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第 18 讲 圆与圆的位置关系 4 种常见考法归类
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点1 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r，r，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r，r 的 |r－r|＜d＜
1 2 1 2
d＞r＋r d＝r＋r d＝|r－r| d＜|r－r|
1 2 1 2 1 2 1 2
关系 r＋r
1 2
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)，
1 1 1 1 1
C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)，
2 2 2 2 2
联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别
式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，
两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
知识点2 圆与圆位置关系的应用
设圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
1 1 1 1圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，②
2 2 2 2
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D－D)x＋(E－E)y＋F－F＝0.③
1 2 1 2 1 2
方程③表示圆C 与C 的公共弦所在直线的方程．
1 2
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是
两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距 d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定
理求解．
知识点3 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含
有2条外公切线和2条 有 2 条外公切线和 1 只有2条外公切线 只有 1 条外公切 无公切线
内公切线，共4条 条内公切线，共 3 线
条；
C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 C 2
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离 求解
知识点4 圆系方程
(1) 以 为圆心的同心圆圆系方程： ；
(2) 与圆 同心圆的圆系方程为 ；
(3) 过直线 与圆 交点的圆系方程为
(4) 过两圆 ，圆 ： 交点的圆系方程为
（ ，此时圆系不含圆 ：
）特别地，当 时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.1、判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位
置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
2、圆系方程
一般地过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0与圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0交点的圆的方程可设为：
1 1 1 1 2 2 2 2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
1 1 1 2 2 2
3、两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0与圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0相交，则两圆公共弦所在直线的
1 1 1 1 2 2 2 2
方程为(D－D)x＋(E－E)y＋F－F＝0.
1 2 1 2 1 2
4、公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾
股定理求解．
5、求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程
考点一：圆与圆位置关系的判断
（一）判断圆与圆的位置关系
例1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）圆 与圆 的位置
关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
于是 ，
所以两圆相交.
故选：B
变式1．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O： 与圆C: 的位置关
系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【答案】C
【分析】利用两圆外切的定义判断即可.
【详解】圆 是以 为圆心，半径 的圆，
圆 : 改写成标准方程为 ，则圆 是以 为圆心，半径 的圆，
则 ， =3，所以两圆外切，
故选： .
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 的圆心在直线 上，点 与 都在圆 上，
圆 ，则 与 的位置关系是___________.
【答案】相交
【分析】利用待定系数法求得圆 的标准方程，求出圆心距 ，与两圆的半径和、差比较即可得出结
论.
【详解】设圆 的标准方程为 ，
因为圆心 在直线 上，且该圆经过 与 两点，列方程组 ，解得 ，
即圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ，
又圆 ，圆心 ，半径 ，
∴ ，又 ， ，而 ，
∴ 与 的位置关系是相交.
故答案为：相交.
变式3．【多选】（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知圆 ，则（ ）
A．点 在圆C内 B．直线 与圆C相切
C．圆 与圆C相切 D．圆 与圆C相切
【答案】BCD
【分析】根据点和圆的位置关系判断A选项，根据圆心与直线距离判断B选项，根据圆心间距离和半径和
差比较判断圆圆位置关系判断C,D选项.
【详解】点 代入圆 可得 ,点 在圆C外，A选项错
误；
圆 ,圆 ,直线 ,圆心到直线距离 ,B选项正
确；
圆 ,圆心 , ,圆 与圆C相外切,C选项正确;
圆 ,圆心 , ,圆 与圆C相内切,D选项正
确.
故选:BCD.变式4．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中， ，
，动点 满足 ，则使 为等腰三角形的点 个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设 ，根据 可得动点 的轨迹方程为圆 ，再结合 为
等腰三角形分析即可求解.
【详解】设 ，由 ，
得 ，
整理得 ，记为圆
又 ， 为等腰三角形，
则有 或 .
因为圆 与圆 相交，故满足 点 有2个；
因为圆 与圆 相交，故满足 点 有2个，
故使 为等腰三角形的点 共有4个.
故选：D.
变式5．【多选】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M： ，圆N：
，直线l： ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆N的圆心为
B．圆M与圆N相交
C．当圆M与直线l相切时，则
D．当 时，圆M与直线l相交所得的弦长为【答案】BD
【分析】写出圆 的标准方程确定圆心坐标和半径，判断 与两圆半径的关系判断A、B；再由点
线距离及相交弦长公式判断C、D.
【详解】由题设， ，则 且半径 ，
，则 且半径 ，A错；
所以 ，即两圆相交，B对；
到直线l的距离 ，若圆M与直线l相切，则 ，
所以 或 ，C错；
当 时 ，即圆M与直线l相交，相交弦长为 ，D对.
故选：BD
变式6．（2022·全国·高二专题练习）已知点 在圆 ： 上，点 ， ，满足
的点 的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】设 ，轨迹 可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.
【详解】设点 ，则 ，
且 ，由 ，得
，
即 ，
故点P的轨迹为一个圆心为 、半径为 的圆，
则两圆的圆心距为 ，半径和为 ，半径差为 ，有 ，所以两圆相交，满足这样的点P有2个.
故选：B.
（二）由圆的位置关系求参数
例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆 与圆 外
切，则实数 （ ）
A．－1 B．1 C．1或4 D．4
【答案】D
【分析】由两圆的位置关系计算即可.
【详解】由条件化简得 ，即两圆圆心为 ，
设其半径分别为 ， ，所以有 .
故选：D
变式1．（2023秋·高二课时练习）若两圆 和圆 相交，则a的取值范围是
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】圆 与圆 相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之
和，解不等式．
【详解】 圆 与圆 相交，
两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，
即 ，所以 .
解得 或 .
故选：B
变式2．（2023秋·高二课时练习）当 为何值时，两圆 和.
(1)外切；
(2)相交；
(3)外离.
【答案】(1) 或
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距 ，由
列式，即可求解.
（2）由 列不等式组，即可求出 的范围.
（3）由 列不等式，即可求出 的范围.
【详解】（1）设圆 ，半径为 ，得 ，
圆心 ， .
，半径为 ，得 ，圆心 ， .
圆心距 ，
因为两圆 外切，则 ，所以 ，
解得 或 .
（2）因为两圆 相交，则 ，
即 ，所以 ，解得 或 .
（3）因为两圆 外离，则 ，即 ，
所以 ，解得 或 .变式3．（2022秋·高二课时练习）若圆 与圆 有公共点，则 满足的条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两圆之间的位置关系，由圆心距和半径之间的关系即可求解.
【详解】由 得 ，
两圆圆心之间的距离为 ＝ .
∵两圆有公共点，∴ ，
∴ ，
即 ，∴ ，
故选：C.
变式4．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆 ： 与圆 ：
有公共点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 ，再解不等式即可.
【详解】由题知： ， ， ， ，
.
因为 和 有公共点，所以 ，解得 .
故选：C
变式5．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知圆 ， ，
，若以线段 为直径的圆与圆 有公共点，则 的值可能为______.（写出一个即可）
【答案】1（2,3均可）答案不唯一
【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】由题意得，圆 与圆 有公共点，
∴ ，∴ ，且 ，
解得 ；故 ，2，3均可.
故答案为：1（2,3均可）
变式6．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆 和两点
，若圆C上存在点P，使得 ，则a的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】根据条件，将问题转化成圆 与圆C有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结
果.
【详解】由 ，得点P在圆 上，故点P在圆 上，又点P在圆C上，所以，
两圆有交点，
因为圆 的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为 ，半径为1，
所以 ，又 ，所以 ，
解得 ，所以a的最小值为4.故选：C.
变式7．（2023秋·高一单元测试）已知圆 与圆 内切，则
的最小值为_______
【答案】2
【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
两圆的圆心距 ，
两圆内切， ，可得 ，
所以 ．当且仅当 时，取得最小值， 的最小值为2．
故答案为：2．
变式8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆C的方程为 ，若直线 上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，则k的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据题意，由圆C的圆心到直线 的距离不大于两半径之和求解.
【详解】解：因为直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，
所以圆C的圆心到直线 的距离不大于两半径之和，
即 ，化简得 ，
解得 ，
故答案为：
考点二：与圆相交有关的问题（一）求两圆的交点坐标
例3．（2022·高二课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案.
【详解】由 ,可得 ，即 ，
代入 ，解得 或 ，
故得 或 ,
所以两圆的交点坐标为 和 ,
故选:C
变式1．（2022·高二课时练习）求圆 与圆 的交点的坐标．
【答案】 、
【分析】联立两圆方程可得 ，将其代入其中一个圆的方程中求出点坐标.
【详解】由题设， ，相减可得 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ；
所以交点坐标为 、 .
变式2．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆 ： 和圆 ：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______.
【答案】
【分析】由两圆的方程得两圆心坐标，两圆心所在直线的方程即为所求直线方程，
【详解】圆 方程为 ，圆 方程为 ，
则圆心分别为 ， ，两圆相交于 两点，则线段AB的垂直平分线即为直线 ，
，则直线 的方程为 ，即 ，
故答案为：
变式3．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）已知圆 与圆 交于A，
B两点，则四边形 的面积为（ ）
A．12 B．6 C．24 D．
【答案】A
【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由 和 可知 ，则四边形 的面
积 ，计算即可.
【详解】圆 ，圆心坐标为 ，半径 ，
圆 化成标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径 ，
圆 与圆 都过点 ，则 ，如图所示，又 ，∴ ，由对称性可知， ，
， ，则四边形 的面积 .
故选：A
（二）圆系方程的应用
例4．（2023·全国·高三专题练习）经过点 以及圆 与 交
点的圆的方程为______．
【答案】
【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案.
【详解】联立 ，整理得 ，
代入 ，得 ，解得 或 ，
则圆 与 交点坐标为 ，
设经过点 以及 的圆的方程为 ,
则 ，解得 ，
故经过点 以及圆 与 交点的圆的方程为 ，
故答案为：变式1．（2022秋·高二单元测试）求过两圆 和圆 的交点，且
圆心在直线 上的圆的方程.
【答案】
【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线 的方程，
从而求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为 ，
则 ，
即 ，所以圆心坐标为 ，
把圆心坐标 代入 得 ，解得 ，
所以所求圆的方程为 ．
（三）求两圆公共弦方程
例5．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆 与圆
的公共弦所在直线方程为___________.
【答案】
【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，则两圆相交，
故将两圆方程相减可得： ，即 ，
即圆 与圆 的公共弦所在直线方程为 ，
故答案为：变式1．（2022秋·高二课时练习）已知圆 与圆 ，求
两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.
【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.
故选：D.
变式2．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆 ： 过圆 ：
的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
【答案】
【分析】求出 ，得到圆 ，两圆相减得到相交弦方程.
【详解】圆 ： 的圆心坐标为 ，
因为圆 过圆 的圆心，所以 ，
所以 ，所以 ： ，
两圆的方程相减可得相交弦方程为 .
故答案为： .
变式3．（2022秋·高二课时练习）已知过圆 外一点 做圆的两条切线，切点为 两点，
求 所在的直线方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据切线的特征可知 所在的直线为圆 和以 的中点 为圆心,以 为直径
的圆的公共弦所在的直线方程，
【详解】根据题意得 所在的直线为圆 和以 的中点 为圆心,以 为直径的圆的公
共弦所在的直线方程，
因为 ，所以圆 ，
两圆相减得 所在的直线方程为 .
故选：A.
（四）求两圆公共弦长
例6．（2022·高二课时练习）已知圆 ，圆 .
(1)求圆 与圆 的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心 到公共弦的距离，再利用弦心距，
半径和弦的关系可求得答案，
（2）解法一：设过两圆的交点的圆为 ，求出圆心坐标代入
中可求出 ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为 ，然后列方程组可求出 ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.
【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即 ，化简得 ，
所以圆 的圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，解得 ，
所以公共弦长为 .
（2）解法一：
设过两圆的交点的圆为 ，
则 ；
由圆心 在直线 上，则 ，解得 ，
所求圆的方程为 ，即 .
解法二：
由（1）得 ，代入圆 ，
化简可得 ，解得 ；
当 时， ；当 时， ；
设所求圆的圆心坐标为 ，
则 ，解得 ；所以 ；
所以过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程为
变式1．（2023·河南·统考二模）若圆 与圆 的公共弦AB的长为1，则
直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将两圆方程相减得到直线 的方程为 ，然后再根据公共弦 的长为 即可
求解.
【详解】将两圆方程相减可得直线 的方程为 ，
即 ，
因为圆 的圆心为 ，半径为 ，且公共弦 的长为 ，
则 到直线 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，
故选：D.
变式2．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为 ，且与直线
相切．
(1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆 的公共弦的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求得圆的半径，即可求得答案；
（2）将两圆方程相减，求出两圆的公共弦方程，根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答
案.
【详解】（1）由题意得圆C的半径为 ，
故圆C的方程为 ；
（2）圆 和 的圆心距为 ，
而 ，即两圆相交，
将 和 相减得 ，
圆 的圆心到 的距离为 ，
故两圆的公共弦长为 .
变式3．（2021秋·高二课时练习）若圆O：x2＋y2＝5与圆O：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，
1
且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为________；线段AB的长为________．
【答案】 x＝±1 4
【分析】连接OO ，记AB与OO 的交点为C，利用勾股定理和等面积法，求出 ，进而求出 ，根
1 1
据 ，求出 ，进而联立求出直线 的方程.【详解】连接OO ，记AB与OO 的交点为C，如图所示，在Rt△OO A中，|OA|＝ ，|OA|＝ ，
1 1 1 1
∴|OO |＝5，∴|AC|＝ ＝2，∴|AB|＝4．
1
由|OO |＝5，得 ，所以，联立可得
1
，解得
直线AB的方程为x＝±1．
故答案为：① ；②4.
变式4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆 与圆
相交所得的公共弦长为 ，则圆 的半径 （ ）
A． B． C． 或1 D．
【答案】D
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆 圆心与半径表达式可得答案.
【详解】 与 两式相减得 ，
即公共弦所在直线方程.
圆 方程可化为 ，可得圆心 ， 半径 .则圆心 到
的距离为 ，
半弦长为 ，则有 ，解得 或 （舍），此时
故选： .
变式5．（2021秋·高二课时练习）圆 与圆
的公共弦长的最大值是（ ）A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线 上，再利用几何关系即可求出
结果.
【详解】由 ，得 ，圆心 ，半径 ；
由 ，得 ，圆心 ，半径 ，
所以两圆圆心均在直线 上，半径分别为1和 ，
如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆
的直径，即最大值为2.
故选：D.
考点三：两圆的公切线问题
（一）圆的公切线条数
例7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆 与圆
的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为5；圆 的圆心坐标为 ，半径为3，
所以两圆的圆心距为 ，
因为 ，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条.
故选：B.
变式1．【多选】（2023秋·高一单元测试）已知圆 与圆 ，下列说
法正确的是（ ）
A． 与 的公切线恰有4条
B． 与 相交弦的方程为
C． 与 相交弦的弦长为
D．若 分别是圆 上的动点，则
【答案】BD
【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交
弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断
即可.
【详解】由已知得圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
，
故两圆相交，所以 与 的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得 与 相交弦的方程为
到相交弦的距离为 ，故相交弦的弦长为 ，故C错误；若 分别是圆 上的动点，则 ，故D正确.
故选：BD
变式2．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知直线 是圆 的切线，并且点 到直线
的距离是2，这样的直线 有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】由已知可推得，直线 是圆 与圆 的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即
可得出答案.
【详解】由已知可得，圆心 ，半径 .
由点 到直线 的距离是2，所以直线 是以 为圆心， 为半径的圆的切线，
又直线 是圆 的切线，
所以，直线 是圆 与圆 的公切线.
因为 ，
所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线 有4条.
故选：D.
变式3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆 和
有且仅有一条公切线，则 ______；此公切线的方程为______
【答案】 1
【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求 ，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得
出斜率即可求解.
【详解】如图，由题意得 与 相内切，又 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ．
联立 ，解得
所以切点的坐标为 ，
故所求公切线的方程为 ，即 ．
故答案为：1；
变式4．（2022秋·高二课时练习）已知两圆 ， ，当圆 与圆
有且仅有两条公切线时，则 的取值范围________.
【答案】
【分析】根据两圆相交即可利用圆心距与半径的关系求解.【详解】若圆C 与圆C 有且仅有两条公切线时，则两圆相交，
1 2
圆心C ，半径R＝2，圆C ，半径r，
1 2
则 ，
若两圆相交，则满足 ，即 ,
得 ，
故答案为：
变式5．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆 和
恰有三条公切线，若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到 ，变换得到
，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】 ，即 ，圆心 ， ；
，即 ，圆心 ，半径 ；
两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故 ，
即 ，
.
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.故选：A
（二）圆的公切线方程
例8．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆 和圆
都相切的一条直线的方程___________.
【答案】 （答案不唯一， 或 均可以）
【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为 ，半径为4，
圆心距为 ，所以两圆外切，
如图，有三条切线 ，易得切线 的方程为 ；
因为 ，且 ，所以 ，设 ，即 ，则 到 的距离
，解得 （舍去）或 ，所以 ；
可知 和 关于 对称，联立 ，解得 在 上，
在 上取点 ，设其关于 的对称点为 ，则 ，解得 ，则 ，
所以直线 ，即 ，
综上，切线方程为 或 或 .
故答案为： （答案不唯一， 或 均可以）
变式1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知圆 与圆 ，写出圆C
和圆E的一条公切线的方程______.
【答案】 或 或 .
【分析】设切线方程为 ，根据圆心到直线的距离均为1求解方程.
【详解】设圆的公切线为 ， ， 或
代入求解得： 或
所以切线为： 或 或
故答案为： 或 或 .
变式2．（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆 和 都相切的一条直线方程
____________．
【答案】 或 中任何一个答案均可
【分析】先判断两圆的位置关系，可知公切线斜率存在，方程可设为 ，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在 轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为 ，即 ，
则有 ，
解得 或 或 或
所以公切线方程为 或 .
故答案为： .（答案不唯一，写其它三条均可）
变式3．【多选】（2022秋·高二单元测试）已知圆 ，圆 ，
则下列是圆 与圆 的公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由
点到直线距离公式即可求得切线方程.【详解】根据题意可知，两圆心 关于原点对称，
在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：
显然，圆心距 ，即两圆外离，共有4条切线；
又两圆心到 轴的距离都等于其半径，所以 轴是其中一条公切线，即A正确；
利用对称性可知，其中一条切线 过原点，设其方程为 ，
又 到切线 的距离为1，即 ，解得 或 ；
当 时，切线即为 轴，当 时，切线方程为 ，即 ，B正确；
由对称性可知，切线 与直线 平行，
易知 ，所以直线 的方程为 ，
可设 的方程分别为 ，
由两平行线间距离公式可得 ，解得 ，
即切线 的方程分别为 ， ；
整理可得两切线方程为 和 ，故C正确，D错误；
故选：ABC
（二）圆的公切线长例9．【多选】（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）已知圆 ，圆
，则（ ）
A．圆 与圆 相切
B．圆 与圆 公切线的长度为
C．圆 与圆 公共弦所在直线的方程为
D．圆 与圆 公共部分的面积为
【答案】BCD
【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，B，两圆方程作差即可得到公共弦方程，
从而判断C，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D.
【详解】解：因为圆 ，圆 ，
所以圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
所以 ，故圆 与圆 相交，即A错误；
因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为 ，故B正确
将两圆方程作差得 ，
所以两圆公共弦所在直线 的方程为 ，故C正确；
因为 的圆心为 ，半径 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以公共弦长为 ，
又圆心 到直线 的距离为 ，所以圆 与圆 公共部分的面积为 ，故D正确.
故选：BCD
变式1．【多选】（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）圆
与圆 相交于 ， 两点，则（ ）
A． 的直线方程为 B．公共弦 的长为
C．圆 与圆 的公切线长为 D．线段 的中垂线方程为
【答案】ACD
【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线 的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦
的长，对于C，求出 ，再由 可求得结果，对于D，线段 的中垂线就是直线
，求出直线 的方程即可.
【详解】由 ，得 ，则 ，半径 ，
由 ，得 ，则 ，半径 ，
对于A，公共弦 所在的直线方程为 ，
即 ，所以A正确，
对于B， 到直线 的距离 ，
所以公共弦 的长为 ，所以B错误，
对于C，因为 ， ， ，
所以圆 与圆 的公切线长为 ，所以C正确，对于D，根据题意可知线段 的中垂线就是直线 ，因为 ，
所以直线 为 ，即 ，所以D正确，
故选：ACD
变式2．【多选】（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知 与
相交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）．
A．直线AB的方程为
B．过A，B两点，且过点 的圆的方程为
C． 与 的公切线的长度为
D．以线段AB为直径的圆的方程为
【答案】AD
【分析】由圆与圆的位置关系，直线方程，圆的方程对选项逐一判断，
【详解】由 解得 或 ，
即 ， ，
对于A，直线AB的方程为 ，故A正确，
对于B，设过A，B两点，且过点 的圆的方程 ，
得 ，解得 ，
圆的方程为 ，故B错误，
对于C， 的圆心为 ，半径为 ， 的圆心为 ，半径为2，两圆半径相等，则 与 的公切线的长度为 ，故C错误，
对于D， 中点为 ， ，则以线段AB为直径的圆的方程为 ，
故选：AD
变式3．（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为 ，圆 的方程为
.
(1)判断圆A与圆 是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
【答案】(1)两圆相交， ， ；
(2) .
【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求
出弦长；
（2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解.
【详解】（1）圆A： ，圆 ： ，
两圆心距 ，
∵ ，
∴两圆相交，
将两圆方程左、右两边分别对应相减得： ，
此即为过两圆交点的直线方程.
设两交点分别为 、 ，则 垂直平分线段 ，
∵A到 的距离 ，
∴ .（2）设公切线 切圆A、圆 的切点分别为 ， ，则四边形 是直角梯形.
∴ ，
∴ .
考点四：圆与圆的最值问题
例10．【多选】（2023秋·高一单元测试）点 在圆 ： 上，点 在圆 ：
上，则（ ）
A． 的最小值为
B． 的最大值为
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆公共弦所在直线的方程为
【答案】AC
【分析】根据圆心距结合两圆半径可判断两圆的位置关系，故可判断D的正误，求出 的最值后可判断
AB的正误，利用公式可求连心线的斜率，故可判断C的正误.
【详解】根据题意，圆 ： ，其圆心 ，半径 ，
圆 ： ，即 ，其圆心 ，半径 ，
则圆心距 ，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确；
的最小值为 ，最大值为 ，
故A正确，B不正确；
对于C，圆心 ，圆心 ，
则两个圆心所在直线斜率 ，故C正确，
故选：AC.变式1．【多选】（2023·湖南·校联考二模）已知点 在圆 上，点 在圆
上，则（ ）
A．两圆外离 B． 的最大值为9
C． 的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析.
【详解】圆 的圆心坐标 ，半径 ，
圆 ，即 的圆心坐标 ，半径 ，
所以圆心距 ，
因为 ，所以两圆外离．故A正确；
因为 在圆 上， 在圆 上，所以 ，故B、C正确；
因为圆心 到直线 的距离 ，所以 不是两圆公
切线，故D错误；
故选：ABC．
变式2．【多选】（2022秋·山东威海·高二校考阶段练习）已知点 ，且点P在圆
上，C为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：
C．当 最大时， 的面积为D． 的面积的最大值为
【答案】BD
【分析】由 求得最大值判断A，求出以AC为直径的圆的方程与圆C的方程相减得公共弦
所在直线方程，判断B，由圆心在直线 上，确定当 时， 直线 距离最大为圆 半径，从而
求得 的面积的最大值判断D，当 最大时， 是圆的切线，不可能 ，这样可判断C．
【详解】由已知圆心为 ，半径为 ，
， ，即 在圆外， 在圆内，
，当且仅当 是 的延长线与圆的交点时等号成立，所以最大值
是 ，A错；
中点为 ，圆方程为 ，
此方程与圆 方程相减得并化简得 ，即为两圆公共弦所在直线方程，B正确；
直线 的方程为 ，即 ，圆心 在直线 上， 到直线 的距离的最大值
等于圆半径，
，所以 的面积的最大值为 ，D正确；
当 的面积为 时， ，而 最大时， 是圆的切线，此时 ，不可能有
，因此C错误．
故选：BD．
变式3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知圆C： ，圆 是以圆 上任意
一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆 交于A，B两点，则当 最大时， （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D【分析】根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答.
【详解】依题意，在 中， ，如图，
显然 ， 是锐角， ，又函数 在 上递增，
因此当且仅当公共弦 最大时， 最大，此时弦 为圆 的直径，
在 中， ，所以 .
故选：D
1．圆 与圆 的位置关系为
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【分析】试题分析：两圆的圆心距为 ，半径分别为 ， ，所
以两圆相交 ．故选B．
考点：圆与圆的位置关系．
2．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆
的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B【详解】化简圆 到直线 的距离
，
又 两圆相交. 选B
3．若⊙ 与⊙ 相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂
直，则线段AB的长度是_________．
【答案】4
【详解】依题意得OO ＝ ＝5，且△OO A是直角三角形，S△OO A＝ · ·OO ＝ ·OA·AO ，
1 1 1 1 1
因此AB＝ ＝4.
4．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
________________．
【答案】 或 或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为 ，
于是 ，
故 ①， 于是 或 ，
再结合①解得 或 或 ，
所以直线方程有三条，分别为 ， ，
填一条即可[方法二]：
设圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为 ，
直线OC与直线 的交点为 ，
设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可
[方法三]：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .
一、单选题
1．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）圆 与圆 的位置关系
为（ ）．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离【答案】B
【分析】由两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可得 ，
故两圆的圆心分别为： ，设两圆半径分别为 ，则 ，
易知 ，故两圆内切.
故选：B
2．（2023春·江苏盐城·高二统考期末）在坐标平面内，与点 距离为 ，且与点 距离为 的直
线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【分析】判断以点 为圆心， 为半径的圆与以点 为圆心， 为半径的圆的位置关系，
即可判断.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线 满足与点 距离为 ，且与点 距离为 ，
以点 为圆心， 为半径的圆的方程为 ，
以点 为圆心， 为半径的圆的方程为 ，
因为 ，则两圆相内切，
故两圆的公切线有且仅有 条，即 ，
故在坐标平面内，与点 距离为 ，且与点 距离为 的直线共有 条.
故选：A
3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点 为直线 ： 上的动点，过点 作圆
： 的切线 ， ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】先利用圆切线的性质推得 四点共圆， ，从而将 转化为 ，进而确
定 时 取得最小值，再求得以 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可
得解.
【详解】因为圆 ： 可化为 ，
所以圆心 ，半径为 ，
因为 ， 是圆 的两条切线，则 ，
由圆的知识可知， 四点共圆，且 ， ，
所以 ，又 ，
所以当 最小，即 时， 取得最小值，此时 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即 ，
故以 为直径的圆的方程为 ，即， ，
又圆 ，
两圆的方程相减即为直线 的方程： .故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将 转化为 ，从而确定 最小时 的坐标，从
而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.
4．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知点P为直线 上的一点，M，N分别为圆 ：
与圆 ： 上的点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】分别求得圆 的圆心坐标和半径，求得 ，结合图象，得 ，即
可求解.
【详解】如图所示，由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
可得圆心距 ，
如图， ，
所以 ，
当 共线时，取得最小值，
故 的最小值为 .
故选：B5．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆 的方程为 ，若直
线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由条件结合圆与圆的位置关系可得点 到直线 的距离小于等于2，列不等式求 的取
值范围.
【详解】圆 的圆心 的坐标为 ，半径为 ，
设直线 上的点 满足条件，
则以点 为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切，
所以 ，
所以点 到点 的距离小于等于 ，
所以点 到直线 的距离小于等于2，
所以 解得
所以k的取值范围为 ，
故选：A.6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 在圆 内
B．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
C．直线 与圆 相离
D．圆 关于 对称
【答案】B
【分析】由点与圆的位置关系判断A；由两圆外切，结合圆与圆的位置关系判断B；由距离公式判断C；
由圆心 不在直线 上判断D.
【详解】圆 可化为 ，圆心为 ，半径为 .
对于A：因为 ，所以点 在圆 外，故A错误；
对于B：若圆 与圆 恰有三条公切线，则两圆外切，
圆 可化为 ，圆心为 ，
半径为 ，因为 ，所以 ，
解得 ，故B正确；
对于C： 到直线 的距离为 ，则直线
与圆 相切，故C错误；对于D：显然圆心 不在直线 上，则圆 不关于
对称，故D错误；
故选：B
二、多选题
7．（2023春·湖南·高二校联考期末）已知圆 和圆 ， 分别是圆 ，
圆 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 与圆 有四条公切线
B． 的取值范围是
C． 是圆 与圆 的一条公切线
D．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则存在点 ，使得
【答案】ABD
【分析】对于A，根据两圆心之间的距离与半径和的比较，确定两圆的位置关系，可得答案；
对于B，根据圆外离的基本性质，可得答案；
对于C，根据公切线与圆心连线的位置关系以及距离，建立方程，可得答案；
对于D，根据直线与圆相切的性质，可得答案.
【详解】对于选项A，由题意可得，圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
因为两圆圆心距 ，所以两圆外离，有四条公切线，A正确；
对于B选项， 的最大值等于 ，最小值为 ，B正确；
对于C选项，显然直线 与直线 平行，
因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线 ，
设直线为 ，则两平行线间的距离为2，即 ，故 ，故C不正确；
对于D选项，易知当 时，四边形 为正方形，故当 时， ，故D
正确，
故选：ABD.8．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知直线l： ，圆C： ，则下
列说法错误的是（ ）
A．若 或 ，则直线l与圆C相切
B．若 ，则圆C关于直线l对称
C．若圆E： 与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则
D．若 ，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则
【答案】AC
【分析】根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可判断A，根据直线经过圆心即可判断B，
根据两圆公共弦所在直线方程的求法即可判断C，根据圆心 到直线l的距离 ，即可
得到不等式组，解出即可，即可判断D.
【详解】 即 ，圆心 ，
对A，若直线 与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，则 ，
解得 或 ，故A错误；
若圆C关于直线l对称，则直线通过圆心，则有 ，解得 ，故B正确；
对C，圆C与圆E的方程作差得 ，即 ，
则 ，解得 ，经检验此时圆 ，
满足 ，则 ，故C错误；
对D，若圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则圆心 到直线l的距离 ，即，即 ，且 ，
解得 ，故D正确；
故选：AC.
9．（2023秋·高一单元测试）如图所示，该曲线W是由4个圆： ， ，
， 的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）
A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆 与曲线W有8个交点，则
C． 与 的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线 的距离的最小值为4
【答案】ACD
【分析】A选项可将曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，
即可判断；
B选项可直接由图讨论判断对错；
C选项可由圆心到直线的距离等于半径，求出公切线；
D选项可先找到 ， 的公切线方程为 ，曲线W上的点到直线 的距
离的最小值即为平行线间的距离.
【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，
所以其面积为 ，故A选项正确.当 时，交点为B，D，F，H；当 时，交点为A，C，E，G；
当 或 时，没有交点；当 时，交点个数为8，故B选项错误.
设 与 的公切线方程为 ，
由直线和圆相切的条件可得 ，
解得 ， （ 舍去），
则其公切线方程为 ，即 ，故C选项正确.
同理可得 ， 的公切线方程为 ，
则两平行线的距离 ，故D选项正确.
故选：ACD.
10．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知 ，过点 作圆 的切线，
切点分别为 ，则下列命题中真命题是（ ）
A．
B．直线 的方程为
C．圆 与 共有4条公切线
D．若过点 的直线与 交于 两点，则当 面积最大时， .
【答案】ABD
【分析】由圆的方程确定圆心坐标和半径，结合切线性质求 ，判断A，
求过点 的圆的方程，再求其与圆 的公共弦可得直线 的方程，判断B，判断圆 与圆 的位置关系，判断C，
结合三角形面积公式求 的面积的最大值，求 ，判断D，
【详解】因为圆 的方程为 ，
所以圆心 的坐标为 ，半径为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
由已知 ，
所以 ，A正确，
因为 ，
所以点 四点共圆，且圆心为 的中点，
线段 的中点坐标为 ，
所以圆 的方程为 ，即 ，
因为 ，所以圆 与圆 相交，
又圆 的方程可化为
所以圆 与圆 的公共弦方程为 ，
故直线 的方程为 ，B正确，圆 的圆心 的坐标为 ，半径为 ，
因为 ， ，
所以圆 与圆 相交，故两圆只有2条公切线，C错误；
设 ，则 ，
的面积 ，
所以当 时， 的面积取最大值，最大值为 ，此时 ，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆 和
外切形成一个8字形状，若 ， 为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点
（不同于点A，P），则 的最大值为______．
【答案】 /
【分析】利用已知条件求解 ， ，即可得到圆的方程，设出 的坐标，化简向量的数量积，求解最值即
可．
【详解】圆 ， ， 为圆 上两点，
可得 ，解得 ， ，所以，圆 ，满足圆 和 外切，
为两圆圆周上任一点（不同于点 ， ，如果 取得最大值，可知 在 上，设
，
则 , , ，当且仅当 时取得最大值
．
故答案为：
12．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知点 ， ，若圆
上存在点P满足 ，则实数a的取值的范围是____________．
【答案】
【分析】由 求出点 的轨迹，再求出该轨迹与圆有公共点的a的范围作答.
【详解】设点 ，则 ，而 ，
则 ，整理得 ，即点 的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，
因为点 在圆 ，即圆 与圆 有公共点，
而圆 的圆心为 ，半径为1，因此 ，即 ，解得 或 ，
所以实数a的取值的范围是 .
故答案为：
13．（2023春·广西·高二校联考期中）已知圆心在原点的单位圆 和圆 外
切， ________．
【答案】16
【分析】根据两圆的圆心距以及半径即可由外切列方程求解.
【详解】圆 圆心为 ，半径为1，圆 ，圆心为 ，且 ，半径为 ，
所以圆心距 ，因为两圆外切，所以 ，所以 ．
故答案为：16
14．（2023秋·高二课时练习）已知圆C过点 且与圆 切于点 ，则圆C的方程为
__________.
【答案】
【分析】根据条件求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程.
【详解】因为圆C过点 且与圆 切于点 ，
可知圆C与 的公切线为 ，且圆C过点 ，过点 作切线 的垂线，即为 轴，
可知圆心C在此垂线上，即圆心C在 轴上，
设圆C ，又圆C过点 ，且圆C过点 ，
由圆心到圆上任一点距离相等，且为半径，
所以 ，可得 ，从而半径 ，
所以圆C的方程为 .
故答案为： .
15．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知两定点 ，如果动点 满
足 ，点 是圆 上的动点，则 的最大值为__________.
【答案】12
【分析】首先求点 的轨迹方程，再利用数形结合求 的最大值.
【详解】设点 ，则 ，
整理为： ，
设圆 的圆心为 ，圆 的圆心为 ，
如图，可知， 的最大值是圆心距加两个圆的半径，即 .
故答案为：12
16．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知点 ， ，若圆上有且只有一点 ，使得 ，则实数 的一个取值为___________.（写出满足条
件的一个即可）
【答案】 (答案不唯一)
【分析】根据题意，分析圆 的圆心坐标以及半径，设 中点为 ，由 的坐标分析 的坐标以及
的值，可得以 为直径的圆，进而分析，原问题可以转化为圆 与圆 相切，结合圆与圆的位置关
系，即可求解.
【详解】由题知，圆 ，
即 ，圆心为 ，半径 ，
设 中点为 ，因 ， ，
则 ， ，
以 为直径的圆为 ，
因为圆 上有且只有一点 ，使得 ，
则圆 与圆 相切，
又 ，
即有 或 ，
解得 或 .
故答案为：
四、解答题
17．（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆
(1)若直线 过定点 ，且与圆C相切，求直线 的方程；(2)若圆D的半径为3，圆心在直线 上，且与圆C外切，求圆D的方程．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，
（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.
【详解】（1）圆
化为标准方程为 ，
所以圆C的圆心为 ，半径为
①若直线 的斜率不存在，即直线为 ，符合题意．
②若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 即
由题意知，圆心 到已知直线 的距离等于半径2，
所以 ，即 ，
解得 ，所以直线方程为
综上，所求直线 的方程为 或
（2）依题意，设
又已知圆C的圆心为 ，半径为2，
由两圆外切，可知 ，
所以 ，
解得 或 所以 或 ，所以所求圆D的方程为 或
【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题．
先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程
可求得直线的方程．
设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D
的方程．
18．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知圆 经过 ，圆
.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若圆 与圆 相切，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出圆的方程，代入点的坐标求解计算即可；
（2）经分析两圆外切，把两圆外切转化为圆心距离等于半径之和，列式计算即可.
【详解】（1）设圆 ，因为圆 过 三点，
则 ，所以 ，所以 ，
即 ；
（2）圆 化为标准方程为 ，
因为圆 与圆 的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，且 ，
则有 ，解得 .
19．（2023秋·高一单元测试）已知圆 ，M是y轴上的动点，MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
(1)如果点M的坐标为 ，求直线MA、MB的方程；
(2)求 面积的最大值．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【分析】（1）利用直线MA、MB到圆心距离为半径可求出相应直线方程；
（2）设M ，利用两圆方程相减可得直线 方程，后利用其分别得到 ，AB边上高关于 的表达
式，即可得答案.
【详解】（1）由题意可知显然切线斜率存在，故设过点 的圆C的切线方程为 ，则圆心C
到切线距离等于半径1，即 或 .
则直线MA方程为 ，MB的方程为 .或直线MA方程为 ，MB的方程为 .
（2）设M ，因MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
则 ，则以M为圆心， 为半径的圆的方程为：
，将其与圆C方程相减得直线AB方程： .则 中，AB边上的
高，即C到直线AB距离为： ，
则由垂径定理， ，
则 ，注意到函数 在 上单调递增， ，则，当且仅当 时取等号.
则 面积的最大值为 .
20．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）在平面直角坐标系 中，已知圆 .
设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)设垂直于 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）由题意求出圆 ，圆 的圆心和半径，由两圆外切，可得 ，即可求出答案.
（2）由 ，可求出圆心O 到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可.
1
【详解】（1）圆 ： ，
则圆 的标准方程为 ，
即圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，因为圆 与x轴相切，与圆O 外切，则圆心 ， ，
1
则圆 的半径为 ，
则 ，解得 ，
即圆 的标准方程为 ；
（2）由（1）知O（﹣6，1），则 ，
2
所以直线l的斜率为 ，
设直线l的方程为 ，
因为 ，则圆心O 到直线l的距离 ，
1
所以 ，解得 或 ，
所以直线l的方程为 或 ．
21．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知圆 和圆
(1)若圆 与圆 相交于 两点，求 的取值范围，并求直线 的方程（用含有 的方程表示）
(2)若直线 与圆 交于 两点，且 ，求实数 的值
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据两圆相交，得到 ，求出 的取值范围，两圆相减得到相交弦即直线
的方程；（2）联立直线 与圆 ，得到两根之和，两根之积，利用 求出 的值，并结合根的
判别式舍去不合要求的根.
【详解】（1）圆 的圆心为 ，半径为2，圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 与圆 相交于 两点，则 ，
解得 ，
与 相减得，
直线 的方程为 ；
（2）设 ，则联立 ，
得 ，
则 ，
则 ，
，
，
解得 ，或 ，
其中 不满足 ，舍去， 满足要去，则实数 的值为 .
22．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两
个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波
罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 .
(1)求 的轨迹方程；
(2)设圆 是以 为直径的圆，求证圆 与圆 相交，并求公共弦所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析；公共弦所在直线方程为 .
【分析】（1）根据阿波罗尼斯圆的定义，利用两点间距离公式代入 整理变形即可得 的轨迹方程
为 ；
（2）易知圆心距 ，且满足 ，即可证明两圆相交，将两圆方程相减即可得公共弦
所在直线方程为 .
【详解】（1）设点 的坐标为 ，
又 ， ，且 ，即
整理可得 ；
所以 的轨迹方程为 .（2）易知 的中点 ， ，
所以圆 的圆心为 ，半径为 ，
即圆 的方程为 .
由（1）可知，圆 是以 为圆心，半径 的圆；
圆 与圆的圆心距 ，
易知 ，
根据两圆位置关系即可知圆 与圆 相交；
将 的方程 与圆 的方程 相减即可得公共弦方程，
即 ；
所以圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为 .
