文档内容
第72讲 垂直弦问题
知识梳理
x2 y2
1、过椭圆 + =1的右焦点F(c,0)作两条互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD的中
a2 b2
a2c
点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 ,0
a2+b2
．
x2 y2
2、过椭圆 + =1的长轴上任意一点S(s,0)(-ab>0)的左、右焦点，M是C上一点，MF 与x轴垂直.直线MF
a2 b2 2 1
2
与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为 .
4
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设D0,1 是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B
两点，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.
x2 y2
4107 (2024·全国·高二专题练习)设F,F 分别是圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点，
1 2 a2 b2
M是C上一点，MF 与x轴垂直.直线MF 与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率
2 1
2
为
4
(1)求椭圆C的离心率.
(2)设D(0,1)是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B两
点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得|RQ|的长
度为定值？并证明你的结论.
x2 y2
4108 (2024·云南昆明·高二统考期中)已知椭圆C: + =12>b>0
4 b2
，直线y=x被椭圆
4 10
C截得的线段长为 .
5
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线l,l .分别交椭圆C于M,N两点(点M,N
1 2
不同于椭圆C的右顶点)，证明：直线MN过定点.
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755 10432 题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
x2 y2
4109 (2024·高二课时练习)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
经过点P2,1 ，且双曲
6
线C的右顶点到一条渐近线的距离为 ．
3
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点(A，B两点均
与点P不重合)，设直线AB：y=kx+mk≠0 ，试求k和m之间满足的关系式．
4110 (2024·江苏南京·高二校考开学考试)在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)
3 2 3
的距离和它到定直线l：x= 的距离之比是常数 ，记P的轨迹为曲线E.
2 3
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A( 3，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：
直线MN过定点.
x2 y2
4111 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线Γ: = =1a,b>0
a2 b2
，经过双曲线Γ上的点
A2,1 作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线Γ于M、N两点.设线段AM、AN的中
1
点分别为B、C，直线OB、OC(O为坐标原点)的斜率都存在且它们的乘积为- .
4
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点A作AD⊥MN(D为垂足)，请问：是否存在定点E，使得DE 为定值？若存在，
求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
3 题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
4112 (2024·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习)已知抛物线C：y2=2pxp>0 的焦
点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，AB =8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点Pa,-2 作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于MN两点(异
于点P)，证明：直线MN恒过定点，并求出该定点坐标．
4113 (2024·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习)已知抛物线E:x2=2py的焦点F关于直线l:
2x-y-4=0的对称点Q恰在抛物线E的准线上．
(1)求抛物线E的方程；
(2)M是抛物线E上横坐标为-2的点，过点M作互相垂直的两条直线分别交抛物线E
于A,B两点，证明直线AB恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
4114 (2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习)已知抛物线C:y2=2px(p>0)，O是坐标
原点，F是C的焦点，M是C上一点，|FM|=4，∠OFM=120°．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点Qx 0 ,2 在C上，过Q作两条互相垂直的直线QA,QB，分别交C于A，B两点
(异于Q点)．证明：直线AB恒过定点．
x2 y2
4115 (2024·浙江·高三专题练习)已知抛物线W:x2=2py(p>0)的焦点F也是椭圆 +
3 4
=1的一个焦点，如图，过点F任作两条互相垂直的直线l ，l ，分别交抛物线W于A，C，
1 2
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756 1043B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点.
(1)求p的值；
(2)求证：直线EG过定点，并求出该定点的坐标；
(3)设直线EG交抛物线W于M，N两点，试求|MN|的最小值.
4116 (2024·四川绵阳·高二校考阶段练习)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P
(2,t)在抛物线C上，且PF =3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点N(m,4)作两条互相垂直的弦NA和NB，试问直线AB是否过定
点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
4117 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y
轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且QF
5
= PQ
4
．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点N(m,4)作两条互相垂直的弦NA和NB，试问直线AB是否过定
点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
4118 (2024·云南曲靖·高二校考期末)已知点M与点F4,0 的距离比它的直线l:x+6=0的
距离小2．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)OA,OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经
过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．
4 题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
x2 y2
4119 (2024·福建龙岩·统考一模)双曲线Γ： - =1的左右顶点分别为A ，A ，动直线l
4 3 1 2
垂直Γ的实轴，且交Γ于不同的两点M,N，直线AN与直线A M的交点为P.
1 2
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过点H(1,0)作C的两条互相垂直的弦DE，FG，证明：过两弦DE，FG中点的直线恒
过定点.
x2 y2
4120 (2024·全国·高二期末)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F,F，抛物
a2 b2 1 2
7
线y2=4x与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且|PF|= ．
1 3
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中
点为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．
4121 (2024·上海闵行·高二闵行中学校考期末)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，
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757 1043M 3,0 ，已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过M 3,0 作互相垂直的两条直线l 、l ，l 与动点P的轨迹交于A、B，l 与动点P 1 2 1 2
的轨迹交于点C、D，AB、CD的中点分别为E、F；证明：直线EF恒过定点，并求出定点
坐标；
(3)在(2)的条件下，求四边形ACBD面积的最小值．
x2 y2
4122 (2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习)已知椭圆Ω: + =
a2 b2
1a>b>0
3
的离心率为 ，椭圆Ω截直线x=1所得线段的长度为 3．过M 3,0
2
作
互相垂直的两条直线l 、l ，直线l 与椭圆Ω交于A、B两点，直线l 与椭圆Ω交于C、D两
1 2 1 2
点，AB、CD的中点分别为E、F．
(1)求椭圆Ω的方程；
(2)证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；
(3)求四边形ABCD面积S的最小值．
x2 y2
4123 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆M: + =1a>b>0
a2 b2
上任意一点P到椭圆M
3
两个焦点F,F 的距离之和为4，且离心率为 ．
1 2 2
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设A为M的左顶点，过A点作两条互相垂直的直线AC,AD分别与M交于C,D两
点，证明：直线CD经过定点，并求这个定点的坐标．
5 题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
x2 y2
4124 (2024·高二课时练习)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
的右焦点F，半焦距c=
a2 1
2，点F到直线x= 的距离为 ，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设
c 2
AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.
4125 (2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到点
F2,0
3 2 3
的距离与它到直线x= 的距离之比为 ．记点P的轨迹为曲线C．
2 3
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线l ，l .l 交曲线C于A，B两点，l 交曲线C于S，T两
1 2 1 2
点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐
标．
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758 1043x2 y2
4126 (2024·山西大同·高三统考阶段练习)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
的右焦点
a2 1
为F，半焦距c=2，点F到右准线x= 的距离为 ，过点F作双曲线C的两条互相垂
c 2
直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标.
x2 y2
4127 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知双曲线E: - =1a>0,b>0
a2 b2
的一条渐近线方
程为x- 3y=0，焦点到渐近线的距离为1.
(1)求E的方程；
(2)过双曲线E的右焦点F作互相垂直的两条弦(斜率均存在)AB、CD.两条弦的中点分
别为P、Q，那么直线PQ是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐
标.
6 题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
4128 (2024·全国·高二专题练习)已知抛物线G：x2=2pyp>0 焦点为F，R为G上的动点，
K1,2 位于G的上方区域，且RK +RF 的最小值为3.
(1)求G的方程；
(2)过点P0,2 作两条互相垂直的直线l 和l ，l 交G于A，B两点，l 交G于C，D两 1 2 1 2
点，且M，N分别为线段AB和CD的中点.直线MN是否恒过一个定点?若是，求出该定
点坐标；若不是，说明理由.
4129 (2024·全国·高三专题练习)已知一个边长为8 3的等边三角形的一个顶点位于原点，另
外两个顶点在抛物线C:x2=2py(p>0)上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点T(0,p)作两条互相垂直的直线l 和l ，l 交抛物线C于A、B两点，l 交抛物线C
1 2 1 2
于D，E两点，若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，证明：直线MN过定点．
4130 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C：y2=2pxp>0 的焦点为F，过焦点F且垂直
于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，△OHI的周长为4 5+8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，
试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．
4131 (2024·山西·高二校联考期末)已知抛物线C：x2=2py(p>0)，过点T0,p 作两条互相
垂直的直线l 和l ，l 交抛物线C于A，B两点，l 交抛物线C于D，E两点，抛物线C上
1 2 1 2
一点Pt,2 到焦点F的距离为3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，求证：直线MN过定点．
4132 (2024·全国·高三专题练习)动圆P与直线x=-1相切，点F(1,0)在动圆上．
(1)求圆心P的轨迹Q的方程；
(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求
证：直线MN必过定点．
4133 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:y2=2pxp>0 的焦点为F，点M在抛物线C
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759 1043上，O为坐标原点，△OMF是以OF为底边的等腰三角形，且△OMF的面积为2 2．
(1)求抛物线C的方程．
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，
试判断直线PQ是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．
4134 (2024·安徽滁州·高二校考开学考试)在平面直角坐标系xOy中，设点F 1,0 ，直线l:x
=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．RQ⊥FP，
PQ⊥l．
(1)求动点Q的轨迹的方程E；
(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求
直线MN过定点R的坐标．
4135 (2024·福建福州·高二校考期中)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点Q(1,
1 1 1
2)，P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足 + = .
k k k
OP OQ PQ
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；
(3)过点D(1,0)任作两条互相垂直的直线l,l ，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段
1 2
AB，MN的中点分别为E，F.，求证：直线EF恒过一定点.
x2 y2
4136 (2024·宁夏银川·高二银川一中校考期末)已知椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
的左、右焦点
分别为F、F，抛物线y2=4x的焦点与椭圆的右焦点重合，点P为抛物线与椭圆在第一象
1 2
限的交点，且PF 1
7
= . 3
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A、B和C、D，线段AB的中
点为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过x轴上一定点，并求出该定点的坐标.
4137 (2024·湖南·高三阶段练习)如图1，已知抛物线Ε的顶点Ο在坐标原点，焦点在y轴正半
轴上，准线与y轴的交点为Τ．过点Τ作圆C:x2+y-2
2=1的两条切线，两切点分别
为D，G，且DG
4 2
= ．
3
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760 1043(1)求抛物线Ε的标准方程；
(2)如图2，过抛物线Ε的焦点F任作两条互相垂直的直线l ，l ，分别交抛物线Ε于Ρ，Q
1 2
两点和Μ，Ν两点，Α，Β分别为线段ΡQ和ΜΝ的中点，求ΔΑΟΒ面积的最小值．
7 题型七：内接直角三角形范围与最值问题
y2 x2
4138 (2024·江西·高二校联考开学考试)设椭圆 + =1a>b>0 a2 b2 的两焦点为F，F，P 1 2
为椭圆上任意一点，点P到原点最大距离为2，若M3,1 到椭圆右顶点距离为 5.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为A、B，过A作两条互相垂直的直线交椭圆于C、D，问直线
CD是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出△BCD面积的最大值.如果不是，请
说明理由.
x2 y2
4139 (2024·上海·高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ: + =1，过右焦
3 2
点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为M，N.
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761 1043(1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值.
x2 y2
4140 (2024·江苏南通·高三统考阶段练习)已知椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
3
的离心率为 ，
2
2 5
左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为 .
5
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最
大值.
8 题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
4141 (2024·新疆·统考二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线G的准线方程为y=-2.
(1)求抛物线G的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l 和l ，l 与抛物线交于P，Q两点，l 与抛
1 2 1 2
物线交于C，D两点，M，N分别是线段PQ，CD的中点，求△FMN面积的最小值.
4142 (2024·广东珠海·高三校考开学考试)已知抛物线T:y2=2px(p>0)，点F为其焦点，直
线l:x=4与抛物线交于M,N两点，O为坐标原点，S =8 6．
△OMN
(1)求抛物线T的方程；
(2)过x轴上一动点Ea,0 (a>0)作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A,
B和C,D，点H,K分别为AB,CD的中点，求HK 的最小值．
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762 1043
