1，4]有f(x)>g(x )恒成立，
1 2 1 2
∴fx >gx
min
，即2>2+m，解得m<0，
max
∴实数m的取值范围是-∞,0 ．
故答案为：(-∞,0).
300 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =x2-2x+3,gx =log x+m，若对∀x ∈ 2 1
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157 34272,4 ,∃x 2 ∈16,32 ，使得fx 1 ≥gx 2 ，则实数m的取值范围为 .
【答案】-∞,-1
【解析】因为对∀x 1 ∈2,4 ,∃x 2 ∈16,32 ，使得fx 1 ≥gx 2 ，
所以fx 1 min ≥gx 2 ， min
因为fx =x2-2x+3的对称轴为x=1，所以fx 在2,4 上单调递增，所以fx = min
f2 =3，
又因为gx =log 2 x+m在16,32 上单调递增，所以gx =g16 min =4+m，
所以3≥4+m，所以m≤-1，即m∈-∞,-1 ，
故答案为：-∞,-1 .
301 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =log a x 2+2log a x+3a>0,a≠1 .
(1)若f3 =2，求a的值；
(2)若对任意的x∈8,12 ，fx >6恒成立，求a的取值范围.
【解析】(1)因为f3 =2，所以log a 3 2+2log 3+3=2， a
所以log a 3+1
1
2=0，所以log 3=-1，解得a= . a 3
(2)由fx >6，得log a x 2+2log a x-3>0，即log a x+3 log a x-1 >0，
即log x<-3或log x>1.
a a
当01，
a a a a a
因为log 121不成立，
a a a
1
由log 8<-3可得
a a
3 1
<8，得 1时，log 8≤log x≤log 12，则log 12<-3或log 8>1，
a a a a a
因为log 12>log 1=0，则log 12<-3不成立，所以log 8>1，解得1kg(x)恒成立，求实数k
的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)=3-2log 2 x，g(x)=log 2 x，y=f(x)+1 ⋅g(x)
令y=hx =4-2log 2 x ⋅log 2 x=-2log 2 x-1 2+2，
∵x∈1,4 ，∴log 2 x∈0,2 ，所以当log 2 x=1，即x=2时取最大值hx =2，当log x max 2
=0或2，即x=1或x=4时取最小值hx =0，
min
∴函数hx 的值域为0,2 .
(2)由fx2 ⋅f x >k⋅gx 得3-4log 2 x 3-log 2 x >k⋅log x， 2
令t=log x，∵x∈2n,2n+1 2 ，∴t=log 2 x∈n,n+1 ，
∴3-4t 3-t >k⋅t对一切的t∈n,n+1 恒成立，
①当n=0时，若t=0时，k∈R；
当t∈0,1
3-4t
时，k<
3-t 9
恒成立，即k<4t+ -15，
t t
9
函数4t+ -15在t∈0,1
t
单调递减，于是t=1时取最小值-2，此时x=2，
于是k∈-∞,-2 ；
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158 3427②当n=1时，此时t∈1,2
3-4t
时，k<
3-t 9
恒成立，即k<4t+ -15，
t t
9 9 3 9
∵4t+ ≥12，当且仅当4t= ，即t= 时取等号，即4t+ -15的最小值为-3，k
t t 2 t
∈-∞,-3 ；
③当n≥2时，此时t∈n,n+1
3-4t
时，k<
3-t 9
恒成立，即k<4t+ -15，
t t
9
函数4t+ -15在t∈n,n+1
t
9
单调递增，于是t=n时取最小值4n-15+ ，
n
9
此时x=2n，于是k∈-∞,4n-15+
n
.
综上可得：当n=0时k∈-∞,-2 ，当n=1时k∈-∞,-3 ，当n≥2时，k∈
9
-∞,4n-15+
n
【解题方法总结】
(1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
(3)涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数
探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
5 题型五：对数函数的综合问题
a b
303 (多选题)(2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)已知a>1，b>1， =2a， =
a-1 b-1
log b，则以下结论正确的是 ( )
2
1 1
A.a+2a=b+log b B. + =1
2 2a log b
2
C.a-b<-2 D.a+b>4
【答案】ABD
x 1
【解析】对于A，由题意知，a，b是函数h(x)= =1+ 分别与函数f(x)=2x，
x-1 x-1
g(x)=log x图象交点的横坐标，
2
1
由y= 的图象关于y=x对称，
x
1
则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为h(x)=1+ ，
x-1
所以h(x)的图象也关于y=x对称，
又f(x)，g(x)两个函数的图象关于直线y=x对称，
故两交点a,2a ，b,log 2 b 关于直线y=x对称，
所以a=log b，b=2a，故A正确；
2
a 1 1 1 1
对于B，结合选项A得 =2a=b，则ab=a+b，即 + =1，即 + =1成
a-1 a b 2a log b
2
立，故B正确；
1
对于C，结合选项A得a-b=log b-b(2log 4-4=-2，故C错误；
2 2
1 1
对于D，结合选项B得a+b=(a+b) +
a b
b a
=2+ + >4(a≠b，即不等式取不到
a b
等号)，故D正确．
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159 3427故选：ABD．
n
304 (2024·海南海口·统考模拟预测)已知正实数m，n满足：nlnn=em-nlnm，则 的最
m
小值为 .
e2
【答案】
4
em
【解析】由nlnn=em-nlnm可得： =lnm+lnn,
n
所以em-lnn-lnn=lnm，em-lnn+m-lnn=m+lnm=elnm+lnm，
设fx =ex+x，fx =ex+1>0，
所以fx 在R上单调递增，所以fm-lnn =flnm ，
em
则m-lnn=lnm，所以lnn=ln ，
m
em n em
所以n= ，所以 = ，令gx
m m m2
ex
= ,gx
x2
ex⋅x2-ex⋅2x ex x-2
= =
x4
，
x3
令gx >0，解得：x>2；令gx <0，解得：01 B.ab< C.a2+b2< D.b-a>
a 4 2 5
【答案】ABD
【解析】因为6b=3,6a=2，所以b=log 3,a=log 2，则a+b=1，
6 6
b log 3
选项A， = 6 =log 3>log 2=1，故A正确；
a log 2 2 2
6
a+b
选项B，因为a+b=log 3+log 2=log 6=1，且a>0,b>0,a≠b，所以ab<
6 6 6 2
2
1
= ，故B正确；
4
1 1
选项C，因为a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-2× = ，故C错误；
4 2
选项D，因为5b-a
3 243
=5log =log >log 6=1，故D正确， 62 6 32 6
故选：ABD．
306 (2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知x ，x 分别是方程x+ex=3和x+lnx
1 2
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160 34277b2+1
=3的根，若x +x =a+b，实数a，b>0，则 的最小值为 ( )
1 2 ab
7 67
A.1 B. C. D.2
3 9
【答案】D
【解析】x+ex=3,ex=3-x；x+lnx=3,lnx=3-x.
函数y=ex与函数y=lnx的图象关于直线y=x对称，
由 y=3-x 解得x=y= 3 ，设A 3 , 3
y=x 2 2 2
，
3
则x +x = ×2=3，即a+b=3，
1 2 2
7b2+1 7b2+1
=
ab 3-b
7b2+1 7b2-3b
=- =-
b b2-3b
+21b+1 21b+1
=-7+
b2-3b b2-3b
，
t-1
令21b+1=t，则b= ，
21
7b2+1 21b+1 则 =-7+
ab b2-3b
t =- 7+
t-1
21
2 t-1
-3× 21
441 =- 7+
64
t+ -65 t
441 ≥- 7+
64
2 t⋅ -65 t
=2，
64 1 8
当且仅当t= ,t=8=21b+1,b= ,a=3-b= 时等号成立.
t 3 3
故选：D
307 (2024·全国·高三专题练习)若x 满足2x=5-x，x 满足x+log x=5，则x +x 等于
1 2 2 1 2
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】由题意5-x =2x1，故有5-x =log x
1 2 2 2
故x 和x 是直线y=5-x和曲线y=2x、曲线y=log x交点的横坐标.
1 2 2
根据函数y=2x和函数y=log x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，
2
故曲线y=2x和曲线y=log x的图象交点关于直线y=x对称.
2
即点(x ，5-x)和点(x ，5-x )构成的线段的中点在直线y=x上，
1 1 2 2
x +x 5-x +5-x
即 1 2 = 1 2，求得x +x =5，
2 2 1 2
故选：D.
308 (2024·全国·高三专题练习)已知x 是方程x⋅3x=2的根，x 是方程x⋅log x=2的根，则
1 2 3
x ⋅x 的值为 ( )
1 2
A.2 B.3 C.6 D.10
【答案】A
2 2
【解析】方程x⋅3x=2可变形为方程3x= ，方程x⋅log x=2可变形为方程log x= ，
x 3 3 x
∵x 是方程x⋅3x=2的根，x 是方程x⋅log x=2的根，
1 2 3
2 2
∴x 是函数y=3x与函数y= 的交点横坐标，x 是函数y=log x=与函数y= 的
1 x 2 3 x
交点横坐标，
∵函数y=3x与函数y=log x互为反函数，
3
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161 34272 2
∴函数y=log x与函数y= 的交点横坐标x 等于函数y=3x与函数y= 的交点纵
3 x 2 x
2
坐标,即(x,x )在数y= 图象上，
1 2 x
2
又∵y= 图象上点的横纵坐标之积为2，∴xx =2 ，
x 1 2
故选：A
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162 3427
