文档内容
第19讲 原函数与导函数混合还原
知识梳理
1、对于xf(x)+f(x)>0(<0)，构造g(x)=x⋅f(x)，
2、对于xf(x)+kf(x)>0(<0)，构造g(x)=xk⋅f(x)
f(x)
3、对于x⋅f(x)-f(x)>0(<0)，构造g(x)= ，
x
f(x)
4、对于x⋅f(x)-kf(x)>0(<0)，构造g(x)=
xk
5、对于f(x)+f(x)>0(<0)，构造g(x)=ex⋅f(x)，
6、对于f(x)+kf(x)>0(<0)，构造g(x)=ekx⋅f(x)
f(x)
7、对于f(x)-f(x)>0(<0)，构造g(x)= ，
ex
f(x)
8、对于f(x)-kf(x)>0(<0)，构造g(x)=
ebx
9、对于sinx⋅f(x)+cosx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)⋅sinx，
f(x)
10、对于sinx⋅f(x)-cosx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)=
sinx
11、对于cosx⋅f(x)-sinx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)⋅cosx，
f(x)
12、对于cosx⋅f(x)+sinx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)=
cosx
13、对于f(x)-f(x)>k(<0)，构造g(x)=ex[f(x)-k]
f(x)
14、对于f(x)lnx+ >0(<0)，构造g(x)=lnx⋅f(x)
x
15、f(x)+c=[f(x)+cx]；f(x)+g(x)=[f(x)+g(x)]；f(x)-g(x)=[f(x)-g(x)]；
f(x)g(x)-f(x)g(x) f(x)
16、f(x)g(x)+f(x)g(x)=[f(x)g(x)]； =
g2(x) g(x)
．
必考题型全归纳
1 题型一：利用xnf(x)构造型
649 (安徽省马鞍山第二中学2024学年高三上学期10月段考数学试题)已知f(x)的定义域
为0,+∞ ，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<-xf(x)，则不等式fx+1 >
x-1 fx2-1 的解集是 ( )
A. 0,1 B. 2,+∞ C. 1,2 D. 1,+∞
【答案】B
【解析】根据题意，构造函数y=xf(x)，x∈0,+∞ ，则y=f(x)+xf(x)<0，
所以函数y=xf(x)的图象在0,+∞ 上单调递减.
又因为fx+1 >x-1 fx2-1 ，所以(x+1)f(x+1)>x2-1 fx2-1 ，
所以02或x<-1(舍).
所以不等式fx+1 >x-1 fx2-1 的解集是2,+∞ .
故选：B.
650 (河南省温县第一高级中学2024学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数fx 的
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355 3427定义域为0,+∞ ，且满足fx +xfx >0(fx 是fx 的导函数)，则不等式
x-1 fx2-1 0，即g(x)在0,+∞ 上递增，
又x+1>0，则x-1 fx2-1 0
所以x+1>0 ，解得10的解集为 ( )
A. 0,2 B. log 2 3,2 C. log 2 3,+∞ D. 2,+∞
【答案】D
【解析】由题意得，xfx +fx
1
= ，
x
即 xfx =lnx+c ，
所以xfx =lnx+c，即fx
lnx c
= + ，
x x
又f1 =0，所以c=0，故fx
lnx
= ，
x
1-lnx
f(x)= =0，可得x=e，
x2
在(0,e)上，f(x)>0，f(x)单调递增；
在(e,+∞)上，f(x)<0，f(x)单调递减，
1
所以f(x)的极大值为f(e)= .简图如下：
e
所以fx >0，2x-3>1，x>2.
故选：D.
652 (2024届高三第七次百校大联考数学试题(新高考))已知定义在R上的偶函数y=fx
的导函数为y=fx
xfx
，当x>0时，
+fx
>0，且f2
x
=1，则不等式f2x-1 <
2
的解集为 ( )
2x-1
1
A. -∞,
2
3
∪ ,+∞
2
3
B. ,+∞
2
1 3
C. ,
2 2
1 1
D. - ,
2 2
1 3
∪ ,
2 2
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356 3427【答案】C
xfx
【解析】当x>0时，
+fx
>0，所以当x>0时，xfx
x
+fx >0，
令Fx =xfx ，则当x>0时，Fx =xfx +fx >0，
故Fx =xfx 在0,+∞ 上单调递增，
又因为y=fx 在R上为偶函数，所以Fx =xfx 在R上为奇函数，
故Fx =xfx 在R上单调递增，因为f2 =1，所以F2 =2f2 =2，
1
当x> 时，f2x-1
2
2
< 可变形为2x-1
2x-1
f2x-1 <2，即F2x-1 2，即F2x-1 >F2 ，
因为Fx =xfx
3
在R上单调递增，所以2x-1>2，解得x> ，故无解.
2
综上不等式f2x-1
2 1 3
< 的解集为 ,
2x-1 2 2
.
故选：C.
653 (四川省绵阳市盐亭中学2024届高三第二次模拟考试数学试题)已知定义在0,+∞ 上
的函数fx 满足2xfx +x2fx <0，f2
3
= ，则关于x的不等式fx
4
3
> 的解
x2
集为 ( )
A. 0,4 B. 2,+∞ C. 4,+∞ D. 0,2
【答案】D
【解析】令hx =x2fx ，则hx =2xfx +x2fx <0，所以hx 在0,+∞ 单调递
减，
不等式fx
3
> 可以转化为x2fx
x2
3
>4× =22f2
4
，即hx >h2 ，所以0x．若f2 =1，则不等
式3fx
4
-x- >0的解集是 ( )
x2
A. 0,2 B. 2,+∞
2
C. 0,
3
2
D. ,+∞
3
【答案】B
【解析】构造函数gx =x2fx
1
- x3，其中x>0，
3
则gx =2xfx +x2fx -x2=x 2fx +xfx -x >0，
故函数gx =x2fx
1
- x3在0,+∞
3
上为增函数，且g2 =4f2
8 4
- = ，
3 3
因为x>0，由3fx
4
-x- >0可得x2fx
x2
1 4
- x3> ，即gx
3 3
>g2 ，解得x>2.
故选：B.
655 (广西15所名校大联考2024届高三高考精准备考原创模拟卷(一)数学试题)已知f(x)是
定义在R上的偶函数，其导函数为f(x),f(-1)=4，且3f(x)+xf(x)>3，则不等式f(x)
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357 34273
<1+ 的解集为 ( )
x3
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(0,1) D.(1,+∞)
【答案】C
【解析】设g(x)=x3f(x)-x3，
则g(x)在R上为奇函数，且g(0)=0.
又g(x)=3x2f(x)+x3f(x)-3x2=x2[3f(x)+xf(x)-3]，
当x>0时，g(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上为增函数，
因此g(x)在R上为增函数.
3
又f(-1)=f(1)=4，当x>0时，不等式f(x)<1+ 化为x3f(x)-x3<3，
x3
即g(x)x3+3，即g(x)>3=g(1)，
x3
解得x>1，故无解，
3
故不等式f(x)<1+ 的解集为(0,1).
x3
故选：C
【解题方法总结】
1、对于xf(x)+f(x)>0(<0)，构造g(x)=x⋅f(x)，
2、对于xf(x)+kf(x)>0(<0)，构造g(x)=xk⋅f(x)
f(x)
2 题型二：利用 构造型
xn
656 (河南省信阳市息县第一高级中学2024学年高三上学期9月月考数学试题)已知定义在
0,+∞ 的函数fx 满足：∀x∈0,+∞ ,fx -xfx <0，其中fx 为fx 的导函
数，则不等式(2x-3)f(x+1)>(x+1)f2x-3 的解集为 ( )
3
A. ,4
2
B. 4,+∞ C. -1,4 D. -∞,4
【答案】A
【解析】设gx
fx
=
,gx
x
xfx
=
-fx
，
x2
因为∀x∈0,+∞ ,fx -xfx <0，
所以在0,+∞ 上gx >0，
所以gx 在0,+∞ 上单调递增，
由已知，fx 的定义域为0,+∞ ，
所以x+1>0,2x-3>0，
所以(2x-3)fx+1 >x+1
fx+1
f(2x-3)等价于
f2x-3
>
x+1
，
2x-3
即g(x+1)>g(2x-3)，
x+1>0
3
所以2x-3>0 ，解得 2x-3
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358 34273
所以原不等式的解集是 ,4
2
.
故选：A.
657 已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)
fx
>2f(x)，若g(x)=
，则不等式g(x)2f(x)，
所以xf(x)-2f(x)>0,
f(x)
因为g(x)= ，所以g(x)也是偶函数.
x2
xf(x)-2f(x)
当x∈(0，+∞)时，g(x)= >0,
x3
所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)单调递减，
若g(x)0时，有xfx -fx >0成立，则不等式xfx >0的解集是
( )
A. -∞，-2 ∪2，+∞ B. -2，0 ∪2，+∞
C. -∞，-2 ∪0，2 D. 2，+∞
【答案】A
【解析】xfx -fx >0成立设gx
fx
=
，
x
则gx
fx
=
x
fx
=
x-fx
>0，即x>0时gx
x2
是增函数，
当x>2时，gx >g2 =0，此时fx >0；
00；
x<-2时f(x)=-f(-x)>0
则不等式x⋅fx
f(x)>0 f(x)<0
>0等价为 或 ，
x>0 x<0
可得x>2或x<-2，
则不等式xfx >0的解集是-∞，-2 ∪2，+∞ ，
故选：A．
659 (西藏昌都市第四高级中学2024届高三一模数学试题)已知函数fx 是定义在-∞，0
∪0，+∞ 的奇函数，当x∈0，+∞ 时，xfx 0，即x<2时，不等式可化为
f5
<
2-x
，即g2-x
5
5，解得x<-3，故x<-3；
f2-x
当2-x<0，即x>2时，不等式可化为
f5
>
2-x
，即g2-x
5
>g5 =g-5 ，
由gx 在-∞，0 上单调递增得2-x>-5，解得x<7，故20(<0)，构造g(x)= ，
x
f(x)
2、对于x⋅f(x)-kf(x)>0(<0)，构造g(x)=
xk
3 题型三：利用enxf(x)构造型
660 (河南省2024学年高三上学期第五次联考文科数学试题)已知定义在R上的函数fx
满足fx +fx >0，且有f3 =3，则fx >3e3-x的解集为 ( )
A. 3,+∞ B. 1,+∞ C. -∞,3 D. -∞,1
【答案】A
【解析】设Fx =fx ⋅ex，则Fx =fx ⋅ex+fx ⋅ex=ex fx +fx >0，
∴Fx 在R上单调递增.
又f3 =3，则F3 =f3 ⋅e3=3e3.
∵fx >3e3-x等价于fx ⋅ex>3e3，即Fx >F3 ，
∴x>3，即所求不等式的解集为3,+∞ .
故选：A.
661 (河南省2024学年高三上学期第五次联考数学试题)已知定义在R上的函数fx 满足
1
fx
2
+fx >0，且有f1
1
= ，则2fx
2
1-x
>e 2 的解集为 ( )
A. -∞,2 B. 1,+∞ C. -∞,1 D. 2,+∞
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360 3427【答案】B
【解析】设Fx =fx
x
⋅e2，则Fx =fx
x 1
⋅e2+ fx
2
x x 1
⋅e2=e2 fx
2
+fx
>0，
所以函数Fx 在R上单调递增，又f1
1
= ，所以F1
2
=f1
1 1 1
⋅e2= e2．
2
又2fx
1-x
>e 2 等价于fx
x 1 1
⋅e2> e2，即Fx
2
>F1 ，所以x>1，
即所求不等式的解集为1,+∞ ．
故选：B
662 (广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2024届高三模拟仿真数学试题)已知fx 是函
数y=fx x∈R 的导函数，对于任意的x∈R都有fx +fx >1，且f0 =2023，则
不等式exfx >ex+2022的解集是 ( )
A. 2022,+∞ B. -∞,0 ∪2023,+∞
C. -∞,0 ∪0,+∞ D. 0,+∞
【答案】D
【解析】法一：构造特殊函数.令fx =2023，则fx +fx =2023>1满足题目条件，
把fx =2023代入exfx >ex+2022得2023ex>ex+2022解得x>0，
故选：D.
法二：构造辅助函数.令gx =exfx -ex，则gx =ex fx +fx -1 >0，
所以gx 在R上单调递增，
又因为g0 =f0 -1=2022，所以exfx >ex+2022⇔gx >g0 ，所以x>0，
故选：D.
663 (宁夏吴忠市2024届高三一轮联考数学试题)函数fx 的定义域是R，f0 =2，对任意
x∈R，fx +fx >1，则不等式：ex⋅fx >ex+1的解集为 ( )
A. xx>0 B. xx<0
C. xx<-1 或x>1 D. xx<-1 或00，则函数gx 在R上单调递增，
由ex⋅fx >ex+1可得gx =exfx -ex-1>0=g0 ，可得x>0，
因此，不等式ex⋅fx >ex+1的解集为xx>0 .
故选：A.
【解题方法总结】
1、对于f(x)+f(x)>0(<0)，构造g(x)=ex⋅f(x)，
2、对于f(x)+kf(x)>0(<0)，构造g(x)=ekx⋅f(x)
f(x)
4 题型四：用 构造型
enx
664 (安徽省六安市第一中学2024学年高二下学期期末数学试题)定义在(-2,2)上的函数
f(x)的导函数为fx ，满足：fx +e4xf-x =0，f1 =e2，且当x>0时，f(x)>
2f(x)，则不等式e2xf(2-x)0时，f(x)>2f(x)，所以gx >0，
gx
fx
=
是(0,2)上单调递增，
e2x
所以gx
fx
=
是(-2,2)上单调递增，
e2x
因为g1
f1
=
e2
= =1，
e2 e2
由e2xf(2-x)0，f(2021)=e2021，则不等式f lnx
e
< ex的解集为 ( )
A. e2021,+∞ B. 0,e2021 C. e2021e,+∞ D. 0,e2021e
【答案】D
1
【解析】令t= lnx，则x=eet，
e
1 所以不等式f lnx
e
< ex等价转化为不等式ft < eeet=et，即 ft <1
et
构造函数gt
ft
=
，则gt
et
ft
=
-ft
，
et
由题意，gt
ft
=
-ft
>0，所以gt
et
为R上的增函数，
又f(2021)=e2021，所以g2021
f2021
=
=1，
e2021
所以gt
ft
=
<1=g2021
et
1
，解得t<2021，即 lnx<2021，
e
所以0e4f2x-3 的解集是 ( )
A. 4,+∞ B. -1,4 C. -∞,3 D. -∞,4
【答案】D
【解析】设gx
fx
=
，该函数的定义域为R，
ex
第 页 共 页
362 3427则gx
fx
=
-fx
>0，所以gx
ex
在R上单调递增．
由exfx+1 >e4f2x-3
fx+1
可得
f2x-3
>
ex+1
，即gx+1
e2x-3
>g2x-3 ，
又gx 在R上单调递增，所以x+1>2x-3，解得x<4，
所以原不等式的解集是-∞,4 ，
故选：D．
667 (新疆克拉玛依市2024届高三三模数学试题)定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，
1 1
f(-1)=- ，对于任意的实数x均有ln3⋅f(x)0的解集为 ( )
A.(1，+∞) B.(-1，+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，1)
【答案】A
1
【解析】因为y=fx-
2
1
+1的图像关于点 ，1
2
对称，
所以y=f(x)是奇函数，
因为对任意的实数x均有ln3⋅f(x)0，
3x
所以 gx 在R上递增，
因为g1
f1
=
1
= ，
3 9
f(x) 1 f(x) 1
又f(x)-3x-2>0⇔ - >0⇔ > ⇔gx
3x 9 3x 9
>g1 ，
所以x>1，
故选：A
668 (浙江省绍兴市新昌中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试题)若定义在R上的
函数f(x)的导函数为f(x)，且满足fx >fx ,f2022
1
=e2022，则不等式f lnx
3
<
3x的解集为 ( )
A. 0,e6066 B. 0,e2022 C. e2022,+∞ D. e6066,+∞
【答案】A
f(x)
【解析】由题可设F(x)= ，因为fx
ex
-f(x)>0，
f(x)ex-f(x)ex f(x)-f(x)
则F(x)= = >0，
e2x ex
所以函数F(x)在R上单调递增，
f(2022) 1
又F(2022)= =1，不等式f lnx
e2022 3
1
f lnx
3
< 3x可转化为
<1，
1lnx
e3
1
∴F lnx
3
<1=F(2022)，
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363 34271
所以 lnx<2022，解得03fx x∈R
1
，f
3
=e(e为自然对数的底数)，则
不等式flnx 3fx x∈R ，
所以gx
fx
=
-3fx
>0，
e3x
所以函数gx 在R上为增函数，
不等式flnx
flnx
0
又glnx
flnx
=
flnx
=
e3lnx
1
，g
x3 3
1
f
3
=
=1，
e
所以不等式flnx 0.
故选：D.
671 (山东省烟台市2024届高三二模数学试题)已知函数fx 的定义域为R，其导函数为
fx ，且满足fx +fx =e-x，f0 =0，则不等式e2x-1 fx
1
f′(x)+1，f(0)=2023，则不等式e-xf(x)>e-x+2022(其中e
为自然对数的底数)的解集是 ( )
A.(2022,+∞) B.(-∞,2023) C.(0,2022) D.(-∞,0)
【答案】D
f(x)-1
【解析】设g(x)= ，
ex
∵f(x)>f′(x)+1，即f′(x)-f(x)+1<0，
f′(x)-f(x)+1
∴g′(x)= <0，
ex
∴g(x)在R上单调递减，又f(0)=2023，
f(x)-1 f(0)-1
∴不等式e-xf(x)>e-x+2022⇔ >2022=f(0)-1= ，
ex e0
即g(x)>g(0)，∴x<0，
∴原不等式的解集为(-∞,0).
故选：D
【解题方法总结】
f(x)
1、对于f(x)-f(x)>0(<0)，构造g(x)= ，
ex
f(x)
2、对于f(x)-kf(x)>0(<0)，构造g(x)=
ebx
5 题型五：利用sinx、tanx与f(x)构造型
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365 3427π π
673 (江西省2024届高三教学质量监测数学试题)定义在区间- ,
2 2
上的可导函数fx
π
关于y轴对称，当x∈0,
2
时，fx cosx>fx sin-x 恒成立，则不等式fx -
π
f -x
2
>0的解集为 ( )
tanx
π π
A. - ,
4 4
π π
B. ,
4 3
π π
C. ,
4 2
π
D. 0,
2
【答案】C
【解析】因为fx cosx>fx sin-x ，化简得fx cosx+fx sinx>0，
构造函数Fx
fx
=
,Fx
cosx
fx
=
cosx+fx sinx
，
cos2x
π
即当x∈0,
2
时，Fx >0,Fx 单调递增，
所以由fx
π
f -x
2
-
>0⇒fx
tanx
π
f -x
2
>
fx
⇒
tanx
π
f -x
2
>
cosx
，
sinx
fx
则
cosx
π
f -x
2
>
π cos -x
2
，
即Fx
π
>F -x
2
.因为Fx
π
为偶函数且在x∈0,
2
上单调递增，
π π
- -x
2
π π
，解得x∈ 4 , 2
.
故选：C.
674 (天津市南开中学2024届高三下学期统练二数学试题)已知可导函数fx 是定义在
π π
- ,
2 2
π
上的奇函数．当x∈0,
2
时，fx +fx tanx>0，则不等式cosx⋅
π
fx+
2
+sinx⋅f-x >0的解集为 ( )
π π
A. - ,-
2 6
π
B. - ,0
6
π π
C. - ,-
2 4
π
D. - ,0
4
【答案】D
π
【解析】当x∈0,
2
时，fx +fx tanx>0，则cosxfx +fx sinx>0
则函数sinxfx
π
在0,
2
上单调递增，又可导函数fx
π π
是定义在- ,
2 2
上的奇函数
则sinxfx
π π
是- ,
2 2
π
上的偶函数，且在- ,0
2
单调递减，
π π π
- 0
π
可化为sinx+
2
π
⋅fx+
2
>sin-x ⋅f-x
又由函数sinxfx
π
在0,
2
π
上单调递增，且-x∈0,
2
π π
，x+ ∈0,
2 2
，
第 页 共 页
366 3427π π π
则有 >x+ >-x>0，解之得- 3f
3
π
B. 3f
6
π
>3f
4
C. 2- 3
π
f
12
π
>f
4
π
D. 3f
3
<2+ 3
5π
f
12
【答案】D
【解析】令F(x)=f(x)tanx，
Fx =fx
sinx
+fx
cosx
1 fx
=
cos2x
sinxcosx+fx fx
=
cos2x
sin2x+2fx
2cos2x
又由已知可得，2f(x)+f(x)sin2x=ex-1-x≥0，所以F(x)≥0，
π π
所以F(x)在x∈- ,
2 2
上单调递增
π 5π π
因为 < ，所以f
3 12 3
π 5π
tan 0，则不等式cosx⋅fx+
2
+sinx⋅f-x >0的解集为 ( )
π π
A. - ,-
2 6
π
B. - ,0
6
π π
C. - ,-
2 4
π
D. - ,0
4
【答案】D
π
【解析】当x∈0,
2
时，fx +fx tanx>0，则cosxfx +fx sinx>0
则函数sinxfx
π
在0,
2
上单调递增，又可导函数fx
π π
是定义在- ,
2 2
上的奇函数
则sinxfx
π π
是- ,
2 2
π
上的偶函数，且在- ,0
2
单调递减，
π π π
- 0
π
可化为sinx+
2
π
⋅fx+
2
>sin-x ⋅f-x
又由函数sinxfx
π
在0,
2
π
上单调递增，且-x∈0,
2
π π
，x+ ∈0,
2 2
，
π π π
则有 >x+ >-x>0，解之得- 0(<0)，构造g(x)=f(x)⋅sinx，
f(x)
2、对于sinx⋅f(x)-cosx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)=
sinx
第 页 共 页
367 34273、对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型
6 题型六：利用cosx与f(x)构造型
677 (重庆市九龙坡区2024届高三二模数学试题)已知偶函数fx
π π
的定义域为- ,
2 2
，其
导函数为fx
π
，当0≤x< 时，有fx
2
cosx+fx sinx>0成立，则关于x的不等式
fx
π
>2f
3
⋅cosx的解集为 ( )
π π
A. - ,
3 3
π π
B. ,
3 2
π π
C. - ,-
2 3
π π
∪ ,
3 2
π
D. - ,0
3
π π
∪ ,
3 2
【答案】C
f(x) π
【解析】构造函数g(x)= ,0≤x< ，
cosx 2
f(x)cosx-f(x)cosx
g(x)=
f(x)cosx+f(x)sinx
= >0，
cos2x cos2x
f(x) π
所以函数g(x)= 在 0,
cosx 2
单调递增，
因为函数fx
f(x)
为偶函数，所以函数g(x)= 也为偶函数，
cosx
f(x) π
且函数g(x)= 在 0,
cosx 2
f(x) π
单调递增，所以函数g(x)= 在- ,0
cosx 2
单调递减，
π π
因为x∈- ,
2 2
，所以cosx>0，
关于x的不等式fx
π
>2f
3
fx
⋅cosx可变为
π
f
3
>
cosx
π
，也即g(x)>g
π 3
cos
3
，
所以g x
π
>g
3
x
，则
π
> 3 π π π π
解得 ，
4
π π π π
解得- -sinx，则不等式fx
π
-f -x
2
≥cosx-sinx的解集是 ( )
π
A. -∞,
4
π
B. ,+∞
4
π
C. -∞,
6
π
D. ,+∞
6
【答案】B
【解析】设Fx =fx -cosx，
∵fx +f-x =2cosx，即fx -cosx=cosx-f-x ，即Fx =-F-x ，故Fx 是
奇函数，
由于函数fx 在R上存在导函数fx ，所以，函数fx 在R上连续，则函数Fx 在R
上连续.
∵在0,+∞ 上有fx >-sinx，∴Fx =fx +sinx>0，
故Fx 在0,+∞ 单调递增，
又∵Fx 是奇函数，且Fx 在R上连续，∴Fx 在R上单调递增，
∵fx
π
-f -x
2
≥cosx-sinx，
∴fx
π
-cosx≥f -x
2
π
-sinx=f -x
2
π
-cos -x
2
，
即Fx
π
≥F -x
2
π π
，∴x≥ -x，故x≥ ，
2 4
故选：B．
【解题方法总结】
1、对于cosx⋅f(x)-sinx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)⋅cosx，
f(x)
2、对于cosx⋅f(x)+sinx⋅f(x)>0(<0)，构造g(x)=
cosx
3、对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型
7 题型七：复杂型：en与af(x)+bg(x)等构造型
680 (广西柳州市2024届高三11月第一次模拟考试数学试题)已知可导函数f(x)的导函数
为f(x)，若对任意的x∈R，都有f(x)-f(x)>1．且f(x)-2022为奇函数，则不等式
f(x)-2021ex>1的解集为 ( )
A. -∞,0 B. 0,+∞ C. -∞,e D. e,+∞
【答案】A
【解析】根据题意，构造Fx
fx
=
-1
，则fx
ex
=Fx ex+1，
f(x)-f(x)+1
且F(x)= <0，故Fx
ex
在R上单调递减；
第 页 共 页
369 3427又fx -2022为R上的奇函数，故可得f0 -2022=0，
即f0 =2022，则F0 =2021.
则不等式f(x)-2021ex>1等价于Fx >2021=F0 ，
又因为Fx 是R上的单调减函数，故解得x<0.
故选：A.
681 (河南省多校联盟2024届高考终极押题(C卷)数学试题)已知函数fx 的导函数为
fx ，若对任意的x∈R，都有fx >fx +2，且f1 =2022，则不等式fx -2020ex-1
<2的解集为 ( )
A. 0,+∞
1
B. -∞,
e
C. 1,+∞ D. -∞,1
【答案】C
【解析】设函数gx
fx
=
-2
，
ex
所以gx
fx
=
×ex- fx -2 ×ex fx
=
e2x
-fx +2
，因为fx
ex
>fx +2，
所以fx -fx +2<0，即gx <0，所以gx 在R上单调递减，因为f1 =2022，
所以g1
f1
=
-2 2020
= ，因为fx
e e
fx
-2020ex-1<2，整理得
-2 2020
< ，
ex e
所以gx 1.
故选：C.
682 (2024届高三冲刺卷(一)全国卷文科数学试题)已知函数fx 与gx 定义域都为R，满
足fx
x+1
=
gx
，且有gx
ex
+xgx -xgx <0，g1 =2e，则不等式fx <4的
解集为 ( )
A. 1,4 B. 0,2 C. -∞,2 D. 1,+∞
【答案】D
【解析】由fx
x+1
=
gx
可得fx
ex
gx
=
ex+x+1 gx ex-x+1 gx ex
ex
=
2
xgx +gx -xgx
.
ex
而gx +xgx -xgx <0，∴fx <0，∴fx 在-∞,+∞ 上单调递减，
又g1 =2e，则f1
2×g1
=
4e
= =4，
e1 e
所以fx <4=f1 ，则x>1，
故不等式fx <4的解集为1,+∞ ．
故选：D．
683 (陕西省渭南市华州区咸林中学2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题)已知定义
在(-3,3)上的函数f(x)满足f(x)+e4xf(-x)=0,f(1)=e2,f(x)为f(x)的导函数，当x∈
[0,3)时，f(x)>2f(x)，则不等式e2xf(2-x)2fx ，
所以当x∈0,3 时，gx >0，从而gx 在0,3 上单调递增，又gx 是-3,3 上的奇
函数，所以gx 在-3,3 上单调递增；
考虑到g1
f1
=
e2
= =1，由e2xf2-x
e2 e2
f(x)+1，f(x)+f(6-x)=2，f(6)=5，则不等式f(x)+
2ex+1<0的解集为 ( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(0,3) D.(3,6)
【答案】A
【解析】令gx
fx
=
+1
，可得gx
ex
fx
=
+1
ex
fx
=
-fx -1
，
ex
因为f(x)>f(x)+1，可得f(x)-f(x)-1>0，
所以gx >0，所以函数gx 为R上的单调递增函数，
由不等式f(x)+2ex+1<0，可得f(x)+1<-2ex，
f(x)+1
所以 <-2，即gx
ex
<-2
因为f(x)+f(6-x)=2，令x=0，可得f(0)+f(6)=2，
又因为f(6)=5，可得f(0)=-3，所以g0
f0
=
+1
=-2
e0
所以不等式等价于gx 1，f0 =4，则不等式exfx >ex+3的解集为 ( )
A. 0,+∞ B.(-∞,0)∪3,+∞
C.(-∞,0)∪0,+∞ D. 3,+∞
【答案】A
【解析】将fx +fx >1左右两边同乘ex得：exfx +exfx -ex>0，
令gx =exfx -ex，则gx =exfx +exfx -ex>0，所以gx 在R上单调递增，
且g0 =f0 -1=3；不等式exfx >ex+3等价于exfx -ex>3，即gx >g0 ，所
以x>0
故选：A
第 页 共 页
371 3427686 (陕西省西安市西北工业大学附属中学2024届高三下学期第十二次适应性考试数学试
题)定义在R上的函数fx 满足fx -2fx -8>0，且f0 =-2，则不等式fx >
2e2x-4的解集为 ( )
A. 0,2 B. 0,+∞ C. 0,4 D. 4,+∞
【答案】B
【解析】构造函数gx
fx
=
+4
，则gx
e2x
fx
=
e2x-2 fx +4 e2x
=
e4x
fx -2fx -8
>0，
e2x
所以，函数gx 为R上的增函数，g0
f0
=
+4
=2，
e0
由fx >2e2x-4可得gx
fx
=
+4
>2=g0
e2x
，所以，x>0.
故选：B.
【解题方法总结】
对于f(x)-f(x)>k(<0)，构造g(x)=ex[f(x)-k]
8 题型八：复杂型：(kx+b)与f(x)型
687 (专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用-备战2022年高考数学二轮复习常考点专
题突破)已知定义在R上的函数fx 满足f2+x =f2-x ，且当x>2时，有xfx +
fx >2fx ,若f1 =1，则不等式fx
1
< 的解集是 ( )
x-2
A.(2,3) B. -∞,1 C. 1,2 ∪2,3 D. -∞,1 ∪3,+∞
【答案】A
【解析】根据题意，设g(x)=(x-2)f(x)，则g1 =-f1 =-1，则有g(2+x)=xf(2+
x)，g(2-x)=-xf(2-x)，即有g(2+x)=-g(2-x)，故函数g(x)的图象关于(2,0)对称，
则有g3 =-g1 =1，
当x>2时，g(x)=(x-2)f(x)，g′(x)=(x-2)f′(x)+f(x)，又由当x>2时，xf(x)+
f(x)>2f(x)，即当x>2时，g′(x)>0，即函数g(x)在区间(2,+∞)为增函数，由f(x)<
1
可得(x-2)f(x)<1，即gx
x-2
<1=g3 ，∴21，即g(x)>1，此时x不存在.
x-2
综上：不等式解集为(2,3).
故选：A
688 (辽宁省实验中学2024届高三第四次模拟考试数学试卷)已知函数fx 是定义在R上
的可导函数，其导函数为fx ，若对任意x∈R有fx >1，f1+x +f1-x =0，且
f0 =-2，则不等式fx-1 >x-1的解集为 ( )
A. 4,+∞ B. 3,+∞ C. 2,+∞ D. 0,+∞
【答案】B
【解析】设gx =fx -x，则gx =fx -1>0恒成立，故函数gx 在R上单调递
增.
第 页 共 页
372 3427f1+x +f1-x =0，则f2 +f0 =0，即f2 =2，故g2 =f2 -2=0.
fx-1 >x-1，即gx-1 >0，即gx-1 >g2 ，故x-1>2，解得x>3.
故选：B.
689 (山东省泰安肥城市2024届高三下学期5月高考适应性训练数学试题(三))定义在
1，+∞ 上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x-1)f(x)-f(x)>x2-2x对任意x∈(1,
+∞)恒成立.若f(2)=3，则不等式f(x)>x2-x+1的解集为 ( )
A. 1,2 B. 2，+∞ C. 1,3 D. 3，+∞
【答案】B
【解析】由(x-1)f(x)-f(x)>x2-2x，即(x-1)f(x)-f(x)+1>(x-1)2，
(x-1)f(x)-(f(x)-1) f(x)-1
即 -1>0，即 -x
(x-1)2 x-1
>0对x∈(1,+∞)恒成立，
f(x)-1
令g(x)= -x，则g(x)在(1,+∞)上单调递增，
x-1
∵f(2)=3，∴g(2)=0，
f(x)-1
由f(x)>x2-x+1，即 -x>0，即g(x)>g2
x-1
，
因为g(x)在(1,+∞)上单调递增，∴x>2
故选：B.
【解题方法总结】
写出y=kx+b与y=f(x)的加、减、乘、除各种形式
9 题型九：复杂型：与ln(kx+b)结合型
690 (2024届高三数学临考冲刺原创卷(四))已知函数fx 的定义域为0,+∞ ，导函数为
fx ，且满足fx +xfx lnx>0，则不等式fx-2020 lnx-2020 ≤0的解集为
( )
A. -∞,2020 ∪2021,+∞ B. 0,2021
C. 2020,2021 D. 2021,2022
【答案】C
【解析】根据fx +xfx
fx
lnx>0，x>0得
+fx
x
lnx>0．
设Fx =fx lnx(x>0)，则Fx
fx
=
+fx
x
lnx>0，
则函数Fx 在0,+∞ 上单调递增，且F1 =0，
则不等式fx-2020 lnx-2020 ≤0，可化为Fx-2020 ≤F1 ，
x-2020>0
则
，解得20200时fx +xlnx⋅fx <0，则不等
式4|x|⋅fx >4fx 的解集为 ( )
A. -∞,-1 ∪0,+∞ B. -1,0 ∪0,+∞
C. -∞,-1 ∪0,1 D. -1,0 ∪1,+∞
第 页 共 页
373 3427【答案】C
【解析】构造函数gx =fx lnx，其中x>0，
则gx
fx
=
+fx
x
1
lnx= fx
x
+xlnx⋅fx <0，
所以，函数gx =fx lnx在0,+∞ 上单调递减，
易知g1 =0，当0g1 =0，此时fx <0，
当x>1时，lnx>0，gx =fx lnx0，且f0 =0，
由4|x|⋅fx >4fx 可得 4x -4 fx >0，
当4x >4时，即x >1，可得x<-1或x>1，此时fx >0，可得x<-1；
当4x <4时，即x <1，可得-14fx 的解集为-∞,-1 ∪0,1 .
故选：C.
692 (2024届高三数学新高考信息检测原创卷(四))已知fx 是定义在R上的奇函数，fx
是fx
1
的导函数，f
2
≠0，且fx ln2x
fx
+
<0，则不等式x2-x-2
x
fx >0
的解集是 ( )
A. -∞,-1
1
∪0,
2
∪2,+∞ B. -1,0
1
∪ ,2
2
C. -1,0 ∪2,+∞ D. -∞,-1 ∪0,2
【答案】D
【解析】设gx =fx ln2x ，则gx 的定义域为0,+∞
且gx =fx ln2x
fx
+
<0，所以gx
x
在0,+∞ 上单调递减.
1
因为g
2
1
=f
2
1
⋅ln1=0，所以当x∈0,
2
时，gx >0；
1
当x∈ ,+∞
2
时，gx <0.
1
又当x∈0,
2
时，ln2x
1
<0，当x∈ ,+∞
2
时，ln2x >0，
所以当x∈0,+∞ 时，恒有fx <0.
因为fx 是R上的奇函数，所以当x∈-∞,0 时，fx >0，
所以x2-x-2 fx
x>0, x<0,
>0等价于 x2-x-2<0 或 x2-x-2>0,
解得00的解集是-∞,-1 ∪0,2 .
故选：D.
693 (广东省梅州市2024届高三二模数学试题)已知fx 是定义在R上的奇函数，fx 是
fx 的导函数，当x>0时，fx ln2x
fx
+
1
>0，且f
x 2
≠0，则不等式x-2 fx
<0的解集是 ( )
A. -∞,0 ∪0,2 B. 0,2
C. 2,+∞ D. -∞,0 ∪2,+∞
第 页 共 页
374 3427【答案】B
【解析】令gx =fx ln2x ，
则gx =fx ln2x
fx
+
>0，
x
所以函数gx 在0,+∞ 上递增，
1
又因g
2
=0，
1
所以当x∈0,
2
时，gx <0，
1
当x∈ ,+∞
2
时，gx >0，
1
又因当x∈0,
2
时，ln2x
1
<0，当x∈ ,+∞
2
时，ln2x >0，
1
所以当x∈0,
2
时，fx
1
>0，当x∈ ,+∞
2
时，fx >0，
1
又因为f
2
≠0，所以当x>0时，fx >0，
因为fx 是定义在R上的奇函数，
所以f0 =0，当x<0时，fx <0，
由不等式x-2 fx <0，
x-2>0
得
fx
x-2<0
或
<0 fx
，
>0
解得00,f2
1
=ln ，则不等式f(ex)+x>0
2
的解集为 ( )
A.(0，2ln2) B.(0,ln2) C.(ln2，1) D.(ln2，+∞)
【答案】D
【解析】令g(x)=f(x)+lnx,(x>0) ，
1 xfx
则g(x)=f(x)+ =
x
+1
，由于xfx
x
+1>0,
故g(x)>0,故g(x)在(0，+∞)单调递增，
1
而g(2)=f(2)+ln2=ln +ln2=0 ，
2
由f(ex)+x>0，得g(ex)>g(2) ，
∴ex>2 ，即x>ln2 ,
∴不等式f(ex)+x>0的解集为(ln2，+∞),
故选：D．
【解题方法总结】
f(x)
1、对于f(x)lnx+ >0(<0)，构造g(x)=lnx⋅f(x)
x
2、写出y=ln(kx+b)与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
10 题型十：复杂型：基础型添加因式型
695 (辽宁省名校联盟2024届高考模拟调研卷数学(三))已知函数f(x)为定义在R上的偶函
第 页 共 页
375 3427数，当x∈0,+∞ 时，fx >2x，f2 =4，则不等式xfx-1 +2x2>x3+x的解集为
( )
A. -1,0 ∪3,+∞ B. -1,1 ∪3,+∞
C. -∞,-1 ∪0,3 D. -1,3
【答案】A
【解析】因为fx >2x，所以f(x)-2x>0，
构造函数F(x)=f(x)-x2，当x∈(0,+∞)时，F(x)=f(x)-2x>0，
所以函数F(x)在区间(0,+∞)内单调递增，且F(2)=0，
又f(x)是定义在R上的偶函数，所以F(x)是定义在R上的偶函数，
所以F(x)在区间(-∞,0)内单调递减，且F(-2)=0．
不等式xf(x-1)+2x2>x3+x整理可得：xf(x-1)+2x2-x3-x>0，
即x[f(x-1)-(x-1)2]>0，当x>0时，f(x-1)-(x-1)2>0，则x-1>2，解得x>
3；当x<0时，f(x-1)-(x-1)2<0，则-2x3+x的解集为-1,0 ∪3,+∞ ．
故选：A．
696 定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(x)+ex<0(e为自然对数的底数)，其中f(x)为
f(x)的导函数，若f(3)=3e3，则f(x)>xex的解集为 ( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,3) D.(3,+∞)
【答案】D
f(x) f(3)
【解析】设g(x)= -x，则g(3)= -3=0，所以f(x)>xex等价于g(x)>0=
ex e3
g(3)，
由f(x)-f(x)+ex<0，可得f(x)-f(x)>ex>0
f(x)-f(x)
则g(x)= -1>0，
ex
所以g(x)在R上单调递增，所以由g(x)>g(3)，得x>3．
故选：D
697 定义在R上的函数fx 满足fx -2fx -6<0，且f1 =e2-3，则满足不等式
fx >e2x-3的x的取值有 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】D
【解析】构造函数Fx
fx
=
+3
，则Fx
e2x
fx
=
-2fx -6
，
e2x
因为fx -2fx -6<0，所以Fx <0，所以Fx
fx
=
+3
单调递减，
e2x
又f1 =e2-3，所以F1
f1
=
+3
=1，
e2
不等式fx
fx
>e2x-3变形为
+3
>1，即Fx
e2x
>F1 ，
由函数单调性可得：x>1
故选：D
第 页 共 页
376 3427698 已知在定义在R上的函数fx 满足fx -f-x -6x+2sinx=0，且x≥0时，fx
≥3-cosx恒成立，则不等式fx
π
≥f -x
2
3π π
- +6x+ 2cosx+
2 4
的解集为
( )
π
A. 0,
4
π
B. ,+∞
4
π
C. -∞,
6
π
D. ,+∞
6
【答案】B
【解析】由题意，当x≥0时，fx ≥3-cosx恒成立，即fx -3+cosx≥0恒成立，
又由fx -f(-x)-6x+2sinx=0，可得fx -3x+sinx=f(-x)+3x-sinx，
令gx =fx -3x+sinx，可得g-x =g-x ，则函数gx 为偶函数，
且当x≥0时，gx 单调递增，
结合偶函数的对称性可得gx 在(-∞,0)上单调递减，
由fx
π
≥f -x
2
3π π
- +6x+ 2cosx+
2 4
，
化简得到fx
π
-3x+sinx≥f -x
2
π
-3 -x
2
π
+sin -x
2
，
即gx
π
≥g -x
2
，所以x
π
≥ -x
2
π
，解得x≥ ，
4
π
即不等式的解集为 ,+∞
4
.
故选：B.
11 题型十一：复杂型：二次构造
699 (福建省福州第一中学2024学年高二下学期期中考试数学试题)函数f(x)满足：
1 1
exf(x)+exf'(x)= x，f
2 2
2
= ，则当x>0时，f(x) ( )
e
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值
C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为
1
exf(x)+exf'(x)= x，所以
1
e2
1x
f(x)+e2
1x
f'(x)=
x
，
2 2 1x
e2
令Fx
1x Fx
=e2 f(x)，则f(x)=
，且Fx
1x
e2
x
= ，
1x
e2
Fx
所以f(x)=
1x 1 1x
e2 - e2 Fx 2
e2
1x
x 1
- Fx
1x 2 e2
=
2
，
1x
e2
令hx
x 1
= - Fx
1x 2
e2
，则hx
1 x 1
- - x
2 x 2 1 x 2 x
= - ∙ = ，
1x 2 1x 1x
e2 e2 e2
令hx
1
=0，解得：x= ，
2
1
当00，则hx 单调递增，
1
当x> 时，hx
2
<0，则hx 单调递减，
第 页 共 页
377 34271
所以当x= 时，hx
2
1
取得最大值h
2
1
2 1 1
= - F
1 2 2
e4
1
2 1 1 1
= - e4f
1 2 2
e4
=0，
则hx ≤0，故f(x)≤0在0,+∞ 上恒成立，
所以f(x)在0,+∞ 上单调递减，
则当x>0时，f(x)既无极大值，也无极小值.
故选：D
700 (江西省百所名校2024学年高三第四次联考数学试题)已知函数fx 的定义域为
1,+∞ ，其导函数为fx ，x+2 2fx +xfx 2x+10的解集为 ( )
A. 1,2 B. -∞,2 C. -2,3 D. -2,2
【答案】D
【解析】根据已知条件构造一个函数Gx
gx
=
，再利用Gx
x+2
的单调性求解不等式即
可.由x+2 2fx +xfx 2x+10，
x+3
等价于
2fx+3
>2，
x+5
即Gx+3
gx+3
=
>2，G5
x+5
g5
=
25f5
=
7
=2，
7
所求不等式即Gx+3 >G5 ，
由于Gx 在(1，+∞)上是单调递减函数，
所以x+3<5，解得x<2，
且x+3>1，即x>-2，
故不等式x+3 2fx+3 >2x+10的解集为-2,2 .
故选：D
701 (河南省濮阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题)已知函数fx+1 为定义
域在R上的偶函数，且当x≥1时，函数fx 满足xfx +2fx
lnx
= ，f e
x2
1
= ，则
4e
4efx <1的解集是 ( )
A. -∞,2- e ∪ e,+∞ B. 2- e, e
C. -∞,2-e ∪e,+∞ D. 2-e,e
【答案】A
【解析】由题可知，当x≥1时，x2fx
lnx
= ．令gx
x
=x2fx ，则fx
gx
=
，
x2
第 页 共 页
378 3427fx
x2gx
=
-2xgx lnx-2gx
=
x4
，令hx
x3
=lnx-2gx ，hx
1
= -2gx
x
=
1-2lnx
，
x
令hx =0，解得x= e．可知函数hx 在 e,+∞ 上单调递减﹐在1, e 上单调
递增．
又h e =ln e-2g e =0，所以hx ≤0，fx ≤0，所以函数fx 在1,+∞ 上单
调递减，
4efx <1，可化为fx
1
< =f e
4e
，又函数fx 关于x=1对称，
故x-1 > e-1 ,x-1<1- e或x-1> e-1，
所以不等式的解集为-∞,2- e ∪ e,+∞ ．
故选：A
702 (宁夏平罗中学2024届高三上学期第一次月考数学试题)已知定义在R上的连续偶函数
f(x)
y=f(x)的导函数为y=f(x)，当x>0时，f(x)+ <0，且f(2)=-3，则不等式f(2x
x
-6
-1)< 的解集为 ( )
2x-1
1
A. -∞,
2
3
∪ ,+∞
2
1 3
B. ,
2 2
3
C. ,+∞
2
1 1
D. - ,
2 2
1 3
∪ ,
2 2
【答案】A
f(x) xf(x)+f(x) xf(x)
【解析】当x>0时，f(x)+ = =
x x
<0，∴xf(x)
x
<0，
令gx =xf(x)，∴gx 在0,+∞ 上单调递减，
又y=f(x)是定义在R上的连续偶函数，∴gx 是R上的奇函数，即gx 在R上单调
递减，
∵f(2)=-3，∴g2 =-6，
1 -6
当2x-1>0，即x> 时，f(2x-1)< ⇒2x-1
2 2x-1
f(2x-1)<-6⇒g(2x-1)<
3
-6，∴2x-1>2⇒x> ；
2
1 -6
当2x-1<0，即x< 时，f(2x-1)< ⇒2x-1
2 2x-1
f(2x-1)>-6⇒g(2x-1)>
3 1
-6，∴2x-1<2⇒x< ，则x< .
2 2
-6 1
故不等式f(2x-1)< 的解集为-∞,
2x-1 2
3
∪ ,+∞
2
.
故选：A.
703 (江西省九江市2024届高三三模数学(理)试题)已知fx 是定义在0,+∞ 上的可导函
数，fx 是fx 的导函数，若xfx +x2fx =ex，f1 =e，则fx 在0,+∞ 上
( )
A.单调递增 B.单调递减 C.有极大值 D.有极小值
【答案】A
【解析】构造函数Fx =xfx ，则Fx =fx +xfx
ex
= ，
x
第 页 共 页
379 3427所以，fx
Fx
=
，则fx
x
xFx
=
-Fx ex-Fx
=
x2
，
x2
设φx =ex-Fx ，则φ1 =0，φx =ex-Fx
ex ex x-1
=ex- =
x
，
x
当01时，φx >0，此时函数φx 单调递增.
所以，φx ≥φ1 =0，∴fx
ex-Fx
=
φx
=
x
≥0对任意的x>0恒成立，
x
因此，函数fx 在0,+∞ 上单调递增.
故选：A.
704 (湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024学年高二下学期期中理科数
学试题)定义在0,+∞ 上的函数fx 满足xfx +fx
1
=x2lnx，且f
e
1
=- ，则
2e
fx ( )
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值
C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为xfx +fx
1
=x2lnx，且f
e
1
=- ，
2e
1
所以f
e
=0，①
令gx =xfx ，则gx =x2lnx，
又x2fx +xfx =x3lnx，记hx =x2fx =x3lnx-gx ，
所以hx =x2+3x2lnx-gx =2lnx+1 x2.
1
当x∈0,
e
时，hx <0，hx
1
递减；当x∈ ,+∞
e
时，hx >0，hx 递增.
1 1
结合①当x= 时，h
e e
=0，所以hx 的最小值为0，即x2fx ≥0，
因为x>0，则fx
1
≥0，(当且仅当x= 时，取等号)，所以既没有最大值，也没有最
e
小值.
故选：D.
705 (福建省泉州市2024学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学(理)试题)设函数fx
满足：xfx +2fx =xex，f1
e
= ，则x>0时，fx
2
( )
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值
C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，又无极小值
【答案】B
【解析】xfx +2fx =xex⇔x2fx +2xfx =x2ex，
令gx =x2fx ，则gx =x2fx +2xfx =x2ex，
所以fx
xex-2fx
=
x3ex-2x2fx
=
x
x3ex-2gx
=
x3
，
x3
令hx =x3ex-2gx ，则hx =x3+3x2 ex-2gx ，
即hx =x3+3x2 ex-2x2ex=x3+x2 ex，
当x>0时，hx >0，hx 单调递增，而h1 =e-2g1 =0，
第 页 共 页
380 3427所以当01时，hx >0，fx >0，fx 单调递增；
故fx 有极小值f1 ，无极大值，故选B.
706 (辽宁省大连市中山区第二十四中学2024学年高三上学期11月月考数学试题)函数
fx 满足：2exfx +exfx
1
= x，f
2
1
= ．则x>0时，fx
2 2e
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值
C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为2exfx +exfx = x，所以2e2xfx +e2xfx =ex x,
令F(x)=e2xf(x)，则 F(x)=ex x，
x-2exf(x) ex x-2F(x)
所以f(x)= = ，
ex e2x
ex ex(1-2x)
令H(x)=ex x-2F(x) ，则H(x)= +ex x-2F(x)= ，
2 x 2 x
1 1
则当00 ，当x> 时，H(x)<0
2 2
1
即函数H(x)在0,
2
1
为增函数，在 ,+∞
2
为减函数，
1
所以H(x) =H
max 2
1 1
= e -2ef
2 2
2e 2e
= - =0，
2 2
即f(x)≤0，即函数fx 在0,+∞ 为减函数，
即x>0时，fx 既无极大值，也无极小值，
故选D.
π
707 设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)+xex=xf(x)，f(1)=-π，f(2)=- ，则当x>0
2
时，f(x)
A.有极大值，无极小值 B.无极大值，有极小值
C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设fx
fx
=ex+
，所以f1
x
f1
=e+
=e-π<0，f2
1
f2
=e+
2
π
=e2- 4 >0，所以存在x 0 ∈1,2 使得fx 0 =0，又fx
xfx
=ex+
-fx
=ex+ x2
ex
>0，所以fx
x
在0,+∞ 上单调递增.
所以当x∈0,x 0 时，fx <0，fx 单调递减，当x∈x 0 ,+∞ 时，fx >0，fx 单调
递增.
因此，当x=x 0 时，fx 取极小值，但无极大值，故选B.
【解题方法总结】
二次构造：f(x)×÷r(x)±g(x)，其中r(x)=xn,enx,sinx,cosx等
12 题型十二：综合构造
708 (福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2024学年高二下学期期中联
第 页 共 页
381 3427f(x)-f(x)
考数学试题)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，若f(x)满足 >
x-1
f(x) fx2-x
0，y= 关于直线x=1对称，则不等式
ex
0，
x-1
当x>1时，f(x)-f(x)>0，则g(x)>0，
∴g(x)在(1,+∞)上单增；
当x<1时，f(x)-f(x)<0，则g(x)<0，
∴g(x)在(-∞,1)上单减；
∵g(0)=f(0)，
f(x2-x)
∴不等式 fx+1 有实数解，则其解集为 ( )
2
A. -∞,-
3
B. -∞,0
2
∪ ,+∞
3
C. 0,+∞
2
D. -∞,-
3
∪0,+∞
【答案】D
【解析】构造函数Fx =fx +x2+x，
当x≥0时，Fx =fx +2x+1≥0,Fx 递增，
由于fx =f-x -2x，
所以fx +x2+x=f-x +-x 2+-x ，即F-x =Fx ，
所以Fx 是偶函数，所以当x<0时，Fx 递减.
不等式f2x+1 +3x2+3x>fx+1 等价于：
f2x+1 +2x+1 2+2x+1 >fx+1 +x+1 2+x+1 ，
即F2x+1 >Fx+1 ，所以2x+1 >x+1 ，
两边平方并化简得x3x+2
2
>0，解得x<- 或x>0，
3
所以不等式f2x+1 +3x2+3x>fx+1
2
的解集为-∞,-
3
∪0,+∞ .
故选：D
第 页 共 页
382 3427710 (黑龙江省哈尔滨市第三中学2024学年高三第一次模拟数学(文科)试题)已知fx 是定
义在R上的偶函数，fx 是fx 的导函数，当x≥0时，fx -2x>0，且f1 =3，则
fx >x2+2的解集是 ( )
A. -1,0 ∪1,+∞ B. -∞,-1 ∪1,+∞
C. -1,0 ∪0,1 D. -∞,-1 ∪0,1
【答案】B
【解析】令gx =fx -x2，
因为fx 是定义在R上的偶函数，
所以f-x =fx ，
则g-x =f-x --x 2=gx ，
所以函数gx 也是偶函数，
gx =fx -2x，
因为当x≥0时，fx -2x>0，
所以当x≥0时，gx =fx -2x≥0，
所以函数gx 在0,+∞ 上递增，
不等式fx >x2+2即为不等式gx >2，
由f1 =3，得g1 =2，
所以gx >g1 ，
所以x >1，解得x>1或x<-1，
所以fx >x2+2的解集是-∞,-1 ∪1,+∞ .
故选：B.
711 (贵州省绥阳县育才中学2024届高三信息压轴卷数学试题)已知函数fx 的定义域为
R，其导函数为fx
f-x
，若
-fx x
=sin ，且当x≤0时，2fx
2 2
x
+cos >0，则
2
f2x+π +1>fx
x x
+sin 2sin +1
2 2
的解集为 ( )
π
A. -π,
3
B. -∞,-π
π
∪ ,+∞
3
π
C. -π,-
3
D. -∞,-π
π
∪- ,+∞
3
【答案】C
【解析】由已知可推得，fx -f-x
x
=-2sin .
2
令gx =fx
x
+sin ，则g-x
2
=f-x
-x
+sin =f-x
2
x
-sin ，
2
所以gx -g-x =fx
x
+sin -f-x
2
x
+sin =fx
2
-f-x
x
+2sin =0，
2
所以，gx 为偶函数.
又gx =fx
1 x 1
+ cos = 2fx
2 2 2
x
+cos
2
，
因为当x≤0时，2fx
x
+cos >0，
2
所以，gx >0，所以gx 在-∞,0 上单调递增.
又gx 为偶函数，所以gx 在0,+∞ 上单调递减.
由f2x+π +1>fx
x x
+sin 2sin +1
2 2
可得，
第 页 共 页
383 3427f2x+π
x
+1-2sin2 >fx
2
x
+sin .
2
因为g2x+π =f2x+π
2x+π
+sin =f2x+π
2
+cosx=f2x+π
x
+1-2sin2 ，
2
所以，g2x+π >gx .
因为gx 在0,+∞ 上单调递减，gx 为偶函数，
所以有2x+π <x ，
平方整理可得，3x2+4πx+π2<0，
π
解得-πsinx，则不等式fx +2cosx>fπ-x 的解集为 ( )
π
A. ,+∞
2
π
B. -∞,
2
π π
C. - ,
2 2
D. -∞,π
【答案】A
【解析】∵f(-x)+f(x)+2cosx=0，
∴f(-x)=-f(x)-2cosx，
令g(x)=f(x)+cosx，则g(-x)=f(-x)+cos(-x)=-f(x)-2cosx+cosx=-f(x)-
cosx=-g(x)，
∴g(x)在R上为奇函数，
又∵当x≥0时，f(x)>sinx，
∴当x≥0时，g(x)=f(x)-sinx>0，
∴g(x)在[0,+∞)上单调递增，
又∵g(x)在R上为奇函数，
∴g(x)在R上单调递增，
又∵f(x)+2cosx>f(π-x)，
∴f(x)+cosx>f(π-x)-cosx，
又∵f(π-x)-cosx=f(π-x)+cos(π-x)，
∴g(x)>g(π-x)，
∵g(x)在R上单调递增，
π
∴x>π-x，解得：x> .
2
故选：A.
713 (安徽省蚌埠市2024届高三上学期第一次质量检查数学试题)已知函数fx 的定义域
1
是R,f
2
1
= ，若对于任意的x∈R都有fx
2
+4x<0，则当α∈0,2π 时，不等式
fsinα -cos2α<0的解集为 ( )
π 5π
A. ,
6 6
π 5π
B. ,
3 3
π
C. 0,
6
5π
∪ ,2π
6
π
D. 0,
3
5π
∪ ,2π
3
【答案】A
【解析】令gx =fx +2x2-1，则gx =fx +4x<0,gx
1
在R上是减函数.g
2
1
=f
2
1
+2×
2
2
-1=0，
第 页 共 页
384 3427所以gsinα =fsinα +2sin2α-1=fsinα -cos2α<0
1
得sinα> ，又α∈0,2π
2
π 5π
，所以α∈ ,
6 6
.
故选：A.
【解题方法总结】
cosx⋅f(x)
结合式子，寻找各种综合构造规律，如g(x)= ，或者f(x)+r(x)(r(x)为常见
ex
函数)
13 题型十三：找出原函数
714 (甘肃省武威市第六中学2024届高三上学期第二次阶段性过关考试数学(文)试题)已知
定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足xfx +fx
lnx
= 且fe
x
1
= ，其
e
中e为自然对数的底数,则不等式fx
1
+e>x+ 的解集是
e
1 1
A.(0,e) B.(0, ) C. ,e
e e
D.(e,+∞)
【答案】A
【解析】令gx =xfx ，则有gx =xfx +fx
lnx
= ，gx
x
1
= lnx
2
2+
CC为常数 ,∴xfx
1
= lnx
2
2+C
∴ fx
1
= lnx
2x
C
2+ ,又∵fe
x
1 1
= ,得C=
e 2
∴fx
1
= lnx
2x
1
2+ ，,再令hx
2x
=fx -x,则hx =fx
-lnx+1
-1=
2
-
2x2
1<0 ,故函数hx =fx -x在0,+∞ 上递减,
不等式fx
1
+e>x+ 等价于fx
e
-x>fe -e,所以00时，t>1，
构建函数gt =2lnt+ 1 -1，则有gt
t
= 2 - 1 = 2t-1 >0，
t t2 t2
所以函数gt 在1,+∞ 上单调递增，
当-10，
所以当t∈0, 1
2
时函数gt =0必有一解，
令这一解为x 0 ，-10，
综上所述，fx 在-1,x 0 上单调递减，在x 0 ,0 上单调递增，在0,+∞ 上单调递增，
所以fx 有极小值，无极大值．
716 设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的连续函数，且在x=1处存在导数，若函数f(x)及其
f(x)
导函数f(x)满足f(x)lnx=x- ，则函数f(x)
x
A.既有极大值又有极小值 B.有极大值，无极小值
C.既无极大值也无极小值 D.有极小值，无极大值
【答案】C
f(x) f(x)
【解析】因为f(x)lnx=x- ，(f(x)lnx)'=f'(x)lnx+ ，
x x
1
所以(f(x)lnx)'=x，所以f(x)lnx= x2+c,(∗)，
2
f(x)
因为函数f(x)是连续函数，所以由f(x)lnx=x- ，可得f(1)=1，
x
1
代入(∗)，可得c=- ，
2
1, x=1
所以f(x)=x2-1 ，
, x>0且x≠1
2lnx
2x2lnx-(x2-1)
当x≠1时，f'(x)= ，
2xln2x
令g(x)=2x2lnx-x2+1，所以g'(x)=4xlnx，
当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当0
