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第 44 讲 数列求和
知识梳理
一．公式法
（1）等差数列 的前n项和 ，推导方法：倒序相加
法．
（2）等比数列 的前n项和 ，推导方法：乘公比，错位相减
法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
① ；
② ；
③ ；
④
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组
成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，
从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之
积构成的，那么求这个数列的前 项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于
同一个常数，那么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法求解．【解题方法总结】
常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（ 6 ）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（6） ，设 ，易得 ，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型
积累裂项模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4） ，
则
积累裂项模型6：阶乘
（1）
（2）
常见放缩公式：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（ 9 ）
；
（10）
；（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．
必考题型全归纳
题型一：通项分析法
例1．（2024·全国·高三专题练习）求和
．
例2．数列9，99，999， 的前 项和为
A． B． C． D．
例3．求数列1， ， ， ， ， 的前 项之和．
变式1．（2024·全国·高三专题练习）数列
的前n项和为 .
变式2．（2024·全国·高三对口高考）数列 的前n项和
.
变式3．（2024·全国·高三专题练习） 年意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即 该数列中的数字
被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用 若此数列各项被 除后的
余数构成一新数列 ，则数列 的前 项的和为 .
【解题方法总结】
先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前 项和问题应该强化的
意识．
题型二：公式法
例4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知数列 为等差数列，数列
为等比数列，且 ，若 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设由 ， 的公共项构成的新数列记为 ，求数列 的前5项之和 ．
例5．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
例6．（2024·宁夏银川·高三银川一中阶段练习）已知等差数列 的前四项和为10，且
成等比数列
(1)求通项公式
(2)设 ，求数列 的前 项和【解题方法总结】
针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等
比数列相应公式求解．
题型三：错位相减法
例7．（2024·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习）已知数列 满足
且
(1)若存在一个实数 ，使得数列 为等差数列，请求出 的值；
(2)在（1）的条件下，求出数列 的前n项和 ．
例8．（2024·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）设数列 的前 项和为 ，且
; 数列 为等差数列，且 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
例9．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列 的首项为1，且.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 为 前 项的和，求 .
变式4．（2024·西藏日喀则·统考一模）已知数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
变式5．（2024·广东东莞·校考三模）已知数列 和 ， ， ，
.
(1)求证数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
变式6．（2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设数列 的前 项和为，已知 ，且数列 是公比为 的等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求其前 项和
【解题方法总结】
错位相减法求数列 的前n项和
（1）适用条件
若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列
{a·b}的前n项和 ．
n n
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出 与 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写
出 ；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
c =(An+B)⋅qn
等差乘等比数列求和，令 n ，可以用错位相减法．
T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn
n ①
qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1
n ②
得： ．
An B A B A
T =( + − )qn+1 −( − )q
整理得：
n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2
．
题型四：分组求和法例10．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列 和 满足： ，
， ， ，其中 ．
(1)求证： ；
(2)求数列 的前 项和 ．
例11．（2024·广东深圳·高三北师大南山附属学校校考阶段练习）已知数列 的前n项
和为 ，且满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ， ， ，按照如下规律构造新数列 ：
，求数列 的前2n项和.
例12．（2024·重庆巴南·统考一模）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前项和 .
变式7．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知等差数列 的前n项
和为 ，数列 为等比数列，满足 是 与 的等差中项.(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前20项和 .
变式8．（2024·海南·高三校联考期末）已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
变式9．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测） 为数列 的前 项和，已
知 ，且 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)数列 依次为： ，规律是在 和 中间插
入 项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列 的前
100项的和.
变式10．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列 的首项
， ， .(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)在 与 （其中 ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列 .
记 为数列 的前n项和，求 .
变式11．（2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列
{an}中，a=1且满足 ，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+1=3bn.
1
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和Sn；
(3)若在bk与bk 之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列 ：b，a，b，a，a，
+1 1 1 2 2 3
b，a，a，a，b，……，求数列{cn}中前50项的和T .
3 4 5 6 4 50
【解题方法总结】
（1）分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差
数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
（2）分组转化法求和的常见类型
题型五：裂项相消法
例13．（2024·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和
，且 .(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
例14．（2024·宁夏石嘴山·统考一模）已知 是数列 的前 项和，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
例15．（2024·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ，并证明： .
变式12．（2024·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ．
(1)求 ；
(2)若 ， 为 的前n项和，证明： ．变式13．（2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
变式14．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知公差为正数的等差数列 的前
项和为 ，且 成等比数列.
(1)求 和 .
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前 项和，
．
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ．
变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)证明 为等差数列，并 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
变式17．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求集合 中元素的个数.
变式18．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求 ；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和
变式20．（2024·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知 是数列 的前 项和，满足
，且 .
(1)求 ；(2)若 ，求数列 的前 项和 .
变式21．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项；
(2)设 为数列 的前 项和，求证 ．
变式22．（2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设数列 的前n项和为 ，已知
， ， ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)记 ， 为数列 的前n项和，求 ．
变式23．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【解题方法总结】
裂
（1）基本步骤
裂
项
相
消
法
（2）裂项原则
求
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
和（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
题型六：倒序相加法
例16．（2024·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）已知数列 的项数为 ，
且 ，则 的前n项和 为 ．
例17．（2024·广西玉林·统考三模）已知函数 ，若函数 ，
数列 为等差数列， ，则 ．
例18．（2024·高三课时练习）设函数 ，利用课本中推导等差数列前n项和的
方法，求得 的值为 .
变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则
.
变式25．（2024·江西宜春·高三校考开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学
届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图
之理论与方法》．在其年幼时，对 的求和运算中，提出了倒序相加法
的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之
为高斯算法，现有函数 ，设数列 满足
，若 ，则 的前n项和
．
变式26．（2024·全国·高三专题练习）设函数 ， ，．则数列 的前n项和
．
变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且
，设函数 ，则
．
变式28．（2024·全国·高三专题练习）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数
学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最
小二乘法､每一个 阶代数方程必有 个复数解等.若函数 ，设
，则
.
【解题方法总结】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这
样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前 项和公式的推导即用此方法）．
题型七：并项求和
例19．（2024·北京海淀·高三专题练习）已知数列 的前 项和为
，则 ．
例20．（2024·全国·高三专题练习）已知 的前 项和为 ， ，
，则 .例21．（2024·江西·校联考模拟预测）记 为等差数列 的前 项和，已知 ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前30项的和 .
变式29．（2024·河南·襄城高中校联考三模）在等比数列 中， ，且 ，
， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的k的值．
变式30．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
变式31．（2024·河北·沧县中学模拟预测）已知数列 为等差数列， 为其前n项和，
若 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前18项和 ．
【解题方法总结】
两两并项或者四四并项题型八：先放缩后裂项求和
例22．（2024·天津·一模）已知数列 是等差数列，其前n项和为 ， ， ；
数列 的前n项和为 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ；
(3)求证： .
例23．（2024·天津市宝坻区第一中学二模）已知 为等差数列，前n项和为
是首项为2的等比数列，且公比大于0， ．
(1) 和 的通项公式；
(2)求数列 的前8项和 ；
(3)证明： ．
例24．（2024·浙江·效实中学模拟预测）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满
足 .
(1)求 的值：
(2)求数列 的通项公式：
(3)证明：对一切正整数 ，有.
变式32．（2024·广东汕头·一模）已知数列 的前n项和为 ， .
(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的前n项和为 ；
(2)设 ，证明： .
【解题方法总结】
先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标．
题型九：分段数列求和
例25．（2024·全国·高三专题练习）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 的前n项和为 ，求证： ；
(3)对任意的正整数n，设 ，求数列 的前 项和．
例26．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知 是单调递增的等
差数列，其前 项和为 . 是公比为 的等比数列. .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .例27．（2024·湖南·校联考模拟预测）已知等比数列 的公比 ，前n项和为 ，满
足： .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
变式33．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知数列 ， ， 为数
列 的前n项和， ，若 ， ，且
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的通项公式为 ，令 为 的前n项的和，求 .
变式34．（2024·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列 与等比数列
的前 项和分别为： ，且满足： ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 求数列 的前 项的和 .变式35．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列 的前n项和为 ，其公比 ，
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
【解题方法总结】
（1）分奇偶各自新数列求和
（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：
①可构建新数列；②可“跳项”求和
