文档内容
第 54 讲 空间向量及其应用
知识梳理
知识点一：空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量 的起点是 ，终
点是 ，则向量 也可以记作 ，其模记为 或 ．
（2）零向量与单位向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记作 ．当有向线段的起点 与终点 重合时，
．
模为1的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向
量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．
（4）空间向量的加法和减法运算
① ， ．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
，
知识点二：空间向量的数乘运算
（1）数乘运算实数 与空间向量 的乘积 称为向量的数乘运算．当 时， 与向量 方向相
同；当 时，向量 与向量 方向相反． 的长度是 的长度的 倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
， ．
（3）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量
或平行向量， 平行于 ，记作 ．
（4）共线向量定理
对空间中任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在实数 ，使 ．
（5）直线的方向向量
如图8-153所示， 为经过已知点 且平行于已知非零向量 的直线．对空间任意一点
，点 在直线 上的充要条件是存在实数 ，使 ①，其中向量 叫做直线
的方向向量，在 上取 ，则式①可化为
②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当 ，即点 是线段 的中点时，
，此式叫做线段 的中点公式．
（6）共面向量
如图8-154所示，已知平面 与向量 ，作 ，如果直线 平行于平面 或在平
面 内，则说明向量 平行于平面 ．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理
如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ，使 ．
推论：①空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ，使
；或对空间任意一点 ，有 ，该式称为空间平面
的向量表达式．
②已知空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，满足向量关系式
（其中 ）的点 与点 ， ， 共面；反之也成立．
知识点三：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 叫做向
量 ， 的夹角，记作 ，通常规定 ，如果 ，那么向量 ， 互
相垂直，记作 ．
（2）数量积定义
已知两个非零向量 ， ，则 叫做 ， 的数量积，记作 ，即
．零向量与任何向量的数量积为0，特别地， ．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：， （交换律）；
（分配律）．
知识点四：空间向量的坐标运算及应用
（1）设 ， ，则 ；
；
；
；
；
．
（2）设 ， ，则 ．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标
减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知 ， ，则 ；
；
；
；
②已知 ， ，则 ，
或者 ．其中 表示 与 两点间的距离，这就是空间两点的距离
公式．（4）向量 在向量 上的投影为 ．
知识点五：法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：
如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记
作 ，如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量．
几点注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 是平面的
法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 ．
第一步：写出平面内两个不平行的向 ；
第二步：那么平面法向量 ，满足 ．
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ．
若 ∥ ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ．
②直线与平面的位置关系：直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ．
（3）平面与平面的位置关系
平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ⊥ ，即 ，则 ⊥ ．知识点六：空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面
直线所成角的大小，则 ．
（2）线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量，
为
与 所成角的大小，则 ．
（3）二面角公式：
设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或
（需要根据具体情况判断相等或互补），其中 ．
知识点七：空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量
的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取
两点，则向量在 上的正射影长就是两条异面直线 的距离．则
即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量
积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离
为平面 外一点（如图）， 为平面 的法向量，过 作平面 的斜线 及垂线
．
【解题方法总结】
用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂
直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量
法求解，且其解法一般都比较简单．
用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一
些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量
（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量
作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向
量用基底向量表示，并进行向量运算．
必考题型全归纳
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算
例1．（2024·全国·高三专题练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果 ，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
例2．（2024·全国·高三对口高考）如图所示，在平行六面体 中， 为
与 的交点，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥P-ABC中，点O为 ABC
△
的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若 ， ， ，则
=（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·高三课时练习）如图.空间四边形OABC中， ，点M
在OA上，且满足 ，点N为BC的中点，则 （ ）A． B．
C． D．
变式2．（2024·湖南长沙·高三校联考期中）如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点
N在线段OM上，且 ，设 ， ， ，则下列向量与 相等的
向量是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四面体 中， 是 的重心，
是 上的一点，且 ，若 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知在空间单位正交基底下， 是空间的一组单位正交基底， 是空间的另一组基底.若向量 在基底 下的坐标为
，则向量 在基底 下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，
可以类比平面向量的运算法则．
题型二：空间共线向量定理的应用
例4．（2024·全国·高三专题练习）若空间中任意四点O，A，B，P满足 ，
其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．点P可能在直线AB上 D．以∉上都不对
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则下列向量中与 平行的是（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·全国·高三专题练习）向量 ， 分别是直线 ， 的方向向量，且 ，
，若 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
变式5．（2024·全国·高三专题练习）若点 ， ， 在同
一条直线上，则 （ ）
A．21 B．4 C． 4 D．10
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，如果 与 为共
线向量，则 （ ）A． B． C． D．
变式7．（2024·浙江·高三专题练习）若 、 、
三点共线，则 （ ）．
A．
B．
C．
D．
【解题方法总结】
空间共线向量定理： ．
利用此定理可解决立体几何中的平行问题．
题型三：空间向量的数量积运算
例7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，则下列
正确的是（ ）
A． B． C． D．
例8．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）如图，在平行六面
体 中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是 ，下
列说法中不正确的是（ ）A．
B．
C．向量 与 夹角是
D．向量 与 所成角的余弦值为
例9．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）四面体 中， ， ，
， ， ，平面 与平面 的夹角为 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
变式8．（多选题）（2024·校考模拟预测）在平行六面体 中，已知
， ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为
B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
变式9．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）空间直角坐标系中，已知 ，， ， ，则（ ）
A．
B． 是等腰直角三角形
C．与 平行的单位向量的坐标为 或
D． 在 方向上的投影向量的坐标为
变式10．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知空间向量 ，
，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 在 上的投影向量为 ，则
D．若 与 夹角为锐角，则
变式11．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体
中， ， ， ， ，则线
段 的长为 .变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知空间向量 ， ，则 在
方向上的投影向量为 .
变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知 是棱长为2的正方体 内切
球的一条直径，则 ．
变式14．（2024·全国·高三对口高考）已知向量 ，若
，则 ．
变式15．（2024·上海·高三专题练习）已知空间向量 ， ， ，
若 ，则 ．
变式16．（2024·上海·高三专题练习）已知向量 ，向量 ，则 与 的
夹角的大小为 .
【解题方法总结】
；
求模长时，可根据 ；
求空间向量夹角时，可先求其余弦值 ．要判断空间两向量垂直时，可
以求两向量的数量积是否为0，即 ．
为锐角 ； 为钝角 ．由此，通常通过计算 的值来判
断两向量夹角是锐角还是钝角．
题型四：证明三点共线
例10．（2024·全国·高三专题练习）在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，
若 ，且G、M、N三点共线，则 ．例11．（2024·全国·高三专题练习）已知点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，
λ），若A，B，C三点共线，则 ．
例12．（2024·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体 中， ，
．
(1)求证： 、 、 三点共线；
(2)若点 是平行四边形 的中心，求证： 、 、 三点共线．
变式17．（2024·全国·高三专题练习）在长方体 中，M为 的中点，N
在AC上，且 ，E为BM的中点.求证： ，E，N三点共线.
【解题方法总结】
先构造共起点的向量 ， ，然后证明存在非零实数 ，使得 ．
题型五：证明多点共面的方法例13．（2024·全国·高三专题练习）下面关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．若向量 平行，则 所在直线平行
B．若向量 所在直线是异面直线，则 不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量 ， 不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量 ， ， 不共面
例14．（2024·江苏常州·高三校考阶段练习）以下四组向量在同一平面的是（ ）
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
例15．（2024·全国·高三对口高考）已知 ，若
三向量共面，则 等于（ ）
A． B．9 C． D．
变式18．（2024·江西·校联考二模）在四棱锥 中，棱长为2的侧棱 垂直底面
边长为2的正方形 ， 为棱 的中点，过直线 的平面 分别与侧棱 、
相交于点 、 ，当 时，截面 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
变式19．（2024·全国·高三专题练习） 为空间任意一点，若 ，若
四点共面，则 （ ）
A． B． C． D．
变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知空间 、 、 、 四点共面，且其中任意三
点均不共线，设 为空间中任意一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．变式21．（2024·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）如图所示的木质正四棱锥模型
，过点A作一个平面分别交 于点E，F，G，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
变式22．（2024·甘肃平凉·高三统考期中）对于空间任意一点 和不共线的三点 ，
有如下关系： ，则（ ）
A． 四点必共面 B． 四点必共面
C． 四点必共面 D． 五点必共面
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知A、B、C三点不共线，对平面 外的任一点
O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
变式24．（2024·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥 的底面边长和高均为2，
， 分别为 ， 的中点．(1)若点 是线段 上的点，且 ，判断点 是否在平面 内，并证明你的
结论；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
变式25．（2024·全国·高三专题练习）如图，在几何体ABCDE中， ABC， BCD，
CDE均为边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求证：
A，B，D，E四点共面；
变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，四边形 为正方形，若平面 平面
， ， ， .(1)求二面角A－CF－D的余弦值；
(2)判断点D与平面CEF的位置关系，并说明理由.
变式27．（2024·全国·高三专题练习）如图，在边长为3的正方体 中，点
P，Q，R分别在棱 ， ， 上，且 .
（1）求点D到平面 的距离；
（2）若平面 与线段 的交点为N，求 的值.变式28．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图四棱锥
，且 ，平面 平面 ，且
是以 为直角的等腰直角三角形，其中 为棱 的中点，点 在棱 上，
且 .
(1)求证： 四点共面；
【解题方法总结】
要证明多点（如 ， ， ， ）共面，可使用以下方法解题．
先作出从同一点出发的三个向量（如 ， ， ），然后证明存在两个实数 ，
使得 ．
题型六：证明直线和直线平行
例16．（2024·高二课时练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 ， 为 的中点， 为 的中点， ，
求证： ．例17．（2024·高二课时练习）已知棱长为1的正方体 在空间直角坐标系
中的位置如图所示， 分别为棱 的中点，求证： .
例18．（2024·高二课时练习）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，
M，N分别是AC，BF的中点，求证： .变式29．（2024·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，平面ABCD⊥平面PCD，底
面ABCD为梯形． ， ，且 ， ， ．
若M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存在一点F，使得MF与PC平行．
【解题方法总结】
将证线线平行转化为证两向量共线．设 是两条不重合的直线，它们的方向向量分
别为 ，则 ．
题型七：证明直线和平面平行
例19．（2024·全国·高三专题练习）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体 ， ， ，
A B C D
， 底面 ，四边形 1 1 1 1是边长为2的正方形且平行于底面，
， ， 的中点分别为 ， ， ， ．
(1)证明： 平面 ；
例20．（2024·广东潮州·高三校考阶段练习）如图，四棱锥 中，底面ABCD为矩
形， 平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明： //平面AEC
例21．（2024·天津滨海新·高三校考期中）如图， 且 ， ，
且 ， 且 ， 平面 ， .(1)若 为 的中点， 为 的中点，求证： 平面 ；
变式30．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 平面 ， ， ， ， ， 分别是 ， 的
中点．
(1)求证： 平面 ；
变式31．（2024·陕西汉中·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为
正方形， 平面ABCD，E为PD的中点， .(1)求证：PB 平面AEC；
变式32．（2024·全国·高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形，
， ， 平面 ， ， .
(1)求二面角 的余弦值；
(2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得 平面 .若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【解题方法总结】（1）利用共面向量定理．设 为平面 内不共线的两个向量，证明存在两个实数
，使得 ，则 ．
（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行．
（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）．
题型八：证明平面与平面平行
例22．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱 的底面边长1，侧
棱长4， 中点为 ， 中点为 ．求证：平面 平面 .
例23．（2024·高二课时练习）如图，在直四棱柱 中，底面 为等腰
梯形， ， ， ， ， 是棱 的中点．求证：平面
平面 .例24．（2024·高二课时练习）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：
平面EFG∥平面PBC．
变式33．（2024·高二课时练习）在正方体 中， 分别是
的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面 平面 .
【解题方法总结】
（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行．
（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）．
题型九：证明直线与直线垂直例25．（2024·山西太原·高二统考期中）如图，在平行六面体 中，
.
(1)求 的长；
(2)求证： .
例26．（2024·北京海淀·高二校考期中）已知三棱锥 （如图1）的平面展开图（如
图2）中，四边形 为边长为 的正方形， 和 均为正三角形.在三棱锥
中：
(1)求点 到平面 的距离；(2)若点 在棱 上，满足 ，点 在棱 上，且 ，求
的取值范围.
例27．（2024·全国·高三专题练习）如图，平行六面体 的所有棱长均为
，底面 为正方形， ，点 为 的中点，点 为 的中点，
动点 在平面 内．
(1)若 为 中点，求证： ；
(2)若 平面 ，求线段 长度的最小值．
变式34．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）斜三棱柱 的各棱长都为2，
，点 在下底面ABC的投影为AB的中点O．(1)在棱 （含端点）上是否存在一点D使 ？若存在，求出BD的长；若不存在，
请说明理由；
(1)在棱 （含端点）上是否存在一点 使 ？若存在，求出 的长；若不存在，
请说明理由；
变式35．（2024·贵州遵义·统考三模）如图，棱台 中，
，底面ABCD是边长为4的正方形，底面 是边长为2
的正方形，连接 ，BD， .
(1)证明： ；
变式36．（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱
中， 平面ABC， ， ，D为 的中点，交 于点E．
(1)证明： ；
变式37．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱
中，侧面 为正方形， ，E，F分别为AC和 的中点，D为
棱 上的动点. .
(1)证明： ；
(1)证明： .
【解题方法总结】
设直线 的方向向量为 ，则 ．
这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法．题型十：证明直线与平面垂直
例28．（2024·内蒙古乌兰察布·校考三模）如图，在四棱锥 中， 底面
，底面 是边长为2的正方形， ， ， 分别是 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
例29．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图，已知直三棱柱
为 的中点， 为侧棱 上一点，且 ，
三棱柱 的体积为32．
(1)过点 作 ，垂足为点 ，求证： 平面 ；
例30．（2024·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）如图，直三棱柱 中，
， ， ，D为BC的中点，E为 上的点，且
．(1)求证：BE⊥平面 ；
变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱 的侧面 为正方
形， ，E，F分别为 ， 的中点， ．
(1)证明： 平面 ；
【解题方法总结】
（1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直．
（2）证明直线和平面内的任一直线垂直．
（3）转化为证明直线与平面的法向量共线．
题型十一：证明平面和平面垂直
例31．（2024·广东深圳·统考模拟预测）在正方体 中，如图 、 分别是
， 的中点．(1)求证：平面 平面 ；
例32．（2024·全国·高三专题练习）已知在直三棱柱 中，其中
为 的中点，点 是 上靠近 的四等分点， 与底面
所成角的余弦值为 ．
(1)求证：平面 平面 ；
例33．（2024·北京丰台·北京丰台二中校考三模）如图，在四棱锥 中， 平
面 ， ， ， ， . 为 的中点，点 在
上，且 .(1)求证：平面 平面 ；
变式39．（2024·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱 中， 分
别是棱 上的点， .
(1)证明：平面 平面 ；
变式40．（2024·江西新余·高三江西省分宜中学校考阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面ABCD是菱形， ， ， ， 底面ABCD，
，点E在棱PD上，且 .
(1)证明：平面 平面ACE；
变式41．（2024·全国·高三专题练习）如图，在底面是矩形的四棱锥 中，
平面 ， ， ， 是PD的中点.(1)求证：平面 平面PAD；
变式42．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥 的底面是平行四边形，
侧面 是等边三角形， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 为侧棱 上一点，四边形 是过 两点的截面，且 平面 ，是
否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
变式43．（2024·江苏·统考三模）如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，
∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．
(1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，
并给予证明；
(2)在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．
条件①： ；
条件②：∠PED＝60°；
条件③：PM＝3ME：
条件④：PE＝3ME．
【解题方法总结】（1）转化为证明两平面的法向量互相垂直
（2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面．
题型十二：求两异面直线所成角
例34．（2024·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）在正四棱柱 中，底面边
长为1，高为3，则异面直线 与AD所成角的余弦值是 .
例35．（2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体 的棱
长为1， 是棱 的中点， 为棱 上的动点（不含端点），记㫒面直线 与 所
成的角为 ，则 的取值范围是 .
例36．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥P－ABC中， 底面ABC，底面ABC为正
三角形，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为
变式44．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 底
面 ， .点 、 、 分别为棱 、 、 的中点， 是线段 的中
点， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)已知点 在棱 上，且直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求线段 的长．
变式45．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）在四棱锥 中，底面ABCD为正方形，
平面 平面 ， ， .(1)证明：平面 平面 ；
(2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为 ，求四棱锥 的体积.
变式46．（2024·全国·高三对口高考）如图，图1，四棱锥 中， 底面
，面 是直角梯形，M为侧棱 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图
如图2所示．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： 平面 ；
(3)线段 上是否存在点N，使 与 所成角的余弦值为 ？若存在，找到所有符合
要求的点N，并求 的长；若不存在，说明理由．
【解题方法总结】
设两异面直线a和b的方向向量为 和 ，利用求角余弦公式可求得 和 的夹角，由
于两向量所成角 的范围是 ，而两异面直线所成角 的范围是 ．所以
．
题型十三：求直线与平面所成角例37．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考假期作业）如图所示，直三棱柱
中， ， ， .
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
例38．（2024·广东河源·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥 中， 分别为
的中点，连接 .
(1)当 为 上不与点 重合的一点时，证明： 平面 ；
(2)已知 分别为 的中点， 是边长为 的正三角形，四边形 是面积
为 的矩形，当 时，求 与平面 所成角的正弦值.
例39．（2024·山西运城·高三校考阶段练习）在如图所示的多面体中，四边形 为正
方形， 四点共面，且 和 均为等腰直角三角形， ，平面 平面 ， .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若点 在直线 上，求直线 与平面 所成角的最大值.
变式47．（2024·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱 中，
是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求直线 与平面
所成角的正弦值.
变式48．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 的底面为正方形，
， 平面 ， 分别是线段 的中点， 是线段 上的一点.(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，且 点不是线段 的中点，求三棱锥
体积.
变式49．（2024·福建漳州·统考模拟预测）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于
， 的点， 平面 ， ， ， ， 分别为 ， 的中点，
平面 与平面 的交线为 ， 在圆 上.
(1)在图中作出交线 （说明画法，不必证明），并求三棱锥 的体积；
(2)若点 满足 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求
的值.
【解题方法总结】
设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为 与 所成角的
大小，则 ．
题型十四：求平面与平面所成角例40．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC
＝2，∠DAB＝60°，点E，F在以AD为直径的半圆上，且 ，将半圆沿AD翻
折如图2．
(1)求证：EF∥平面ABCD；
(2)当多面体ABE﹣DCF的体积为4时，求平面ABE与平面CDF夹角的余弦值．
例41．（2024·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试）如图，在四棱锥 中，底
面ABCD是菱形， ， ， ， 底面ABCD， ，点
E在棱PD上，且
(1)证明：平面 平面ACE；
(2)求平面PAC与平面ACE所成角的余弦值．
例42．（2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱 中，
侧面 为菱形， ， ， .(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
变式50．（2024·宁夏石嘴山·统考一模）如图，在四棱锥 中，侧面 底面
，底面 为菱形， ．
(1)若四棱锥 的体积为1，求 的长；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
变式51．（2024·全国·高三专题练习）在三棱台 中， 为 中点， ，
， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 与平面 所成二面角大小为 ，求三棱锥
的体积.
变式52．（2024·四川成都·高三四川省成都市第四十九中学校校考阶段练习）如图，四棱
锥 中，底面 是矩形， ， ，且侧面 底面 ，侧面
底面 ，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且 ．(1)证明： 底面 ；
(2)当点E在BC边上移动，使二面角 为 时，求二面角 的余弦值．
【解题方法总结】
（1）在平面 内， ，在平面β内， （ 是交线 的方向向量），其方向如
图所示，则二面角 的平面角的余弦值为 ．
（2）设 是二面角 的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，
另一个指向二面角的外侧，则二面角 的余弦值为 ．
题型十五：求点面距、线面距、面面距
例43．（2024·山东青岛·高三统考期中）如图，四棱锥 中，底面ABCD为正方形，
为等边三角形，面 底面ABCD，E为AD的中点.(1)求证： ；
(2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为 .
①确定点F的位置；
②求点C到平面PEF的距离.
例44．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知菱形 和矩形 所在的平面互相
垂直， ，
.
(1)求直线 与平面 的夹角；
(2)求点 到平面 的距离.
例45．（2024·广东东莞·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，侧面
是正三角形，且与底面 垂直， 平面 ， ， 是棱
上的动点.
(1)当 是棱 的中点时，求证： 平面 ；(2)若 ， ，求点 到平面 距离的范围.
变式53．（2024·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为平行
四边形，侧面 是边长为 的正三角形，平面 平面 ， ．
(1)求证：平行四边形 为矩形；
(2)若 为侧棱 的中点，且平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求点 到平面
的距离．
变式54．（2024·湖北·模拟预测）如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面
所截得到的，其中 ， ， ， ，则点 到平面 的距
离为（ ）
A． B． C． D．
变式55．（2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）如图，已知 是侧
棱长和底面边长均等于 的直三棱柱， 是侧棱 的中点.则点 到平面 的距离为
（ ）A． B． C． D．
变式56．（2024·全国·高三专题练习）两平行平面 分别经过坐标原点O和点 ，
且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
变式57．（2024·全国·高三专题练习）空间直角坐标系中 、 、 ）、
，其中 ， ， ， ，已知平面 平面 ，则平面 与平面
间的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式58．（2024·全国·高三专题练习）在棱长为 的正方体 中，则平面
与平面 之间的距离为
A． B．C． D．
变式59．（2024·高二课时练习）如图所示，在长方体 中，
，则直线 到平面 的距离是（ ）
A．5 B．8 C． D．
变式60．（2024·全国·高三专题练习）已知 是棱长为1的正方体，则平面
与平面 的距离为 ．
变式61．（2024·高二单元测试）在直三棱柱 中， ，
，D是AC的中点，则直线 到平面 的距离为 ．
变式62．（2024·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中， ，
， ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点，则直线 到平面 的距离为
.变式63．（2024·浙江温州·统考模拟预测）在棱长为1的正方体 中，E为
线段 的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面 的距离为 ．
变式64．（2024·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体 中， 为线
段 的中点，F为线段 的中点．
(1)求直线 到直线 的距离；
(2)求直线 到平面 的距离．
【解题方法总结】
如图所示，平面 的法向量为 ，点 是平面 内一点，点 是平面 外的任意一点，
则点 到平面 的距离 ，就等于向量 在法向量 方向上的投影的绝对值，即或
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离
例46．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中，底面 是边长为
的正三角形， ，顶点 在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是
异面直线 上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
例47．（2024·全国·高三专题练习）在长方体 中， ， ，
，则异面直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
例48．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底
面 为正方形，且 ， 为棱 的中点，点 在 上，且 ，
则 的中点 到直线 的距离是 ．变式65．（2024·全国·高三专题练习）已知空间中三点 ，则点
A到直线 的距离为 ．
变式66．（2024·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知空间中三点 ， ，
，则点C到直线AB的距离为 ．
变式67．（2024·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中， ，
，点 ， 分别是 ， 的中点，则点 到直线 的距离为 ．
变式68．（2024·全国·高三专题练习）如图，多面体 是由长方体一分为二得
到的， ， ， ，点D是 中点，则异面直线 与 的
距离是 ．变式69．（2024·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中，AB＝1，M，
N分别是棱AB， 的中点，E是BD的中点，则异面直线 ，EN间的距离为 .
变式70．（2024·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥 的棱长均为2，点E为侧
棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ．
变式71．（2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）在棱长为 的正方
体 中，点 是线段 上的动点，则 点到直线 距离的最小值为
变式72．（2024·全国·高三专题练习）在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是
1，且平面 平面 ，活动弹子 分别在正方形对角线 ， 上移动，则
长度的最小值是 ．变式73．（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱 中，侧面 为正方
形. ，E，F分别为AC和 的中点， .
(1)求四棱锥 的体积；
(2)是否存在点D在直线 上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段
DE的长；若不存在，请说明理由.
【解题方法总结】
设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取 两点，则向
量在 上的正射影长就是两条异面直线 的距离．则 即两异面直
线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值
与公垂线的方向向量模的比值
