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第 08 讲 空间向量基本定理 7 种常见考法归类
1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交
分解及坐标形式表示空间向量.
2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.
知识点1 空间向量基本定理
1．定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得
p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量．如果 p=xa+yb+zc，则称
xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.
注：（1）对于基底{a，b，c}应明确以下三点：
①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基
底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
②基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向
量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都
不是零向量．
③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，
二者是相关联的不同概念．
（2）空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得OP
＝xOA＋yOB＋zOC.
推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．
2．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，
使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．
易错辨析：
（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥OABCD中，OA可表示为OA＝xOB＋yOC＋zOD且唯一，这种说法对吗？对．
知识点2 证明平行、共面问题
1. 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2. 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，
y)，使p＝xa＋yb.
3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．
1、判断基底的方法
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为
一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的
三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
2、用基底表示向量的策略
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律
进行．
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是
看基向量的模及其夹角已知或易求．
3、证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的
向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
考点一：空间向量基本定理基底的判断
例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设 构成空间的一个基底，下列说法正
确的是（ ）A． ， ， 两两不共线，但两两共面
B．对空间任一向量 ，总存在有序实数组 ，使得
C． ， ， 能构成空间另一个基底
D．若 ，则实数 ， ， 全为零
【答案】ABD
【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.
【详解】因为 构成空间的一个基底，所以 ， ， 两两不共线，但两两共面，故A正确；
对空间任一向量 ，总存在有序实数组 ，使得 ，故B正确；
因为 ， 所以 ， ， 共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；
根据空间向量基本定理可知，若 ，则实数 ， ， 全为零，故D正确；
故选：ABD
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用基底的性质进行求解.
【详解】因为 ，所以 是共面向量，不能构成基底，A不正确；
因为 不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；
因为 与 平行，所以 不能构成基底，C不正确；
因为 ，所以 共面，不能构成基底，D不正确.故选：B.
变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是
（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】ABD
【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答.
【详解】 构成空间的一个基底，
对于A， ，因此 ， ， 共面，A正确；
对于B， ，因此 ， ， 共面，B正确；
对于C，假定 ， ， 共面，则存在 使得
，而 不共面，则 ，解得 ，
于是 ， 共面，与 不共面矛盾，因此 ， ， 不能共面，C错误；
对于D， ，因此 ， ， 共面，D正确．
故选：ABD
变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末） 是空间的一个基底，与 、 构成基
底的一个向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理判断即可.
【详解】由于 ，故 与 、 共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；因为 是空间的一个基底，由于不存在实数对 、 ，使得 ，
若成立则 ，显然方程组无解，故 、 与 可以作为空间的一个基底，故A正确，同理
可得C、D正确；
故选：ACD
变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若 是空间的一个基底，且向量
不能构成空间的一个基底，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，向量 、 、 共面，则存在实数 、 使得 ，根据空间向量
的基本定理可得出关于 、 、 的方程组，即可解得 的值.
【详解】因为向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，
所以 、 、 共面，故存在实数 、 使得 ，
即 ，
因为 是空间的一个基底，则 ，解得 .
故选：D.
变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知 平面ABC， ， ， ，则
空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.
【详解】因为 平面ABC，AB、AC都在面ABC内，
所以 ， .
因为 ， ， ，所以 ，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为 .
故选：A
考点二：用基底表示空间向量
例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体 中，AC，BD相交于 ，
为 的中点，设 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.
【详解】
如图所示， ，
故选：C变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体 中，M为 与 的交点，若 ，
， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.
【详解】在平行六面体 中，M为 与 的交点，
.
故选：B
变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体 中，过点 作平面 的垂线，垂足为
点，点 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.
【详解】由题知，在正四面体 中，
因为 平面 ，
所以 是 的中心，
连接 ，则 ，所以
.
故选：B
变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体 中， ，Q是BC的中点，
且M为PQ的中点，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用基底 表示 ，再利用向量线性运算求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为Q是 的中点，所以 ，因为M为PQ的中点，所以 ，
故选：A.
变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三
等分点，且 ，用向量 表示 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 .
故选：D变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体 中，P是 的中点，点
Q在 上，且 ，设 ， ， ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】因为P是 的中点，
所以 ，
又因为点Q在 上，且 ，
所以
，
所以 ，
故选：C.
变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体 中， 为 的重心，记 ，
， ．若 ， ，则 ______．（用 ， ， 表示）
【答案】【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】依题意， 为 的重心，则 ，
所以
.
故答案为：
变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是 、 的重心，D
为BC的中点，设 ， ， ，试用试用基底 表示向量 和 .【答案】
【分析】由已知得 ， ，可得 ；
由 可得 可得答案.
【详解】由已知得 ， ，
因为G是 的重心，D为BC的中点，
所以 ， ，
所以 ；
又因为H是 的重心，
所以 ，
.
考点三：利用空间向量基本定理求参数
例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥 ，点P为平
面ABC上的一点，且 （m，n∈R）则m，n的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.【详解】因为点P为平面ABC上的一点， ，则 ，
于是 ，即 ，显然选项BCD都不满足，A选项满足.
故选：A
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体 中，侧面 的中心是P，若
，则 _________， _________．
【答案】 / /
【分析】用 表示出 ，从而得出 ， 的值．
【详解】由于 ，
所以 ， ，
故答案为： ； ．
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知 为三条不共面的线段，若 ，
那么 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.
【详解】根据向量加法法则可得： ，即 ，
因为 ，
所以 ， ， ，
所以 ， ， ，所以 .
故选：B.
变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形 ， 为平面 外一
点， 平面 ，点 满足 ， ．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．－1
【答案】A
【分析】利用空间向量基本定理表示出 ，即可求解.
【详解】矩形 中， ,所以 .
因为 ，所以 .
因为 , ，所以 .
所以 .
所以 ，所以 .
故选：A变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥 的底面 是平行四边形，若
，则 ______．
【答案】
【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.
【详解】因为四棱锥 的底面 是平行四边形，所以 ，
又 ，由空间向量基本定理可得， ，故 .
故答案为： .
变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体 ，点 是上底面 的中心，若
，则 等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.
【详解】正方体 ，点 是上底面 的中心，如图，
则 ，
不共面，又 ，于是得 ，
所以 .故选：C
例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知 是空间的一组基底，
其中 ， ， .若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设存在唯一的实数对 ，使得 ，结合向量的数乘运算和相等向量
的概念计算，即可求解.
【详解】由题意，设存在唯一的实数对 ，使得 ，
即 ，
则 ，
则x=2， ， ，解得 .
故选：D.
变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点， ，
，则 ______.
【答案】
【分析】根据空间向量线性运算得到 ，证明出共线定理的推论，由 三点共线，
得到 ，求出 .
【详解】因为 ，所以 ，
即 ， ，下面证明：已知 ，若 三点共线，则 ，
因为 三点共线，所以存在非零实数 ，使得 ，
即 ，整理得 ，
故 ， ，所以 ，
因为 三点共线，
故 ，解得： .
故答案为：
考点四：用向量法证明平行、共面问题
例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知 三点不共线，对平面 外的任一点 ，下
列条件中能确定点 共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】 ，分析出当 共面时， ，从而分析四个选项，得到正确
答案.
【详解】当 共面时，不妨设 ，
变形得到 ，
则 ，设 ，若点 与点 共面，
则 ，
只有选项 中 符合题意.
故选： .
变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)试证： 与 ， 共面；
(2) ， ， ，试用基底{ ， ， }表示向量 ．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF，根据直线与平面平行的判定定理可得AD∥平面
PEF，BC∥平面PEF，从而可得向量 与 ， 共面；
（2）直接利用向量的加减法运算得答案．
【详解】（1）
证明：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF．
∵P，F分别为AC，CD的中点，∴AD∥PF．
又∵PF 平面PEF，AD⊄平面PEF．
∴AD∥平⊂面PEF．
同理可证，BC∥平面PEF．
∴向量 与 ， 共面.
（2）解：.
变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体 中，O为 上一点，且 ，
BD与AC交于点M.求证： 三点共线．
【答案】证明见解析.
【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求 的关系，即可推理作答.
【详解】在正方体 中，令 ，
，BD与AC交于点M，即点M是 的中点，
于是
，
，
因此 ，即 ，而直线 与直线 有公共点 ，
所以 三点共线.
变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC中， ， ，
，用向量 表示 ，则 ________．若 ，且 平面ABC，则实数
________．【答案】 /0.75
【分析】运用空间向量的线性运算法则，将 用基底 表示出来，延长OP与AM交于D，当
时， 平面ABC.
【详解】
由条件可知：
；
延长 与AM交于D，连接BD，则当 时， 平面ABC，
平面ABC， 平面ABC；
令 ，则有 ，
，根据向量基底表示法的唯一性，有： ，解得 ，
，
.
故答案为： ，
变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图， 、 、 分别是正方体 的棱 、 、
的中点， 是 上的点， 平面 .若 ，则 ___________.
【答案】
【分析】设 ，其中 ，将 、 、 用基底 表示，分析可知 、
、 共面，则存在 、 ，使得 ，根据空间向量的基本定理可得出关于 、 、
的方程组，解出 的值，即可得出 的长度.
【详解】设 ，其中 ， ，
，
，
因为 平面 ，则 、 、 共面，显然 、 不共线，所以，存在 、 ，使得 ，
即
，
因为 为空间中的一组基底，所以， ，解得 ，
因此， .
故答案为： .
变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱 的底面 为平行四边形，
为棱 的中点， ， ， 与平面 交于点 ，则 ________.
【答案】
【分析】设 ，其中 ，用 、 、 表示向量 、 、 ，利用共面向量的基
本定理可知存在 、 使得 ，由空间向量基本定理可得出关于 、 、 的方程组，即可解得实数 的方程组，即可解得实数 的值.
【详解】设 ，其中 ，
，
， ，
因为 、 、 、 四点共线，则向量 、 、 共面，
由共面向量定理可知，存在 、 使得 ，
即
，
所以， ，解得 .
故答案为： .
考点五：用基底法求空间向量的数量积
例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体
中，E，F分别为棱 ，CD的中点，记 ， ， ，满足
， ， ， .(1)用 ， ， 表示 ；
(2)计算 .
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用 表示出 ；
（2）应用向量数量积的运算律得 ，结合已知即可求数量积.
【详解】（1） ；
（2）
.
变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长
都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为____________．
【答案】 /-0.5
【分析】 ， ， 两两成 角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.【详解】
根据题意ABCD为正四面体，
， ， 两两成 角， ,
由 ，
，
所以
．
故答案为：
变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形 中， ，点 为
的中点，设 .
(1)试用向量 表示向量 ；
(2)若 ，求 的值.【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由点 为 的中点，可得 ，而 ，代
入前面的式子化简可得结果；
（2）由（1）可知 ，由于 ，再利用数量积的运算律结合已知条件可
求得结果.
【详解】（1）因为点 为 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
因为 ， ，
所以
.考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题
例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体 中，
，且 ，则 的余弦值是________.
【答案】 /
【分析】利用空间向量基本定理，得到 ，求出 ， ，再由向量夹角公式求
的余弦值.
【详解】由题设，可得如下示意图，
∴ ，
设 ，则 ，又 ，
所以 ， ， ，
所以以
.，
所以
故答案为： .
变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体 中，
， ， ， ， ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.
【详解】设 ， ， ，
因为 向量不共面，故 可构成空间的一组基底，
结合 ， ， ， ， ，
所以 =0， ， ，
则 ， ，
可得
，，
，
所以 ，
又因为异面直线所成角的范围是 ，
所以 与 所成角的余弦值为 .
故选：B.
变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A-BCD中，
， ， 两两夹角均为 ，且 若G，M分别为线段AD，BC的中点，则
（ ）
A． B．
C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为
【答案】BC
【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用 表示出 ，应用数量积的运算律求向
量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角.【详解】
不妨设 ，则 ，且 ，
，
所以 ，
因为 ，且 ，
所以 ，则 ，
所以异面直线AC与DB所成角的正弦值为
故选：BC
变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点 、 分别是正四面体ABCD棱 、 的中点，则
______．
【答案】
【分析】以 为基底， ，即可求解.
【详解】解：以 为基底，它们两两之间均为 ，设正四面体ABCD棱长为2，则
,所以
，
所以 ,
故答案为：
变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱 中，底面 为平行四边形，且
， .
(1)用 表示 ，并求 的长；
(2)若 为 中点，求异面直线 与 所成角的余弦值.
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；
（2）用 表示 ，计算 ，由向量法求异面直线所成的角．
【详解】（1） ，
，
，
，
即 ，解得 ；
（2）由（1）知
设异面直线 与 所成角为 ，则 .
变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体 中， ，
， 且 .(1)求 的长；
(2)求向量 与 夹角的余弦值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）用空间的一个基底 表示向量 ，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.
（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.
【详解】（1）在平行六面体 中， 为空间的一个基底，
因为 ， ， 且 ，
则 ，
，
所以
.
（2）由（1）知， ，则 ，
又 ，所以向量 与 夹角的余弦值 .
例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是 .
(1)求证： ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到 ，即可证得
；
（2）根据平面向量转化基底，求出 、 、 ，再利用夹角公式即可求解.
【详解】（1）证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是 ，
∴ ，
∴
，
∴ .
（2）∵ ， ，
∴，
，
，
∴ ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 .
变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体 中， 与
交于 点，且 ， ， .则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.
【详解】如图，由题意得， ，
，
，
，
对于选项A，
所以 ，即 .
故选项A正确.
对于选项B，
故选项B正确.
对于选项C，所以 即
故选项C错误.
对于选项D，
故选项D错误.
故选：AB
变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体 ，其中
， ， ， ，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．直线AC与直线 是相交直线
D． 与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【分析】A选项，利用空间向量运算法则得到 ，平方后，由向量数量积公式求出
，求出 ，A正确；
B选项，求出 ， ，得到B正确；C选项，作出辅助线，得到四边形 为平行四边形，点 平面 ，而点 平面 ，从
而得到C错误；
D选项，先得到 ， ，从而求出
， ，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.
【详解】由空间向量运算法则得到： ，
所以
，
故 ，A正确；
因为 ，
所以
，
故 ， ，B正确；
连接 ，因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
点 平面 ，而点 平面 ，
故直线AC与直线 是异面直线，C错误；
， ，
，
又
，
，
故 ，
设 与AC所成角为 ，
所以
故 与AC所成角的余弦值为 ，D错误.
故选：AB
考点七：用向量法解决立体几何的距离问题例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱 中，底面
为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 ，则 的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】记 ， ， ，由 ，利用向量法即可求出 的长.
【详解】解：记 ， ， ，
由题意可知 ， ，
所以 ，
，
所以 ，即 的长为 ，
故选：D.
变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体 中， ，
，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到 ，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.
【详解】以 为基底向量，可得 ，
则
，
∴ ．
故选：C.
变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥 中，底面
是边长为1的正方形，侧棱 的长为2，且 .若 是 的中点，设
.
(1)将空间向量 与 用 表示出来；
(2)求线段BM的长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可；
（2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果.
【详解】（1）
（2）由题可知因为 ，
又因为 ，
所以 .
易得 ，
所以 ，
所以 ，即 的长为 .
变式3．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体 中， 分别为 上的点，且
设
（1）以 为基底表示 ，则 ＝________；（2）若 且 则 ________.
【答案】
【分析】利用空间向量的加减法运算和基底的定义表示 ，再根据向量的数量积的运算律求解.
【详解】(1) .
(2)
，所以 ，
故答案为: ， .
变式4．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形 ，
的边长都是3，且二面角 为 ， 为对角线 靠近点 的三等分点， 为对角线
的中点，则线段 ______.
【答案】
【分析】由已知可得 .进而表示出 ，即可根据数量积的运算性质求
出 ，进而即可求出答案.
【详解】由已知可得， ， ，所以 即为二面角 的平面角，即.
因为 ， 为对角线 的中点，所以 .
因为 为对角线 靠近点 的三等分点，所以 ，
所以 .
所以 ，
所以
.
所以 ，
所以线段 .
故答案为： .
一、单选题
1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知矩形 ， 为平面 外一点 平面
，且 ， ，分别为 ， 上的点，且 ，则
（ ）A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
故 .
故选：B.
2．（2021秋·辽宁·高二校联考期中）已知三棱柱 ，点 在线段 上，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量基本定理进行求解.
【详解】由题意得： ， ， ，故
故选：D
3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）若 是空间的一个基底，则下列
各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断所给三个向量是否共面，即可得解.
【详解】对A选项， ，故三向量共面，A错误；
对B选项，若 共面，则 ，解得 ，故三向量共面，B
错误，
对C选项， ，故三向量共面，C错误，
对D选项，若向量 共面，则 无解,
故向量 不共面，故D正确,
故选：D4．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知 是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则
B． 两两共面，但 不共面
C．一定存在x，y，使得
D． 一定能构成空间的一个基底
【答案】C
【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．
【详解】对于A，若 不全为0，则 共面，与题意矛盾，故A正确；
对于B， 是空间的一个基底,则 两两共面，但 不共面，故B正确；
对于C， 不共面，则不存在实数 ，使得 ，故C错误；
对于D，若 共面， ， 无解，
故 不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确
故选∶C．
5．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体 中，
， ， ， ， ，则 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.
【详解】设 ， ， ，
因为 向量不共面，故 可构成空间的一组基底，
结合 ， ， ， ， ，
所以 =0， ， ，
则 ， ，
可得
，
，
，
所以 ，
又因为异面直线所成角的范围是 ，
所以 与 所成角的余弦值为 .
故选：B.
6．（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC， 不共面，若四边形 的对角线互相平分，且
，则 的值为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意 为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.
【详解】由题意，知 ， ， 不共面，四边形 为平行四边形， ，
为空间的一组基底.
，又 ，
， ， ， ，
.
故选：D.
7．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体 中， ， ，
且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到 ，再利用空间向量的数量积及运算律
求模长.
【详解】以 为基底向量，可得 ，
则
，
∴ ．
故选：C.8．（2022秋·山西太原·高二校考阶段练习）已知 为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的
一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共面定理可知ACD中的向量共面，不能作为空间的一组基底；假设B中向量共面，
可得 ，由此可构造方程组，由方程组无解可知B中向量不共面，可作为空间一组基底.
【详解】对于A， ， 共面，不能作为空间的一组基底，A错误；
对于B，假设 共面，则存在 ，使得 ，
，方程组无解， 假设错误，即 不共面，可以作为空间的一组基底，B正确；
对于C， ， 共面，不能作为空间的一组基底，C
错误；
对于D， ， 共面，不能作为空间的一组基底，D错误.
故选：B.
9．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体 中， ，Q是BC的中点，且M
为PQ的中点，若 ， ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用基底 表示 ，再利用向量线性运算求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为Q是 的中点，所以 ，
因为M为PQ的中点，所以 ，
故选：A.
二、多选题
10．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．已知向量 ，则 与任何向量都不能构成空间的一组基底
B． 是空间四点，若 不能构成空间的一组基底，则 共面
C．若 ，则点 四点共面
D．已知 是空间向量的一组基底，若 ，则 也是空间一组基底
【答案】ABD
【分析】根据空间基底向量的定义结合四点共面的定理与结论逐项分析判断.
【详解】对A：若 ，则 与任何向量均共面，故 与任何向量都不能构成空间的一组基底，A正
确；对B：若 不能构成空间的一组基底，则 共面，则 共面，B正确；
对C：若 ，则 ，
∵ ，
故点 四点不共面，C错误；
对D：∵ 是空间向量的一组基底，则 不共面，
若 ，则 不共面，故 也是空间一组基底，D正确.
故选：ABD.
11．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）如图，空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，
且 ， ，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐项计算判断作答.
【详解】空间四边形OABC中， ， ，点G是线段MN的中点，
，
，D正确；
对于A， ，A错误；对于B， ，B正确；
对于C， ，C错误.
故选：BD
三、填空题
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）如图，在空间四边形 中， ，
点 为 的中点，设 .向量 表示向量 __________.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底及线性运算求解作答.
【详解】依题意，由 得： ，
则 ，而点 为 的中点，
所以 .
故答案为：
13．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量 ， ， 不共面，且 ，
，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】由题设有 且 ，根据空间向量的基本定理列方程组求参数值，即可得结果.
【详解】由题设， 且 ，又 ， ，所以 ，可得 ，则 .
故答案为：
四、解答题
14．（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，
F分别边AB，BC上的点，且 ， ， ，
(1)求 （用向量 表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解；（2）根据中位线和平行线的性质，
结合平行线的传递性证明 ，即可证结论.
（1）
∵
∴
（2）
连接
∵ 分别是 的中点，∴ .又∵ ，∴ ，
∴ ，则 四点共面.
15．（2022秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面 为菱形的平行六面体
中， 分别在棱 上，且 ，且
．
(1)用向量 表示向量 ；
(2)求证： 共面；
(3)当 为何值时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）根据空间向量线性运算法则得到 ，即可证明 共面；
（3）设 ，因为底面 为菱形，则当 时， ，由
，即可得出答案.
【详解】（1） ．
（2）证明： ， ，
， 共面．
（3）当 ， ，
证明：设 ，
底面 为菱形，则当 时， ，
， ，
，
，
．
16．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，已知 是平行六面体．
(1)化简 ；(2)设 是底面 的中心， 是侧面 对角线 上的 分点，设 ，试
求 ， ， 的值．
【答案】(1) ；
(2) ， ， .
【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；
（2）利用向量线性运算的几何表示可得 ，进而即得.
(1)
∵ 是平行六面体，
∴
(2)
∵
，
又 ，
∴ ， ，
