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第 06 讲 空间向量及其线性运算 4 种常见考法归类
1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及
空间距离的求解.
2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
知识点1 空间向量的有关概念
1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．
注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量
可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2. 表示法：
（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模
（2）字母表示法：用字母表示，若向量 a的起点是A，终点是B，则a也可记作AB，其模记为|a|或|
AB|.
3．几类特殊的空间向量
名称 定义 表示法
零向
规定长度为0的向量叫做零向量 记为0
量
单位 |a|＝1或|
模为 1 的向量叫做单位向量
向量 AB|＝1
相反
与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量 记为 － a
向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫
共线 a∥b或
做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有
向量 AB∥CD
0∥a
相等 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同 a＝b或
向量 一向量或相等向量 AB＝CD
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．
易错辨析：
（1）空间向量就是空间中的一条有向线段？答：有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二
者完全等同起来．
（2）单位向量都相等？答：单位向量长度相等，方向不确定
（3）共线的单位向量都相等? 答：共线的单位向量是相等向量或相反向量
（4）若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？答：将所有空间单位向量的起
点放在同一点，则终点围成一个球
（5）任一向量与它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相
等的．
（6）若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反？答：|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向
不确定
（7）若向量AB，CD满足|AB|>|CD|，则AB>CD？答：向量不能比较大小
（8）空间中，a∥b，b∥c，则a∥c？答：平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行
（9）若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p？答：向量的相等满足传递性
（10）若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？答：当两个空间向量的起点相同，终
点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同
知识点2 空间向量的线性运算
（一）空间向量的加减运算
语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
三角形
法则 图形叙述
加法运算
语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
平行四边形法则
图形叙述
语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
三角形
减法运算
法则 图形叙述交换律 a＋b＝b＋a
加法运算
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
注意点：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角
形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
A A A A A A A A A A
即： 1 2 2 3 3 4 n1 n 1 n
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
A A A A A A A A A A 0
即： 1 2 2 3 3 4 n1 n n 1 ；
（二）空间向量的数乘运算
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
λ>0 λa与向量a的方向相同
λ<0 λa与向量a的方向相反
几何意义
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
λa的长度是a的长度的 | λ |倍
结合律 λ(μa)＝(λμ)a
运算律
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
注意点：
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
(3)向量λa与向量a一定是共线向量．非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．(4)由于向量a，b可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足
数乘运算的分配律．
(5)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立．
(6)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无法运算．
知识点3 共线向量与共面向量
1．共线向量与共面向量的区别
共线(平行)向量 共面向量
表示若干空间向量的有向线段所在的直线
互相平行或重合，这些向量叫做共线向量
定 或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
义 注：规定：零向量与任意向量平行，即对
任意向量a，都有0∥a.
共线向量定理：对于空间任意两个向量
a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ
共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与
使a＝λb.
向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对
注：（1） 存在唯一实数
(x，y)，使p＝xa＋yb.
，使得 ；（2）存在唯一实数
充 ，使得 ，则 ．注意：
不可丢掉，否则实数 就不唯一．
要
条 1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序
件 实数对(x，y),使AP＝xAB＋yAC或对空间任意一点O，
有OP＝OA＋xAB＋yAC.
对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB (x＋y
四点共面的充要条件是存在有序
＝1)． 2、空间中
实数对 ，使得对空间中任意一点 ，都有
共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平
行）
②证明三点共线。 共面向量定理的用途：
用
注意：证明平行时，先从两直线上取有向 ①证明四点共面
途 线段表示两个向量，然后利用向量的线性
运算证明向量共线，进而可以得到线线平 ②线面平行（进而证面面平行）。
行，这是证明平行问题的一种重要方法。
证明三点共线问题，通常不用图形，直接
利用向量的线性运算即可，但一定要注意
所表示的向量必须有一个公共点。
2.直线l的方向向量如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得OP＝λa.
定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
3.与空间向量的线性运算相关的结论
(1)AB＝OB－OA.
(2)在平行六面体ABCDA B C D 中，有AC1＝AB＋AD＋AA1.
1 1 1 1
(3)若O为空间中任意一点，则
①点P是线段AB中点的充要条件是OP＝(OA＋OB)；
②若G为△ABC的重心，则OG＝(OA＋OB＋OC)．
易错辨析：
（1）若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量?
答：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.所以，任意两个空间
向量总是共面，而三个向量可能共面也可能不共面
（2）在平面内共线的向量在空间不一定共线？
答：在平面内共线的向量在空间一定共线
（3）在空间共线的向量在平面内不一定共线？
答：在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线
1、空间向量有关概念问题的解题策略
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向
量相等的必要不充分条件．
(2)空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平
行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．熟练掌握空间向量的有关概念、向量
的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
2、解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过
作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行
四边形中．
注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
(2) 首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．
3、空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量
首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量
的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
4、利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向
量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
5、空间向量线性运算中的三个关键点
6、判定空间图形中的两向量共线技巧
要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行
转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．
7、证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)PA＝λPB (λ∈R)．
(2)对空间任一点O，OP＝OA＋tAB (t∈R)．
(3)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB (x＋y＝1)．
8、解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有AP＝xAB＋yAC或OP＝xOA＋yOB＋zOC (x＋y＋z＝1)，然后利用指定
向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，
将其中一个向量用另外两个向量来表示．
9、证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1) MP＝xMA＋yMB；
(2)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；
(3)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB＋zOM (x＋y＋z＝1)；
(4)PM∥AB (或PA∥MB或PB∥AM)．
10、证明三点共线和空间四点共面的方法比较考点一：空间向量的概念辨析
例1．（2023春·高二课时练习）下列命题中，正确的是（ ）.
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
变式1．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．空间向量 与 的长度相等
B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
变式2．（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果 ，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
变式3．（2023·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若 ，则 ､ 的长度相等且方向相同C．若向量 ､ 满足 ，且 与 同向，则
D．若两个非零向量 与 满足 ，则 .
变式4．（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量 满足 ，则 ；③在正方体 中，必有 ；④若空间向量
满足 ， ，则 ．其中正确的个数为（ ）．
A． B． C． D．
例2．（2023春·高二课时练习）如图所示，以长方体 的八个顶点的两点为起点和
终点的向量中，
(1)试写出与 相等的所有向量；
(2)试写出 的相反向量；
(3)若 ，求向量 的模．
变式1．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知 为平行六面体，若以此平行六面体
的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与 相等的向量；
（2）与 相反的向量；
（3）与 平行的向量．
变式2．（2023·江苏·高二专题练习）在平行六面体 中，下列四对向量：① 与 ；
② 与 ；③ 与 ；④ 与 .其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD-ABC D 的中心为O，则下列结论中
1 1 1 1① + 与 + 是一对相反向量；
1 1
② - 与 - 是一对相反向量；
1 1
③ + + + 与 + + + 是一对相反向量；
1 1 1 1
④ - 与 - 是一对相反向量．
1 1
正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点二：空间向量的线性运算
例3．（2023·全国·高三对口高考） （ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知 是三个不共面向量，已知向量 则
_________.
例4．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）在长方体 中， 等于
（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体 中，下列各式中运
算的结果为向量 的是（ ）.
① ；② ；③ ；④ .
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
变式2．（2023秋·高二课时练习）根据如图的平行六面体 ，化简下列各式：(1) ；
(2) .
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知平行六面体 ，则下列四式中：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
正确的是__________．
例5．（2023春·河南信阳·高二统考期中）在斜三棱柱 中， 的中点为 ，
，则 可用 表示为_______________．
变式1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中， ， ， ．点M
在OA上，且满足 ，N为BC的中点，则 （ ）A． B． C． D．
变式2．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体 中， ， 是 的
中点， 是 的中点，设 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体 中，P是 的中点，点
Q在 上，且 ，设 ， ， ．则（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）在四面体 中， 是棱 的中点，且
，则 的值为__________.
变式1．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱
PC的中点，若 ，则 等于（ ）A． B．1 C． D．2
变式2．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，
若 ，求 的值．
考点三：空间向量共线问题
（一）空间向量共线的判断
例7．（2023·江苏·高二专题练习）下列向量中，真命题是______．（填序号）
①若A、B、C、D在一条直线上，则 与 是共线向量；
②若A、B、C、D不在一条直线上，则 与 不是共线向量；
③向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
④向量 与 是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．
变式1．（2023春·高二课时练习）如图，正方体 中，O为 上一点，且 ，BD与AC交于点M.求证： 三点共线．
变式2．（2023·江苏·高二专题练习）已知 、 、 、 、 、 、 、 、 为空间的 个点（如图所
示），并且 ， ， ， ， ．求证： ．
例8．（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量 ， ， ， ，
， ，则一定共线的三个点是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023春·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G
为AM上一点，且 .求证：B，G，N三点共线.（二）由空间向量共线求参数值
例9．（2023春·高二课时练习）对于空间任意两个非零向量 ， ，“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
变式1．（2023春·高二课时练习）若空间非零向量 不共线，则使 与 共线的
k的值为________．
变式2．（2023春·高二课时练习）设 是空间两个不共线的非零向量，已知 ，
， ，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
变式3．（2023春·高二课时练习）设 ， 是两个不共线的空间向量，若 ， ，
，且A，C，D三点共线，则实数k的值为______.
（三）空间共线向量定理的推论及其应用
例10．（2023春·高二课时练习）已知 、 、 共线， 为空间任意一点（ 、 、 不共线），
且存在实数 、 ，使 ，求 的值．变式1．（2023·江苏·高二专题练习）在正方体 中，点E在对角线 上，且 ，
点F在棱 上，若A、E、F三点共线，则 ________ ．
变式2．【多选】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱 中，P为空间一点，且满足
， ，则（ ）
A．当 时，点P在棱 上 B．当 时，点P在棱 上
C．当 时，点P在线段 上 D．当 时，点P在线段 上
考点四：空间向量共面问题
（一）空间向量共面的判断
例11．【多选】（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
变式1．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（ ）
A．若 与 共面，则存在实数 ，使
B．若存在实数 ，使向量 ，则 与 共面
C．若点 四点共面，则存在实数 ，使D．若存在实数 ，使 ，则点 四点共面
变式2．（2023秋·高二课时练习）当 ，且 不共线时， 与 的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
变式3．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体 中，向量 ， ， 是________
向量(填“共面”或“不共面”)．
例12．（2023秋·高二课时练习）已知 是不共面向量，
，证明这三个向量共面.
变式1．（2023春·高二课时练习）已知向量 分别在两条异面直线上， 分别为线段 的
中点，求证：向量 共面．
变式2．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量 ， 不共线， ， ，
，则（ ）
A． 与 共线 B． 与 共线
C． ， ， ， 四点不共面 D． ， ， ， 四点共面
变式3．（2023春·高二课时练习）设空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若点 满足向量关系
（其中 ），试问： ， ， ， 四点是否共面？（二）空间向量共面求参数
例13．（2023秋·辽宁锦州·高二统考期末）已知向量 ， ， 是空间向量的一组基底，
， ， ，若A，B，C，D四点共面．则实数 的值为__________．
变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知 是不共面向量， ，
若 三个向量共面，则实数 ______.
变式2．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面
外一点O，满足 ，则 _____________．
变式3．（2023春·高一课时练习）已知 三点不共线， 是平面 外任意一点，若
，则 四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）在三棱锥 中，M是平面ABC上一点，且
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
变式5．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知 为空间任意一点，
四点共面，但任意三点不共线．如果 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
变式6．（2023春·高二课时练习）如图,平面 内的小方格均为正方形,点 为平面 内的一点, 为
平面 外一点,设 ,则 的值为（ ）A．1 B． C．2 D．
变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知点 在 确定的平面内， 是平面 外任意一点，实数
满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
变式8．（2023·江苏·高二专题练习）已知点 不共线， 是空间任意一点，点 在平面 内，且
，则（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值 C． 有最小值1 D． 有最大值1
变式9．（2023春·高一课时练习）在正方体 中，E为 中点，
，使得 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
变式10．（2023秋·浙江温州·高二校考期末）在正四面体 中，点 在平面 内的投影为 ，点
是线段 的中点，过 的平面分别与 ， ， 交于 ， ， 三点.
(1)若 ，求 的值；
(2)设 ， ， ，求 的值.
（三）空间共面向量定理的推论及其应用
例14．（2023·高二校考课时练习）对于空间任意一点 和不共线的三点 ，有如下关系：，则（ ）
A． 四点必共面 B． 四点必共面
C． 四点必共面 D． 五点必共面
变式1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有
，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面
变式2．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知 是空间中不共线的三个点，
若点 满足 ，则下列说法正确的一项是（ ）
A．点 是唯一的，且一定与 共面
B．点 不唯一，但一定与 共面
C．点 是唯一的，但不一定与 共面
D．点 不唯一，也不一定与 共面
变式3．【多选】（2023春·高二课时练习）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．【多选】（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）以下能判定空间四点P、
M、A、B共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．1．在平行六面体 中，M为AC与BD的交点，若 ， ， ，则下列向
量中与 相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
2．已知空间向量 ， ，且 ， ， ，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 的中点分
别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．一、单选题
1．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量 、 、 共面即它们所在直线共面
C．若 ， ，则 与 所在直线平行
D．若 ，则存在唯一的实数 ，使
2．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．已知 ， ， ， ， 是空间任意五点，则
B．若两个非零向量 与 满足 ，则四边形 是菱形
C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量
D．对于空间的任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，则 ， ，
， 四点共面
3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）如图，在 中，点 分别是棱 的中点，则
化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·天津·高二校联考期末）在四面体 中， ，Q是 的中点，且M为PQ的中点，若 ， ， ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022秋·高二单元测试）在平行六面体 中，设 ， ， ，则以
为基底表示 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·广西防城港·高二统考期末）如图，设 为平行四边形 所在平面外任意一点， 为
的中点，若 ，则 的值是（ ）
A． B．0 C． D．
7．（2023春·高二课时练习）平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足
， ，则x＋3y等于（ ）
A． B． C． D．8．（2023秋·高二课时练习）已知 为三条不共面的线段，若 ，那么
（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“ ”
是“A、B、C、D四点共圆”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
10．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共
面的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．（2021秋·广东佛山·高二校考阶段练习）在平行六面体 中，与向量 相等的向量有
（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·高二课时练习）（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线
B．向量 ， ， 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量 ， ，满足 ，则 ∥
D．若 ∥ ，则存在唯一的实数λ，使 =λ
13．（2022秋·浙江台州·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量 与 的长度相等
B．在空间四边形ABCD中， 与 是相反向量C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
14．（2022秋·江西·高二南昌县莲塘第一中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．若空间中的 ， ， ， 满足 ，则 ， ， 三点共线
B．空间中三个向量 ， ， ，若 ，则 ， ， 共面
C．对空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，则 ， ， ，
四点共面
D．设 是空间的一组基底，若 ， ，则 不能为空间的一组基底
三、填空题
15．（2022·高二课时练习）有下列四个命题：
①已知A，B，C，D是空间任意四点，则 ；
②若两个非零向量 与 满足 ，则 ；
③分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；
④对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 （x，y，z∈R），则P，A，
B，C四点共面．
其中正确命题有_____．
16．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三
角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，
AC，若点P满足 且 ，则 的最小值为 ___________ .
四、解答题17．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知 为空间的 个点，且 ，
， ， ， ， ， ．
(1)求证： 四点共面， 四点共面；
(2)求证：平面 平面 ；
18．（2023春·高二课时练习）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是
AC，BF的中点，求证： .
