第10讲对数与对数函数_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第10讲 对数与对数函数 知识梳理 1、对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数， 记作x=log N，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． a (2)常见对数： ①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为logN，读作以a为底N的对数； a ②常用对数：以10为底，记为lgN； ③自然对数：以e为底，记为lnN； (3) 对数的性质和运算法则： ①log1=0；loga=1；其中a>0且a≠1； a a ②aloga N =N(其中a>0且a≠1，N>0)； log b ③对数换底公式：log b= c ； a log a c ④log (MN)=log M+log N； a a a M ⑤log =log M-log N； a N a a n ⑥log bn= log b(m，n∈R)； am m a ⑦alogab=b和log ab=b； a 1 ⑧log b= ； a loga b 2、对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 y=log x(a>0且a≠1)叫做对数函数． a 对数函数的图象 a>1 00，当x≥1时，y y≥0 ≤0 【解题方法总结】 第 页 共 页 76 10431、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当00,q>0，满足log 4 p=log 6 q=log 92p+q  p ，则 = q . 3 275 (2024·天津南开·统考二模)计算log 32⋅log 9-log +log 6的值为 . 3 4 24 2 276 (2024·全国·高三专题练习)若log 2=a，14b=5，用a，b表示log 28= 14 35 1 1 277 (2024·上海·高三校联考阶段练习)若12a=3b=m，且 - =2，则m= ． a b 278 (2024·全国·高三专题练习)log 6 3  2+log 6 2  2lg3⋅lg2 2+ lg3+lg2  = ； 2 279 (2024·全国·高三专题练习)解关于x的不等式log (2-4x)0时，fx  =log 2 x，则fx  ≥-2的解集是 . 281 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)方程2x+log x=17的解为 4 ． 2 题型二：对数函数的图像 282 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=log ax+b  (a，b为常数，其中a>0且a≠1)的 图象如图所示，则下列结论正确的是 ( ) 第 页 共 页 77 1043A.a=0.5，b=2 B.a=2，b=2 C.a=0.5，b=0.5 D.a=2，b=0.5 283 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)=log (x-1)+2的图象恒过定点 ( ) a A.(2,2) B.(2,1) C.(3,2) D.(2,0) 284 (2024·北京·统考模拟预测)已知函数fx  =log 2 x-x-1  2，则不等式f(x)<0的解集为 ( ) A. -∞,1  ∪2,+∞  B. 0,1  ∪2,+∞  C. 1,2  D. 1,+∞  285 (2024·北京·高三统考学业考试)将函数y=log x的图象向上平移1个单位长度，得到函 2 数y=fx  的图象，则fx  = ( ) A.log 2x+1  B.1+log 2 x C.log 2x-1  D.-1+log x 2 286 (2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测)不等式2log x-(x-1)(x-2)>0的解集为 3 ． 1 287 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)当00,a≠1  在1,4  上的最大值是2， 则a等于 1 291 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)=log x(a>0且a≠1)在  ,4 a  2  上的最大值为 2，最小值为m，函数g(x)=(3+2m) x在[0,+∞)上是增函数，则a-m的值是 ． 292 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)=log (x2-ax+1)有最小值，则a的取值范围是 a ． 第 页 共 页 78 1043293 (2024·河南·校联考模拟预测)写出一个同时具有下列性质①②③的函数:f(x)= . ① fx 1 x 2  =fx 1  +fx 2  ;②当x∈(0,+∞)时，f(x)单调递减;③f(x)为偶函数. 294 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)函数y=log x2-x-2 1 4  的单调递区 间为 ( ) 1 A. -∞, 2  B. -∞,-1  1 C.  ,+∞ 2  D. 2,+∞  295 (2024·陕西宝鸡·统考二模)已知函数fx  =lgx+lg2-x  ，则 ( ) A. fx  在0,1  单调递减，在1,2  单调递增 B. fx  在0,2  单调递减 C. fx  的图像关于直线x=1对称 D. fx  有最小值，但无最大值 2+ax,x≤1,  296 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)= 在R上单调，则a的取值范围 2a+log x,x>1 a 是 ( ) A. 0,1  B.[2,+∞) 1 C. 0, 2  ∪(2,+∞) D. 0,1  ∪[2,+∞) 4 题型四：对数函数中的恒成立问题 297 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  9+x2 = ，gx x  =log 2 x+a，若存在x 1 ∈3,4  ， 任意x 2 ∈4,8  ，使得fx 1  ≥gx 2  ，则实数a的取值范围是 . 1 298 (2024·全国·高三专题练习)若∀x∈  ,2  2  ，不等式2x2-xlog x+ax<0恒成立，则实 1 2 数a的取值范围为 . 299 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-2x+3，g(x)=log x+m，对任意的x ， 2 1 x ∈[1，4]有f(x)>g(x )恒成立，则实数m的取值范围是 . 2 1 2 300 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =x2-2x+3,gx  =log x+m，若对∀x ∈ 2 1 2,4  ,∃x 2 ∈16,32  ，使得fx 1  ≥gx 2  ，则实数m的取值范围为 . 301 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =log a x  2+2log a x+3a>0,a≠1  . (1)若f3  =2，求a的值； (2)若对任意的x∈8,12  ，fx  >6恒成立，求a的取值范围. 302 (2024·全国·高三专题练习)已知f(x)=3-2log x，g(x)=log x. 2 2 (1)当x∈1,4  时，求函数y=f(x)+1  ⋅g(x)的值域； (2)对任意x∈2n,2n+1  ，其中常数n∈N，不等式fx2  ⋅f( x)>kg(x)恒成立，求实数k 的取值范围. 5 题型五：对数函数的综合问题 a b 303 (多选题)(2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)已知a>1，b>1， =2a， = a-1 b-1 log b，则以下结论正确的是 ( ) 2 第 页 共 页 79 10431 1 A.a+2a=b+log b B. + =1 2 2a log b 2 C.a-b<-2 D.a+b>4 n 304 (2024·海南海口·统考模拟预测)已知正实数m，n满足：nlnn=em-nlnm，则 的最 m 小值为 . 305 (多选题)(2024·广东惠州·统考一模)若6a=2,6b=3，则 ( ) b 1 1 1 A. >1 B.ab< C.a2+b2< D.b-a> a 4 2 5 306 (2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知x ，x 分别是方程x+ex=3和x+lnx 1 2 7b2+1 =3的根，若x +x =a+b，实数a，b>0，则 的最小值为 ( ) 1 2 ab 7 67 A.1 B. C. D.2 3 9 307 (2024·全国·高三专题练习)若x 满足2x=5-x，x 满足x+log x=5，则x +x 等于 1 2 2 1 2 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 308 (2024·全国·高三专题练习)已知x 是方程x⋅3x=2的根，x 是方程x⋅log x=2的根，则 1 2 3 x ⋅x 的值为 ( ) 1 2 A.2 B.3 C.6 D.10 第 页 共 页 80 1043