文档内容
1.2 空间向量基本定理
【划重点】
1．掌握空间向量基本定理.
2．会用基底法表示空间向量.
3．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．
【知识梳理】
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa
＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是 1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用
{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这
样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
知识点三 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
知识点四 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
知识点五 求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
【例题详解】
一、空间的基底例1 (1) 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
(2)已知 平面ABC， ， ， ，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
跟踪训练1 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.
二、空间向量基本定理
例2 (1)在平行六面体 中， 为 的中点， 为 的中点， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
(2)如图，在四面体OABC中， ，且 ，则 （ ）A． B．
C． D．
跟踪训练2 (1)如图，在四面体 中， ， ， ， 为 的重心， 为 的中
点，则 （ ）
A． B．
C． D．
(2)已知四棱锥 ，底面 为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点， ，
，设 ， ， ，则向量 用 为基底表示为（ ）
A． B．
C． D．
三、证明平行、共面问题
例3 如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证： 平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有 .跟踪训练3 (1)如图，已知斜三棱柱 ，在 和 上分别取点 ， ，使 ，
，其中 ，求证： 平面 .
(2)如图，在四面体 中，点 、 分别为 、 的中点，问： 与 、 是否共面？
四、求夹角、证明垂直问题
例4 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD
的中点．设 ， ， .(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
跟踪训练4 已知平行六面体 的底面是边长为1的菱形，且 ，
.
（1）证明： ；
（2）求异面直线 与 夹角的余弦值.
五、求距离(长度)问题
例5 如图，在平行六面体 中， 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在
线段BC上，且 ，记 .
（1）试用 表示 ；（2）求 模.
跟踪训练5 如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与
AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设 ， ， .
(1)试用 表示向量 ；
(2)求BM的长.
【课堂巩固】
1．下列说法正确的是（ ）
A．若向量 、 共线，则向量 、 所在的直线平行．
B．若 、 、 是空间三个向量，则对空间任一向量 ，总存在唯一的有序实数组 ，使
．C．若向量 、 所在的直线是异面直线，则向量 、 一定不共线．
D．若三个向量 、 、 两两共面，则三个向量 、 、 一定共面．
2． 是空间的一组基底，则可以与向量 构成基底的向量（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方体 ，中，点 是 的中点，点 在 上，且 ，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，二面角α－l－β等于，A，B是棱l上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC⊥l ，BD⊥l ，
且 2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于( )
A．2 B. C．4 D．5
5．如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小
为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°6．（多选）已知 是空间的一个基底，若 ，则错误的是（ ）
A． 是空间的一组基底 B． 是空间的一组基底
C． 是空间的一组基底 D． 与 中的任何一个都不能构成空间的一组基底
7．如图，已知 ▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为
________．
8．已知 是空间的一个单位正交基底，向量 是空间的另一个基底，用基
底 表示向量 ___________.
9．如图所示，在平行六面体ABCD－ABC D 中，E，F分别在BB和DD上，且BE＝ BB，DF＝
1 1 1 1 1 1 1
DD .求证：A，E，C ，F四点共面.
1 1
10．如图，在长方体 中，M为 的中点，N在AC上，且 ．求证： 与、 共面．
11．如图，正方体ABCD－ABC D 中，P是DD 的中点，O是底面ABCD的中心．求证：BO⊥平面PAC.
1 1 1 1 1 1
12．如图，空间四边形 的各边及对角线长都为2，E是 的中点，F在 上，且 .
（1）用 表示 ；
（2）求向量 与向量 所成角的余弦值.【课时作业】
1．若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．如图，在四面体 中，点 在棱 上，且满足 ，点 ， 分别是线段 ， 的中
点，则用向量 ， ， 表示向量 应为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，平行六面体 中， 为 的中点.若 ，则
（ ）A． B． C． D．
4．已知 是空间的一组基底，其中 ， ， .若A，B，C，D四点共
面，则λ=（ ）
A． B． C． D．
5．如图，平行六面体 ，其中 ， ， ， ， ，
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．10
6．点 是三棱锥 底面 的重心，且满足 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）设 是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B． ， ， 一定能构成空间的一个基底
C．对空间中的任一向量 ，总存在有序实数组 ，使
D．存在有序实数对，使得
8．（多选）如图，在三棱柱 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ，．设 ， ， ，若 ， ， ，则
下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图， 、 、 分别是正方体 的棱 、 、 的中点， 是 上的点，
平面 .若 ，则 ___________.
10．在四面体 中， 是棱 的中点，且 ，则 的值为__________.
11．如图，两个正方形 ， 的边长都是3，且二面角 为 ， 为对角线 靠近点
的三等分点， 为对角线 的中点，则线段 ______.12．设 是空间的一个单位正交基底，且向量 ，若 ，则用基底
表示向量 ______________．
13．如图所示，四面体 中，G，H分别是 的重心，设 ，点
D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量 表示向量 ；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
14．如图所示，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且
，N是CM的中点，设 ， ， ，用 、 、 表示向量 ，
并求BN的长．15．在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝2，BC＝BB＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN
1 1 1 1 1
与BC 所成角的余弦值．
1
16．如图，在底面 为菱形的平行六面体 中， 分别在棱 上，
且 ，且 ．
(1)用向量 表示向量 ；
(2)求证： 共面；
(3)当 为何值时， ．
