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第 19 讲 原函数与导函数混合还原
知识梳理
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
3、对于 ，构造 ，
4、对于 ，构造
5、对于 ，构造 ，
6、对于 ，构造
7、对于 ，构造 ，
8、对于 ，构造
9、对于 ，构造 ，
10、对于 ，构造
11、对于 ，构造 ，
12、对于 ，构造
13、对于 ，构造
14、对于 ，构造
15、 ； ；
；
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16、 ； ．
必考题型全归纳
题型一：利用 构造型
例1．（安徽省马鞍山第二中学2024学年高三上学期10月段考数学试题）已知 的定义
域为 ， 为 的导函数，且满足 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
例2．（河南省温县第一高级中学2024学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数
的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
例3．（黑龙江省大庆实验中学2024届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已
知函数 的定义域为 ， 为函数 的导函数，若 ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在 上的偶函数
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的导函数为 ，当 时， ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（四川省绵阳市盐亭中学2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在
上的函数 满足 ， ，则关于 的不等式 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（河南省豫北重点高中2024学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知
函数 的定义域为 ，其导函数是 ，且 ．若 ，则
不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（广西15所名校大联考2024届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学试题）已
知 是定义在R上的偶函数，其导函数为 ，且 ，则不等
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式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
题型二：利用 构造型
例4．（河南省信阳市息县第一高级中学2024学年高三上学期9月月考数学试题）已知定
义在 的函数 满足： ，其中 为 的导函
数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′
(x)>2f(x)，若g(x)＝ ，则不等式g(x)<g(1)的解集是（ ）
A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
例6．（江苏省苏州市2024届高三下学期3月模拟数学试题）已知函数 是定义在 上
的奇函数， ，当 时，有 成立，则不等式 的解集是
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（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（西藏昌都市第四高级中学2024届高三一模数学试题）已知函数 是定义在
的奇函数，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
题型三：利用 构造型
例7．（河南省2024学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R上的函数
满足 ，且有 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例8．（河南省2024学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在 上的函数 满
足 ，且有 ，则 的解集为（ ）
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A． B．
C． D．
例9．（广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2024届高三模拟仿真数学试题）已知
是函数 的导函数，对于任意的 都有 ，且 ，
则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（宁夏吴忠市2024届高三一轮联考数学试题）函数 的定义域是 ， ，
对任意 ， ，则不等式： 的解集为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
题型四：用 构造型
例10．（安徽省六安市第一中学2024学年高二下学期期末数学试题）定义在 上的函
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数 的导函数为 ，满足： ， ，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例11．（广东省汕头市2024届高三三模数学试题）已知定义在R上的函数 的导函数为
，且满足 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例12．（陕西省安康市2024届高三下学期4月三模数学试题）已知函数 的定义域为
，且对任意 ， 恒成立，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式7．（新疆克拉玛依市2024届高三三模数学试题）定义在R上的函数 的导函数为
， ，对于任意的实数 均有 成立，且 的图像
关于点（ ，1）对称，则不等式 的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（ 1，+∞） C．（ ∞， 1） D．（ ∞，1）
变式8．（浙江省绍兴市新昌中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在
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R上的函数 的导函数为 ，且满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式9．（吉林省长春市吉大附中实验学校2024学年高三上学期第四次摸底考试数学试
题）设 是函数 的导函数，且 ， （e为自然对数的
底数），则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式10．（四川省绵阳市南山中学2024学年高三二诊热身考试数学试题）已知定义在
上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 ， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式11．（山东省烟台市2024届高三二模数学试题）已知函数 的定义域为R，其导
函数为 ，且满足 ， ，则不等式 的解集
为（ ）．
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A． B．
C． D．
变式12．（江西省九江十校2024届高三第二次联考数学试题）设函数 的定义域为 ，
其导函数为 ，且满足 ， ，则不等式
（其中 为自然对数的底数）的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
题型五：利用 、 与 构造型
例13．（江西省2024届高三教学质量监测数学试题）定义在区间 上的可导函数
关于 轴对称，当 时， 恒成立，则不等式
的解集为（ ）
AB
⊥¿¿
A． B． C． D．
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例14．（天津市南开中学2024届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数 是定义
在 上的奇函数．当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
例15．函数 对任意的 满足 (其中 是
函数 的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式13．已知可导函数 是定义在 上的奇函数．当 时，
，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
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1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型六：利用 与 构造型
例16．（重庆市九龙坡区2024届高三二模数学试题）已知偶函数 的定义域为
，其导函数为 ，当 时，有 成立，则关于x
的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例17．已知偶函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有
成立，则关于x的不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
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例18．设函数 在 上存在导数 ，对任意的 ，有 ，
且在 上有 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型七：复杂型： 与 等构造型
例19．（广西柳州市2024届高三11月第一次模拟考试数学试题）已知可导函数 的导
函数为 ，若对任意的 ，都有 ．且 为奇函数，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例20．（河南省多校联盟2024届高考终极押题（C卷）数学试题）已知函数 的导函
数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
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A． B． C． D．
例21．（2024届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知函数 与 定义域都
为 ，满足 ，且有 ， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式14．（陕西省渭南市华州区咸林中学2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题）
已知定义在 上的函数 满足 为 的导函数，
当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2024学年高三上学期期中考试数学试题）设函数
在 上的导函数为 ，若 ， ， ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式16．（新疆新源县第二中学2024学年高二下学期期末考试数学试题）定义在R上的
函数 满足： ， ，则不等式 的解集为（ ）
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A． B．
C． D．
变式17．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2024届高三下学期第十二次适应性考试
数学试题）定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
对于 ，构造
题型八：复杂型： 与 型
例22．（专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用—备战2022年高考数学二轮复习常
考点专题突破）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，有
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例23．（辽宁省实验中学2024届高三第四次模拟考试数学试卷）已知函数 是定义在
上的可导函数，其导函数为 ，若对任意 有 ， ，
且 ，则不等式 的解集为（ ）
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A． B．
C． D．
例24．（山东省泰安肥城市2024届高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三））定义
在 上的函数 的导函数为 ，且 对任意
恒成立.若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
写出 与 的加、减、乘、除各种形式
题型九：复杂型：与 结合型
例25．（2024届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数 的定义域为 ，导
函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B．
C． D．
例26．（华大新高考联盟2024届高三3月教学质量测评文科数学试题）已知函数 的
定义域为 ，图象关于原点对称，其导函数为 ，若当 时 ，
[在此处键入][在此处键入]
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例27．（2024届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知 是定义在 上的奇函
数， 是 的导函数， ，且 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式18．（广东省梅州市2024届高三二模数学试题）已知 是定义在 上的奇函数，
是 的导函数，当 时， ，且 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
变式19．定义在 上的函数 满足 ，则不等式
的解集为（ ）
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A． B． C． D．
【解题方法总结】
1、对于 ，构造
2、写出 与 的加、减、乘、除各种结果
题型十：复杂型：基础型添加因式型
例28．（辽宁省名校联盟2024届高考模拟调研卷数学（三））已知函数f（x）为定义在R
上的偶函数，当 时， ， ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
例29．定义在 上的函数 满足 （ 为自然对数的底数），其中
为 的导函数，若 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例30．定义在 上的函数 满足 ，且 ，则满足不等式
的 的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
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变式20．已知在定义在 上的函数 满足 ，且 时，
恒成立，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度
题型十一：复杂型：二次构造
例31．（福建省福州第一中学2024学年高二下学期期中考试数学试题）函数 满足：
， ，则当 时， （ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
例32．（江西省百所名校2024学年高三第四次联考数学试题）已知函数 的定义域为
，其导函数为 ， 对 恒成立，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例33．（河南省濮阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数 为
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定义域在R上的偶函数，且当 时，函数 满足 ， ，
则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式21．（宁夏平罗中学2024届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在 上的连
续偶函数 的导函数为 ，当 时， ，且 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式22．（江西省九江市2024届高三三模数学（理）试题）已知 是定义在 上
的可导函数， 是 的导函数，若 ， ，则 在
上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值
变式23．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024学年高二下学期期中
理科数学试题）定义在 上的函数 满足 ，且 ，
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则 （ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
变式24．（福建省泉州市2024学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学（理）试题）
设函数 满足： ， ，则 时， （ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
变式25．（辽宁省大连市中山区第二十四中学2024学年高三上学期11月月考数学试题）
函数 满足： ， ．则 时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
变式26．设函数 的导数为 ，且 ， ， ，则
当 时，
A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【解题方法总结】
二次构造： ，其中 等
题型十二：综合构造
例34．（福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2024学年高二下学期
期中联考数学试题）已知函数 在 上可导，其导函数为 ，若 满足
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， 关于直线 对称，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例35．（贵州省铜仁市2024届高三适应性考试数学试题（—））已知定义在 上的函数
， 为其导函数，满足① ，②当 时， .若
不等式 有实数解，则其解集为（ ）
A． B．
C． D．
例36．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2024学年高三第一次模拟数学（文科）试题）已知
是定义在R上的偶函数， 是 的导函数，当 时， ，且
，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式27．（贵州省绥阳县育才中学2024届高三信息压轴卷数学试题）已知函数 的定
义域为R，其导函数为 ，若 ，且当 时， ，
[在此处键入][在此处键入]
则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式28．（安徽省淮南市2024届二模数学试题）定义在 上的函数 满足
，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式29．（安徽省蚌埠市2024届高三上学期第一次质量检查数学试题）已知函数 的
定义域是 ，若对于任意的 都有 ，则当 时，不等
式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
[在此处键入][在此处键入]
结合式子，寻找各种综合构造规律，如 ，或者 （ 为
常见函数）
题型十三：找出原函数
例37．（甘肃省武威市第六中学2024届高三上学期第二次阶段性过关考试数学（文）试
题）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足 且 ，其
中 为自然对数的底数,则不等式 的解集是
A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞)
例38．设函数 是定义在 上的连续函数，且在 处存在导数，若函数 及
其导函数 满足 ，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
例39．设函数 是定义在 上的连续函数，且在 处存在导数，若函数 及其
导函数 满足 ，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值
【解题方法总结】
熟悉常见导数的原函数
[在此处键入]
