文档内容
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
【划重点】
1．了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．
2．掌握空间两点间距离公式.
3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．
【知识梳理】
知识点一 空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方
向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个
空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为
Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
知识点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位置由
向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk. 在单位正
交基底 {i，j，k}下与向量 OA 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作
A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
知识点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，
z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，
y，z)．
知识点四 空间向量的坐标运算
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，有
1 2 3 1 2 3
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b)
1 1 2 2 3 3
减法 a－b a－b＝(a－b，a－b，a－b)
1 1 2 2 3 3
数乘 λa λa＝(λa，λa，λa)，λ∈R
1 2 3
数量积 a·b a·b＝ab＋ab＋ab
1 1 2 2 3 3
知识点五 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则有
1 2 3 1 2 3当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R)；
1 1 2 2 3 3
a⊥b⇔a·b＝0⇔ab＋ab＋ab＝0；
1 1 2 2 3 3
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
知识点六 空间两点间的距离公式
设P(x，y，z)，P(x，y，z)是空间中任意两点，
1 1 1 1 2 2 2 2
则PP＝|P1P2|＝.
1 2
【例题详解】
一、求空间点的坐标
例1 (1)在长方体 中， ， ，建立适当的空间直角坐标系并确定点
的坐标．
(2)如图所示， ABC是一个正三角形， 平面ABC， ，且CE＝CA＝2BD=2，M为AE的中点.
请建立适当空间△直角坐标系，并求各个点的坐标．
跟踪训练1 (1)如图，四边形ABCD和ADPQ均为边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，
F分别为PQ，AB，BC的中点，建立适当的空间直角坐标系并求点A，E，M，F的坐标．(2)在平行六面体 中，底面 是矩形， ， ，平行六面体高为 ，顶点
在底面 的射影 是 中点，设 的重心 ，建立适当空间直角坐标系并写出点
的坐标.
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
跟踪训练2 (1)已知B与点 关于点 对称，则点B的坐标是______．(2)点 在平面 内的射影的坐标为_______．
(3)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P ，点P 关于坐标平面yOz的对称点为P ，点P 关于
1 1 2 2
z轴的对称点为P，则点P 的坐标为________．
3 3
三、空间向量的坐标
例3 如图，在棱长为1的正方体 中，E， F分别是 的中点，点G在棱CD上，
且 ， H是 的中点．以D为坐标原点， 所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立
空间直角坐标系，求向量 和 的坐标．
跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABCABC 的底面 ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA＝2，M，
1 1 1 1
△
N分别为AB，AA的中点，试建立恰当的坐标系求向量 ， ， 的坐标．
1 1 1四、空间向量的坐标运算
例4 (1)已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
(2)设 是实数，已知三点 ， ， 在同一条直线上，那么 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
(3)已知空间直角坐标系中，点 ， ，若 ， ，则 __________.
(4)已知 ， ，则线段 的中点坐标为________； ________．
(5)已知向量 ， ， ，且 ， .
(i)求向量 ， ， ；
(ii)求向量 与向量 所成角的余弦值.
跟踪训练4 (1)与向量 共线的单位向量可以为（ ）
A． B． C． D．(2)已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为__________
(3)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为 ， ，则点B的坐标是______________.
(4)已知点 、 、 ， ， ．
(i)若 ，且 ，求 ；
(ii)求 ；
(iii)若 与 垂直，求 ．
五、向量的坐标表示的应用
命题角度1 空间平行垂直问题
例5 (1)在正方体 中，如图E、F分别是 ，CD的中点，求证： 平面ADE．(2)已知在正四棱柱 中， , ，点E为 的中点，点F为 的中点．
(i)求证： 且 ；
(ii)求证： ．
跟踪训练5 (1)如图，在直棱柱 中， ， ， 分别是 ，
， 的中点．求证： ．
(2)如图，在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形， ， ， ，
， 是棱 的中点．求证：平面 平面 .命题角度2 夹角、距离问题
例6 如图，长为1的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点， 在棱 上，且
， 为 的中点.
（1）求证： ．
（2）求 的长.
（3）求 与 所成角的余弦值．
跟踪训练6 如图，已知直三棱柱ABC－ABC ，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA＝
1 1 1 1
2，M，N分别是AB，AA的中点．
1 1 1（1）求 的模；
（2）求cos〈 ， 〉的值；
（3）求证：AB⊥C M.
1 1
【课堂巩固】
1．在空间直角坐标系 中，点 关于 平面的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中， ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
3．如图所示，已知正方体 ， ， 分别是正方形 和 的中心，则 和
所成的角是（ ）
A． B． C． D．4．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， 为 的中点，
为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，则线段 中点的坐标为________．
6．已知点 是点 关于坐标平面yoz内的对称点，则 __________
7．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，点 在棱 上，且 ， 底面 ，
， ．建立适当的空间直角坐标系并求点 的坐标．
8．如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为 ，底面ABCD为直角梯形，
请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．9．如图，在空间直角坐标系 中有一长方体 ，且 ， ，
(1)写出点 的坐标，并将 用标准正交基 表示；
(2)求 的坐标．
10．已知 ， ．
(1)求 ；
(2)当 时，求实数k的值．
11．已知棱长为1的正方体 在空间直角坐标系中的位置如图所示， 分别为棱
的中点，求证： .12．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，且 ， ， ，
，点M为棱PC的中点，
证明： .
13．如图，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DD，BD的中点，G在棱CD上，且
1 1 1 1 1
，H为C G的中点．求| |.
114．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 ， 的
中点．
(1)求 的距离；
(2)求 的值．
【课时作业】
1．在空间直角坐标系中，已知点 ，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．向量 ，若 ，则实数 （ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-23．若 ， ，则 等于（ ）
A．5 B．－5 C．7 D．－1
4．如图，将 的菱形ABCD沿对角线BD折起，使得平面 平面CBD，则异面直线AB与CD
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知圆柱 的轴截面 是边长为2的正方形， 为下底面圆周上一点，满足 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．记 与 的夹角为 ，则 D．若 ，则7．在空间直角坐标 中，已知点 ，则 _______________________.
8．已知点 ，则点 关于原点的对称的点 的坐标为______.
9．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点 的坐标为________.
10．已知点 与点 ，则 的中点坐标为__________．
11．在空间直角坐标系中，过 作 平面的垂线， 为垂足，则点 坐标为__．
12．如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
为 的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
13．如图，已知直四棱柱 中， ，底面 是直角梯形， 为直角，AB∥CD，
， ， ，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．14．已知长方体 中, ，点N是AB的中点，点M是 的中点．建
立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点 的坐标；
（2）求线段 的长度；
（3）判断直线 与直线 是否互相垂直，说明理由．
15．如图 垂直于正方形 所在的平面， 分别是 的中点，并且 ．试建立适当
的空间直角坐标系，求向量 的坐标．16．已知向量 ， ， ，且 ．
(1)求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值．
17．如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，AA=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC ，BC
1 1
的中点，点P在直线AB 上．证明：PN⊥AM．
1 1
18．如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 为正方形， ， ， 分别是
， 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与直线 所成角的余弦值.19．如图，在空间直角坐标系 中，正方体 的棱长为1，顶点 位于坐标原点，若
是棱 的中点， 是侧面 的中心.
(1)求点 ， 的坐标及 ；
(2)求向量 在 方向上的投影数量.
20．如图，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DD，BD的中点，G在棱CD上，且
1 1 1 1 1
．求 ．
