第19讲原函数与导函数混合还原_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第19讲 原函数与导函数混合还原 知识梳理 1、对于xf(x)+f(x)>0(<0)，构造g(x)=x⋅f(x)， 2、对于xf(x)+kf(x)>0(<0)，构造g(x)=xk⋅f(x) f(x) 3、对于x⋅f(x)-f(x)>0(<0)，构造g(x)= ， x f(x) 4、对于x⋅f(x)-kf(x)>0(<0)，构造g(x)= xk 5、对于f(x)+f(x)>0(<0)，构造g(x)=ex⋅f(x)， 6、对于f(x)+kf(x)>0(<0)，构造g(x)=ekx⋅f(x) f(x) 7、对于f(x)-f(x)>0(<0)，构造g(x)= ， ex f(x) 8、对于f(x)-kf(x)>0(<0)，构造g(x)= ebx 9、对于sinx⋅f(x)+cosx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)⋅sinx， f(x) 10、对于sinx⋅f(x)-cosx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)= sinx 11、对于cosx⋅f(x)-sinx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)⋅cosx， f(x) 12、对于cosx⋅f(x)+sinx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)= cosx 13、对于f(x)-f(x)>k(<0)，构造g(x)=ex[f(x)-k] f(x) 14、对于f(x)lnx+ >0(<0)，构造g(x)=lnx⋅f(x) x 15、f(x)+c=[f(x)+cx]；f(x)+g(x)=[f(x)+g(x)]；f(x)-g(x)=[f(x)-g(x)]； f(x)g(x)-f(x)g(x)  f(x) 16、f(x)g(x)+f(x)g(x)=[f(x)g(x)]； = g2(x)  g(x)   ． 必考题型全归纳 1 题型一：利用xnf(x)构造型 649 (安徽省马鞍山第二中学2024学年高三上学期10月段考数学试题)已知f(x)的定义域 为0,+∞  ，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<-xf(x)，则不等式fx+1  > x-1  fx2-1  的解集是 ( ) A. 0,1  B. 2,+∞  C. 1,2  D. 1,+∞  650 (河南省温县第一高级中学2024学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数fx  的 定义域为0,+∞  ，且满足fx  +xfx  >0(fx  是fx  的导函数)，则不等式 x-1  fx2-1  0的解集为 ( ) 第 页 共 页 142 1043A. 0,2  B. log 2 3,2  C. log 2 3,+∞  D. 2,+∞  652 (2024届高三第七次百校大联考数学试题(新高考))已知定义在R上的偶函数y=fx  的导函数为y=fx  xfx ，当x>0时，  +fx  >0，且f2 x  =1，则不等式f2x-1  < 2 的解集为 ( ) 2x-1 1 A. -∞, 2  3 ∪ ,+∞ 2  3 B.  ,+∞ 2  1 3 C.  , 2 2  1 1 D. - , 2 2  1 3 ∪ , 2 2  653 (四川省绵阳市盐亭中学2024届高三第二次模拟考试数学试题)已知定义在0,+∞  上 的函数fx  满足2xfx  +x2fx  <0，f2  3 = ，则关于x的不等式fx 4  3 > 的解 x2 集为 ( ) A. 0,4  B. 2,+∞  C. 4,+∞  D. 0,2  654 (河南省豫北重点高中2024学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题)已知函数 fx  的定义域为0,+∞  ，其导函数是f′x  ，且2fx  +xf′x  >x．若f2  =1，则不等 式3fx  4 -x- >0的解集是 ( ) x2 A. 0,2  B. 2,+∞  2 C. 0, 3  2 D.  ,+∞ 3  655 (广西15所名校大联考2024届高三高考精准备考原创模拟卷(一)数学试题)已知f(x)是 定义在R上的偶函数，其导函数为f(x),f(-1)=4，且3f(x)+xf(x)>3，则不等式f(x) 3 <1+ 的解集为 ( ) x3 A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) D.(1,+∞) f(x) 2 题型二：利用 构造型 xn 656 (河南省信阳市息县第一高级中学2024学年高三上学期9月月考数学试题)已知定义在 0,+∞  的函数fx  满足：∀x∈0,+∞  ,fx  -xfx  <0，其中fx  为fx  的导函 数，则不等式(2x-3)f(x+1)>(x+1)f2x-3  的解集为 ( ) 3 A.  ,4 2  B. 4,+∞  C. -1,4  D. -∞,4  657 已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x) fx >2f(x)，若g(x)=  ，则不等式g(x)0时，有xfx  -fx  >0成立，则不等式xfx  >0的解集是 ( ) A. -∞，-2  ∪2，+∞  B. -2，0  ∪2，+∞  第 页 共 页 143 1043C. -∞，-2  ∪0，2  D. 2，+∞  659 (西藏昌都市第四高级中学2024届高三一模数学试题)已知函数fx  是定义在-∞，0  ∪0，+∞  的奇函数，当x∈0，+∞  时，xfx  0，且有f3  =3，则fx  >3e3-x的解集为 ( ) A. 3,+∞  B. 1,+∞  C. -∞,3  D. -∞,1  661 (河南省2024学年高三上学期第五次联考数学试题)已知定义在R上的函数fx  满足 1 fx 2  +fx  >0，且有f1  1 = ，则2fx 2  1-x >e 2 的解集为 ( ) A. -∞,2  B. 1,+∞  C. -∞,1  D. 2,+∞  662 (广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2024届高三模拟仿真数学试题)已知fx  是函 数y=fx  x∈R  的导函数，对于任意的x∈R都有fx  +fx  >1，且f0  =2023，则 不等式exfx  >ex+2022的解集是 ( ) A. 2022,+∞  B. -∞,0  ∪2023,+∞  C. -∞,0  ∪0,+∞  D. 0,+∞  663 (宁夏吴忠市2024届高三一轮联考数学试题)函数fx  的定义域是R，f0  =2，对任意 x∈R，fx  +fx  >1，则不等式：ex⋅fx  >ex+1的解集为 ( ) A. xx>0  B. xx<0  C. xx<-1 或x>1  D. xx<-1 或00时，f(x)> 2f(x)，则不等式e2xf(2-x)0，f(2021)=e2021，则不等式f lnx e  < ex的解集为 ( ) A. e2021,+∞  B. 0,e2021  C. e2021e,+∞  D. 0,e2021e  666 (陕西省安康市2024届高三下学期4月三模数学试题)已知函数fx  的定义域为R，且 对任意x∈R，fx  -fx  <0恒成立，则exfx+1  >e4f2x-3  的解集是 ( ) A. 4,+∞  B. -1,4  C. -∞,3  D. -∞,4  第 页 共 页 144 1043667 (新疆克拉玛依市2024届高三三模数学试题)定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)， 1 1 f(-1)=- ，对于任意的实数x均有ln3⋅f(x)0的解集为 ( ) A.(1，+∞) B.(-1，+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，1) 668 (浙江省绍兴市新昌中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试题)若定义在R上的 函数f(x)的导函数为f(x)，且满足fx  >fx  ,f2022  1 =e2022，则不等式f lnx 3  < 3x的解集为 ( ) A. 0,e6066  B. 0,e2022  C. e2022,+∞  D. e6066,+∞  669 (吉林省长春市吉大附中实验学校2024学年高三上学期第四次摸底考试数学试题)设 fx  是函数fx  的导函数，且fx  >3fx  x∈R  1 ，f 3  =e(e为自然对数的底数)，则 不等式flnx  f′(x)+1，f(0)=2023，则不等式e-xf(x)>e-x+2022(其中e 为自然对数的底数)的解集是 ( ) A.(2022,+∞) B.(-∞,2023) C.(0,2022) D.(-∞,0) 5 题型五：利用sinx、tanx与f(x)构造型 π π 673 (江西省2024届高三教学质量监测数学试题)定义在区间- , 2 2  上的可导函数fx  π 关于y轴对称，当x∈0, 2  时，fx  cosx>fx  sin-x  恒成立，则不等式fx  - π f -x 2  >0的解集为 ( ) tanx π π A. - , 4 4  π π B.  , 4 3  π π C.  , 4 2  π D. 0, 2  674 (天津市南开中学2024届高三下学期统练二数学试题)已知可导函数fx  是定义在 π π - , 2 2  π 上的奇函数．当x∈0, 2  时，fx  +fx  tanx>0，则不等式cosx⋅ 第 页 共 页 145 1043π fx+ 2  +sinx⋅f-x  >0的解集为 ( ) π π A. - ,- 2 6  π B. - ,0 6  π π C. - ,- 2 4  π D. - ,0 4  π π 675 函数y=f(x)对任意的x∈- , 2 2  满足x+2f(x)+f(x)sin2x=ex-1(其中f(x)是函 数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是 ( ) π A. f 4  π > 3f 3  π B. 3f 6  π >3f 4  C. 2- 3  π f 12  π >f 4  π D. 3f 3  <2+ 3  5π f 12  676 已知可导函数fx  π π 是定义在- , 2 2  π 上的奇函数．当x∈0, 2  时，fx  + fx  π tanx>0，则不等式cosx⋅fx+ 2  +sinx⋅f-x  >0的解集为 ( ) π π A. - ,- 2 6  π B. - ,0 6  π π C. - ,- 2 4  π D. - ,0 4  6 题型六：利用cosx与f(x)构造型 677 (重庆市九龙坡区2024届高三二模数学试题)已知偶函数fx  π π 的定义域为- , 2 2  ，其 导函数为fx  π ，当0≤x< 时，有fx 2  cosx+fx  sinx>0成立，则关于x的不等式 fx  π >2f 3  ⋅cosx的解集为 ( ) π π A. - , 3 3  π π B.  , 3 2  π π C. - ,- 2 3  π π ∪ , 3 2  π D. - ,0 3  π π ∪ , 3 2  π π 678 已知偶函数f(x)的定义域为- , 2 2  π ，其导函数为f(x)，当0-sinx，则不等式fx  π -f -x 2  ≥cosx-sinx的解集是 ( ) π A. -∞, 4  π B.   ,+∞  4  π C. -∞, 6  π D.   ,+∞  6  7 题型七：复杂型：en与af(x)+bg(x)等构造型 680 (广西柳州市2024届高三11月第一次模拟考试数学试题)已知可导函数f(x)的导函数 为f(x)，若对任意的x∈R，都有f(x)-f(x)>1．且f(x)-2022为奇函数，则不等式 f(x)-2021ex>1的解集为 ( ) A. -∞,0  B. 0,+∞  C. -∞,e  D. e,+∞  681 (河南省多校联盟2024届高考终极押题(C卷)数学试题)已知函数fx  的导函数为 fx  ，若对任意的x∈R，都有fx  >fx  +2，且f1  =2022，则不等式fx  -2020ex-1 第 页 共 页 146 1043<2的解集为 ( ) A. 0,+∞  1 B. -∞, e  C. 1,+∞  D. -∞,1  682 (2024届高三冲刺卷(一)全国卷文科数学试题)已知函数fx  与gx  定义域都为R，满 足fx  x+1 =  gx  ，且有gx ex  +xgx  -xgx  <0，g1  =2e，则不等式fx  <4的 解集为 ( ) A. 1,4  B. 0,2  C. -∞,2  D. 1,+∞  683 (陕西省渭南市华州区咸林中学2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题)已知定义 在(-3,3)上的函数f(x)满足f(x)+e4xf(-x)=0,f(1)=e2,f(x)为f(x)的导函数，当x∈ [0,3)时，f(x)>2f(x)，则不等式e2xf(2-x)f(x)+1，f(x)+f(6-x)=2，f(6)=5，则不等式f(x)+ 2ex+1<0的解集为 ( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(0,3) D.(3,6) 685 (新疆新源县第二中学2024学年高二下学期期末考试数学试题)定义在R上的函数f(x) 满足：fx  +fx  >1，f0  =4，则不等式exfx  >ex+3的解集为 ( ) A. 0,+∞  B.(-∞,0)∪3,+∞  C.(-∞,0)∪0,+∞  D. 3,+∞  686 (陕西省西安市西北工业大学附属中学2024届高三下学期第十二次适应性考试数学试 题)定义在R上的函数fx  满足fx  -2fx  -8>0，且f0  =-2，则不等式fx  > 2e2x-4的解集为 ( ) A. 0,2  B. 0,+∞  C. 0,4  D. 4,+∞  8 题型八：复杂型：(kx+b)与f(x)型 687 (专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用-备战2022年高考数学二轮复习常考点专 题突破)已知定义在R上的函数fx  满足f2+x  =f2-x  ，且当x>2时，有xfx  + fx  >2fx  ,若f1  =1，则不等式fx  1 < 的解集是 ( ) x-2 A.(2,3) B. -∞,1  C. 1,2  ∪2,3  D. -∞,1  ∪3,+∞  688 (辽宁省实验中学2024届高三第四次模拟考试数学试卷)已知函数fx  是定义在R上 的可导函数，其导函数为fx  ，若对任意x∈R有fx  >1，f1+x  +f1-x  =0，且 f0  =-2，则不等式fx-1  >x-1的解集为 ( ) A. 4,+∞  B. 3,+∞  C. 2,+∞  D. 0,+∞  689 (山东省泰安肥城市2024届高三下学期5月高考适应性训练数学试题(三))定义在 1，+∞  上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x-1)f(x)-f(x)>x2-2x对任意x∈(1, +∞)恒成立.若f(2)=3，则不等式f(x)>x2-x+1的解集为 ( ) 第 页 共 页 147 1043A. 1,2  B. 2，+∞  C. 1,3  D. 3，+∞  9 题型九：复杂型：与ln(kx+b)结合型 690 (2024届高三数学临考冲刺原创卷(四))已知函数fx  的定义域为0,+∞  ，导函数为 fx  ，且满足fx  +xfx  lnx>0，则不等式fx-2020  lnx-2020  ≤0的解集为 ( ) A. -∞,2020  ∪2021,+∞  B. 0,2021  C. 2020,2021  D. 2021,2022  691 (华大新高考联盟2024届高三3月教学质量测评文科数学试题)已知函数fx  的定义域 为R，图象关于原点对称，其导函数为fx  ，若当x>0时fx  +xlnx⋅fx  <0，则不等 式4|x|⋅fx  >4fx  的解集为 ( ) A. -∞,-1  ∪0,+∞  B. -1,0  ∪0,+∞  C. -∞,-1  ∪0,1  D. -1,0  ∪1,+∞  692 (2024届高三数学新高考信息检测原创卷(四))已知fx  是定义在R上的奇函数，fx  是fx  1 的导函数，f 2  ≠0，且fx  ln2x  fx +  <0，则不等式x2-x-2 x  fx  >0 的解集是 ( ) A. -∞,-1  1 ∪0, 2  ∪2,+∞  B. -1,0  1 ∪ ,2 2  C. -1,0  ∪2,+∞  D. -∞,-1  ∪0,2  693 (广东省梅州市2024届高三二模数学试题)已知fx  是定义在R上的奇函数，fx  是 fx  的导函数，当x>0时，fx  ln2x  fx +  1 >0，且f x 2  ≠0，则不等式x-2  fx  <0的解集是 ( ) A. -∞,0  ∪0,2  B. 0,2  C. 2,+∞  D. -∞,0  ∪2,+∞  694 定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xfx  +1>0,f2  1 =ln ，则不等式f(ex)+x>0 2 的解集为 ( ) A.(0，2ln2) B.(0,ln2) C.(ln2，1) D.(ln2，+∞) 10 题型十：复杂型：基础型添加因式型 695 (辽宁省名校联盟2024届高考模拟调研卷数学(三))已知函数f(x)为定义在R上的偶函 数，当x∈0,+∞  时，fx  >2x，f2  =4，则不等式xfx-1  +2x2>x3+x的解集为 ( ) A. -1,0  ∪3,+∞  B. -1,1  ∪3,+∞  C. -∞,-1  ∪0,3  D. -1,3  696 定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(x)+ex<0(e为自然对数的底数)，其中f(x)为 f(x)的导函数，若f(3)=3e3，则f(x)>xex的解集为 ( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,3) D.(3,+∞) 第 页 共 页 148 1043697 定义在R上的函数fx  满足fx  -2fx  -6<0，且f1  =e2-3，则满足不等式 fx  >e2x-3的x的取值有 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 698 已知在定义在R上的函数fx  满足fx  -f-x  -6x+2sinx=0，且x≥0时，fx  ≥3-cosx恒成立，则不等式fx  π ≥f -x 2  3π π - +6x+ 2cosx+ 2 4  的解集为 ( ) π A. 0, 4  π B.   ,+∞  4  π C. -∞, 6  π D.   ,+∞  6  11 题型十一：复杂型：二次构造 699 (福建省福州第一中学2024学年高二下学期期中考试数学试题)函数f(x)满足： 1 1 exf(x)+exf'(x)= x，f 2 2  2 = ，则当x>0时，f(x) ( ) e A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，也无极小值 700 (江西省百所名校2024学年高三第四次联考数学试题)已知函数fx  的定义域为 1,+∞  ，其导函数为fx  ，x+2  2fx  +xfx    2x+10的解集为 ( ) A. 1,2  B. -∞,2  C. -2,3  D. -2,2  701 (河南省濮阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题)已知函数fx+1  为定义 域在R上的偶函数，且当x≥1时，函数fx  满足xfx  +2fx  lnx = ，f e x2  1 = ，则 4e 4efx  <1的解集是 ( ) A. -∞,2- e  ∪ e,+∞  B. 2- e, e  C. -∞,2-e  ∪e,+∞  D. 2-e,e  702 (宁夏平罗中学2024届高三上学期第一次月考数学试题)已知定义在R上的连续偶函数 f(x) y=f(x)的导函数为y=f(x)，当x>0时，f(x)+ <0，且f(2)=-3，则不等式f(2x x -6 -1)< 的解集为 ( ) 2x-1 1 A. -∞, 2  3 ∪ ,+∞ 2  1 3 B.  , 2 2  3 C.  ,+∞ 2  1 1 D. - , 2 2  1 3 ∪ , 2 2  703 (江西省九江市2024届高三三模数学(理)试题)已知fx  是定义在0,+∞  上的可导函 数，fx  是fx  的导函数，若xfx  +x2fx  =ex，f1  =e，则fx  在0,+∞  上 ( ) A.单调递增 B.单调递减 C.有极大值 D.有极小值 704 (湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024学年高二下学期期中理科数 学试题)定义在0,+∞  上的函数fx  满足xfx  +fx  1 =x2lnx，且f e  1 =- ，则 2e 第 页 共 页 149 1043fx  ( ) A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 705 (福建省泉州市2024学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学(理)试题)设函数fx  满足：xfx  +2fx  =xex，f1  e = ，则x>0时，fx 2  ( ) A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，又无极小值 706 (辽宁省大连市中山区第二十四中学2024学年高三上学期11月月考数学试题)函数 fx  满足：2exfx  +exfx  1 = x，f 2  1 = ．则x>0时，fx 2 2e  A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，也无极小值 π 707 设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)+xex=xf(x)，f(1)=-π，f(2)=- ，则当x>0 2 时，f(x) A.有极大值，无极小值 B.无极大值，有极小值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值又无极小值 12 题型十二：综合构造 708 (福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2024学年高二下学期期中联 f(x)-f(x) 考数学试题)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，若f(x)满足 > x-1 f(x) fx2-x 0，y= 关于直线x=1对称，则不等式 ex  fx+1  有实数解，则其解集为 ( ) 2 A. -∞,- 3  B. -∞,0  2 ∪ ,+∞ 3  C. 0,+∞  2 D. -∞,- 3  ∪0,+∞  710 (黑龙江省哈尔滨市第三中学2024学年高三第一次模拟数学(文科)试题)已知fx  是定 义在R上的偶函数，fx  是fx  的导函数，当x≥0时，fx  -2x>0，且f1  =3，则 fx  >x2+2的解集是 ( ) A. -1,0  ∪1,+∞  B. -∞,-1  ∪1,+∞  C. -1,0  ∪0,1  D. -∞,-1  ∪0,1  711 (贵州省绥阳县育才中学2024届高三信息压轴卷数学试题)已知函数fx  的定义域为 R，其导函数为fx  f-x ，若  -fx  x =sin ，且当x≤0时，2fx 2 2  x +cos >0，则 2 第 页 共 页 150 1043f2x+π  +1>fx  x x +sin 2sin +1 2 2  的解集为 ( ) π A. -π, 3  B. -∞,-π  π ∪ ,+∞ 3  π C. -π,- 3  D. -∞,-π  π ∪- ,+∞ 3  712 (安徽省淮南市2024届二模数学试题)定义在R上的函数fx  满足f-x  +fx  + 2cosx=0，当x≥0时，fx  >sinx，则不等式fx  +2cosx>fπ-x  的解集为 ( ) π A.  ,+∞ 2  π B. -∞, 2  π π C. - , 2 2  D. -∞,π  713 (安徽省蚌埠市2024届高三上学期第一次质量检查数学试题)已知函数fx  的定义域 1 是R,f 2  1 = ，若对于任意的x∈R都有fx 2  +4x<0，则当α∈0,2π  时，不等式 fsinα  -cos2α<0的解集为 ( ) π 5π A.  , 6 6  π 5π B.  , 3 3  π C. 0, 6  5π ∪ ,2π 6  π D. 0, 3  5π ∪ ,2π 3  13 题型十三：找出原函数 714 (甘肃省武威市第六中学2024届高三上学期第二次阶段性过关考试数学(文)试题)已知 定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足xfx  +fx  lnx = 且fe x  1 = ，其 e 中e为自然对数的底数,则不等式fx  1 +e>x+ 的解集是 e 1 1 A.(0,e) B.(0, ) C.  ,e e e  D.(e,+∞) 715 设函数f(x)是定义在(-1,+∞)上的连续函数，且在x=0处存在导数，若函数f(x)及 f(x) 其导函数f(x)满足f(x)ln(x+1)=x- ，则函数f(x) x+1 A.既有极大值又有极小值 B.有极大值 ，无极小值 C.有极小值，无极大值 D.既无极大值也无极小值 716 设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的连续函数，且在x=1处存在导数，若函数f(x)及其 f(x) 导函数f(x)满足f(x)lnx=x- ，则函数f(x) x A.既有极大值又有极小值 B.有极大值，无极小值 C.既无极大值也无极小值 D.有极小值，无极大值 第 页 共 页 151 1043