文档内容
专题21.17 一元二次方程（全章中考必考点与常考点分类专题）（5大必考点
与10大常考点）
一、【要点提示】
在中考数学的战场上，一元二次方程作为代数核心板块，既是拉开分数差距的关键，也是许多同学
的 “痛点” 所在。为帮助大家精准突破，我们基于海量中考真题大数据，深度剖析命题规律，提炼出
五大必考点与十大常考点。其中，五大必考点都在历年考卷中 100% 出现；而十大常考点则覆盖概念辨
析、几何应用、函数综合等高频命题方向，从基础概念到跨知识融合，全方位涵盖考试可能出现的题
型。掌握这些考点，不仅能直击中考核心，更能构建系统的代数思维，为后续函数、几何学习筑牢根
基！
二、【考点目录导航】
【中考必考点】
【考点一】解一元二次方程——配方法.........................................................................................................2
【考点二】一元二次方程的根的判别式.........................................................................................................2
【考点三】一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）.............................................................................2
【考点四】实际问题与一元二次方程——增长率问题.................................................................................3
【考点五】实际问题与一元二次方程——销售与利润问题.........................................................................3
【中考常考点】
【考点一】利用一元二次方程的解求代数式的值（整体思想、降次思想）.............................................4
【考点二】解一元二次方程——公式法.........................................................................................................4
【考点三】解一元二次方程——因式分解法.................................................................................................5
【考点四】解可化为一元二次方程的分式方程.............................................................................................5
【考点五】解一元二次方程与几何综合.........................................................................................................5
【考点六】解一元二次方程与一次函数综合.................................................................................................5
【考点七】根的判别式与根与系数关系综合.................................................................................................6
【考点八】根与系数关系与一元二次方程的根综合综合.............................................................................6
【考点九】根与系数关系与几何综合.............................................................................................................7
【考点十】根与系数关系与一次函数综合.....................................................................................................7
三、【题型展示】【中考必考点】
【考点一】配方法及其应用
【例题1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它转化为
的形式，则 的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【变式1】（2023·江苏连云港·中考真题）若 （ 为实数），则 的最小
值为 ．
【变式2】（2025·重庆·中考真题）已知整式 ，其中 为自然数， ， ， ，
…， 为正整数，且 ．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当 时，满足条件的所有整式M的和为 ；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点二】一元二次方程的根的判别式
【例题2】（2025·山东东营·中考真题）若关于 的方程 无实根，则 的取值范
围是 ．
【变式1】（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【变式2】（2024·四川南充·中考真题）已知 ， 是关于 的方程 的两个不相等的
实数根．
（1）求 的取值范围．（2）若 ，且 ， ， 都是整数，求 的值．
【考点三】一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）
【例题3】（2025·四川南充·中考真题）设 ， 是关于 的方程 的两根．
（1）当 时，求 及m的值．
（2）求证： ．
【变式1】（2025·四川眉山·中考真题）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的
值为 ．
【变式2】（2025·河北·中考真题）若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别为 ， ，
则点 在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点四】实际问题与一元二次方程——增长率问题+销售与利润问题
【例题4】（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投
入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【变式1】（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成
为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设
该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税
40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
【考点五】实际问题与一元二次方程——图形面积问题【例题5】（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的
表面展开图．若正方形硬纸板的边长为 ，则折成立方体的棱长为 ．
【变式1】（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距
（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为 ．若纸张大
小为 ，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的 ，则需如
何设置页边距？
【变式2】（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和
长的围栏围成一个面积为 的矩形场地．设矩形的宽为 ，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【中考常考点】
【考点一】利用一元二次方程的解求代数式的值（整体思想、降次思想）
【例题1】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程 的根，那么
的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044【变式1】（2025·四川资阳·三模）已知 为方程 的根，则 ．
【变式2】（2024·四川内江·二模）已知a是方程 的一个根，则
．
【考点二】解一元二次方程——公式法
【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得 ，则该
一元二次方程是 ．
【变式1】（2020·湖北随州·中考真题）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可
以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这
种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：
，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025·湖南长沙·二模）解方程： ；
【考点三】解一元二次方程——因式分解法
【例题3】（2024·四川凉山·中考真题）已知 ，则 的值为 ．
【变式1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）方程 的实数根为 ．
【变式2】（2024·贵州·中考真题）一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【考点四】解可化为一元二次方程的分式方程
【例题4】（2025·上海·中考真题）解方程： ．
【变式1】（2021·江苏宿迁·中考真题）方程 的解是 ．【变式2】（2025·上海杨浦·模拟预测）解方程： ．
【考点五】解一元二次方程与几何综合
【例题5】（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程
的根，则该三角形的周长为 .
【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程
的根，则该三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
【变式2】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， 是
的垂直平分线，且 的长是一元二次方程 的一个根，则平行四边形 的周长
为 ．
【考点六】解一元二次方程与一次函数综合
【例题6】（2021·山东潍坊·中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的
边长为（ ）
A． B．4 C．25 D．5
【变式1】（2024·四川南充·中考真题）当 时，一次函数 有最大值6，则实数
m的值为（ ）
A． 或0 B．0或1 C． 或 D． 或1
【变式2】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）如图，一次函数 与坐标轴相交于 ， 两点，
是射线 上的一点，过 作 轴于点 ， 轴于点 ，若矩形 的面积为20，则点
的坐标为 ．【考点七】根的判别式与根与系数关系综合
【例题7】（2025·四川广安·中考真题）已知方程 的两根分别为 和 ，则代数式
的值为 ．
【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程 的两根分别为 ， ，且 ，则m
的取值范围为（ ）
A． B． 或 C． D．
【变式2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于 的一元二次方程 ．
（1）证明：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）在 中，斜边 ， 、 的长恰是方程 的两个根，求
的面积．
【考点八】根与系数关系与一元二次方程的根综合
【例题8】（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值．
【变式1】（2025·安徽合肥·三模）一元二次方程 有两个实数根 ，那么一次函数
的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2】（24-25八年级下·广东湛江·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有一根为 ，求 的值及另一根的值；（2）若方程有两个不等实根，求实数 的取值范围；
【考点九】根与系数关系与几何综合
【例题9】（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程 ，当 时，该方程的正根
称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩
形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数a，b满足： ，且 ，求ab的值；
（3）已知两个不相等的实数p，q满足： ，求 的值．
【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知平行四边形 的两边 、 的长是关于x
的方程 的两个实数根，当四边形 是菱形时，其周长为 ．
【变式2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，方程总有两个实数根；
（2）矩形 的两条边 恰好是这个方程的两个根
①当 时，矩形 是正方形，此时正方形的边长是 ．
②当矩形 的对角线长为 时，求矩形的面积．
【考点十】根与系数关系与一次函数综合
【例题10】（2025·河北唐山·二模）二次方程 的两根为 和 ，则一次函数 不经过
第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若k，b是一元二次方程 的两个实数根（
），在一次函数 中， 随 的增大而减小，则一次函数的图象一定经过第 象
限．
【变式2】（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数 与一次函数 （ 是常数）的图象交于两个不同的点 ，若点 的横坐标是 ，则点 的横坐标是 ．
