文档内容
1.1.2 空间向量的数量积运算
【划重点】
1．会识别空间向量的夹角.
2．熟记数量积公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉及其变形.
3．能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题．
4．理解并熟记向量a在向量b上的投影向量：|a|cos〈a，b〉
【知识梳理】
知识点一 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 叫做向量a，b的夹
角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
知识点二 空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作
a·b.
定义
即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
①a⊥b⇔a·b＝0
性质
②a·a＝a2＝|a|2
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
运算律 ②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
知识点三 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向
量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为
A′，B′，得到A′B′，向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′的夹角就是向量a
所在直线与平面β所成的角．
【例题详解】
一、数量积的计算
例1 (1)如图，已知四棱锥 的各棱长均为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】依题意可得底面四边形 为正方形， 为边长为 的正三角形，根据 ，数
量积的运算律及数量积的定义计算可得.
【详解】因为四棱锥 的各棱长均为 ，则四棱锥 为正四棱锥，
所以底面四边形 为正方形， 为边长为 的正三角形，
所以 ， 且 ，
因为 ，
所以 .
故选：D
(2)如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算：① ；
② ；
③ ；
④ ．
【分析】确定向量的模与向量的夹角，再运用向量的数量积运算即可.
【详解】①因为 ，
由题意，可知 ，所以 ，
所以 .
② .
③由题意，可知 ，
.
④
.跟踪训练1 (1)已知空间四面体DABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，再利用空间向量的数量积运算即可得到答案.
【详解】因为点 分别是 的中点，所以 ， ，
所以 ，则 ，
又因为空间四面体DABC的每条棱长都等于1，所以 是等边三角形，则 ，
所以 .
故选：B．
.
(2)如图，在直三棱柱 中， ，E，F分别为棱 的中点，则
_____________．
【答案】4【分析】由空间向量线性运算的几何表示，结合空间向量的数量积运算即可求.
【详解】在直三棱柱 中， ，E，F分别为棱 的中点，
则
故答案为：4
二、利用数量积证明垂直问题
例2 (1)如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记 ， ，
.
(i)用向量 表示向量 ；
(ii)求证 .
【分析】(i)通过空间向量的加减和数乘运算，结合图形即可得到答案；
(ii)通过空间向量数量积的运算即可证明.
【详解】(i)根据题意，
.
(ii)根据题意， 相互之间的夹角为 ，且模均为1，由（1），
所以 .
(2)如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，O为AC与BD的交点，G为CC 的中点，求证：AO⊥平面
1 1 1 1 1 1
GBD.
【详解】证明 设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵A1O＝A1A＋AO＝A1A＋(AB＋AD)
＝c＋a＋b，
BD＝AD－AB＝b－a，
OG＝OC＋CG＝(AB＋AD)＋CC1＝a＋b－c，
∴A1O·BD＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是A1O⊥BD，即AO⊥BD.
1
同理可证A1O⊥OG，即AO⊥OG.
1
又∵OG∩BD＝O，OG 平面GBD，BD 平面GBD，
∴A
1
O⊥平面GBD.
⊂ ⊂
跟踪训练2 (1)已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足， ，A为垂足， ，且 ．
求证： ．
【答案】证明见解析【分析】要证 ，只要证 ，即证 ，结合空间向量分析运算．
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ．
又 ，所以 ，
故 ．
三、用数量积求解夹角和模
例3 (1)如图，已知平行六面体 中，底面ABCD是边长为1的菱形， ，
.
(i)求线段 的长；
(ii)求异面直线 与 所成角的大小.
【分析】(i)设 ， ， 然后表示出 ，然后结合已知条件，利用数量积求解即可；
(ii)利用 ， ， 表示出 ， ，然后利用数量积求得 即可证明.
【详解】(i)设 ， ， ，
则 ， ， ， ， ，
∵ ，∴
∴线段 的长为 .
(ii)∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故异面直线 与 所成的角为90°.
(2)如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足 ，
点P满足 ．
(i)用向量 表示 ；
(ii)求 ．
【答案】(i) ；(ii)
【分析】(i)根据空间向量的线性运算即可求解；
(ii)先计算 ，再开方即可求解【详解】(i)因为M是棱BC的中点，点N满足 ，点P满足 ．
所以
．
(ii)因为四面体 是正四面体，则 ，
，
，
所以 ．
跟踪训练3 棱长为2的正方体中，E，F分别是 ，DB的中点，G在棱CD上，且 ，H是
的中点．
(1)求 ．
(2)求FH的长．
【答案】(1) ；(2)【分析】（1）将 分别用 表示，再根据数量积的运算律分别求出 ，
再根据 即可得解；
（2）将 用 表示，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1）由题意，
，
，
则
，
，
，
所以 ；
（2）
，所以
，
所以FH的长为 .
四、投影向量
例4 (1)四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形，则 在向量 上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点 和点分别作直线的垂线，由垂足确定 在向量 上的投影向量.
【详解】四棱锥 如图所示，
底面 是矩形，∴ ，
底面 ， 底面 ，∴ ，
过向量 的始点 作直线 的垂线，垂足为点 ，过向量 的终点 作直线 的垂线，垂足为点 ，
在向量 上的投影向量为 ，由底面 是矩形, ，
故选：B(2)如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ．试确定 在 上
的投影向量，并求 ．
【答案】 ，
【分析】由题意可知 ， 即可转化为 ，并化简利用数量积公
式运算即可求得 的值；由投影向量的定义可得 在 上的投影向量为 ，
化简运算即可等于 .
【详解】 平面 ， ，
因为 ．
又 ，
所以 在 上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得： ．
跟踪训练4 如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的
投影向量等于____.【答案】
【分析】先求出 ，再根据投影向量的公式计算即可.
【详解】 平面 ，
则 ，
向量 在 上的投影向量为
故答案为： .
【课堂巩固】
1．已知 ， 均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么 等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据 ，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
【详解】由题意可得 ，
.
故选：C
2．空间四边形 中， ， ，则 的值是（ ）A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量关系可得 ，再化简计算求得 即可求出.
【详解】因为
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
3．已知正四面体 的棱长为 为棱 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基底表示出 ，利用数量积的定义可求答案.
【详解】因为M是棱CD的中点，所以
所以
.
故选：D.4．四面体 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得
，由数量积公式计算即可.
【详解】由题知， ，
所以
，
所以 ，解得 ，
故选：C
5．（多选）已知四面体 中， ， ， 两两垂直，则以下结论中一定成立的是（ ）
A． ； B．
C． ； D．
【答案】ACD
【分析】利用 ， ， 两两垂直，可得 ，对于A选项，两边平方化简后相等可判
断A选项；对于B选项，将 ，代入化简得到 不一定为0，可判断B选项；对于C
选项，左边直接平方利用向量垂直数量积为0化简，可判断C选项；对于D选项，将
，同理 ，可判断D选项.【详解】由题意可知， ， ， 两两垂直，所以 ，
对于A选项，
，
，故 ，所以A选项正确；
对于B选项， ，
当 时， ，否则不成立，所以选项B不正确；
对于C选项，
，所以选项C正确；
对于D选项， ，同理可得 ， ，
所以 ，选项D正确，
故选：ACD
6．（多选）在棱长均为1的四面体 中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，通过证明 平面 ，即可得到 ，从而判断
A，根据空间向量线性运算判断B，根据空间向量数量积的定义判断C，根据数量积的运算律求出
，即可判断D；
【详解】解：取 的中点 ，连接 ， ，∴ ， ，
， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，则 ，故A正确；因为 ，故B正确；
∵ ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ，
所以 ，故D不正确，
故选：ABC.
7．在棱长为1的正方体 中， 为棱 上任意一点，则 =_______.
【答案】1
【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.
【详解】如图，在正方体中， 为棱 上任意一点，则 ， ，
.
故答案为：1.
8．若ABCD为空间四边形，则 ______．【答案】0
【分析】由向量的减法运算可知 ，代入并结合数量积的运算性
质即可得出结果．
【详解】
．
故答案为：0．
9．已知在三棱锥 中， ，则
___________.
【答案】
【分析】用 表示目标向量 ，结合空间向量的数量积运算即可求得结果.
【详解】
.
故答案为： .
10．已知向量 ，向量 与 的夹角都是 ，且 ，试求
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)11；(2)
【分析】（1）计算 ，展开计算得到答案.
（2） ，代入计算得到答案.【详解】（1）向量 ，向量 与 的夹角都是 ，且 ，
，
；
（2）
11．如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1) · ；
(2) · ；
(3) · .
【答案】(1)1；(2)2；(3)0
【分析】分别将 ， ， 转化为 ， ， 后根据数量积定义计算即可.
【详解】（1）在正四面体ABCD中，
（2）
（3）
在正四面体ABCD中， ，
故12．如图, 在直三棱柱 (即 平面 ), , , 求
【答案】1
【分析】直三棱柱中可得 ，根据 ，由勾股定理可知 ，由
向量的线性运算可得 ，从而有 转化为 化简即可求得答案.
【详解】∵ 平面 ， .
又 ，∴E为BC的中点， ．
又
.
13．如图，在平行六面体 中， ， ， ，
M，N分别为 ， 中点．(1)求 的长；
(2)证明： ．
【分析】（1）设 ， ， ，将 用 表示出来，根据向量的模长公式即可得到结果.
（2）将 ，分别用 表示出来，根据 ，即可证明 .
【详解】（1）设 ， ， ，则 ， ， ， ，
．
因为
，
所以
（2）证明：因为
，
所以 ．
14．如图，空间四边形 的各边及对角线长为 ， 是 的中点， 在 上，且 ，设， ， ，
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)求向量 与向量 所成角的余弦值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解；
（2）计算 的值即可得 ，再计算 的值，由空间向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以 .
（2）因为空间四边形 的各边及对角线长为 ，
所以四面体 是正四面体， ，且 ， ， 间的夹角为 ，
所以 ，
，
，所以 ，所以 ，
所以向量 与向量 所成角的余弦值为 .
【课时作业】
1．在空间四边形 中， 等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
【答案】B
【分析】令 ，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令 ，
则 ，
，
.
故选：B
2．已知 ， ， 均为空间单位向量，它们之间的夹角均为 ，那么 （ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答.
【详解】因为 ， ， 均为空间单位向量，它们之间的夹角均为 ， ，所以
.
故选：C
3．空间有一四面体A-BCD，满足 ， ，则所有正确的选项为（ ）
① ；
②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；
③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；
④若 且 ，则∠BDC是锐角
A．② B．①③ C．②④ D．②③④
【答案】C
【分析】由题意知 ， ， 可判断①；
若∠BAC是直角，则 ， 可判断②；设 ， ，由
余弦定理可判断③；若 且 ，则 ，可得 可判断④.
【详解】对于①，因为 ， ，所以 ， ，
则 ，故①不正确；
对于②，若∠BAC是直角，则 ，
所以∠BDC是锐角，故②正确；
对于③，若∠BAC是钝角，设 ， ，
在 中，由余弦定理可得： ，而 ，所以在 中， ，
所以∠BDC为锐角，所以③不正确；
对于④， ，
若 且 ，则 ，
因为 ，
，所以∠BDC是锐角，故④正确；
故选：C.
4．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算得出 ， ，根据正四面体的性质得出
，且 、 、 三向量两两夹角为 ，即可通过向量数量积的运算率得出答案.
【详解】
四面体ABCD是正四面体，
，且 、 、 三向量两两夹角为 ，
点E，F分别是BC，AD的中点，
， ，则 ，
故选：C.
5．如图，二面角 的平面角为 ， ， ， ， ， ， ，若
，则 长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据式子 ，根据空间向量数量积的运算律即可求出 的长．
【详解】因为 ， ，所以 ，
因为二面角的余弦值是 ，所以 ，即 ，
所以
，
所以 ，即 的长为 ．
故选:C．
6．已知直三棱柱 中， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的加减法则逆运算得 ，结合夹角与模长计算即可.【详解】在直三棱柱 中，侧棱与底面垂直，则
，
故选：A.
7．（多选）如图，已知四面体 的所有棱长都等于 ， 分别是 的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出 ⊥ ，得到
.
【详解】由题意得：四面体 为正四面体，
故 ，
故 ，A正确；
因为 分别是 的中点，
所以 ， ，且 ， ，
故 ，B错误；
，C正确；
取 的中点 ，连接 ，因为 均为等边三角形，
所以 ⊥ ，且 ⊥ ，
因为 ，且 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
故 ，D正确.
故选：ACD
8．（多选）已知四面体A－BCD的所有棱长均为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由异面直线和向量平行的定义判断A，由空间向量数量积的运算判断BC，由空间向量的线性运算
判断D．
【详解】由题意可得四面体A－BCD为正四面体，如图.
A：因为 平面ABC＝A， 平面ABC，且 ， 平面 ，由异面直线的定义可知，AF，
CE为异面直线，故A错误；
B：因为F分别为棱CD的中点，所以
，故B错误；
C：因为 ，所以 ，故C正确；
D：因为E，F分别为棱AB，CD的中点，所以 ，所以，故D正确.
故选：CD.
9．如图，在平行六面体 中， ，且 ， ，
则 的长为____________．
【答案】
【分析】 ，结合向量数量积运算，求模即可．
【详解】设 ， ， ，则 ， ，
由 ，
则 ， ，
又 ，
则 ．
所以线段 的长为 ．
故答案为： ．10．如图，正四面体 的长为1， ，则 ______．
【答案】
【分析】选 为基底，然后表示 ，利用向量的数量积的公式计算即可.
【详解】
．
故答案为：
11．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，且 ，
分别为 上的点，且 ，
__________.
【答案】
【分析】根据给定条件选定基底向量 ，并表示出 ，再利用向量运算即可得解.
【详解】在四棱锥 中，底面 为平行四边形，连接AC，如图， ， ，则
，
又 ， ， ，
则 ， ，
因此，
.
故答案为： .
12．平行六面体 ， ， ，若 ，则
______.
【答案】
【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有 ，应用向量数量积的运算律、定义列
方程即可求 .
【详解】
如上图知： ，所以 ，
故 .
故答案为：
13．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为 .
求 的长.
【答案】
【分析】由题可得 ，且 ，利用空间向量数量积的运算求
出 的值，即可得解.
【详解】由已知可得 ，且 ，
由空间向量数量积的定义可得 ，
所以， ，
因此， ，即 的长为 .
14．如图，已知平行六面体 中，底面 是边长为1的菱形， ，(1)求线段 的长；
(2)求证： ．
【分析】（1） ，结合向量数量积运算，求模即可.
（2） ，由向量数量积关于垂直的表示即可判断.
【详解】（1）设 ，则 ，
∵ ，则 .
∵ ，∴
.
故线段 的长为 .
（2）证明：∵ ，∴
.
故 .15．如图，在平行六面体 中， ，且 ，
(1)试用 表示向量 .
(2)若 ， ， ，求 的长.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由三角形法则以及数乘运算得出 ；
（2）计算 ，得出 的长.
【详解】（1）
（2）
即 ，∴ .
16．如图，在平行六面体 中， ， ， ， ， ，
， 与 相交于点 .(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 的长.
【答案】(1)4；(2) ；(3) .
【分析】（1）利用数量积的公式求数量积即可；
（2）利用余弦定理求出 ，即可得到 ；
（3）通过线性运算得到 ，然后利用数量积求模长即可.
【详解】（1） .
（2）因为 为平行六面体，所以四边形 为平行四边形， ∥ ， ，
在三角形 中， ， ， ，所以 ，所以
，
又 ∥ ，所以 .
（3）由题意知， ，则，
所以 .
