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复习专题九 水平面、竖直面和斜面内的圆周运动
——精剖细解细复习讲义
知识点1：不同面上的圆周运动
类型 描述 方法
水平面 此类问题相对简单，物体所受合外力 选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象；分析物体受力
内的圆 充当向心力，合外力大小不变，方向 情况，其合外力提供向心力；由 F ＝m=mrω2列方程求
n
周运动 总是指向圆心。 解。
竖直面 拱桥模型 受力特征：下有支 临界特征：F ＝0 ，mg＝mv2 ，即v ＝。过最高点条
N max max
内的圆 撑，上无约束 件：v≤。讨论分析：v≤时：mg－F ＝m，F ＝mg－m时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面。
轻绳模型 受力特征：除重力 临界特征：F ＝0 ，mg＝m即v ＝。过最高点条件：在
N min
外，物体受到的弹力 最高点的速度v≥。讨论分析：过最高点时，v≥，F ＋mg
N
方向：向下或等于零 ＝m，绳、圆轨道对球产生弹力F ；不能过最高点时，
N
v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。
[来
轻杆模型 受力特征：除重力 临界特征：v＝0即F ＝0 F ＝mg。
向 N
外，物体受到的弹力 过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分析：当v＝0
方向：向下、等于零 时，F ＝mg，F 为支持力，沿半径背离圆心；当 0时，F ＋mg＝m，F 指向圆心并随v的增大而增
N N
大。
斜面上 静摩擦力控制 在斜面上做圆周运动 与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中
的圆周 下的圆周运动 的物体，因所受的控 分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定
运动 轻杆控制下的 制因素不同，如静摩 律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图
圆周运动 擦力控制、绳控制、 到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
轻绳控制下的 杆控制，物体的受力
圆周运动 情况和所遵循的规律
也不相同。
圆周运动中的临界问题
明确临界状态：题目中出现“刚好”、“恰好”、“取值范围”等词语一般可判断题
中存在临界条件；如果题中出现“最大”“最小”等词语表明题中存在极值，这个极值经
常是临界状态。明确临界条件：分析临界状态出现的条件并用数学语言表示出来。
物理规律的选择：确定了临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程要选择恰当的
物理规律并列等式求解。
水平面临界问题
临界状态 临界条件
接触面分离 接触面弹力为0
接触面相对滑动 接触面间的摩擦力为最大静摩擦力
轻绳拉直 轻绳拉力易燃为0
竖直面内圆周运动的求解思路
确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，
其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
确定临界点：v ＝，对轻绳，模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来
临
说是F 表现为支持力还是拉力的临界点。
N
确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方
程F =F 。
合 向
进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
水平面内的圆周运动
一、单选题
1．绳a长为L，与水平方向成θ角时绳b恰好在水平方向伸直。当轻杆绕轴AB以角速度ω
匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a、b绳均拉直。重力加速度为g，则（
）
A．a绳的拉力可能为零
B．a绳的拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度 时，b绳中拉力不为零
D．当角速度 时，若a绳突然被剪断，则b绳仍可保持水平
【答案】C【详解】A．a绳的拉力不可能为零，A错误；
B．当b绳中的拉力恰好为零时，竖直方向根据平衡条件得
解得
绳b伸直前，a绳的拉力随角速度的增大而增大，b绳伸直后，a绳的拉力随角速度的增大
而不变，B错误；
C．当b绳中的拉力恰好为零时，水平方向根据牛顿第二定律得
解得
当角速度 时，b绳弯曲无拉力，当 时，b绳恰好伸直无拉力，当
时，b绳中有拉力，C正确；
D．当角速度 时，若a绳突然被剪断，则b绳不能保持水平，D错误。
故选C。
2．一片树叶落在雨伞上面，通过旋转雨伞可以将树叶甩出去。雨伞平面可以看作圆锥面，
树叶可看作质点与伞柄的距离为R，如图所示。雨伞的角速度 逐渐增大，达到 时，树
叶即将发生滑动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g，则下列说法中
正确的是（ ）
A．随着 增大，树叶受到的合力大于向心力，最终脱离伞面
B．树叶与伞面之间的动摩擦因数
C．树叶滑动之前，随着 增大，树叶受到的摩擦力变大
D．树叶滑动之前，随着 增大，树叶受到的支持力变大
【答案】C【详解】A．随着 增大，树叶受到的合力小于所需要的向心力，最终脱离伞面，故A错
误；
CD．树叶滑动之前，受力分析如图所示
在竖直方向根据受力平衡可得
在水平方向根据牛顿第二定律可得
联立解得
可知树叶滑动之前，随着 增大，树叶受到的摩擦力变大，树叶受到的支持力变小，故C
正确，D错误；
B．雨伞的角速度达到 时，树叶刚好发生滑动，此时在竖直方向有
在水平方向有
又
联立可得
故B错误。
故选C。
3．如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO＇
的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重
力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速
度，下列说法正确的是（ ）A．b一定比a后开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C． 时b相对圆盘未发生相对滑动
D．当 时，a所受摩擦力的大小为
【答案】C
【详解】A．当a恰好发生滑动时，最大静摩擦力提供向心力
解得
当b恰好发生滑动时，最大静摩擦力提供向心力
解得
由上可知，b恰好发生相对滑动时的角速度更小，即b先发生滑动，故A错误；
B．当角速度为 时，a，b均未发生相对滑动，静摩擦力提供向心力
此时，a，b所受摩擦力不同，故B错误；
C．b恰好发生相对滑动的角速度
故C正确；
D．当 时，a尚未发生滑动，所受摩擦力的大小为
故D错误。
故选C。
4．如图所示，在半径为R的半球形陶罐的内表面上，一质量为m的光滑小球在距碗口高
度为h的水平面内做匀速圆周运动，小球可视为质点，重力加速度为g，则下列说法正确
的是（ ）A．小球运动的周期为 B．小球运动的线速度为
C．陶罐对小球的支持力为 D．小球运动的向心加速度为
【答案】B
【详解】ABD．设小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析可知
其中
可得
选项AD错误，B正确；
C．陶罐对小球的支持力为
选项C错误。
故选B。
5．用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小
球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω。线的张力为F ，则F 随ω2变化的图象是下
T T
图中的（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当ω较小时，斜面对小球有支持力，当ω=ω 时，F =0
0 N
当ω<ω 时，受力分析如图
0
Fsinθ＋F cosθ=mg
T N
Fcosθ－F sinθ=mω2r
T N
则
F =mgsinθ＋mω2rcosθ
T
F 关于ω2的函数为一次函数，斜率为mrcosθ
T
当ω>ω 时，受力分析如图
0Fsinα=mω2Lsinα
T
F =mω2L
T
F 关于ω2的函数为正比例函数，斜率为mL>mrcosθ，故C正确，ABD错误。
T
故选C。
6．如图所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以规定的行驶速度v转
弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压。已知火车质量为m，轨道平面与水平面夹角
为θ，重力加速度为g。在火车转弯的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．火车受重力、支持力和向心力
B．该弯道的半径
C．铁轨对火车的支持力等于
D．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的侧向挤压
【答案】C
【详解】A．火车转弯时，由于内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，则可知转弯过程中
火车受到重力和支持力两个力的作用，而重力和支持力的合力提供火车转弯时的向心力，
故A错误；
BC．火车的受力分析如图所示由牛顿第二定律可得
解得
铁轨对火车的支持力为
故B错误，C正确；
D．当火车速率大于v时，火车有向外运动的趋势，此时外轨将受到轮缘的侧向挤压，故D
错误。
故选C。
二、多选题
7．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个质量
相等的小物块。A离轴心距离r=10cm，B离轴心距离2r=20cm，A、B与盘面间动摩擦因
数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s2，开始时细绳恰好伸直。当圆盘转动
的角速度ω从零开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当ω=5rad/s时，绳子没有拉力
B．当ω=5 rad/s时，A所受的静摩擦力为零
C．ω在5rad/s＜ω＜5 rad/s范围内增大时，A所受的摩擦力一直增大
D．若当A、B两物体刚好开始相对桌面滑动时剪断细绳，B将做离心运动，A将做近心运
动
【答案】AB【详解】ABC．当圆盘转动的角速度ω从零开始逐渐增大，A和B均由静摩擦力提供向心
力，但B物体侧滑的临界角速度较小，设角速度为 时，绳子拉直出现拉力，对B物体有
解得
当角速度继续增大后，A所受的静摩擦力向右逐渐减小，当静摩擦力为零的角速度为 ，
有
，
解得
再增大角速度，A所受的静摩擦力沿半径向外，当角速度达到 时，A所受的摩擦力达到
最大，A先内侧滑，B跟着向外侧滑，有
，
解得
当ω=5rad/s时，绳子即将出现拉力；当ω=5 rad/s时，A所受的静摩擦力刚好为零；当
1 2
ω在5rad/s＜ω＜5 rad/s范围内增大时，A所受的摩擦力向内一直减小。故AB正确，C
错误；
D．当ω=10rad/s时，A、B两物体刚好开始相对桌面滑动，此时剪断绳子，B物体受到的
3
合力都不足以提供此时两物体做圆周运动的向心力，因此B物体都会做离心运动；A物体
所受的摩擦力会突然变向指向圆心，设角速度为 时，A物体受到最大静摩擦力，对A物
体有
解得
即最大静摩擦力仍无法提供ω3=10rad/s时A需要的向心力，因此A也会做离心运动，故D
错误。
故选AB。
8．若将中国短道速滑运动员林孝俊在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运
动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为θ（蹬冰角）的支持力，不计一切摩
擦，弯道半径为R，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）A．地面对运动员的作用力与重力的合力提供向心力
B．运动员转弯时速度的大小为
C．若转弯速度变大则需要减小冰角
D．运动员做匀速圆周运动，他所受合外力保持不变
【答案】ABC
【详解】A．地面对运动员的作用力与重力的合力提供向心力，故A正确；
B．由运动员转弯时，根据牛顿第二定律有
解得运动员转弯时速度的大小为
故B正确；
C．若转弯速度变大则需要减小冰角，故C正确；
D．运动员做匀速圆周运动，他所受合外力始终指向圆心，方向时刻改变，故D错误。
故选ABC。
竖直面内的圆周运动
一、单选题
1．如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，O、C的距离为 ，
把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方，
悬线碰到钉子瞬间（ ）
A．小球的线速度突然增大为原来的2倍
B．小球的加速度突然增大为原来的2倍
C．小球受的拉力突然增大为原来的2倍D．小球的向心力突然增大为原来的4倍
【答案】B
【详解】A．悬线碰到钉子前后，悬线的拉力始终与小球的运动方向垂直，小球的线速度
大小不变，故A错误；
BD．悬线碰到钉子后，小球的运动半径减小为原来的一半，线速度大小不变，由
知加速度变为原来的2倍，由
F=
n
可知向心力变为原来的2倍，故B正确，D错误；
C．由最低点受力分析
mg是定值，故拉力不是原来的2倍，故C错误。
故选B。
2．如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列
说法正确的是（ ）
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
【答案】D
【详解】A．在最高点时，当人与保险带间恰好没有作用力时，由重力提供向心力
解得临界速度为
当人在最高点时的速度大于临界速度时，人与座椅产出外侧挤压，没有保险带，人也不会
掉下来，故A错误；
B．当人在最高点的速度 时，有解得
根据牛顿第三定律可知人对座位产生压力，故B错误；
CD．人在最低点时，根据牛顿第二定律
所以
由牛顿第三定律可知人对座位的压力大于mg，故C错误，D正确。
故选D。
3．如图所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方
向做匀速圆周运动。 、 为水平直径， 、 为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，
物块相对于木板始终静止，则（ ）
A．物块始终受到三个力作用
B．从a到b，物块处于超重状态
C．从b到a，物块处于超重状态
D．只有在 四点，物块受到的合外力才指向圆心
【答案】C
【详解】A．在c、d两点处，物块只受重力和支持力，在其它位置处物块受到重力、支持
力和静摩擦力三个力的作用，A错误；
B．从a到b，物块的向心加速度有向下的分量，所以物块处于失重状态，B错误；
C．从b到a，物块的向心加速度有向上的分量，所以物块处于超重状态，C正确；
D．物块做匀速圆周运动，合外力提供向心力，所以合外力始终指向圆心，D错误。
故选C。
4．如图所示，长为3L的轻杆可绕光滑水平转轴O转动，在杆两端分别固定质量均为m的
球A、B，球A距轴O的距离为已知。现给系统一定能量，使杆和球在竖直平面内转动。
当球B运动到最高点时，水平转轴O对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加
速度为g，则球B在最高点时，下列说法正确的是（ ）A．球B的速度为
B．球B的速度为2
C．球B的速度为2
D．杆对球B的弹力方向竖直向上
【答案】C
【详解】D．由题意可知，水平转轴O对杆的作用力恰好是零，说明球A、B对杆的作用
力是一对平衡力，由于A球在最低点，杆对球A的弹力竖直向上，则杆对球B的弹力竖直
向下，且两力大小相等，D错误；
ABC．由以上分析，设球A、B转动的角速度为ω，由牛顿第二定律，对A球则有
对B球则有
联立解得
由线速度与角速度的关系公式，可得球A的速度
球B的速度
AB错误，C正确。
故选C。
5．如图所示，一辆可视为质点的汽车以恒定的速率驶过竖直面内的凸形桥。已知凸形桥面
是圆弧形柱面，则下列说法中正确的是（ ）
A．汽车在凸形桥上行驶的过程中，所受合力始终为零B．汽车在凸形桥上行驶的过程中，始终处于失重状态
C．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，其机械能守恒
D．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，所受重力做功为零
【答案】B
【详解】A B．汽车在凸形桥上行驶的过程中因为做匀速圆周运动，汽车的合力始终不为
零；汽车的向心加速度有竖直向下的加速度分量，所以处于失重状态，A错误，B正确；
C．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，因速率恒定，动能不变，但重力势能增大，故机械
能不守恒，C错误；
D．汽车从桥底行驶到桥顶的过程中，重力做负功，D错误。
故选B。
6．重庆巴南区的一段“波浪形”公路如图甲所示，公路的坡底与坡顶间有一定高度差，若
该公路可看作由半径相同的凹凸路面彼此连接而成，如图乙所示。如甲图所示重力为G的
货车平行于中心标线行驶，先后经过了某段凸形路面的最高点M和凹形路面的最低点N时，
对路面的压力大小分别为 、 。则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A．在凸形路面的最高点M，设路面对车的支持力 ，由牛顿第二定律有
由牛顿第三定律可得车对路面的压力
则可知
故A错误；
BCD．在凹形路面的最低点N，由牛顿第二定律有
由牛顿第三定律可得则可得
故BD错误，C正确。
故选C。
二、多选题
7．如图所示，质量为m的小球置于内表面光滑的正方体盒子中，盒子的棱长略大于球的
直径。某同学拿着这个盒子在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，盒子在运动过程中不
发生转动，已知重力加速度为g，盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力。以下说法
正确的是（ ）
A．该盒子做匀速圆周运动的周期为
B．该盒子做匀速圆周运动的线速度为
C．盒子经过与圆心O等高处的B点时，小球对盒子左壁的压力大小为mg
D．盒子经过最低点C时与小球之间的作用力大小为mg
【答案】AC
【详解】B．盒子经过最高点A时与小球间恰好无作用力，此时对球，重力提供向心力，
有
则该盒子做匀速圆周运动的线速度为
B错误；
A．盒子做匀速圆周运动的周期为
A正确；C．盒子经过与圆心O等高处的B点时，球受到盒子左壁的水平向右的压力 提供向心力，
有
根据牛顿第三定律，小球对盒子左壁的压力大小为
C正确。
D．盒子经过最低点C时，对球，支持力与重力的合力提供向心力，有
解得
D错误。
故选AC。
8．如图所示，圆心为 的竖直光滑半圆轨道ab、圆心为 的竖直光滑半圆管道cd与水
平粗糙平面bc连接，轨道ab半径与管道cd半径均为R，bc距离也为R。一小滑块以某一
速度从半圆轨道最高点a水平向左进入半圆轨道做圆周运动，最终从半圆管道最高点d水
平向左飞出。若小滑块在轨道ab最高点a和管道cd最高点d受到弹力大小均为0.6mg。重
力加速度为g，小滑块可视为质点，管道内径较小，则（ ）
A．滑块在a点的速度与经过d点时的速度大小相等
B．滑块从a点水平飞出的速度为
C．水平粗糙平面bc的动摩擦因数为0.6
D．滑块对轨道ab最低点和管道cd最低点的压力大小比为11:9
【答案】CD
【详解】AB．水平面bc粗糙，则小滑块运动过程中机械能减小，所以滑块在a点的速度
大于经过d点时的速度，小滑块在轨道ab最高点a和管道cd最高点d受到弹力大小均为
0.6mg，根据牛顿第二定律有解得
，
故AB错误；
C．小滑块从a点到d点，根据动能定理有
解得
故C正确；
D．从a点到b点，根据动能定理有
在b点，根据牛顿第二定律有
解得
从c点到d点，根据动能定理有
在c点，根据牛顿第二定律有
解得
结合牛顿第三定律可知滑块对轨道ab最低点和管道cd最低点的压力大小比为11:9，故 D
正确；
故选CD。
9．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半
径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，轻杆与小球之间弹力的大小为F，小球速度的
大小为 ，其 图像如图乙所示。则（ ）A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C． 时，小球对轻杆的弹力方向向上
D． 时，小球受到的弹力与重力大小不相等
【答案】AC
【详解】AB．小球运动到最高点时，若v=0，则
若F=0，则
解得
故A正确；B错误；
C．由图可知， 为临界条件，因为
所以此时轻杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律可知小球对轻杆的弹力方向向上。
故C正确；
D．同理， 时，有
解得
即小球受到的弹力与重力大小相等。故D错误。
故选AC。
10．周日，一同学和父母一起自驾外出游玩，途中某段路面由两个半径相同的圆弧相切组
成，该同学乘坐的汽车（视为质点）以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点
B时，汽车对路面的压力恰好为零。已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为
R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）A．汽车的速率为
B．汽车的速率为
C．汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为3mg
D．汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为2mg
【答案】AD
【详解】AB．由受力分析可知，汽车在B点时只受重力，由重力提供向心力，有
解得汽车的速率
故A正确，B错误；
CD．汽车在A点时，有
解得
由牛顿第三定律可知，汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为2mg，故C错
误，D正确。
故选AD。
斜面上的圆周运动
一、单选题
1．如图所示，在倾角为 的光滑斜面上，有一根长为 的细绳，一端固定在
O点，另一端系一质量为 的小球，沿斜面做圆周运动，取 ，小球在A
点最小速度为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，小球恰好过A点时的速度最小，即小球过A点时绳子上的拉力恰好
为零时，此时小球做圆周运动的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力来提供，由牛顿
第二定律有
解得
故选B。
2．倾角θ的光滑斜面上的O点固定有一根长为L的轻质细线，细线的另一端拴住质量为m
的小球（视为质点），P点钉有一颗光滑钉子（ ），如图所示．现将小球拉至与
O点等高的A点由静止释放，释放前细线刚好拉直，之后小球恰能绕钉子做半径为R的完
整圆周运动．则下列说法中正确的是（ ）
A．由题意判断可得
B．小球刚被释放后的加速度大小为
C．细线碰到钉子之前，小球在运动过程中合外力全部提供向心力
D．细线碰到钉子以后，小球在运动过程中的最小速率为
【答案】B
【详解】小球恰能绕钉子做半径为R的完整圆周运动，则 ，小球从静止释
放至运动到最高点的过程中，只有重力做功，因而机械能守恒，则根据机械能守恒定律得
，解得 ，A错误；小球刚被释放时，由于绳子的拉力为零，
故在沿斜面方向上的合力为 ，故加速度 ，B正确；细线碰到钉子之前，
由于小球做变速圆周运动，所以其合力不是全部提供向心力，其中一部分充当切向加速度，
用来改变小球的速度，C错误；细线碰到钉子以后，在R圆周的最高点速度并且重力沿斜
面向下的分力完全充当向心力时，速度最小，最小为 ，D错误．
【点睛】本题可类比与在竖直方向上的圆周运动，不同的是在竖直方向上的圆周运动最高
点的临界条件是重力完全充当向心力，而本题在最高点时的临界条件是 充当向心
力．3．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度 转动，盘面
上离转轴0.1m处有一小物体，小物体与圆盘始终保持相对静止，小物体与盘面间的动摩擦
因数为 。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面间的夹角为30°，
。则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当小物块在圆盘最低点时，根据牛顿第二定律
的最大值为
故选C。
4．如图所示，一倾斜的匀质圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速
转动，盘面上离转轴距离为 处有一可视为质点的小物体始终相对静止在圆盘上。已
知物块与盘面间的动摩擦因数为 ，盘面与水平面的夹角 ，重力加速度大小为
，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．小物体运动到最高点时所受静摩擦力可能为零
B．若要小物体与圆盘始终保持相对静止，圆盘角速度的最大值为
C．圆盘做匀速圆周运动，小物体运动到与圆盘圆心等高点时摩擦力方向指向圆盘中心
D．小物体运动过程中静摩擦力方向始终都是通过圆盘中心，但不一定指向圆盘中心，也
可能是背离圆盘中心
【答案】B【详解】B．小物块在最低点即将滑动时，此时圆盘角速度最大，由牛顿第二定律有
解得圆盘角速度的最大值
故B正确；
A．小物块在最高点恰好不受摩擦力时，根据牛顿第二定律有
解得小物块在最高点不受摩擦力时的角速度
代入数据解得
由于物体与圆盘相对静止，故角速度不会超过 ，故到最高点摩擦力不能为零，故
A错误；
CD．由于做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，除掉最高点和最低点外其他位置，重
力的下滑分力方向均不通过圆心，则摩擦力方向均不通过圆盘中心，故CD错误。
故选B。
5．如图所示，将一个小物体置于斜面长为 、倾角 为 的斜面的中点，斜面可绕
竖直轴 做匀速圆周运动，物体与斜面间的动摩擦因数为 ，要使物体与斜面保持相对
静止，则斜面转动的最大角速度为（假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力， = ，
sin37°=0.6，cos37°=0.8）（ ）
A．1.00rad/s B．0.75rad/s
C．0.50rad/s D．0.25rad/s
【答案】D
【详解】当斜面转动的角速度最大时，物块受沿斜面向上的最大静摩擦力，由受力分析可
知： ； ；其中 ；
联立并代入数据解得： =0.25rad/s；故选D.
6．如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻绳的
ω
一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过
程中斜劈静止，下列说法正确的是（ ）
A．小球在顶端时，速度大小为
B．小球在底端时，速度大小为
C．小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变
D．小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
【答案】B
【详解】A．小球在顶端时，绳的拉力F 与重力沿斜面向下的分力的合力提供小球做圆周
T
运动所需的向心力，有
F ＋mg sinθ＝m
T
可知绳的拉力越小，小球的速度越小，当绳的拉力为零时，小球恰好在斜面上做圆周运动，
在顶端时的速度为
v ＝ ＝
min
选项A错误；
B．小球由顶端向底端运动时，只有重力对小球做功，根据动能定理
mg·2l sin θ＝ mv2－ mv 2
min
代入数据可得
v＝
选项B正确；
CD．小球在斜面上受重力、支持力和绳的拉力作用做变速圆周运动，其所受重力与斜面的
支持力大小和方向均保持不变，绳的拉力大小和方向均不断变化，根据牛顿第三定律，以
斜劈为研究对象，斜劈在小球恒定的压力、绳沿斜面方向不断变化的拉力、地面的支持力、
摩擦力和自身的重力作用下保持平衡，绳的拉力沿斜面方向不断变化，故其在水平和竖直
方向上的分量也在不断变化，根据斜劈的平衡条件可知，它受到的水平方向上的摩擦力大
小是变化的，地面对斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和，选项CD错误。
故选B。
二、多选题
7．如图所示，在倾角为 的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v
开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一
切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为
B．小球通过B点时的最小速度为
C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关
D．若小球以 的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处
时与A点间的距离为2L
【答案】ACD
【详解】A．小球在A点受到重力、斜面的支持力以及杆的拉力，由向心力公式可得
可得
故A正确；
B．杆可以为小球提供支持力，所以小球经过最高点B时的最小速度为零，故B错误；
C．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量，与小球的速度无关，故C
正确；
D．经分析可知小球经过B点脱落后在斜面上作类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，
在沿斜面方向做初速度为零的匀加速度直线运动。沿斜面方向根据牛顿第二定律
由位移公式可知
水平方向
故D正确。故选ACD。
8．如图所示，倾角θ=30°的斜面ABC固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点
A在转轴OO₁上。可视为质点、质量为m的小物块随转台一起以角速度ω匀速转动，此时
小物块到A点的距离为L，其与斜面之间动摩擦因数为 重力加速度为g，设最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，则物块随斜面一起转动且无相对滑动的过程中，下列说法正确的是（
）
A．小物块对斜面的压力大小可能等于
B．小物块对斜面的压力大小不可能等于
C．水平转台转动角速度ω可能为
D．水平转台转动角速度ω不可能为
【答案】BC
【详解】根据题意可知，当角速度最小时，物块恰好不下滑，受力分析如下图所示
由平衡条件， 轴方向有
由牛顿第二定律， 轴方向有
解得当角速度最大时，物块恰好不上滑，受力分析如下图所示
由平衡条件， 轴方向有
由牛顿第二定律， 轴方向有
解得
由以上分析可知，角速度的取值范围为
设小物块对斜面的压力为 ，则根据牛顿第三定律可知小物块对斜面的压力
由此可知，小物块对斜面压力的取值范围为
故选BC。
一、解答题
1．如图，一半径为 的光滑四分之一圆弧轨道竖直放置，其末端A与一水平传送带
相连，传送带以 的速度向右匀速转动（不计转轮大小），在传送带右端B的正
下方有一水平放置的静止圆盘，在其右边缘C点固定一个高度不计且没有底的光滑小桶，
传送带与圆盘直径 平行且传送带右端B与圆盘左边缘D点在同一竖直线上，其高度差
为 。一质量为 的物块（可视为质点）从四分之一圆孤轨道上某处由静止滑
下，无能量损失地滑上传送带后，先加速，经 与传送带共速，后经传送带右端B水平抛出，恰好落入小桶内，圆盘随即开始加速转动至角速度 后匀速转动，在此
过程中，物块与圆盘始终保持相对静止。已知物块与传送带间的动摩擦因数为 ，物
块与圆盘间的动摩擦因数为 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小
取 。求：
（1）圆盘的半径R和物块经过A点时，对四分之一圆弧轨道的压力大小 ；
（2）圆盘匀速转动时，小桶对物块的作用力大小F（结果可用分数表示）；
（3）圆盘所在水平面与地面间的高度差为 ，匀速转动时，若将小桶轻轻拿走，
求物块落地点与圆盘圆心O的水平距离d。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）5m
【详解】（1）设物块经过A点时的速度为 ，当物块滑上传送带，根据牛顿第二定律可
得
解得
物块经 与传送带共速，则有
代入数据解得
在A点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知对四分之一圆弧轨道的压力大小 = ；
物块从B点到C点做平抛运动，有解得
（2）圆盘匀速转动时，对物块分析，则有
又
联立解得
（3）匀速转动时，若将小桶轻轻拿走，此时物块的速度为
此后小球做平抛运动，有
物块落地点与圆盘圆心O的水平距离
解得
2．如图所示，竖直固定的四分之一粗糙圆轨道下端B点水平，半径R=1m，质量M=1kg
1
的长薄板静置于倾角θ=37°的粗糙斜面CD上，其最上端刚好在斜面顶端C点。一质量为
m=1.5kg的滑块（可看做质点）从圆轨道A点由静止滑下，运动至B点时对轨道的压力大
小为F =39N，接着从B点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最上端，并在薄板
N
上开始向下运动；当小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放并开始沿斜面向下运动，
其运动至斜面底端时与竖直固定的光滑半圆轨道DE底端粘接在一起。已知斜面CD长
L=7.875m，薄板长L=2.5m，厚度忽略不计，其与斜面的动摩擦因数μ=0.25，滑块与长薄
2 1 1
板间的动摩擦因数为μ=0.5，滑块在斜面底端的能量损失和运动过程中空气阻力均忽略不
2
计，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，试求：
（1）滑块运动至B点时速度大小v及滑块由A到B运动过程中克服摩擦力做的功W；
f
（2）滑块运动到D点时的速度大小；
（3）如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R 需要满足什么条件？
2【答案】（1）4m/s；3J；（2）8m/s；（3）R≥3.2m或1.28m≥R>0
2 2
【详解】（1）滑块在B点由牛顿第二定律可得
代入数据解得
v=4m/s
从A到B点的过程中，根据动能定理得
mgR−W= mv2
1 f
代入数据解得
W=3J
f
（2）从B到C滑块做平抛运动，在C点
代入数据解得
v=5m/s
设小滑块在薄板上向下滑行的加速度为a，根据牛顿第二定律有
1
代入数据解得
a=2m/s2
1
设薄板在斜面上向下滑行的加速度为a，根据牛顿第二定律有
2
代入数据解得
a=7m/s2
2
设经过时间t 小滑块与薄板达到共同速度v，小滑块位移为x，薄板位移为x，则有
1 1 1 2
解得
t=1s
1
v=at=7m/s
1 21小滑块相对薄板的相对位移
Δx=x-x=2.5m=L
1 2 1
小滑块刚好到达薄板的最下端，由于μ>μ，之后二者一起以a 沿斜面加速下滑，由牛顿
2 1 共
第二定律有
（M+m）gsin37°−μ（M+m）gcos37°=（M+m）a
1 共
代入数据解得
a =4m/s2
共
设整体刚好到达斜面的最下端D点速度为v，则由运动学公式可得
解得
v=8m/s
（3）在E点，当竖直半圆轨道DE半径为 时，滑块刚好到达半圆轨道顶点，在半圆轨
道的顶点，根据牛顿第二定律有
从D到E的过程中，滑块机械能守恒，则有
联立解得
=1.28m
如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R 需要满足
2
1.28m≥R>0
2
当竖直半圆轨道DE半径为 时，滑块刚好到达半圆轨道最左端，由机械能守恒得
代入数据解得
则有滑块在沿半径为 竖直半圆轨道DE滑动中，最高滑到半圆轨道最左端，就不会脱离
竖直半圆轨道，则有
R≥3.2m
2
因此如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R 需要满足
2
1.28m≥R>0或R≥3.2m
2 23．如图所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”型二面体AB－CD－EF，可绕其竖直中
心轴 在水平面内匀速转动，置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上
没有相对滑动。二面体的二面角为120°。面ABCD和面CDEF的长和宽均为L＝20cm，CD
距水平地面的高度为h＝1.1m，取重力加速度 。
（1）求“V”型二面体匀速转动的角速度的大小；
（2）若“V”型二面体突然停止转动，求小物体从二面体上离开的位置距A点的距离。
【答案】（1） ；（2）y＝0.025m
【详解】（1）设小物体受到的支持力为F，受力如图所示。
根据牛顿第二定律得
，
解得
（2）“V”型二面体突然停止转动，设小物体在二面体上运动的时间为t，运动的初速度大
小为 ，加速度大小为a，沿AD方向向下运动的距离为y，则，
小物体沿BA方向的速度为
小物体沿BA方向的位移为
小物体沿AD方向的位移为
代入数据联立解得
y＝0.025m
4．长为 的杆OC固定在地面上且与倾斜圆盘AB（厚度不计）垂直，装置截面如
图所示，盘面与水平面夹角 ，圆盘可以以杆为轴旋转，利用该装置可以研究匀速圆
周运动的相关规律，研究过程如下：将一大小可忽略。质量 的物块放置于圆盘边
缘最低点A点，物块与圆盘间动摩擦因数 ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，观
察到若圆盘做匀速圆周运动时的角速度小于等于lrad/s时，物块能够随圆盘一起匀速转动，
否则会飞离圆盘，求：（g取 ）
（1）圆盘直径D；
（2）物块转到圆盘边缘最高点B点时受到的摩擦力：
（3）当圆盘做匀速圆周运动的角速度为1rad/s，物块旋转到最低点A点时，圆盘因故障突
然停止转动，物块滑离圆盘，物块落地点距C点的距离。【答案】（1） ；（2）大小为 ，方向沿斜面向上；（3）
【详解】（1）圆盘旋转时，物块在A点受的摩擦力最大，当角速度等于lrad/s时，有
解得
（2）角速度等于lrad/s时，物块在B点受的摩擦力设为f ，有
B
解得摩擦力大小为
方向沿斜面向上。
（3）物块滑离圆盘后做平抛运动，平抛初速度为
下落高度为
竖直方向有
水平方向有
解得
A点在地面的投影到C点的距离为所以物块的落地点到C点的距离为
