第10讲对数与对数函数_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第10讲 对数与对数函数
知识梳理
1、对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，
记作x=log N，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
a
(2)常见对数：
①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为logN，读作以a为底N的对数；
a
②常用对数：以10为底，记为lgN；
③自然对数：以e为底，记为lnN；
(3) 对数的性质和运算法则：
①log1=0；loga=1；其中a>0且a≠1；
a a
②aloga N =N(其中a>0且a≠1，N>0)；
log b
③对数换底公式：log b= c ；
a log a
c
④log (MN)=log M+log N；
a a a
M
⑤log =log M-log N；
a N a a
n
⑥log bn= log b(m，n∈R)；
am m a
⑦alogab=b和log ab=b；
a
1
⑧log b= ；
a loga
b
2、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 y=log x(a>0且a≠1)叫做对数函数．
a
对数函数的图象
a>1 0<a<1
图象
定义域：(0，+∞)
值域：R
过定点(1，0)，即x=1时，y=0
性质
在(0，+∞)上增函数 在(0，+∞)上是减函数
当0<x<1时，y<0，当x≥1时， 当0<x<1时，y>0，当x≥1时，y
y≥0 ≤0
【解题方法总结】
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148 34271、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当0<a<1时，
对数函数的图象随a的增大而远离x轴．(见下图)
必考题型全归纳
1 题型一：对数运算及对数方程、对数不等式
1 3-1
271 (2024·四川成都·成都七中校考模拟预测)eln3-814+log = ．
3+1 2
【答案】-1
【解析】eln3-814 1 +log 3-1 =3-3 4× 4 1 +log ( 3+1)-1=3-3-1=-1.
3+1 2 3+1
故答案为：-1
272 (2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测)已知lga+b=-2，ab=10，则a= ．
1
【答案】 /0.1
10
1 1
【解析】由题设b=log 10= ，则lga+ =-2且a>0，
a lga lga
1
所以lg2a+2lga+1=(lga+1)2=0，即lga=-1，故a= .
10
1
故答案为：
10
273 (2024·上海徐汇·位育中学校考模拟预测)方程lg(-2x)=lg3-x2  的解集为 ．
【答案】x|x=-1 
【解析】因为lg(-2x)=lg3-x2  ,
-2x=3-x2

则-2x>0 ，解得x=-1，
3-x2>0
所以方程lg(-2x)=lg3-x2  的解集为x|x=-1  .
故答案为：x|x=-1 
274 (2024·山东淄博·统考二模)设p>0,q>0，满足log 4 p=log 6 q=log 92p+q 
p
，则 = q
.
1
【答案】 /0.5
2
【解析】令log 4 p=log 6 q=log 92p+q  =k，则p=4k,q=6k,2p+q=9k，
2k 所以2p+q=2⋅4k+6k=9k，整理得2⋅
3k
 2 2 +
3
 k =1，
2k 1 p 4k 2k 1
解得 = (负值舍去)，所以 = = = .
3k 2 q 6k 3k 2
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149 34271
故答案为： .
2
3
275 (2024·天津南开·统考二模)计算log 32⋅log 9-log +log 6的值为 .
3 4 24 2
【答案】8
3 3
【解析】原式=log 25⋅log 32-log +log 6=5log 2⋅log 3-log +log 6
3 22 24 2 3 2 24 2
3 6
=5-log +log 6=5+log =5+log 8=8.
24 2 2 3 2
4
故答案为：8.
276 (2024·全国·高三专题练习)若log 2=a，14b=5，用a，b表示log 28=
14 35
1+a
【答案】
1+b-a
【解析】因为14b=5，所以b=log 5，
14
log 28 log 14+log 2 1+a
log 28= 14 = 14 14 = .
35 log 35 log 14+log 5-log 2 1+b-a
14 14 14 14
1+a
故答案为： .
1+b-a
1 1
277 (2024·上海·高三校联考阶段练习)若12a=3b=m，且 - =2，则m= ．
a b
【答案】2
1 1
【解析】∵12a=3b=m，且 - =2，
a b
∴m>0且m≠1，
∴a=log m,b=log m，
12 3
1 1
∴ =log 12, =log 3，
a m b m
1 1
∴ - =log 12-log 3=log 4=2，
a b m m m
∴m=2.
故答案为：2.
278 (2024·全国·高三专题练习)log 6 3  2+log 6 2 
2lg3⋅lg2
2+ lg3+lg2  = ； 2
【答案】1
【解析】原式=log 6 3  2+log 6 2 
2lg3⋅lg2
2+ lg6⋅lg6
=log 6 3  2+log 6 2  2+2log 3⋅log 2 6 6
=log 6 3+log 6 2  2
=log 6 6  2=1．
故答案为：1.
279 (2024·全国·高三专题练习)解关于x的不等式log (2-4x)<x解集为 ．
2
1
【答案】0,
2

【解析】不等式log (2-4x)<x⇔log (2-4x)<log 2x⇔0<2-4x<2x，
2 2 2
1
解2-4x>0，即22x<2，有2x<1，解得x< ，
2
解2-4x<2x，即22x+2x-2>0，化为(2x+2)(2x-1)>0，有2x>1，解得x>0，
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因此0<x< ，
2
1
所以不等式log (2-4x)<x解集为0,
2 2
 .
1
故答案为：0,
2

280 (2024·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试)已知函数fx  是定义在R上
的奇函数，当x>0时，fx  =log 2 x，则fx  ≥-2的解集是 .
【答案】-4,0 ∪ 
1
    4 ,+∞ 
【解析】当x<0时，-x>0，所以f(-x)=log 2-x  ，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-log 2-x  ，
所以当x<0时，f(x)=-log 2-x  ，
-log 2-x
所以f(x)=
  , x<0

0, x=0，


log x, x>0
2
x>0 x<0 要解不等式f(x)≥-2，只需

或
log 2 x≥-2 -log 2-x 
 或 x=0 ，
 
≥-2 0≥-2
1
解得x≥ 或-4≤x<0或x=0，
4
综上，不等式的解集为 -4,0 ∪ 
1
    4 ,+∞  .
故答案为：-4,0 ∪ 
1
    4 ,+∞  .
281 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)方程2x+log x=17的解为
4
．
【答案】x=4
【解析】设函数fx  =2x+log 4 x，x∈0,+∞  ，由于函数y=2x,y=log 4 x在x∈0,+∞ 
上均为增函数，
又f4  =24+log 4=16+1=17，故方程2x+log x=17的解为x=4. 4 4
故答案为：x=4.
【解题方法总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是
要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注
意对数的真数为正.
2 题型二：对数函数的图像
282 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=log ax+b  (a，b为常数，其中a>0且a≠1)的
图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
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151 3427A.a=0.5，b=2 B.a=2，b=2
C.a=0.5，b=0.5 D.a=2，b=0.5
【答案】D
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以a>1，排除A，C；
又因为函数过点(0.5,0),
所以b+0.5=1，解得b=0.5．
故选：D
283 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)=log (x-1)+2的图象恒过定点 ( )
a
A.(2,2) B.(2,1) C.(3,2) D.(2,0)
【答案】A
【解析】当x=2时f(2)=log 1+2=2，即函数图象恒过(2,2).
a
故选：A
284 (2024·北京·统考模拟预测)已知函数fx  =log 2 x-x-1  2，则不等式f(x)<0的解集为
( )
A. -∞,1  ∪2,+∞  B. 0,1  ∪2,+∞ 
C. 1,2  D. 1,+∞ 
【答案】B
【解析】由题意，不等式f(x)<0，即log 2 x-x-1  2<0，
等价于log 2 x<x-1  2在0,+∞  上的解，
令gx  =log 2 x，hx  =x-1  2，则不等式为gx  <hx  ，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式f(x)<0的解集为0,1  ∪2,+∞  ，
故选：B
285 (2024·北京·高三统考学业考试)将函数y=log x的图象向上平移1个单位长度，得到函
2
数y=fx  的图象，则fx  = ( )
A.log 2x+1  B.1+log 2 x C.log 2x-1  D.-1+log x 2
【答案】B
【解析】将函数y=log x的图象向上平移1个单位长度，得到函数y=1+log x.
2 2
故选：B.
286 (2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测)不等式2log x-(x-1)(x-2)>0的解集为
3
．
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152 3427【答案】x1<x<3 
1
【解析】由2log x-(x-1)(x-2)>0⇒log x> (x-1)(x-2)，
3 3 2
在同一直角坐标系内画出函数fx  =log 3 x,gx 
1
= (x-1)(x-2)的图象如下图所示： 2
因为f3  =g3  =1，
所以由函数的图象可知：当x∈(1,3)时，有fx  >gx  ，
故答案为：x1<x<3 
1
287 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)当0<x≤ 时，4x≤log x，则a的值可以为
2 a
( )
2 3 6
A. B. C. D. 2
2 2 3
【答案】ABC
【解析】分别记函数f(x)=4x，g(x)=log x
a
由图1知，当a>1时，不满足题意；
1 1
当0<a<1时，如图2，要使0<x≤ 时，不等式4x≤log x恒成立，只需满足f
2 a 2
 ≤
1
g
2

1 1 1 2
，即42≤log ，即2≤log ，解得 ≤a<1.
a2 a2 2
第 页 共 页
153 3427故选：ABC
【解题方法总结】
研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题
是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
3 题型三：对数函数的性质(单调性、最值(值域))
288 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=log (1-ax)，若f(x)在(-∞,1]上为减函数，
3
则a的取值范围为 ( )
A.(0,+∞) B.(0,1) C.(1,2) D.(-∞,1)
【答案】B
【解析】设函数y=1-ax，
因为f(x)在(-∞,1]上为减函数，
所以y=1-ax在(-∞,1]上为减函数，则-a<0解得a>0，
又因为y=1-ax>0在(-∞,1]恒成立，
所以y =1-a>0解得a<1，
min
所以a的取值范围为0<a<1，
故选:B.
289 (2024·新疆阿勒泰·统考三模)正数a,b满足2a-4b=log b-log a，则a与2b大小关系为
2 2
．
【答案】a<2b/2b>a
【解析】因为2a-4b=log b-log a，
2 2
所以2a+log a=4b+log b=22b+log b+log 2-1=22b+log 2b-1，
2 2 2 2 2
设f(x)=2x+log x，则f(a)=f(2b)-1，
2
所以f(a)<f(2b)，
又因为y=2x与y=log x在(0,+∞)上单调递增，
2
所以f(x)=2x+log x在(0,+∞)上单调递增，
2
所以a<2b.
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154 3427故答案为：a<2b.
290 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =log a xa>0,a≠1  在1,4  上的最大值是2，
则a等于
【答案】2
【解析】当a>1时，函数fx  =log a x在1,4  上单调递增，
则f4  =log 4=2，解得a=2， a
当0<a<1时，函数fx  =log a x在1,4  上单调递减，
则f1  =log 1=2，无解， a
综上，a等于2.
故答案为：2.
1
291 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)=log x(a>0且a≠1)在  ,4
a  2
 上的最大值为
2，最小值为m，函数g(x)=(3+2m) x在[0,+∞)上是增函数，则a-m的值是
．
【答案】3
【解析】当a>1时，函数fx  =log a x是正实数集上的增函数，而函数fx  =log x在 a
1
  ,4
 2

1
上的最大值为2，因此有f(4)=log 4=2，解得a=2，所以m=log =-1，此时
a 22
gx  = x在0,+∞  上是增函数，符合题意，因此a-m=2--1  =3；
当0<a<1时，函数fx  =log a x是正实数集上的减函数，而函数fx  =log x在 a
1
  ,4
 2

1
上的最大值为2，因此有f
2

1 2
=log =2，a= ，所以m=log 4=-4，此时
a2 2 2
2
gx  =-5 x在0,+∞  上是减函数，不符合题意.
综上所述，a=2，m=-1，a-m=3.
故答案为：3.
292 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)=log (x2-ax+1)有最小值，则a的取值范围是
a
．
【答案】1,2 
【解析】当0<a<1时，外层函数y=log u为减函数，对于内层函数u=x2-ax+1，Δ
a
=a2-4<0，则u>0对任意的实数x恒成立，
由于二次函数u=x2-ax+1有最小值，此时函数fx  =log x2-ax+1 a  没有最小值；
当a>1时，外层函数y=log u为增函数，对于内层函数u=x2-ax+1，
a
函数u=x2-ax+1有最小值，若使得函数fx  =log x2-ax+1 a  有最小值，
则

Δ=a2-4<0
，解得1<a<2.
a>1
综上所述，实数a的取值范围是1,2  .
故答案为：1,2  .
293 (2024·河南·校联考模拟预测)写出一个同时具有下列性质①②③的函数:f(x)= .
① fx 1 x 2  =fx 1  +fx 2  ;②当x∈(0,+∞)时，f(x)单调递减;③f(x)为偶函数.
【答案】log x
1
2
 (不唯一)
【解析】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底0<a<1即可，性质③只需将
自变量x加绝对值即变成偶函数.
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155 3427故答案为：log x
1
2
 (不唯一)
294 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)函数y=log x2-x-2
1
4
 的单调递区
间为 ( )
1
A. -∞,
2
 B. -∞,-1 
1
C.  ,+∞
2
 D. 2,+∞ 
【答案】B
【解析】函数y=log x2-x-2
1
4
 的定义域为(-∞,-1)∪(2,+∞),
令t=x2-x-2，又y=log t在定义域内为减函数，
1
4
故只需求函数t=x2-x-2在定义域-∞,-1  ∪2,+∞  上的单调递减区间，
又因为函数t=x2-x-2在-∞,-1  上单调递减，
∴y=log x2-x-2
1
4
 的单调递区间为-∞,-1  .
故选：B
295 (2024·陕西宝鸡·统考二模)已知函数fx  =lgx+lg2-x  ，则 ( )
A. fx  在0,1  单调递减，在1,2  单调递增
B. fx  在0,2  单调递减
C. fx  的图像关于直线x=1对称
D. fx  有最小值，但无最大值
【答案】C
【解析】由题意可得函数fx  =lgx+lg2-x  的定义域为(0,2)，
则fx  =lgx+lg2-x  =lg(-x2+2x)，
因为y=-x2+2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
且y=lgx在(0,+∞)上单调递增，
故fx  在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，A，B错误；
由于f2-x  =lg(2-x)+lgx=f(x)，故fx  的图像关于直线x=1对称，C正确；
因为y=-x2+2x在x=1时取得最大值，且y=lgx在(0,+∞)上单调递增，
故fx  有最大值，但无最小值，D错误，
故选：C
2+ax,x≤1,

296 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)= 在R上单调，则a的取值范围
2a+log x,x>1
a
是 ( )
A. 0,1  B.[2,+∞)
1
C. 0,
2
 ∪(2,+∞) D. 0,1  ∪[2,+∞)
【答案】D
a>1
【解析】若f(x) 在R上单调递增，则

，解得a∈[2,+∞)，
2+a≤2a+log 1
a
0<a<1
若f(x) 在R上单调递减，则

，解得a∈(0,1)．
2+a≥2a+log 1
a
综上得a∈(0,1)∪[2,+∞).
故选：D
【解题方法总结】
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156 3427研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题
是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.
4 题型四：对数函数中的恒成立问题
297 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
9+x2
= ，gx x  =log 2 x+a，若存在x 1 ∈3,4  ，
任意x 2 ∈4,8  ，使得fx 1  ≥gx 2  ，则实数a的取值范围是 .
13
【答案】-∞,
4

【解析】若f(x)在[3,4]上的最大值f(x) ，g(x)在[4,8]上的最大值g(x) ，
max max
由题设，只需f(x) ≥g(x) 即可.
max max
9 9
在[3,4]上，f(x)= +x≥2 ⋅x=6当且仅当x=3时等号成立，
x x
25
由对勾函数的性质：f(x)在[3,4]上递增，故f(x) = .
max 4
在[4,8]上，g(x)单调递增，则g(x) =3+a，
max
25 13
所以 ≥3+a，可得a≤ .
4 4
13
故答案为：-∞,
4
 .
1
298 (2024·全国·高三专题练习)若∀x∈  ,2
 2
 ，不等式2x2-xlog x+ax<0恒成立，则实
1
2
数a的取值范围为 .
【答案】-∞,-5 
1
【解析】因为∀x∈  ,2
 2
 ，不等式2x2-xlog x+ax<0恒成立，
1
2
1
所以a<log x-2x对∀x∈  ,2
1  2
2
 恒成立.
记fx 
1
=log x-2x，x∈  ,2
1  2
2
 ，只需a<fx  .
min
1
因为y=log x在x∈  ,2
1  2
2

1
上单调递减，y=-2x在x∈  ,2
 2
 上单调递减，
所以fx 
1
=log x-2x在x∈  ,2
1  2
2
 上单调递减，
所以fx  =f2
min
 =-5，所以a<-5.
故答案为：-∞,-5 
299 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-2x+3，g(x)=log x+m，对任意的x ，
2 1
x ∈[1，4]有f(x)>g(x )恒成立，则实数m的取值范围是 .
2 1 2
【答案】(-∞,0)
【解析】函数f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2在[1，4]上单调递增，g(x)=log x+m在
2
[1，4]上单调递增，
∴fx  =f1
min
 =2，gx  =g4
max
 =2+m，
对任意的x ，x ∈[1，4]有f(x)>g(x )恒成立，
1 2 1 2
∴fx  >gx
min
 ，即2>2+m，解得m<0，
max
∴实数m的取值范围是-∞,0  ．
故答案为：(-∞,0).
300 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =x2-2x+3,gx  =log x+m，若对∀x ∈ 2 1
第 页 共 页
157 34272,4  ,∃x 2 ∈16,32  ，使得fx 1  ≥gx 2  ，则实数m的取值范围为 .
【答案】-∞,-1 
【解析】因为对∀x 1 ∈2,4  ,∃x 2 ∈16,32  ，使得fx 1  ≥gx 2  ，
所以fx 1  min ≥gx 2  ， min
因为fx  =x2-2x+3的对称轴为x=1，所以fx  在2,4  上单调递增，所以fx  = min
f2  =3，
又因为gx  =log 2 x+m在16,32  上单调递增，所以gx  =g16 min  =4+m，
所以3≥4+m，所以m≤-1，即m∈-∞,-1  ，
故答案为：-∞,-1  .
301 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =log a x  2+2log a x+3a>0,a≠1  .
(1)若f3  =2，求a的值；
(2)若对任意的x∈8,12  ，fx  >6恒成立，求a的取值范围.
【解析】(1)因为f3  =2，所以log a 3  2+2log 3+3=2， a
所以log a 3+1 
1
2=0，所以log 3=-1，解得a= . a 3
(2)由fx  >6，得log a x  2+2log a x-3>0，即log a x+3  log a x-1  >0，
即log x<-3或log x>1.
a a
当0<a<1时，log 12≤log x≤log 8，则log 8<-3或log 12>1，
a a a a a
因为log 12<log 1=0，则log 12>1不成立，
a a a
1
由log 8<-3可得
a a

3 1
<8，得 <a<1；
2
当a>1时，log 8≤log x≤log 12，则log 12<-3或log 8>1，
a a a a a
因为log 12>log 1=0，则log 12<-3不成立，所以log 8>1，解得1<a<8.
a a a a
1
综上，a的取值范围是 ,1
2
 ∪1,8  .
302 (2024·全国·高三专题练习)已知f(x)=3-2log x，g(x)=log x.
2 2
(1)当x∈1,4  时，求函数y=f(x)+1  ⋅g(x)的值域；
(2)对任意x∈2n,2n+1  ，其中常数n∈N，不等式fx2  ⋅f( x)>kg(x)恒成立，求实数k
的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)=3-2log 2 x，g(x)=log 2 x，y=f(x)+1  ⋅g(x)
令y=hx  =4-2log 2 x  ⋅log 2 x=-2log 2 x-1  2+2，
∵x∈1,4  ，∴log 2 x∈0,2  ，所以当log 2 x=1，即x=2时取最大值hx  =2，当log x max 2
=0或2，即x=1或x=4时取最小值hx  =0，
min
∴函数hx  的值域为0,2  .
(2)由fx2  ⋅f x  >k⋅gx  得3-4log 2 x  3-log 2 x  >k⋅log x， 2
令t=log x，∵x∈2n,2n+1 2  ，∴t=log 2 x∈n,n+1  ，
∴3-4t  3-t  >k⋅t对一切的t∈n,n+1  恒成立，
①当n=0时，若t=0时，k∈R；
当t∈0,1 
3-4t
时，k<
 3-t  9
恒成立，即k<4t+ -15，
t t
9
函数4t+ -15在t∈0,1
t
 单调递减，于是t=1时取最小值-2，此时x=2，
于是k∈-∞,-2  ；
第 页 共 页
158 3427②当n=1时，此时t∈1,2 
3-4t
时，k<
 3-t  9
恒成立，即k<4t+ -15，
t t
9 9 3 9
∵4t+ ≥12，当且仅当4t= ，即t= 时取等号，即4t+ -15的最小值为-3，k
t t 2 t
∈-∞,-3  ；
③当n≥2时，此时t∈n,n+1 
3-4t
时，k<
 3-t  9
恒成立，即k<4t+ -15，
t t
9
函数4t+ -15在t∈n,n+1
t

9
单调递增，于是t=n时取最小值4n-15+ ，
n
9
此时x=2n，于是k∈-∞,4n-15+
n
 .
综上可得：当n=0时k∈-∞,-2  ，当n=1时k∈-∞,-3  ，当n≥2时，k∈
9
-∞,4n-15+
n

【解题方法总结】
(1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
(3)涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数
探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
5 题型五：对数函数的综合问题
a b
303 (多选题)(2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)已知a>1，b>1， =2a， =
a-1 b-1
log b，则以下结论正确的是 ( )
2
1 1
A.a+2a=b+log b B. + =1
2 2a log b
2
C.a-b<-2 D.a+b>4
【答案】ABD
x 1
【解析】对于A，由题意知，a，b是函数h(x)= =1+ 分别与函数f(x)=2x，
x-1 x-1
g(x)=log x图象交点的横坐标，
2
1
由y= 的图象关于y=x对称，
x
1
则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为h(x)=1+ ，
x-1
所以h(x)的图象也关于y=x对称，
又f(x)，g(x)两个函数的图象关于直线y=x对称，
故两交点a,2a  ，b,log 2 b  关于直线y=x对称，
所以a=log b，b=2a，故A正确；
2
a 1 1 1 1
对于B，结合选项A得 =2a=b，则ab=a+b，即 + =1，即 + =1成
a-1 a b 2a log b
2
立，故B正确；
1
对于C，结合选项A得a-b=log b-b(2<b<4)，令φ(b)=log b-b，则φ(b)=
2 2 bln2
-1<0，
所以φ(b)=log b-b在(2,4)上单调递减，则φ(b)>log 4-4=-2，故C错误；
2 2
1 1
对于D，结合选项B得a+b=(a+b) +
a b

b a
=2+ + >4(a≠b，即不等式取不到
a b
等号)，故D正确．
第 页 共 页
159 3427故选：ABD．
n
304 (2024·海南海口·统考模拟预测)已知正实数m，n满足：nlnn=em-nlnm，则 的最
m
小值为 .
e2
【答案】
4
em
【解析】由nlnn=em-nlnm可得： =lnm+lnn,
n
所以em-lnn-lnn=lnm，em-lnn+m-lnn=m+lnm=elnm+lnm，
设fx  =ex+x，fx  =ex+1>0，
所以fx  在R上单调递增，所以fm-lnn  =flnm  ，
em
则m-lnn=lnm，所以lnn=ln ，
m
em n em
所以n= ，所以 = ，令gx
m m m2

ex
= ,gx
x2

ex⋅x2-ex⋅2x ex x-2
= =
x4

，
x3
令gx  >0，解得：x>2；令gx  <0，解得：0<x<2；
所以gx  在0,2  上单调递减，在2,+∞  上单调递增，
所以gx  =g2
min

e2
= .
4
n e2
故 的最小值为 .
m 4
e2
故答案为： .
4
305 (多选题)(2024·广东惠州·统考一模)若6a=2,6b=3，则 ( )
b 1 1 1
A. >1 B.ab< C.a2+b2< D.b-a>
a 4 2 5
【答案】ABD
【解析】因为6b=3,6a=2，所以b=log 3,a=log 2，则a+b=1，
6 6
b log 3
选项A， = 6 =log 3>log 2=1，故A正确；
a log 2 2 2
6
a+b
选项B，因为a+b=log 3+log 2=log 6=1，且a>0,b>0,a≠b，所以ab<
6 6 6 2

2
1
= ，故B正确；
4
1 1
选项C，因为a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-2× = ，故C错误；
4 2
选项D，因为5b-a 
3 243
=5log =log >log 6=1，故D正确， 62 6 32 6
故选：ABD．
306 (2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知x ，x 分别是方程x+ex=3和x+lnx
1 2
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160 34277b2+1
=3的根，若x +x =a+b，实数a，b>0，则 的最小值为 ( )
1 2 ab
7 67
A.1 B. C. D.2
3 9
【答案】D
【解析】x+ex=3,ex=3-x；x+lnx=3,lnx=3-x.
函数y=ex与函数y=lnx的图象关于直线y=x对称，
由  y=3-x 解得x=y= 3 ，设A 3 , 3
y=x 2 2 2
 ，
3
则x +x = ×2=3，即a+b=3，
1 2 2
7b2+1 7b2+1
=
ab 3-b 
7b2+1 7b2-3b
=- =-
b b2-3b
 +21b+1 21b+1
=-7+
b2-3b b2-3b
 ，
t-1
令21b+1=t，则b= ，
21
7b2+1 21b+1 则 =-7+
ab b2-3b
 t =- 7+
t-1
 21 

 2 t-1
-3×  21

 441 =- 7+
 64
t+ -65  t
  441 ≥- 7+
 64
2 t⋅ -65  t
 =2，
64 1 8
当且仅当t= ,t=8=21b+1,b= ,a=3-b= 时等号成立.
t 3 3
故选：D
307 (2024·全国·高三专题练习)若x 满足2x=5-x，x 满足x+log x=5，则x +x 等于
1 2 2 1 2
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】由题意5-x =2x1，故有5-x =log x
1 2 2 2
故x 和x 是直线y=5-x和曲线y=2x、曲线y=log x交点的横坐标.
1 2 2
根据函数y=2x和函数y=log x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，
2
故曲线y=2x和曲线y=log x的图象交点关于直线y=x对称.
2
即点(x ，5-x)和点(x ，5-x )构成的线段的中点在直线y=x上，
1 1 2 2
x +x 5-x +5-x
即 1 2 = 1 2，求得x +x =5，
2 2 1 2
故选：D.
308 (2024·全国·高三专题练习)已知x 是方程x⋅3x=2的根，x 是方程x⋅log x=2的根，则
1 2 3
x ⋅x 的值为 ( )
1 2
A.2 B.3 C.6 D.10
【答案】A
2 2
【解析】方程x⋅3x=2可变形为方程3x= ，方程x⋅log x=2可变形为方程log x= ，
x 3 3 x
∵x 是方程x⋅3x=2的根，x 是方程x⋅log x=2的根，
1 2 3
2 2
∴x 是函数y=3x与函数y= 的交点横坐标，x 是函数y=log x=与函数y= 的
1 x 2 3 x
交点横坐标，
∵函数y=3x与函数y=log x互为反函数，
3
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161 34272 2
∴函数y=log x与函数y= 的交点横坐标x 等于函数y=3x与函数y= 的交点纵
3 x 2 x
2
坐标,即(x,x )在数y= 图象上，
1 2 x
2
又∵y= 图象上点的横纵坐标之积为2，∴xx =2 ，
x 1 2
故选：A
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162 3427