文档内容
第 13 讲 两条直线平行和垂直的判定 3 种常见考法归类
能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
知识点1 两条直线平行
对于两条不重合的直线l，l，其斜率分别为k，k，有l∥l⇔k＝k.
1 2 1 2 1 2 1 2
注：（1）l∥l⇔k＝k 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l 与l 不重合．
1 2 1 2 1 2
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时， 与 的倾斜角都是 ，则 .
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或 ， 斜率都不存在.
知识点2 两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之
积等于－1，那么它们互相垂直，即l⊥l⇔k·k＝－1.
1 2 1 2
注：（1）l⊥l⇔k·k＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k≠0且k≠0.
1 2 1 2 1 2
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
1、两条直线平行的判定及应用
k ＝k⇔l∥l 是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注
1 2 1 2
意利用图形．
2、利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
3、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
考点一：两条直线平行的判定及应用
（一）两条直线平行的概念辨析
例1．（2023·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件
B．两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件
C．两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件
D．两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件
变式1．（2023秋·北京·高二人大附中校考期中）若 与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为 ，
，斜率分别为 ， ，则下列命题
①若 ，则斜率 ； ②若斜率 ，则 ；
③若 ，则倾斜角 ；④若倾斜角 ，则 ，其中正确命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．【多选】（2023秋·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若 与 为两条不重
合的直线，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则它们的斜率相等 B．若 与 的斜率相等，则
C．若 ，则它们的倾斜角相等 D．若 与 的倾斜角相等，则
（二）两条直线平行关系的判定
例2．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线 与 是否平行．
(1) 经过点 ， ， 经过点 ， ；
(2) 经过点 ， ， 经过点 ， ．
变式1．（2023秋·高二课前预习）根据下列给定的条件，判定直线 与直线 是否平行或重合：
（1） 经过点 ， ； 经过点 ， ；( )
（2） 的斜率为 ， 经过点 ， ；( )
（3） 平行于 轴， 经过点 ， ；( )
（4） 经过点 ， ， 经过点 ， ．( )
变式2．【多选】（2023秋·高二课时练习）满足下列条件的直线 与 一定平行的是（ ）
A． 经过点 ， ， 经过点 ，
B． 的斜率为1， 经过点 ，
C． 经过点 ， ， 经过点 ，D． 经过点 ， ， 经过点 ，
变式3．（2023秋·高二课时练习）过点 和点 的直线与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
变式4．（2023·全国·高二专题练习）判断 三点是否共线，并说明理由．
（三）已知两条直线平行求参数
例3．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知直线 的倾斜角为 ，直线 ，
则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）已知过 和 的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值
是（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线 的倾斜角为 ，直线 的斜率为 ，若 ∥ ，
则 的值为________．
考点二：两条直线垂直的判定及应用
（一）两条直线垂直的概念辨析
例4．【多选】（2023秋·高二课时练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．斜率均不存在的两条直线可能重合
B．若直线 ，则这两条直线的斜率的乘积为
C．若两条直线的斜率的乘积为 ，则这两条直线垂直
D．两条直线 ，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则
变式1．【多选】（2023秋·高二课时练习）下列说法中正确的有（ ）A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于 ，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
变式2．（2023·高二课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．每一条直线都有倾斜角和斜率
B．若直线倾斜角为 ，则斜率为
C．若两直线的斜率 ， 满足 ，则两直线互相垂直
D．直线 与直线 （ ）一定互相平行
（二）两条直线垂直关系的判定
例5．【多选】（2023秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）下列直线 互相垂直的是（ ）
A． 的斜率为 ， 经过点 ，
B． 的倾斜角为 ， 经过点
C． 经过点 ， 经过点
D． 的斜率为2， 经过点
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．
(1) 经过点 经过点 ；
(2) 经过点 经过点 ．
变式2．（2023秋·广东·高二校联考阶段练习）判断下列直线 与 是否垂直：
(1) 的倾斜角为 ， 经过 ， 两点；
(2) 的斜率为 ， 经过 ， 两点；(3) 的斜率为 ， 的倾斜角为 ， 为锐角，且 .
变式3．（2023秋·福建三明·高二校联考期中）已知直线 经过 ， 两点，直线 倾斜角为
，那么 与 （ ）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直
变式4．【多选】（2023·江苏·高二假期作业）以 为顶点的三角形，下列结论正确的
有（ ）
A．
B．
C．以 点为直角顶点的直角三角形
D．以 点为直角顶点的直角三角形
变式5．（2023秋·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知直线 的斜率是方程 的两个根，则
（ ）
A． B．
C． 与 相交但不垂直 D． 与 的位置关系不确定
变式6．【多选】（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）（多选）若 ， ， ，
，下面结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
（三）已知两直线垂直求参数
例6．（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点 和点 的直线 与经过点 和点 的直线 互相垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知直线 经过点 ，直线 经过点
，若 ，则 的值为________________.
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为 ，直线 经过点 ， ，且 与l
垂直，直线 与直线 平行，则 等于（ ）
A． B． C．0 D．2
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）已知 的顶点为 ， ， ，是否存在 使
为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
变式4．（2023秋·青海海东·高二校考期中）已知点 ， ， ， 是 的垂心．则
点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点 ， ，直线 过点 ，交 轴于点 ， 是
坐标原点，且 ， ， ， 四点共圆，那么 的值是________．
变式6．（2023·江苏·高二假期作业）已知 ， ， ．
(1)求点 的坐标，满足 ， ；
(2)若点 在x轴上，且 ，求直线 的倾斜角．
变式7．【多选】（2023秋·广西贵港·高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形 的直角顶点为 ，
点 的坐标为 ，则点 的坐标可能为（ ）A． B． C． D．
考点三：两直线平行与垂直的综合应用
例7．【多选】（2023秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）已知两条不重合的直线 ，
，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
变式1．【多选】（2023秋·山东济南·高二校考期中）若 与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是
，斜率分别为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若斜率 ，则 B．若 ，则
C．若倾斜角 ，则 D．若 ，则
例8．（2023秋·全国·高二期中）已知 三点，则△ABC为__________ 三角形.
变式1．（2023秋·河南商丘·高二校联考期中）若 ， ， ，则 的外接圆面积为
______．
变式2．（2023秋·高二课时练习）以 为顶点的四边形是（ ）
A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
变式3．（2023·高二课时练习）已知 ，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，
求点D的坐标.
变式4．（2023·江苏·高二假期作业）已知四边形 的顶点坐标为 ，求
证：四边形 为矩形．变式5．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知四边形 的顶点
.
(1)求斜率 与斜率 ；
(2)求证：四边形 为矩形.
变式6．（2023·高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标按逆时针顺
序依次为 ， ， ， ，其中 ．则四边形 的形状为______.
变式7．（2023·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.
一、单选题
1．（2023·全国·高二专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行
B．若 ，则
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交
D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行
2．（2023·高二课时练习）“直线 与 平行”是“直线 与 的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
3．（2023·全国·高二专题练习）已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，
则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形4．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）若直线 的斜率为 ， 经过点 ， ，则直线
和 的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合
5．（2023·江苏·高二假期作业）已知两条直线l，l 的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l 与
1 2 1
l 的位置关系是（ ）
2
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
6．（2023·江苏·高二假期作业）过点 和点 的直线与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
7．（2023春·河北承德·高二承德市双滦区实验中学校考开学考试）已知直线 经过 ， 两
点，直线 的倾斜角为 ，那么 与
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
8．（2023秋·山东泰安·高二统考期末）若直线 与直线 平行，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．3
9．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为 ，
， ，则 边上的高的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知点 和 ，点 在 轴上，且
为直角，则点 坐标为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．二、多选题
11．（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）已知直线 与 为两条不重合的直线，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 ，则斜率
B．若斜率 ，则
C．若倾斜角 ，则
D．若 ，则倾斜角
12．（2023·全国·高二专题练习）(多选)下列直线l 与直线l 平行的有（ ）
1 2
A．直线l 经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l 过点C(3，-3)，D(8，-7)
1 2
B．直线l 经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l 过点C(3，4)，D(5，2)
1 2
C．直线l 经过点A(1， )，B(2，2 )，直线l 的倾斜角为60°且过原点
1 2
D．直线l 经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l 的斜率为0
1 2
三、填空题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D
的坐标为________.
14．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知经过点 和点 的直线l 与经过
1
点 和点 的直线 互相垂直，则实数 _____.
四、解答题
15．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．
(1) 经过点 ， 经过点 ；
(2) 的斜率为 ， 经过点 .
16．（2023·全国·高二专题练习）判断下列不同的直线 与 是否平行.
（1） 的斜率为2， 经过 ， 两点；（2） 经过 ， 两点， 平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3） 经过 ， 两点， 经过 ， 两点．
17．（2023·全国·高二专题练习）判断下列各小题中的每对直线是否垂直
(1)l 的斜率为 ，l 经过点A（1，1），B（0， ）
1 2
(2)l 的倾斜角为45°，l 经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6）
1 2
(3)l 经过点M（1，0），N（4，﹣5），l 经过点R（﹣6，0），S（﹣1，3）
1 2
18．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点 ， ， ， ，试判定四边
形ABCD的形状．
19．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）已知 的点 ， ， ．
判断 的形状；
设D，E分别为AB，AC的中点，求直线DE的斜率；
