文档内容
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
【划重点】
1．了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．
2．掌握空间两点间距离公式.
3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．
【知识梳理】
知识点一 空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方
向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个
空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为
Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
知识点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位置由
向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk. 在单位正
交基底 {i，j，k}下与向量 OA 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作
A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
知识点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA＝a. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，
z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，
y，z)．
知识点四 空间向量的坐标运算
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，有
1 2 3 1 2 3
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b)
1 1 2 2 3 3
减法 a－b a－b＝(a－b，a－b，a－b)
1 1 2 2 3 3
数乘 λa λa＝(λa，λa，λa)，λ∈R
1 2 3
数量积 a·b a·b＝ab＋ab＋ab
1 1 2 2 3 3
知识点五 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则有
1 2 3 1 2 3当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R)；
1 1 2 2 3 3
a⊥b⇔a·b＝0⇔ab＋ab＋ab＝0；
1 1 2 2 3 3
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
知识点六 空间两点间的距离公式
设P(x，y，z)，P(x，y，z)是空间中任意两点，
1 1 1 1 2 2 2 2
则PP＝|P1P2|＝.
1 2
【例题详解】
一、求空间点的坐标
例1 (1)在长方体 中， ， ，建立适当的空间直角坐标系并确定点
的坐标．
【分析】以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标.
【详解】以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， .
(2)如图所示， ABC是一个正三角形， 平面ABC， ，且CE＝CA＝2BD=2，M为AE的中点.
△请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
【分析】由图形结构特征，以CB为y轴，CE为z轴，平面 内过C点垂直于BC的直线为x轴，建立
空间直角坐标系，由已知的边长及中点坐标公式求各个点的坐标．
【详解】 是一个正三角形， 平面ABC，以C为原点，平面 内过C点垂直于BC的直线为
x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz．
则有 , ．
跟踪训练1 (1)如图，四边形ABCD和ADPQ均为边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，
F分别为PQ，AB，BC的中点，建立适当的空间直角坐标系并求点A，E，M，F的坐标．
【答案】建系见解析， .
【分析】证明AB，AD，AQ两两垂直，建立空间直角坐标系，并求点A，E，M，F的坐标.
【详解】平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，所以 平面 ，又 为正方形，
所以AB，AD，AQ两两垂直．以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则 .
(2)在平行六面体 中，底面 是矩形， ， ，平行六面体高为 ，顶点
在底面 的射影 是 中点，设 的重心 ，建立适当空间直角坐标系并写出点
的坐标.
【答案】答案见解析
【分析】取 的中点E，连接OE，由题意可证OD，OE， 两两垂直，则以 为坐标原点， ，
， 方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标.
【详解】解：取 的中点E，连接OE，
在矩形 中， 是 中点，所以 ，则 ，
由题可知 平面 ，所以OD，OE， 两两垂直，
如图，以 为坐标原点， ， ， 方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，因为 ，且 ，所以 ，
则O，E，A，D四点共面， 平面xOz，
x轴， z轴， ，
， ， ， .
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
【详解】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以
对称点坐标为P(－2，－1，－4)．
1
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称
点坐标为P(－2,1，－4)．
2
(3)设对称点为P(x，y，z)，则点M为线段PP 的中点，
3 3
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P 的坐标为(6，－3，－12)．
3
跟踪训练2 (1)已知B与点 关于点 对称，则点B的坐标是______．
【答案】
【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.
【详解】设B ,则 ，所以 ，所以 的坐标为 ．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
(2)点 在平面 内的射影的坐标为_______．
【答案】
【分析】根据给定条件，直接写出坐标作答.
【详解】点 在平面 内的射影为点 ，则点 的竖坐标为0，点 与点P的横坐标相同，纵坐
标相同，
所以点 在平面 内的射影的坐标为 .
故答案为：
(3)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P ，点P 关于坐标平面yOz的对称点为P ，点P 关于
1 1 2 2
z轴的对称点为P，则点P 的坐标为________．
3 3
【答案】(2，－3,1)
【详解】点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P 的坐标为(2,3,1)，点P 关于坐标平面yOz的对称点P
1 1 2
的坐标为(－2,3,1)，点P 关于z轴的对称点P 的坐标是(2，－3,1)．
2 3
三、空间向量的坐标
例3 如图，在棱长为1的正方体 中，E， F分别是 的中点，点G在棱CD上，
且 ， H是 的中点．以D为坐标原点， 所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立
空间直角坐标系，求向量 和 的坐标．
【答案】 ，【分析】根据空间直角坐标系，求出 点的坐标，可求向量 和 的坐标．
【详解】由已知可得点 ， ， ， .
因为H是 的中点，所以H点坐标为 .
故 ， .
跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABCABC 的底面 ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA＝2，M，
1 1 1 1
△
N分别为AB，AA的中点，试建立恰当的坐标系求向量 ， ， 的坐标．
1 1 1
【答案】 ＝(1，－1，1)， ＝(1，－1，2)， ＝(－1，1，－2)．
【分析】以点C为原点，分别以CA，CB，CC 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-
1
xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.
【详解】由题意知CC ⊥AC，CC ⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC 的方向为x轴，y
1 1 1
轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示．
则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A(1，0，2)，N(1，0，1)，
1∴ ＝(1，－1，1)， ＝(1，－1，2)， ＝(－1，1，－2)．
四、空间向量的坐标运算
例4 (1)已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B
(2)设 是实数，已知三点 ， ， 在同一条直线上，那么 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】求出 ， .进而根据三点共线得出 ，即可列出方程组，
求解即可得出答案.
【详解】由已知可得 ， .
因为 三点共线，所以存在唯一实数 ，使得 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：D.
(3)已知空间直角坐标系中，点 ， ，若 ， ，则 __________.
【答案】 或
【分析】利用向量的坐标表示可得 ，再利用向量的共线和向量的模的应用求解即可.【详解】因为点 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 或 .
(4)已知 ， ，则线段 的中点坐标为________； ________．
【答案】
【分析】直接利用中点坐标公式可得线段AB的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得 的值.
【详解】设线段 的中点坐标为 ，
由中点坐标公式可得 ，
即线段 的中点坐标为 ，
所以 ．
故答案为： ，
【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用以及空间向量模的坐标表示，意在考查灵活应用所学知识解答
问题的能力，属于简单题.
(5)已知向量 ， ， ，且 ， .
(i)求向量 ， ， ；
(ii)求向量 与向量 所成角的余弦值.
【答案】(i)(ii)
【分析】(i)利用空间向量平行与垂直的坐标表示即可求解；
(ii)利用空间向量的线性运算与夹角余弦的坐标表示即可求解.
【详解】(i)因为 ， ，
所以 ，解得 ，故 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，故 ，
故 .
(ii)由(i)得， ，
，
所以 ，
故向量 与向量 所成角的余弦值为 .
跟踪训练4 (1)与向量 共线的单位向量可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出 ，从而得到与向量 共线的单位向量.
【详解】因为 ，所以与向量 共线的单位向量可以是 或.
故选：D
(2)已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为__________
【答案】
【分析】根据向量数量积的坐标运算求出 ，再利用夹角公式求夹角.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，解得 ；
，
因为 ，所以 .
故答案为： .
(3)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为 ， ，则点B的坐标是______________.
【答案】
【分析】设 ，根据空间向量的运算计算得到答案.
【详解】设 ，则 ，
则 ， ， ， ，故 .
故答案为：
(4)已知点 、 、 ， ， ．
(i)若 ，且 ，求 ；(ii)求 ；
(iii)若 与 垂直，求 ．
【答案】(i) 或 ；
(ii)
(iii) 或
【分析】(i)利用空间向量平行充要条件设出 ，再利用 列方程，进而求得 ；
(ii)先求得 ， ，再利用公式即可求得 的值；
(iii)利用空间向量垂直充要条件列出关于 的方程，解之即可求得 的值．
【详解】(i) 、 ， ， ，且 ，
设 ，且 ，
解得 ， 或 ；
(ii) 、 、 ， ， ，
， ，
；
(iii) ， ，
又 与 垂直，
，
解得 或 ．五、向量的坐标表示的应用
命题角度1 空间平行垂直问题
例5 (1)在正方体 中，如图E、F分别是 ，CD的中点，求证： 平面ADE；
【答案】证明见解析
【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，列出各点的坐标，再分别证明
＝0， ＝0，结合线面垂直的判定证明即可.
【详解】以D为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0）， （0，0，1），E（1，1， ），F（0， ，0），
则 ＝（0， ，－1）， ＝（1，0，0）， ＝（0，1， ），
则 ＝0， ＝0，， ，即 ， ，
又 ， 平面ADE．
故 平面ADE．
(2)已知在正四棱柱 中， , ，点E为 的中点，点F为 的中点．
(i)求证： 且 ；
(ii)求证： ．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明(i)和（2）.
【详解】在正四棱柱 中，可以建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ．
(i)由 ， ， ，
得 且 ，
所以 且 ．(ii) ，由于 ，显然 ，故 ．
跟踪训练5 (1)如图，在直棱柱 中， ， ， 分别是 ，
， 的中点．求证： ；
【答案】证明见解析
【分析】根据直棱柱的几何性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】因为三棱柱 是直三棱柱，
所以 面 ，又 面 ，故 ，
因为 ，所以 ，则 两两垂直，
故以 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
故 ，所以 ，
所以 ，故 .(2)如图，在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形， ， ， ，
， 是棱 的中点．求证：平面 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系 ，利用向量法分别证明 ， ，即 ， ，
再利用面面平行的判定定理即可得证.
【详解】因为 ， 是棱 的中点，
所以 ，所以 为正三角形.
因为 为等腰梯形， ，
所以 .
取 的中点 ，连接 ，
则 ，所以 .以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
又 不重合， 不重合，
所以 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面
命题角度2 夹角、距离问题
例6 如图，长为1的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点， 在棱 上，且
， 为 的中点.
（1）求证： ；（2）求 的长.
（3）求 与 所成角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，证明 即可；
（2）求出 的坐标，由模长公式求模长即可求解；
（3）求出 和 的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 即 .
（2） ，
所以 ，
所以 的长为 .
（3）由（1）知 ， ，
，， ，
设 与 所成角 ，则
，
故 与 所成角的余弦值为 .
跟踪训练6 如图，已知直三棱柱ABC－ABC ，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA＝
1 1 1 1
2，M，N分别是AB，AA的中点．
1 1 1
（1）求 的模；
（2）求cos〈 ， 〉的值；
（3）求证：AB⊥C M.
1 1
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析.【分析】（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间
1
直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；
（2）利用坐标运算计算cos〈 ， 〉的值；
（3）通过计算 · ＝0可得答案.
【详解】（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间
1
直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴ ＝ ＝ .
（2）由题意得A(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B(0，1，2)，
1 1
∴ ＝(1，－1，2)， ＝(0，1，2)，
· ＝3，| |＝ ，| |＝ ，
∴cos〈 ， 〉＝ ＝ .
（3）由题意得C (0，0，2)，M ， ＝(－1，1，－2)， ＝ ，
1
∴ · ＝－ ＋ ＋0＝0，
∴ ⊥ ，即AB⊥C M.
1 1【课堂巩固】
1．在空间直角坐标系 中，点 关于 平面的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】点关于 平面的对称点的坐标横纵坐标不变，竖坐标变为相反数.
【详解】点 关于 平面的对称点坐标为 .
故选：C.
2．在空间直角坐标系中， ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
【答案】A
【分析】利用空间向量垂直的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为 ，又 ，所以 ，解得 ，
故选：A.
3．如图所示，已知正方体 ， ， 分别是正方形 和 的中心，则 和
所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为 ，则 ， ， ， ，所以 ， ，
设 和 所成的角为 ，则 ，
因为 ，所以 .
故选：B
4．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， 为 的中点，
为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，表示出 ， ，然后求出
的值，即可得出答案.【详解】
如图，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以，异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：B.
5．已知 ， ，则线段 中点的坐标为________．
【答案】
【分析】利用中点坐标公式求解.
【详解】设中点坐标为 ，
则 ， ， ，
∴中点坐标为 ．
故答案为：
6．已知点 是点 关于坐标平面yoz内的对称点，则 __________
【答案】3
【分析】求出点 坐标即得解.
【详解】因为点 是点 关于坐标平面yoz内的对称点，所以点 坐标为 ,
所以 ，所以 .
故答案为：3
7．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，点 在棱 上，且 ， 底面 ，
， ．建立适当的空间直角坐标系并求点 的坐标．
【答案】答案见解析
【分析】设 ，过 作 ，利用 可证得 ，并求得所
需的线段长度，以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标.
【详解】设 ，过 作 ，交 于点 ，
平面 ， ， 平面 ；
， ，
又 ， ，
，即 ，
则以 为坐标原点， 正方向为 轴可建立如图所示空间直角坐标系，， ，
又 ， ， ， ，
， ， .
8．如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为 ，底面ABCD为直角梯形，
请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
【答案】答案见解析
【分析】根据空间直角坐标系的概念以及坐标表示求解.
【详解】因为PA⊥平面ABCD， 平面ABCD，
所以PA⊥ PA⊥ 且 ,
所以分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
因为PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为 ，所以 ，所以 ,
则 .
9．如图，在空间直角坐标系 中有一长方体 ，且 ， ，
(1)写出点 的坐标，并将 用标准正交基 表示；
(2)求 的坐标．
【答案】(1)点 的坐标为 ， ．
(2)
【分析】（1）直接利用空间向量的坐标表示即可得到 点坐标，由向量加法的坐标表示即可将 用标
准正交基 表示；
（2）直接利用空间向量的坐标表示即可得到 坐标.【详解】（1）因为 ， ， ，
所以点 的坐标为 ，从而 ．
（2）同理因为 ， ， ，易得点 的坐标为 ，所以 ．
10．已知 ， ．
(1)求 ；
(2)当 时，求实数k的值．
【答案】(1)2；(2)
【分析】（1）根据空间向量的运算，先求出 ， ，然后计算数量积；
（2）根据空间向量的运算，先求出 ， ，根据垂直关系可知它们数量积为 ，据此计算.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ，
所以
（2）因为 ， ，
所以 ，由（1） ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得
11．已知棱长为1的正方体 在空间直角坐标系中的位置如图所示， 分别为棱
的中点，求证： .【答案】证明见解析
【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明 ，可得 .
【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱 的中点，
所以有 ， ， ， ，
所以 ， ，则有 ，所以 .
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，且 ， ， ，
，点M为棱PC的中点，
证明： .
【答案】证明见解析
【分析】如图以A为原点，分别以 ， 为x轴，y轴的正方向，过点A作 ∥ ，则 ⊥平面 ，
以 为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可.
【详解】因为PD⊥底面 ， 平面 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
如图，以A为原点，分别以 ， 为x轴，y轴的正方向，过点A作 ∥ ，则 ⊥平面 ，以
为 轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，4，2 ），
因为点M为棱PC的中点，所以M（1，3， ）．
所以 ，
所以 ．
所以 ，即 ．
13．如图，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DD，BD的中点，G在棱CD上，且
1 1 1 1 1
，H为C G的中点．求| |.
1【答案】
【分析】利用空间向量法求向量的模长得到结果.
【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有 ， ， ， ， ， ， ，
，
.
14．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 ， 的
中点．
(1)求 的距离；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；(2) .【分析】（1）以点C作为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，利用向
量的模长公式计算即可；
（2）利用向量夹角运算公式计算 的值；
【详解】（1）如图，以 为原点，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系 ，依题意
得 ， ， ， ．
，∴
∴ ．
所以 的距离为 .
（2）依题意得 ， ， ， ，
∴ ， ，
， ， ，
∴ ．【课时作业】
1．在空间直角坐标系中，已知点 ，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据空间点关于 轴对称的结论即可得到答案.
【详解】根据空间点关于 轴对称，则 轴上坐标不变， 轴上坐标取相反数，
故点P关于x轴的对称点的坐标是 .
故选：C.
2．向量 ，若 ，则实数 （ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算公式建立方程求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
， ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
故选：D.
3．若 ， ，则 等于（ ）
A．5 B．－5 C．7 D．－1
【答案】B【分析】直接利用向量的关系式求出 ， 的坐标，再根据向量数量积运算公式求解即可.
【详解】因为 ， ，两式相加得 ，
解得 ；两式相减得 ，解得 ，
所以 ，
故选：B
4．如图，将 的菱形ABCD沿对角线BD折起，使得平面 平面CBD，则异面直线AB与CD
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线线角即可.
【详解】
如图，取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
令 ， ， ， ， ，
则 ， ，
，， 所成角的余弦值为 .
故选： .
5．如图，已知圆柱 的轴截面 是边长为2的正方形， 为下底面圆周上一点，满足 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆的对称性作出异面直线 与 所成的角或其补角，通过解三角形求得结果，也可建立
空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求得结果．
【详解】法一： 如图，连接 并延长，交底面圆于 ，连接 ， ，易知 且 ，
所以 为异面直线 与 所成的角或其补角．
因为 ，则 ，所以 为正三角形，故 ．
由圆柱的性质知 ，所以在等腰三角形 中， .
法二 ： 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
6．（多选）已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．记 与 的夹角为 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】根据空间向量线性坐标运算、数量积的坐标运算以及垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
选项A： ，正确；选项B： ，正确；
选项C： ，错误；
选项D：因为 ， ，
所以 ，由 得 ，
所以 ，
所以 ，正确；
故选：ABD
7．在空间直角坐标 中，已知点 ，则 _______________________.
【答案】
【分析】根据空间中两点间距离公式即可求解.
【详解】因为点 ，
所以 ，
故答案为： .
8．已知点 ，则点 关于原点的对称的点 的坐标为______.
【答案】
【分析】根据点 关于原点对称的点的坐标为 ，即可写出点 的坐标.
【详解】点 关于原点对称的点 的坐标为 .
故答案为：
【点睛】本题考查空间点的坐标的特征，属于基础题.9．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点 的坐标为________.
【答案】
【分析】利用关于 平面对称的点的特征求出答案即可.
【详解】点关于 平面对称的点的坐标满足 坐标不变， 坐标变成相反数，
即点 关于 平面的对称点 的坐标为 .
故答案为： .
10．已知点 与点 ，则 的中点坐标为__________．
【答案】
【分析】直接利用空间中点坐标公式即可得解.
【详解】根据题意，得 中点为 ．
故答案为： .
11．在空间直角坐标系中，过 作 平面的垂线， 为垂足，则点 坐标为__．
【答案】
【分析】空间中点在 平面的投影坐标取 即可.
【详解】在空间直角坐标系中，点 ，
过 作 平面的垂线， 为垂足，则 ．
故答案为：
12．如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
为 的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．【答案】答案见解析
【分析】连接 交 于 ，由等腰三角形三线合一可知 ，以 为坐标原点可建立空间直角坐
标系，根据长度关系和中点坐标公式可求得各点坐标.
【详解】如图，连接 交 于 ，
， 为等腰三角形，又 平分 ， ；
以 为坐标原点， 正方向为 轴，作 轴 ，可建立如图所示空间直角坐标系，
， ， ，
又 ，
则 ， ， ， ， ， ， .
13．如图，已知直四棱柱 中， ，底面 是直角梯形， 为直角，AB∥CD，
， ， ，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．【答案】答案见解析
【分析】根据空间直角坐标系的概念求解.
【详解】如图，以 为坐标原点，
分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， ， ， ．
14．已知长方体 中, ，点N是AB的中点，点M是 的中点．建
立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点 的坐标；
（2）求线段 的长度；
（3）判断直线 与直线 是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）不垂直，理由见解析.
【分析】（1）根据长方体的长，宽，高，结合中点坐标公式，即可得出点 的坐标；
（2）根据空间中两点的距离公式求解即可；（3）由空间中向量的数量积公式，证明即可.
【详解】（1）由于 为坐标原点，所以
由 得：
点N是AB的中点，点M是 的中点， ；
（2）由两点距离公式得： ，
；
（3）直线 与直线 不垂直
理由：由（1）中各点坐标得：
与 不垂直，所以直线 与直线 不垂直
【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标表示，求空间中两点间的距离，数量积的应用，属于中档题.
15．如图 垂直于正方形 所在的平面， 分别是 的中点，并且 ．试建立适当
的空间直角坐标系，求向量 的坐标．
【答案】
【分析】由题意易知 是两两垂直，建立空间直角坐标系 ，如图，结合空间向量的加法法
则和数乘运算即可.
【详解】解:因为 ， 平面 ， ，所以 是两两垂直的单位向量．设 ，以 为单位正交基底建立空间直角坐标系 ，
连接 ．如图所示，
因为
所以 ．
16．已知向量 ， ， ，且 ．
(1)求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值．
【答案】(1) ， ；(2) .
【分析】（1）由已知 ，使得 .解方程组 ，即可得出答案；
（2）求出 ， ，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求解即可得
出 的值．
【详解】（1）因为 ，所以 ，使得 ，
所以有 ，解得 ，所以 ， .（2）由（1）知， ，所以 ， .
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
17．如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，AA=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC ，BC
1 1
的中点，点P在直线AB 上．证明：PN⊥AM；
1 1
【答案】证明见解析
【分析】以 分别作为 轴正方向建立空间直角坐标系 ，再得出
，设 ，证明 即可.
【详解】由题意 两两垂直．
所以以 分别作为 轴正方向建立空间直角坐标系 ，如图，则 ．
∵M是 的中点，N是 的中点，∴ ，
设 ，∴ ，则 ，
则 ，所以 ．
18．如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 为正方形， ， ， 分别是
， 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与直线 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线线角余弦值.【详解】（1）如图，设M为PC的中点，连接FM，MD．
因为F，M分别为PB，PC的中点，所以 ．
在正方形ABCD中， ，所以 ．
所以四边形DEFM为平行四边形， ．
因为 平面PCD， 平面PCD，所以 平面PCD．
（2）以D为原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不
妨设 ，则 ，
．
设直线 与直线 所成角为 ，
则 ，
故直线 与直线 所成角的余弦值为 ．
19．如图，在空间直角坐标系 中，正方体 的棱长为1，顶点 位于坐标原点，若
是棱 的中点， 是侧面 的中心.(1)求点 ， 的坐标及 ；
(2)求向量 在 方向上的投影数量.
【答案】(1) ， ， ；(2) .
【分析】（1）根据已知条件写出 ， 的坐标，可得 ，利用向量模长的坐标表示求 .
（2）由题设可得 ，应用空间向量夹角的坐标表示求 ，根据向量投影的定义求
在 方向上的投影数量.
【详解】(1)因为正方体 的棱长为1， 位于坐标原点， 是棱 的中点， 是侧面
的中心，
所以 ， ，则 ，故 .
(2)由题设， ， ，则 ，
所以 ，
所以向量 在 方向上的投影数量 .
20．如图，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DD，BD的中点，G在棱CD上，且
1 1 1 1 1．求 ．
【答案】
【分析】利用空间向量法求两个向量所成角的余弦值.
【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有 ， ， ， ， ， ， ，
，
所以 ， ， .
所以 .
