文档内容
第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
知识梳理
知识点一、直线和曲线联立
与直线 相交于 两点，设 ，
（1）椭圆
，
椭圆 与过定点 的直线 相交于 两点，设为 ，
如 此 消 去 ， 保 留 ， 构 造 的 方 程 如 下 ： ，
注意：
①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般
都需要摆出 ，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②焦点在 轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘
述．
与直线 相交于 两点，设 ，
（2）抛物线
联立可得 ， 时，
特 殊 地 ， 当 直 线 过 焦 点 的 时 候 ， 即 ，
，因为 为通径的时候也满足该式，根据此时
A、B坐标来记忆．
抛物线 与直线 相交于 两点，设 ，
联立可得 ， 时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具
体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面
积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐
标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与 联 立 ， 两 边 同 时 乘 上 即 可 得 到
，为了方便叙述，将上式简记为 ．
该式可以看成一个关于 的一元二次方程，判别式为 可简单记
遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存
．
同理 和 联立 ，为
了 方 便 叙 述 ， 将 上 式 简 记 为 ， ， 可 简 记
．
与C相离 ； 与C相切 ； 与C相交 ．
注意：（1）由韦达定理写出 ， ，注意隐含条件 ．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把 ， 互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把 换成 即可；
焦点在y轴的双曲线，把 换成 即可， 换成 即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用 判断根的关系，
因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的
范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方
程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设 ， 根据两点距离公式 ．
（1）若 在直线 上，代入化简，得
；
所在直线方程为 ，代入化简，得
（2）若（3）构造直角三角形求解弦长， ．其中 为直线 斜率，
为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为 ， 时，
；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为 ，判别式为
， 时， ，
利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会
更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
知识点四、已知弦 的中点，研究 的斜率和方程
（1） 是椭圆 的一条弦，中点 ，则 的斜率为
，
运用点差法求 的斜率；设 ， ， ， 都在椭圆上，
所以 ，两式相减得
所以
即 ，故（2）运用类似的方法可以推出；若 是双曲线 的弦，中点
，则 ；若曲线是抛物线 ，则 ．
必考题型全归纳
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆 的两焦点为 ， ，点
满足 ，则直线 与椭圆C的公共点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定，与P点的
位置有关
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
由 可得 ，
所以 ，
所以直线 与椭圆C的公共点个数为0.
故选：A.
例2．（2024·全国·高三对口高考）若直线 被圆 所截的弦长不小于2，则l与
下列曲线一定有公共点的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由题意，圆 的圆心为 ，半径为 .
设直线方程为 ，直线 到圆心 的距离为 ，
由弦长公式得 ，所以 .
由点到直线的距离公式得， ，即 .
对于选项A，直线 到该圆圆心的距离为 ，
取 ，满足条件，而 ，直线与圆没有公共点，故A排除；
对于选项B，当 时，对于直线 有 ， ， ，
联立椭圆方程得 ，所以必有公共点；
当 时，联立直线 与椭圆方程得 ，
，
所以必有公共点；故B正确；
对于选项C，联立直线 与抛物线方程得 ，
若 时，则 ，有解 ；
若 时， ，取 ，则 ，方程无解，此时无公共点，故C错误；
对于选项D，当 时，对于直线 有 ， ， ，
联立双曲线方程得 ，
取 ，则直线 ： ，与双曲线不存在公共点，故D排除.故选：B.
例3．（2024·重庆·统考二模）已知点 和双曲线 ，过点 且与双曲线
只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【答案】A
【解析】由题意可得，双曲线 的渐近线方程为 ，点 是双曲线的顶点.
①若直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时，直线 与双曲线 只有一个公共
点，合乎题意；
②若直线 的斜率存在，则当直线平行于渐近线 时，直线 与双曲线只有一个公共
点.
若直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，此时直线 为双曲线 的一条渐近线，不合
乎题意.
综上所述，过点 与双曲线只有一个公共点的直线 共有 条.
故选：A.
变式1．（1999·全国·高考真题）给出下列曲线方程：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中与直线 有交点的所有曲线方程是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【解析】 直线 和 的斜率都是
两直线平行，不可能有交点；把直线 与 联立消去 得 ， ， 直线
与②中的曲线有交点；
把直线 与 联立消去 得 ， ，
直线与③中的曲线有交点；
把直线 与 联立消去 得 ， ，
直线与④中的曲线有交点．
故选：D．
变式2．（2024·辽宁沈阳·统考一模）命题p：直线 与抛物线 有且仅有一
个公共点，命题q：直线 与抛物线 相切，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】C
【解析】∵抛物线 的对称轴为 轴，
∴一条直线与抛物线 有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与
轴垂直，
∵直线 存在斜率，与 轴不垂直，
∴“直线 与抛物线 有且仅有一个公共点”等价于“直线 与抛物
线 相切”，则命题p是命题q的充要条件.
故选：C.
变式3．（2024·全国·高三专题练习）过点 作直线，使它与抛物线 仅有一个公
共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B【解析】当直线的斜率不存在时，直线 ，代入抛物线方程可 ，故直线 与抛
物线有两个交点．不满足要求，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
由 ，消 得， ，
当 时，解得 ，直线 与抛物线有且只有一个交点，符合题意；
当 时，由 ，可得 ，
即当 时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．
故选：B.
【解题方法总结】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程
联立方程消元后得到一元二次方程，其中 ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线
有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛
物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
例4．（2024·新疆伊犁·高二统考期末）过椭圆 内一点 引一条恰好被 点
平分的弦，则这条弦所在直线的方程是
【答案】
【解析】椭圆 即 ，
设弦的两端点分别为 , ， , ，则 ，
则 ， ，
两式作差可得： ，．
直线过点 ，
这条弦所在直线的方程是 ，
即 ．
故答案为： ．
例5．（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C： ，圆O： ，直线l与
圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若
，则直线l的方程为 ．
【答案】
【解析】取 中点 ，连接 ,由于 ,所以 ,进而 ,
设 ，设直线上任意一点 ，
由于 是圆的切线，所以 ,所以
，
令 则 ，所以 ，由中点坐标公式可得 ，
设 ,则 ，两式相减可得
，
所以 ,又 ， ,所以 ，解得 ，进而
故直线l的方程为 ，即 ，
故答案为：
例6．（2024·陕西榆林·高二统考期末）已知 为双曲线 上两点，且线段 的
中点坐标为 ，则直线 的斜率为 .
【答案】 /2.25
【解析】设 ，
则
两式相减得 ，
由线段 的中点坐标为 ，
即 ，
.故答案为：
变式4．（2024·全国·高二专题练习）双曲线 的一条弦的中点为 ，则
此弦所在的直线方程为 .
【答案】
【解析】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，
设弦的两端分别为 ， ，
则有 ，两式相减得 ，
所以 ，
又因为弦的中点为 ，所以 ，
故直线斜率 ，
则所求直线方程为 ，整理得 ，
由 得 ，
，故该直线满足题意，
故答案为：
变式5．（2024·陕西宝鸡·高二校联考期末）抛物线 ： 与直线 交于 ， 两点，
且 的中点为 ，则 的斜率为 .
【答案】
【解析】已知 的中点为 ，设 ， 两点坐标分别为 ， ，则 ，可得 ，
即 ，
即
又 ，
所以 .
故答案为： .
变式6．（2024·高二课时练习）已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，直线 与
抛物线 交于 两点，若线段 的中点为 ，则直线 的方程为 ．
【答案】
【解析】因为抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，
所以易得抛物线的方程为 ，
设 ，
因为线段 的中点为 ，
故 ，
则 ，由 ，
两式相减得 ，所以 ，
故直线 的方程为 ，即 ．故答案为： .
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
变式7．（2024·全国·高三专题练习）直线l与椭圆 交于A，B两点，已知直线
的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设 ， ，线段AB的中点为 ，连接 （ 为坐标原点）．
由题意知 ，则 ，
x+4 y=0
∴点 的轨迹方程为 ．
又点 在椭圆内，
∴ ，
解得： ，
故答案为： .变式8．（2024·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）已知椭圆 内有一
点 ，弦 过点 ，则弦 中点 的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设 ，中点 ，
则 ，相减得 ，
斜率存在时，
∴ ，
又 是 中点，且直线 过点 ，
所以 ，化简得 ，
斜率不存在时，方程为 ，中点为 适合上述方程．
∴点 的轨迹方程是 ．
故答案为： ．
变式9．（2024·全国·高一专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线 所得弦的中
点的轨迹方程是 ．
【答案】 ( 或 ).
【解析】设直线为 ，与双曲线交点为 ，
联立双曲线可得： ，则 ，即
或 ，所以 ，故 ，则弦中点为 ，
所以弦的中点的轨迹方程为 ( 或 ).
故答案为： ( 或 )
变式10．（2024·全国·高三专题练习）直线 （ 是参数）与抛物线
的相交弦是 ，则弦 的中点轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设 ， 中点 ，
则 .
，
过定点 ，
.
又 ，（1） ，（2）
得： ，
. 于是 ，即 .
又弦中点轨迹在已知抛物线内，
联立
故弦 的中点轨迹方程是变式11．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆方程为 ，过点 的直线 交椭
圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足 ，当l绕点M旋转时，求动点P
的轨迹方程．
【解析】直线 过点 ，设其斜率为k，则 的方程为
记 、
，化简得， ，
所以 ， ，
于是
设点P的坐标为 则 ，消去参数k得 ③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点 ，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为
方向3：对称问题
变式12．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆 的焦距为 ，左右
焦点分别为 、 ，圆 与圆 相交，且交点在椭圆E上，
直线 与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．(1)求椭圆E的方程；
(2)若 ，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若
不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为圆 与圆 相交，且交点在椭圆 上，
所以 ， ，
设 ， ， 的中点 ，
，①－② ，
，
，
则椭圆E的方程： ；
（2）假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为 ，
， ，PQ中点 ，
，
，
， ，即 ，
由N在l上， ，此时 ，
故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为 ．变式13．（2024·江苏南通·高二统考期中）已知椭圆 的离心率为
e，且过点 和 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线 对称，求 ．
【解析】（1）由题意知： ，∴
，∴ ，所以椭圆 ；
（2）法一 设 及AB中点 ，由题意知
， ，以上两式相减得： ，
可化为： 即 ，故 ，
又∵M在直线 上，所以 ，解得： ，
即 ，直线 ，化简为：
联立 整理得： ，由韦达定理知
由弦长公式得： ．
法二 设直线 ，联立 ， 整理得：
，则中点 ，满足直线方程 ，解得
所以AB：
联立 整理得： ，由韦达定理知
由弦长公式得： ．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，点 在椭圆C：
上，直线l： 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直
线OM的斜率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存
在，请说明理由．
【解析】（1）设 ，则
∵ 在椭圆上，则两式相减得 ，整理得
∴ ，即 ，则
又∵点 在椭圆C： 上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l： 对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ
的中点，连接ON
∵ ，则 ，即
由（1）可得 ，则 ，即直线
联立方程 ，解得
即
∵ ，则 在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称变式15．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知曲线C的方程是
，其中 ， ，直线l的方程是 ．
(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；
(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段 中点的横坐标是 ，求a的值；
(3)若 ，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说
明理由．
【解析】（1） ，即 ，
当 时，曲线表示焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线表示焦点在 轴上的双曲线；
（2）设 ， ， ，
则 ， ，
两式相减得到： ，
即 ，故 ，
故 的中点为 ，代入直线得到 ，
解得 或 （舍），故 .（3）假设存在，直线方程为 ，双曲线方程为 ，
设 ， ， 中点为 ，则 ， ，
两式相减得到 ，
即 ， ，又 ，
解得 ， .
此时直线 方程为： ，即 ，
，化简得到 ，方程无解，故不存在.
变式16．（2024·江苏·高二假期作业）双曲线C的离心率为 ，且与椭圆 有公
共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；
若不存在，说明理由．
【解析】（1）椭圆 ： ，
所以双曲线 .
所以双曲线的方程为 .（2）画出图象如下图所示，设 ，
，
两式相减并化简得 ，即 ，
所以直线 的方程为 .
变式17．（2024·高二课时练习）已知直线l与抛物线 交于A，B两点，且线段AB
恰好被点 平分.
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；
若不存在，请说明理由.
【解析】（1）依题意，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为 ，
即 ，
由 消去x得： ，
，设 ，则有 ，
由 ，得 ，于是直线l的方程 ，即 ，
所以直线l的方程为 .（2）假设抛物线上存在点C，D满足条件，由（1）设直线 的方程为 ，
由 消去x得： ，有 ，解得 ，
设 ，则 ，于是线段 的中点坐标为 ，
显然点 在直线 上，即 ，解得 ，
所以抛物线上不存在点C，D，使得C，D关于直线l对称.
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l：
与抛物线C交于A，B两点.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，
时，直线 ，
联立 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
则 ， ．，
点 到直线 的距离距离 ，
的面积 ．
（2）∵点 ， 关于直线 对称，∴直线 的斜率为 ，
∴可设直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，
由 ，可得 ，
设 ， ， ， ，则 ，
故 的中点为 ，
∵点 ， 关于直线 对称，∴ 的中点 ，在直线 上，
∴ ，得 ，∵ ，∴ ．
综上， 的取值范围为 ．
方向4：斜率之积问题
变式19．（2024·云南昭通·高二校考期中）已知斜率为 的直线 与椭圆
交于 两点，线段 的中点为 ，直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设点 ，则 ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，所以 .
故选：D.
变式20．（2024·江西·校联考模拟预测）已知直线 过椭圆C；
的一个焦点，与C交于A，B两点，与 平行的直线 与C交于M，N
两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为 ，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
则 ，两式作差得
所以
若O为坐标原点，则 ，同理 ，所以O，P，Q三点共线，即 ，所以 ，又 过点 ，即椭圆的焦点，所以
解得 ，所以C的方程为
故选：C
变式21．（2024·江西赣州·高二统考期末）椭圆 ，M，N是椭圆上关于原点对称
的两动点，P为椭圆上任意一点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
则 ，
两式相减并化简得 ，
而 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：A
变式22．（2024·山西晋中·高二校考阶段练习）过点 的直线与椭圆 相
交于 ， 两点，设线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 （
为原点）的斜率为 ，则 等于（ ）.A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
由于 在椭圆 上，
所以 ，
两式相减并化简得 ，
即 .
故选：D
变式23．（2024·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线 内一点
且斜率为 的直线交双曲线于 两点，弦 恰好被 平分，则双曲线 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，且 ，
又因为 ，
所以 ，
即有 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
变式24．（2024·福建泉州·高二校考期中）过双曲线 ： （ ， ）的焦
点且斜率不为0的直线交 于A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率
为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】不妨设过双曲线 的焦点且斜率不为0的直线为 ，令
由 ，整理得
则 ，
则 ，由 ，可得
则有 ，即 ，则双曲线 的离心率故选：D
变式25．（2024·江西·校联考模拟预测）已知双曲线C： 的左，右
焦点分别是 ， ，其中 ，过右焦点 的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，
则下列说法中错误的是（ ）
A．弦AB的最小值为
B．若 ，则三角形 的周长
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则
D．若直线AB的斜率为 ，则双曲线的离心率
【答案】D
【解析】A.AB的最小值为通径为 ，故A正确；
B.由双曲线的定义得 ，得 ，所以三角形 的
周长 ，故B正确；
C.设 ， ，则 ，两式相减得
，则 ，则
，则 ，故C正确；D若直线AB的斜率为 ，所以 ∴ ∴ ∴ ，所以选D不正确.
故选：D
【解题方法总结】
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个
热点问题．这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦
中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题．首先要考虑是点
差法．
即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的
斜率之间的联系．除此之外，最好也记住如下结论：
在椭圆 中，中点弦的斜率为 ，满足 ．
在双曲线 中，中点弦的斜率为 ，满足 ．（其中 为原
点与弦中点连线的斜率）．
在抛物线 中，中点弦的斜率为 ，满足 （ 为中点纵坐标）．
题型三：弦长问题
例7．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线 与圆 相
切，且交椭圆 于 两点，若 ，则 ．
【答案】 /
【解析】设直线 ，
直线 与圆 相切，
，
将直线 方程与椭圆方程联立，得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
由对称性，不妨取 ，
故答案为： .
例8．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线
交椭圆于 、 两点，则弦 的长为 ．
【答案】
【解析】在椭圆 中， ， ，则 ，故点 ，
设点 、 ，由题意可知，直线 的方程为 ，即
，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， .故答案为： .
例9．（2024·广西南宁·高三统考阶段练习）已知椭圆 的左焦点为 ，过点
且倾斜角为 的直线 与椭圆 相交于 两点，则 ．
【答案】
【解析】已知椭圆 ， ，则 ，
所以椭圆的左焦点为 ,
因为直线 倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ，则直线 的方程为 .
联立 ，消去 ，整理得 ，
解得 ． ．
故答案为： .
变式26．（2024·安徽滁州·校考模拟预测）已知直线 与椭圆 在第二象限交于
两点，且 与 轴、 轴分别交于 两点，若 ， ，则 的方程为
．
【答案】
【解析】设 ，线段 的中点为 ，由 ，两式相减可得 ，即 ，
又由 ，则 ，
设直线 的方程为 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，可得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
故答案为： .
变式27．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，
比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆
，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直
于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的最小值是．
【答案】
【解析】∵椭圆的离心率为 ，
∴ ，∴ ，
∴椭圆的方程为 ，
不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴ 为正三角形，
∵过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，
∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ，
直线 的方程： ，
代入椭圆方程 ，整理得： ，，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，
∴
则 ，
当且仅当
故答案为： .
变式28．（2024·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考三模）如图， ， 分别为椭圆
的左、右焦点，A，C在椭圆上且关于原点对称（点A在第一象限），延长
交椭圆于点B，若 ，则直线AC的方程为 .【答案】
【解析】连接 ， ，
， ，
四边形 为平行四边形，
.
设直线 的斜率为k，
，直线 的方程为 .
联立方程，得 ，整理得 ，
点A在第一象限，
，同理可得 .
，得
，
，则 ，直线AC的方程为 .变式29．（2024·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线 ，过其右焦点
的直线 与双曲线 交于 、 两点，已知 ，若这样的直线 有 条，则实数 的
取值范围是 .
【答案】
【解析】记 ，若直线 与 轴重合，此时， ；
若直线 轴时，将 代入双曲线方程可得 ，此时 ，
当 时，则 ，此时， ；当 ，可得 ，则 ，
所以，双曲线 的实轴长和通径长不可能同时为 ；
当直线 与 轴不重合时，记 ，则点 ，
设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
由题意可得 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
，即 ，所以，关于 的方程 由四个不等的实数解.
当 时，即当 时，可得 ，
可得 ，整理可得 ，因为 ，解得 ；
当 时，即当 ，可得 ，
可得 ，整理可得 ，可得 .
综上所述， .
故答案为： .
变式30．（2024·贵州·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ， ，点 ， 分别在双曲线 的左支与右支上，且点 ， 与点 共线，若
，则 .
【答案】
【解析】因为 ，设 ， ，
由双曲线定义可得 ，所以 ，
即 ， ，即 .故答案为： .
变式31．（2024·全国·高三专题练习）过双曲线 的右焦点作倾斜角为30°的直线
l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
【答案】
【解析】双曲线 的右焦点为 ，所以直线l的方程为 ．由
，得 ．设 ， ，则 ， ，
所以 ．
故答案为：
变式32．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点
发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线 ，若从点Q
（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则
.
【答案】
【解析】由条件可知AQ与x轴平行，令 ，可得 ，故A点坐标为 ，因为 经过抛物线焦点 ，所以 方程为 ，
整理得 ，联立 ，得 ，
，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
变式33．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的准线 与 轴的交点
为 ，过焦点 的直线 分别与抛物线交于 两点（ 点在第一象限），
，直线 的倾斜角为锐角 ，且满足 ，则
.
【答案】12
【解析】如图，过点 作 轴于点 ，由抛物线的定义可知点 到准线 的距离
，故 ，
同理 ，则 ，故 ，，则 ，
可得 ，则 ，所以 .
故答案为：12.
变式34．（2024·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直
线与该抛物线交于A，B两点， ，AB的中点横坐标为4，则 ．
【答案】
【解析】由抛物线定义知： ，而AB的中点横坐标为4，即 ，
所以 ，即 .
故答案为：
【解题方法总结】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式： ．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
题型四：面积问题
方向1：三角形问题例10．（2024·江西景德镇·统考三模）设椭圆 的左､右顶点分别为
，且焦距为 .点 在椭圆上且异于 两点，若直线 与 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆 相交于 两点，直线 的方程为：
，过点 作 垂直于直线 ，交 于点 .求 面积的最大值.
【解析】（1）由题意知： ， ，设 ，
则 ， ，
又 ， ， ，
椭圆 的标准方程为： .
（2）
设直线 ， ，则 ，
由 得： ，
显然 ， ， ，
，又 ，直线 方程为： ，
令 ，则 ，
直线 过定点 ；
而 ，
则 ，
令 ，有 在 上单调递增，
则 ，即 时 ， 取最小值4，
于是当 时， ，
所以 面积的最大值是 .
例11．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C： 上一点
到焦点F的距离为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线 与抛物线C交于 两点，直线 与圆E： 的另一
交点分别为 为坐标原点，求 与 面积之比的最小值．
【解析】（1）依题意得 ，解得 ，所以抛物线方程为 .（2）抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴不重合，
设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 .
，由 ，而 ，
故解得 .同理可求得 .
，
同理 ，
所以
，故当 时， 取得最小值为 .
例12．（2024·河南·高三校联考开学考试）椭圆 的左右顶点分别为
是栯圆上一点， ．
(1)求椭圆方程；
(2)动直线 交椭圆于 两点，求 面积取最大时的 的值．
【解析】（1）在椭圆 中， ，而 在椭圆上，且
，
因此 ，解得 ，显然 ，则 ，
所以椭圆方程为 .
（2）直线 与椭圆 交于 两点，则 ，把 代入方程 得： ，由椭圆的对称性知 ，
点 到直线 的距离 ，
当 时，得 的面积
，
令 ，
求导得 ，
由 ，得 ，
当 或 时， ，当 或 时， ，
因此函数 在 上递增，在 上递减，
而 ，
，显然 ，
于是当 时，函数 取得最大值 ，此时 面积取得最大值，
所以当 面积取最大时， .变式35．（2024·山东青岛·高三统考开学考试）已知 为坐标原点， ， ，直
线 ， 的斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐䏡为 ，
求 的面积.
【解析】（1）设点 的坐标为 ，
因为 ， ，所以 ，
化简得：
所以 的方程为： .
（2）当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意；
设 ， ，直线 方程为 ，与 联立得： ，
由 且 ，解得 且 ，
由韦达定理得 ，
因为线段 中点 在第一象限，且纵坐标为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以直线 为 ，
所以 ，
所以 ，
点到直线 的距离 ，
所以 .
变式36．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点 在椭圆C：
上，点 在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)记 ， 分别为 ， 的面积，若 ，求m的值.
【解析】（1）设 ，依题意 ， ，
可得 ，整理可得 ，
又椭圆C过点 ，所以 ，故椭圆C的方程为 ；
（2）依题意，可知AM： ，代入椭圆方程 ，
整理得 ，从而得到 ，
又BM： ，代入椭圆方程 ，
整理得 ，从而得到 ，
所以 ，
，
则,
由于 ，所以 ，解得 .
变式37．（2024·河南开封·统考模拟预测）已知点 在椭圆 上，直线
交 于 ， 两点，直线 ， 的斜率之和为0．
(1)求直线 的斜率；
(2)求 的面积的最大值（ 为坐标原点）．
【解析】（1）由题意得 ，解得 ，
代入椭圆方程中， ，解得 或6（舍去），
故 ，
当直线 的斜率不存在时， 关于 轴对称，此时有对称性可知，直线 ， 的斜
率之和不为0，舍去；设 ，联立椭圆方程 得， ，
则 ，则 ，
设 ，则 ，
，
故 ，
即 ，故 ，
即 ，
当 时， ，此时直线 ，
显然直线 恒过 ，矛盾，
当 时，经检验，满足题意，
故直线 的斜率为1；
（2）设 ，联立椭圆方程 得， ，
，解得 ，
，点 到直线 的距离为 ，
故
，
故当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 .
变式38．（2024·广东佛山·高三统考开学考试）设动点M与定点 的距离和
M到定直线l： 的距离的比是 ．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 时，记动点M的轨迹为 ，动直线m与抛物线 ： 相切，且与曲线
交于点A，B．求 面积的最大值．
【解析】（1）设 ，则 ，
化简得 ， ，
当 时， ，轨迹为一条直线；
当 时， ，此时轨迹为焦点在 轴上的椭圆；
当 时， ，此时轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
综上：当 时，轨迹方程为 ，轨迹为一条直线，
当 时，轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的椭圆；当 时，轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
（2）当 时， ，
当直线 斜率不存在时，又与 相切，故此时直线 ，此时 三点共线，
不合要求，舍去，
设直线 ，联立 得 ，
由 得 ，显然 ，
联立 得， ，
由 ，结合 ，解得 ，
设 ，
则 ，
设直线 与 轴交于点 ，则 ，
则，
将 代入得 ，
因为 ，令 ，则 ，
，
设 ，则设 ，则
， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
故 最大值为 .
圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，
再求这个函数的最值或范围．
方向2：四边形问题
变式39．（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆
： （ ）中有如下性质：不过椭圆中心 的一条弦 的中点为 ，
当 ， 斜率均存在时， ，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆 ：
，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点.
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，使 ，求四边形 的面积.
【解析】（1）设 ，因为 ，
，代入椭圆 得： ，
点 的轨迹方程 为： .
（2）
设 ，由（1）则 ，
①当直线 不与坐标轴重合时，由 ，知 为 中点，，
直线 ： ，
代入椭圆 ： 的方程得：
即： ，设 ， ，
由根与系数关系，
，
设 表示点 到直线 的距离， 表示点 到直线 的距离，
；
它法：利用比例关系转化： ，酌情给分.
②当直线 与坐标轴重合时，
不妨取 ， ， ，
或 ， ， ，
综上所述：四边形 的面积是 .变式40．（2024·湖北恩施·校考模拟预测）已知 是椭圆 的左
右焦点，以 为直径的圆和椭圆 在第一象限的交点为 ，若三角形 的面积为1，
其内切圆的半径为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知A是椭圆 的上顶点，过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，点 在
第二象限，直线 分别与 轴交于 ，求四边形 面积的最大值．
【解析】（1）由题意知 ，则 ，
又 ，
则 ，
又 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为联立方程组 ，可得 ，
则 ，
直线 的方程： ，所以 ，同理 ，
，
，
，
当且仅当 时，四边形 的面积最大，最大值为4．
变式41．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图．已知圆
，圆 ．动圆 与这两个圆均内切．
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)若 、 是曲线 上的两点， 是曲线C上位于直线 两侧的动点．若直
线 的斜率为 ，求四边形 面积的最大值．【解析】（1）如图，设动圆 与两个已知圆的切点分别为 ，
由 ， ，
所以点 的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
所以 ，
所以点 的轨迹方程为： ；
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，代入 中，
整理得 ， ，
解得 ， ， ，
四边形 的面积 ，
当 时， ，所以四边形 面积的最大值为 ；
变式42．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为，抛物线 的准线与 相交，所得弦长为 .
(1)求 的方程；
(2)若 在 上，且 ，分别以 为切点，作 的切线相交于点 ，
点 恰好在 上，直线 分别交 轴于 两点.求四边形 面积的取值范围.
【解析】（1）由题知 过点 ，则 ，解得 ，
.
（2）设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
，
则 ，而 ，则 ，故以 为切点的切线为 ，即 ，
同理以 为切点的切线为 ，则 ，
由 ，故两式作差得： ，所以 ，
两式求和得： ，
所以点 由 在椭圆上 ，即 .
点 到直线 的距离 ，
所以 ， ，
，
而 、 在 上递增且恒正，
则 在 上递增， .变式43．（2024·山东潍坊·三模）已知椭圆 的离心率为 ，且过
点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若动直线 ： 与椭圆 交于 两点，且在坐标平面内存在两个
定点 ，使得 （定值），其中 分别是直线 的斜率，
分别是直线 的斜率．
①求 的值；
②求四边形 面积的最大值．
【解析】（1）由题意得，
解得 ，
则椭圆 的标准方程为 .
（2）①设 ，
把 与椭圆 的标准方程联立，
消去 ，可得 ，
注意到 为方程 的两根，
故有恒等式 ，
则 ，
同理，把 与椭圆 的标准方程联立，消去 ，可得 ，
注意到 为方程 的两根，
故有恒等式 ，
则 ，
则 ，
所以 ，
若 为定值，则必有 ，
计算可得 或 ，
故 ．
②不妨设点 ，点 ，点 ，点 到直线 的距离分别是 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
四边形 面积
（当 时取等号），
所以四边形 面积的最大值是 ．变式44．（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知椭圆 ，
椭圆 ．点 为椭圆 上的动点，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且
．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)以点 为切点作椭圆 的切线 ， 与椭圆 交于 ， 两点，问：四边形 的面
积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围．
【解析】（1）设 ， ， ，因为 ，所以 ，
因为点 为椭圆 上的动点，所以 ，从而
即 ，故椭圆 的标准方程 ；
（2）
法一：设 ， ，
当直线 的斜率存在时，设为 ，则直线 的方程为，即
，
，即
，代入得直线 的方程为
联立 ，消去 得
注意到 化简得
又 ，
所以点 到直线 的距离为
所以点 到直线 的距离为
故
当直线 的斜率不存在时，即 ，若 ，则： ，
则 ， ， ， ，
所以同理可得，若 ，
综上，四边形 的面积为定值 ．
法二：设 ， ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
，
注意到 化简得 ，
原点 到直线 的高为 ，
又因为 ，点 是 的中点，所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，
由对称性可知， ，所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离的三
倍，故 ．
当斜率不存在时，同法一．变式45．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆 的离
心率为 ，左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆C交于A，B两点，且 的周长
最大值为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线 与 的斜率之积为 （O为坐标原点），
D为射线 上一点，且 ，线段 与椭圆C交于点E， ，求四边
形 的面积．
【解析】（1）设 与 轴的交点为 ，
由题意可知 ，
则 ，
当 过右焦点 时， 的周长取最大值 ，所以 ，因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，
所以椭圆C的标准方程
（2）设 ，因P，Q均在椭圆上，则 .
又 ，则 .
由 可得 ，
则四边形 面积为 .
当直线PQ斜率为0时，易知 ，又 ，则 .
根据对称性不妨取 ， ，由 得 ，
则 ，得此时 ；
当直线斜率不为0时，设 的方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立有：
，消去x得： .
，由韦达定理，有 .
所以
， ，
代入 可得 ，解得 ，
，
又原点到直线PQ距离为 ，则此时 .
综上可得， ，四边形 面积为 .
变式46．（2024·山东·校联考模拟预测）已知圆 为坐标原点，点 在圆
上运动， 为过点 的圆的切线，以 为准线的拋物线恒过点 ，抛物
线的焦点为 ，记焦点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过动点 的两条直线 均与曲线 相切，切点分别为 ，且 的斜率之积为 ，求
四边形 面积的取值范围．
【解析】（1）分别过 作 的垂线，垂足分别为 ，连接 ，
由抛物线的定义，可得 ，则 ．因为 ，所以焦点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，
其中 ，
所以抛物线的焦点 的轨迹方程为
（2）设点 ，过点 的直线的斜率为 ，则方程为 ，
联立方程组 ，消 得 ，
，
整理得 ，
，即 ，所以点 在方程为 的圆上．
设 点在椭圆上，则 ，则 ，
由 知， 满足：
则 ，即 ，故 ，
从而得切线 的方程为
整理得 ，点 满足方程，则 ，同理可得
即点 满足方程 ，所以 的方程为 ．
消 得 ，
， ，
．
设 ， 点到直线 的距离为 ，
；
．
所以 ．
变式47．（2024·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知椭圆
的右焦点为 ，点 在椭圆 上，且满足(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 两点，过点 分别作直线 的垂线，
垂足分别为点 ，求四边形 面积的最大值.
【解析】（1）由 和 ，可得 ，
可得椭圆 的标准方程为 ，
将点 代入椭圆方程可得 ，解得 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
（2）
由（1）知点 的坐标为(1,0)，设直线 的方程为 ，
点 ，
联立方程 消去 后整理为 ，
有 ，
，由 ，
有 ，
四边形 的面积为 ，
令 ，可得 ，
令 ，
有 ，
可得函数 单调递减，有 ，
可知当 时，四边形 的面积的最大值为 .
【解题方法总结】
三角形的面积处理方法： 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”
的特点（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角
线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半
