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第 08 讲 空间向量基本定理 7 种常见考法归类
1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交
分解及坐标形式表示空间向量.
2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.
知识点1 空间向量基本定理
1．定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得
p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量．如果 p=xa+yb+zc，则称
xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.
注：（1）对于基底{a，b，c}应明确以下三点：
①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基
底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
②基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向
量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都
不是零向量．
③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，
二者是相关联的不同概念．
（2）空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得OP
＝xOA＋yOB＋zOC.
推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．
2．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，
使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．
易错辨析：
（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥OABCD中，OA可表示为OA＝xOB＋yOC＋zOD且唯一，这种说法对吗？对．
知识点2 证明平行、共面问题
1. 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2. 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，
y)，使p＝xa＋yb.
3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．
1、判断基底的方法
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为
一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的
三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
2、用基底表示向量的策略
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律
进行．
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是
看基向量的模及其夹角已知或易求．
3、证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的
向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
考点一：空间向量基本定理基底的判断
例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设 构成空间的一个基底，下列说法正
确的是（ ）A． ， ， 两两不共线，但两两共面
B．对空间任一向量 ，总存在有序实数组 ，使得
C． ， ， 能构成空间另一个基底
D．若 ，则实数 ， ， 全为零
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知 为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是
（ ）
A． B．
C． D．
变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是
（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末） 是空间的一个基底，与 、 构成基
底的一个向量可以是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若 是空间的一个基底，且向量
不能构成空间的一个基底，则 （ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知 平面ABC， ， ， ，则
空间的一个单位正交基底可以为（ ）A． B．
C． D．
考点二：用基底表示空间向量
例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体 中，AC，BD相交于 ，
为 的中点，设 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体 中，M为 与 的交点，若 ，
， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体 中，过点 作平面 的垂线，垂足为
点，点 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体 中， ，Q是BC的中点，
且M为PQ的中点，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．C． D．
变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三
等分点，且 ，用向量 表示 为（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体 中，P是 的中点，点
Q在 上，且 ，设 ， ， ．则（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体 中， 为 的重心，记 ，
， ．若 ， ，则 ______．（用 ， ， 表示）变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是 、 的重心，D
为BC的中点，设 ， ， ，试用试用基底 表示向量 和 .
考点三：利用空间向量基本定理求参数
例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥 ，点P为平
面ABC上的一点，且 （m，n∈R）则m，n的值可能为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体 中，侧面 的中心是P，若
，则 _________， _________．
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知 为三条不共面的线段，若 ，
那么 （ ）
A．1 B． C． D．
变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形 ， 为平面 外一
点， 平面 ，点 满足 ， ．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．－1
变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥 的底面 是平行四边形，若，则 ______．
变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体 ，点 是上底面 的中心，若
，则 等于（ ）
A．2 B． C． D．
例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知 是空间的一组基底，
其中 ， ， .若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点， ，
，则 ______.
考点四：用向量法证明平行、共面问题
例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知 三点不共线，对平面 外
的任一点 ，下列条件中能确定点 共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)试证： 与 ， 共面；(2) ， ， ，试用基底{ ， ， }表示向量 ．
变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体 中，O为 上一点，且 ，
BD与AC交于点M.求证： 三点共线．
变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC中， ， ，
，用向量 表示 ，则 ________．若 ，且 平面ABC，则实数
________．
变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图， 、 、 分别是正方体 的棱 、 、
的中点， 是 上的点， 平面 .若 ，则 ___________.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱 的底面 为平行四边形，
为棱 的中点， ， ， 与平面 交于点 ，则 ________.
考点五：用基底法求空间向量的数量积
例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体
中，E，F分别为棱 ，CD的中点，记 ， ， ，满足
， ， ， .
(1)用 ， ， 表示 ；(2)计算 .
变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长
都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为____________．
变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形 中， ，点 为
的中点，设 .
(1)试用向量 表示向量 ；
(2)若 ，求 的值.
考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题
例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体 中，
，且 ，则 的余弦值是________.
变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体 中，
， ， ， ， ，则 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A-BCD中，
， ， 两两夹角均为 ，且 若G，M分别为线段AD，BC的中点，则
（ ）
A． B．
C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为
变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点 、 分别是正四面体ABCD棱 、 的中点，则
______．
变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱 中，底面 为平行四边形，且
， .(1)用 表示 ，并求 的长；
(2)若 为 中点，求异面直线 与 所成角的余弦值.
变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体 中， ，
， 且 .
(1)求 的长；
(2)求向量 与 夹角的余弦值.
例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中
以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是 .
(1)求证： ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体 中， 与
交于 点，且 ， ， .则下列结论正确的有（ ）A． B．
C． D．
变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体 ，其中
， ， ， ，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．直线AC与直线 是相交直线
D． 与AC所成角的余弦值为
考点七：用向量法解决立体几何的距离问题
例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱
中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 ，则 的长为（ ）
A． B．2 C． D．
变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体 中， ，
，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥 中，底面
是边长为1的正方形，侧棱 的长为2，且 .若 是 的中点，设
.
(1)将空间向量 与 用 表示出来；
(2)求线段BM的长.
变式3．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体 中， 分别为 上的点，且
设（1）以 为基底表示 ，则 ＝________；
（2）若 且 则 ________.
变式4．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形 ，
的边长都是3，且二面角 为 ， 为对角线 靠近点 的三等分点， 为对角线
的中点，则线段 ______.
一、单选题
1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知矩形 ， 为平面 外一点 平面
，且 ， ，分别为 ， 上的点，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
2．（2021秋·辽宁·高二校联考期中）已知三棱柱 ，点 在线段 上，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）若 是空间的一个基底，则下列
各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知 是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则
B． 两两共面，但 不共面
C．一定存在x，y，使得
D． 一定能构成空间的一个基底
5．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体 中，
， ， ， ， ，则 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
6．（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC， 不共面，若四边形 的对角线互相平分，且
，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体 中， ， ，
且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·山西太原·高二校考阶段练习）已知 为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的
一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体 中， ，Q是BC的中点，且M
为PQ的中点，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．已知向量 ，则 与任何向量都不能构成空间的一组基底B． 是空间四点，若 不能构成空间的一组基底，则 共面
C．若 ，则点 四点共面
D．已知 是空间向量的一组基底，若 ，则 也是空间一组基底
11．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）如图，空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，
且 ， ，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）如图，在空间四边形 中， ，
点 为 的中点，设 .向量 表示向量 __________.
13．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量 ， ， 不共面，且 ，
，若 ，则 __________．
四、解答题14．（2022秋·广东中山·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，
F分别边AB，BC上的点，且 ， ， ，
(1)求 （用向量 表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
15．（2022秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面 为菱形的平行六面体
中， 分别在棱 上，且 ，且
．
(1)用向量 表示向量 ；
(2)求证： 共面；
(3)当 为何值时， ．
16．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，已知 是平行六面体．(1)化简 ；
(2)设 是底面 的中心， 是侧面 对角线 上的 分点，设 ，试
求 ， ， 的值．
