文档内容
1.2 空间向量基本定理
【划重点】
1．掌握空间向量基本定理.
2．会用基底法表示空间向量.
3．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．
【知识梳理】
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa
＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用
{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这
样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
知识点三 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
知识点四 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
知识点五 求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
【例题详解】
一、空间的基底例1 (1) 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】确定 ， ， 排除ABD，得到
答案.
【详解】对选项A： ，向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项B： ，向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项C：假设 ，即 ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成
基底，正确；
对选项D： ，向量共面，故不能构成基底，错误；
故选：C
(2)已知 平面ABC， ， ， ，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.
【详解】因为 平面ABC，AB、AC都在面ABC内，
所以 ， .
因为 ， ， ，所以 ，又SA=1，所以空间的一个单位正交基底可以为 .
故选：A
跟踪训练1 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【详解】因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．
如图，
令a＝AB，b＝AA1，c＝AD，则x＝AB1，y＝AD1，z＝AC，
a＋b＋c＝AC1.
可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.
(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.
【答案】0
【详解】因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．
所以所以所以x＋y＝0.
二、空间向量基本定理
例2 (1)在平行六面体 中， 为 的中点， 为 的中点， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，根据空间向量的线性运算表达 ，再联立求解 即可.
【详解】设 则 .所以 ， ，所以 .
故选：C
(2)如图，在四面体OABC中， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量基本定理求解出 ，从而求出 .
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ．
故选：D
跟踪训练2 (1)如图，在四面体 中， ， ， ， 为 的重心， 为 的中
点，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先用 ， ， ，表示 向量，再利用 为 的中点，得
代入 整理得答案.
【详解】因为 为 的重心，所以 .
为 的中点，所以 .
故选：C.
(2)已知四棱锥 ，底面 为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点， ，
，设 ， ， ，则向量 用 为基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】由图形可得 ，根据比例关系可得 ， ，再根据向量减法
，代入整理并代换为基底向量．
【详解】
即
故选：D．
三、证明平行、共面问题
例3 如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证： 平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）根据题意得出 可证；
（2）通过证明 可得；
（3）可得四边形EFGH为平行四边形， 为EG中点，即可证明.
【详解】（1） E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
， ， ，
又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；
（2） E，H分别是AB，AD的中点，
， ， ，平面EFGH， 平面EFGH， 平面EFGH；
（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形， 为EG中点，
E，G分别是AB，CD的中点，
.
跟踪训练3 (1)如图，已知斜三棱柱 ，在 和 上分别取点 ， ，使 ，
，其中 ，求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】用 、 表示 ，即可得到 与向量 ， 共面，从而得证.
【详解】证明 因为 ，
，
所以 ，
所以 与向量 ， 共面，
而 平面 ，
所以 平面 .
(2)如图，在四面体 中，点 、 分别为 、 的中点，问： 与 、 是否共面？【答案】共面，理由见解析.
【分析】计算可得 ，以及 ，可得出 关于 、 的表达式，由此可得出结
论.
【详解】 ，且 、 分别为 、 的中点，
所以， .
因此， 与 、 共面.
四、求夹角、证明垂直问题
例4 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD
的中点．设 ， ， .
(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出 ，从而得到线面垂直，进而证明线线垂
直；
（2）用 表达 与 ，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦值.【详解】（1）证明：连接DE，
因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，
所以 ，
故 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 .
（2）由题意得： 均为等边三角形且边长为1，
所以
， ，
所以
，
设异面直线AG和CE所成角为 ，
则
跟踪训练4 已知平行六面体 的底面是边长为1的菱形，且 ，.
（1）证明： ；
（2）求异面直线 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明 即可；
（2）用基向量求解向量 的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.
【详解】设 ， ，
由题可知： 两两之间的夹角均为 ，且 ，
（1）由
所以 即证.
（2）由 ，又
所以 ，
又则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线 夹角的余弦值为 .
【点睛】本题考查用基向量求解空间向量的问题，涉及异面直线的夹角，以及线线垂直的证明，是难得的
好题，值得总结此类方法.
五、求距离(长度)问题
例5 如图，在平行六面体 中， 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在
线段BC上，且 ，记 .
（1）试用 表示 ；
（2）求 模.
【答案】（1） ； （2） .
【分析】（1）利用空间向量的线性运算，即可用 ， ， 表示 .
（2）由（1）得 ，根据向量的模的运算及向量的数量积，即可得出答案.
【详解】（1） ，
.（2）因为AB，AD， 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.
所以 ，
.
.
【点睛】本题考查空间向量的加减法运算和向量的模，以及运用向量的数量积运算，同时考查空间想象能
力和计算能力.
跟踪训练5 如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与
AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设 ， ， .
(1)试用 表示向量 ；
(2)求BM的长.
【答案】(1) ；(2)
【分析】利用空间向量基本定理用基底表示 ；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进
行运算.
【详解】（1）（2）
，所以 ，则BM的长为 .
【课堂巩固】
1．下列说法正确的是（ ）
A．若向量 、 共线，则向量 、 所在的直线平行．
B．若 、 、 是空间三个向量，则对空间任一向量 ，总存在唯一的有序实数组 ，使
．
C．若向量 、 所在的直线是异面直线，则向量 、 一定不共线．
D．若三个向量 、 、 两两共面，则三个向量 、 、 一定共面．
【答案】C
【分析】根据空间向量的相关概念以及空间向量基本定理分析判断.
【详解】对于A：若向量 、 共线，则向量 、 所在的直线平行或重合，故A错误；
对于B：根据空间向量基本定理可知，此时 、 、 应是空间三个不共面的向量，故B错误；
对于C：反证：若向量 、 共线，则向量 、 所在的直线平行或重合，
这与向量 、 所在的直线是异面直线相矛盾，故C正确；
对于D：若三个向量 、 、 两两共面，则三个向量 、 、 不一定共面，
例如 、 、 所在的直线为三棱锥的三条侧棱，故D错误；故选：C.
2． 是空间的一组基底，则可以与向量 构成基底的向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量基底的定义和共面向量的充要条件逐一判断即可求解.
【详解】因为 是空间的一组基底，所以 不共面， 不共线，
因为 ，若 ，则 ，
显然这样的 不存在，所以 不共线，
对于A，因为 ，所以 ，
由共面的充要条件知， 共面，故 不能构成基底向量，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
由共面的充要条件知， 共面，故 不能构成基底向量，故B错误；
对于C，因为 ，若 ，显然这样的 不存在，
所以 不能用 与 表示， 不共面，
故 能构成基底向量，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
由共面的充要条件知， 共面，故 不能构成基底向量，故D错误.
故选：C.
3．如图，在正方体 ，中，点 是 的中点，点 在 上，且 ，则
（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法和数乘运算，以及相等向量的转化，即可求解.
【详解】易知 ， ， ， ， ， ，
所以 .
故选：D
4．如图，二面角α－l－β等于，A，B是棱l上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC⊥l ，BD⊥l ，
且 2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于( )
A．2 B. C．4 D．5
【答案】B
【详解】∵二面角α－l－β等于，AC⊥l,BD⊥l，所以〈CA，BD〉＝π－＝，
∵CD＝CA＋AB＋BD，
∴CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD
＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2×cos ＝13.即CD＝.
5．如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小
为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B【详解】因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以AS·AB＝0，
又AB⊥BC，AB＝BC＝2，
所以 ∠BAC＝45° ，AC＝2 .
因此AB·AC＝cos 45°＝2×2×＝4，
所以SC·AB＝AC·AB－AS·AB＝4，
又SA＝2，所以 SC＝＝4 ，
因此cos〈SC，AB〉＝＝＝ ，
所以SC与AB所成角的大小为60° .
6．（多选）已知 是空间的一个基底，若 ，则错误的是（ ）
A． 是空间的一组基底 B． 是空间的一组基底
C． 是空间的一组基底 D． 与 中的任何一个都不能构成空间的一组基底
【答案】ABD
【分析】根据空间向量基底的概念逐项分析判断即可求出结果.
【详解】解：对于A选项， ，所以 共面，故错误；
对于B选项， ，所以 共面，故错误；
对于C选项，假设 ，即 ，得 ，这与
是空间的一个基底矛盾，故 是空间的一组基底，正确；
对于D选项，由C选项可知D选项错误.
故选：ABD
7．如图，已知 ▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为
________．
【答案】7
【详解】∵PC＝PA＋AD＋DC，
∴|PC|2＝PC·PC＝(PA＋AD＋DC)2＝|PA|2＋|AD|2＋|DC|2＋2PA·AD＋2PA·DC＋2AD·DC＝62＋42＋32＋2|AD||DC|cos 120°＝61－12＝49.
∴PC＝7.
8．已知 是空间的一个单位正交基底，向量 是空间的另一个基底，用基
底 表示向量 ___________.
【答案】
【分析】设 ，然后整理解方程组即可.
【详解】设 ，
即有 ，
因为 是空间的一个单位正交基底，
所以有 ，
所以 .
故答案为：
9．如图所示，在平行六面体ABCD－ABC D 中，E，F分别在BB和DD上，且BE＝ BB，DF＝
1 1 1 1 1 1 1
DD .求证：A，E，C ，F四点共面.
1 1
【答案】证明见解析.
【分析】根据空间向量定义及运算法则，用 ， 表示出 ，从而证得四点共面.【详解】证明:因为
＝
＝ ＋
＝ ，
所以 ， ， 共面，
所以A，E，C ，F四点共面.
1
10．如图，在长方体 中，M为 的中点，N在AC上，且 ．求证： 与
、 共面．
【答案】证明见解析
【分析】用 表示出 后可得结论．
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
所以 与 、 共面．
11．如图，正方体ABCD－ABC D 中，P是DD 的中点，O是底面ABCD的中心．求证：BO⊥平面PAC.
1 1 1 1 1 1
【详解】证明 如图，连接BD，则BD过点O，令AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且AC＝AB＋AD＝a＋b，
OB1＝OB＋BB1＝DB＋BB1＝(AB－AD)＋BB1＝a－b＋c .
∴AC·OB1＝(a＋b)·
＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c＝－＝0.
∴AC⊥OB1，即AC⊥OB.
1
又AP＝AD＋DD1＝b＋c，
∴OB1·AP＝·
＝a·b－|b|2＋c·b＋a·c－b·c＋|c|2
＝－＋＝0，
∴OB1⊥AP，
即OB⊥AP.又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，
1
∴OB⊥平面PAC.
1
12．如图，空间四边形 的各边及对角线长都为2，E是 的中点，F在 上，且 .
（1）用 表示 ；
（2）求向量 与向量 所成角的余弦值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由E是 的中点，F在 上，得到 ，进而结合向量的基本定
理，即可求解；（2）由（1）分别求得 ， ，以及
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）因为E是 的中点，F在 上，且 ，
所以 ，
于是 .
（2）由（1）得 ，
因此 ，
，
又因为 ，
所以向量 与向量 所成角的余弦值为 .
【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，以及向量的数量积和向量的夹角公式的应用，其中解答中
熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属
于中档试题.
【课时作业】
1．若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． ， ， B． ， ，C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】根据基底的性质，结合共面向量的性质逐一判断即可.
【详解】假设 ， ， 是共面向量，则存在 使 ，因为 构成空间
的一个基底，所以有 ，因此假设成立，故选项A不符合题意；
假设 ， ， 是共面向量，则存在 使 ，因为 构成空间的一个基
底，所以有 ，因此假设成立，故选项B不符合题意；
假设 ， ， 是共面向量，则存在 使 ，即
，
因为 构成空间的一个基底，所以上式向量式无实数解，因此假设不成立，故选项C符合题意；
假设 ， ， 是共面向量，则存在 使 ，因为 构成
空间的一个基底，
所以有 ，因此假设成立，故选项D不符合题意，
故选：C
2．如图，在四面体 中，点 在棱 上，且满足 ，点 ， 分别是线段 ， 的中
点，则用向量 ， ， 表示向量 应为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．
【详解】解：因为 ，所以 ，
因为点 ， 分别是线段 ， 的中点，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
3．如图，平行六面体 中， 为 的中点.若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】利用向量的加减法公式，对向量 进行分解，进而求出 ， ， 的值.
【详解】 ，故 ， ， ，即
故选： .
4．已知 是空间的一组基底，其中 ， ， .若A，B，C，D四点共
面，则λ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设存在唯一的实数对 ，使得 ，结合向量的数乘运算和相等向量
的概念计算，即可求解.
【详解】由题意，设存在唯一的实数对 ，使得 ，
即 ，
则 ，
则x=2， ， ，解得 .
故选：D.
5．如图，平行六面体 ，其中 ， ， ， ， ，
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．10【答案】C
【分析】利用空间向量基本定理表达出 ，平方后利用空间向量数量积公式求出
，得到 的长.
【详解】 ，故
，
故 .
故选：C
6．点 是三棱锥 底面 的重心，且满足 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 并延长 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，由重心的性质可得出
，利用空间向量的线性运算可得出 关于 、 、 的表达式，即可得出实数 的值.
【详解】连接 并延长 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点，所以， ，
因为 为 的重心，则 ，即 ，
所以， ，即 ，故 .
故选：C.
7．（多选）设 是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B． ， ， 一定能构成空间的一个基底
C．对空间中的任一向量 ，总存在有序实数组 ，使
D．存在有序实数对，使得
【答案】BC
【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【详解】对于 ， ， ，不能得出 ，也可能是 、 相交不一定垂直，选项 错误；
对于 ，假设向量 ， ， 共面，则 ， 、 ，
化简得 ，所以 、 、 共面，这与已知矛盾，所以选项 正确；
对于 ，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量 ，总存在有序实数组 , , ，使 ，
选项 正确；
对于 ，因为 是空间一个基底，所以 与 、 不共面，选项 错误．
故选： ．
8．（多选）如图，在三棱柱 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ，．设 ， ， ，若 ， ， ，则
下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故A错误；
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，故B正确；
因为 ， ，
所以 ，故C错误；
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD.
9．如图， 、 、 分别是正方体 的棱 、 、 的中点， 是 上的点，
平面 .若 ，则 ___________.
【答案】
【分析】设 ，其中 ，将 、 、 用基底 表示，分析可知 、
、 共面，则存在 、 ，使得 ，根据空间向量的基本定理可得出关于 、 、
的方程组，解出 的值，即可得出 的长度.
【详解】设 ，其中 ， ，
，
，
因为 平面 ，则 、 、 共面，显然 、 不共线，所以，存在 、 ，使得 ，
即
，
因为 为空间中的一组基底，所以， ，解得 ，
因此， .
故答案为： .
10．在四面体 中， 是棱 的中点，且 ，则 的值为__________.
【答案】0
【分析】利用空间向量加减法法则，把 用 表示出来，即可求出结果.
【详解】
如图所示，因为 是棱 的中点，
所以 ，
则 ，
所以 ，
故答案为：0.
11．如图，两个正方形 ， 的边长都是3，且二面角 为 ， 为对角线 靠近点的三等分点， 为对角线 的中点，则线段 ______.
【答案】
【分析】由已知可得 .进而表示出 ，即可根据数量积的运算性质求
出 ，进而即可求出答案.
【详解】由已知可得， ， ，所以 即为二面角 的平面角，即
.
因为 ， 为对角线 的中点，所以 .
因为 为对角线 靠近点 的三等分点，所以 ，
所以 .
所以 ，
所以
.
所以 ，
所以线段 .故答案为： .
12．设 是空间的一个单位正交基底，且向量 ，若 ，则用基底
表示向量 ______________．
【答案】
【分析】设 ，从而根据 列出方程组，求出 ，求出答案.
【详解】设 ，
则 ，
故 ，解得： ，故
故答案为：
13．如图所示，四面体 中，G，H分别是 的重心，设 ，点
D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量 表示向量 ；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
【答案】(1) ， ；(2)证明见解析
【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果；（2）证得 ，即可得出结论.
【详解】（1）
因为 ，
而 ，
又D为 的中点，所以 ，
所以
．
（2）因为 ，
，
所以 ，
，所以 ．
所以 四点共面．
14．如图所示，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且
，N是CM的中点，设 ， ， ，用 、 、 表示向量 ，并
求BN的长．
【答案】 ，【分析】根据题中条件，由向量的线性运算，即可得出 ；再由向量模的计算公式，结
合题中条件，可求出 ，即得出结果.
【详解】解：因为 是 的中点，底面 是正方形，
所以
，
又由题意，可得 ， ， ， ，
，
因此
，
所以 ，即 的长为 .
15．在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝2，BC＝BB＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN
1 1 1 1 1
与BC 所成角的余弦值．
1
【详解】MN＝DN－DM＝(DC－DA)，
BC1＝BC＋CC1＝－DA＋DD1 ，
所以MN·BC1＝·＝DA2＝，
又＝＝， ＝，
所以 cos〈MN，BC1〉＝＝＝，
故异面直线MN与BC 所成角的余弦值为.
1
16．如图，在底面 为菱形的平行六面体 中， 分别在棱 上，且，且 ．
(1)用向量 表示向量 ；
(2)求证： 共面；
(3)当 为何值时， ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)1
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据空间向量线性运算法则得到 ，即可证明 共面；
（3）设 ，因为底面 为菱形，则当 时， ，由
，即可得出答案.
【详解】（1） ．
（2）证明： ， ，
， 共面．
（3）当 ， ，
证明：设 ，底面 为菱形，则当 时， ，
， ，
，
，
．
