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专题21.15 一元二次方程（全章专项练习）（拓展培优篇）
【试题信息】专项练习（拓展培优篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满
分120分.建议用时50——60分钟.
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要
求）
1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解方程 ，应在方程两边同时加上（ ）
A．9 B．6 C．36 D．3
【答案】A
【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握完全平方式．
要使方程左边配成一个完全平方式，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的
平方．
解：用配方法解方程 ，
两边都加上9，
得 ，
得 ．
故选：A．
2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）若 是关于x的一元二次方程 的一个解，则
的值是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，以及代数式的求值。熟练掌握一元二次方程的解是解题的
关键；
通过将已知解代入方程，得到关于a与b的等式，进而求解代数式的值。
解： 是关于 的一元二次方程 的一个解，
，
，
，故选：D.
3．（24-25九年级上·全国·期中）如果将方程 配方成 的形式，则 的值为
（ ）
A． B．10 C．5 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的应用，先移项，再添项配方得到 ，求出 ， ，再代入
求出答案即可．
解： ，
移项，得 ，
配方，得 ，
，
所以 ， ，
∴ ．
故选：A．
4．（2025·山东淄博·二模）关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根；若 ，则方程有两个相等的实数根；若
，则方程没有实数根．据此即可求解．
解：由题意得： ；
∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
∴ 且 ，故选：C
5．（2025·河南平顶山·二模）已知三角形的三边长分别为 ，则关于x的方程
的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边关系，一元二次方程根的判别式，解题关键是熟悉根的判别式．
先求出判别式，再利用三角形三边关系说明它的符号，然后得出根的情况．
解：由题意，得 ，
关于x的方程 ，
则 ．
∵三角形的三边长分别为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴原方程没有实数根．
故选A．
6．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）方程 必有一个解是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，由题意得
或 或 ，再依次解出方程的解即可．
解： ，
或 或 ，
当 时， ，
当 时，即 ， 无实数根，当 时，
，
方程 共有3个解，即 ，
故选：C
7．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 ，其中 在数轴上的
对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．两根之和小于0 D．两根之积大于0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解
决此类问题的关键．根据数轴上表示的点的值和根的判别式 ，判定根的情况有两个不
相等实数根，结合 ， 可得答案．
解：由数轴看出 ， ， ，
∵ 是关于x的一元二次方程，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴原方程有两个不相等的实数根．
∴A，B，D不符合题意，C符合题意
故选：C．8．（24-25九年级下·全国·假期作业）若 的两边长是方程 的两个根，则
的斜边长为（ ）
A．6 B． 或
C．6或 D．6或
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，勾股定理的应用，先解方程得到两根，再分两种情况讨论
斜边的可能长度即可.
解：∵ ，
∴ ，
解得： ， ；
当6和4均为直角边，则斜边为 ，
当6为斜边，4为直角边，则另一条直角边为 ，
此时斜边仍为6，
∴斜边可能为6或 ，
故选：C
9．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据
统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五
一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次
数的关系，是解题的关键．根据该县接待游客人次的年平均增长率为x，则2023年五一期间接待游客 万人次，则2024年五
一期间接待游客 万人次，列出方程即可．
解：∵该县接待游客15万人次，年平均增长率为x，
∴2023年增长到 人次，
2024年增长到 人次，
∵2024年增长至46万人次，
∴ ．
故选：B．
10．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）满足 的整数 有几个（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，有理数的乘方以及零指数幂的性质，本题比较复
杂，解答此题时要注意 的任何次幂为 ， 的偶次幂为 ，非 数的 次幂为 ，三种情况，不要漏解．
分类讨论是解题的关键．
解：分以下三种情况：
（1）当 时，解得： 或 ；
（2）当 时，解得： ；
（3）当 时，解得： ．
综上，整数 或 或 或 ，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程 的根是 ．【答案】 ，
【分析】此题考查了利用开平方解方程，根据题意得到 或 ，即可求出答案．
解：∵
∴
∴
∴ 或
解得 ，
故答案为： ，
12．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程 恰有一个根小
于 ，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程
得出 ， ，结合题意得出 ，解一元一次不等式即可得解．
解：由题意可得： ，
∴此方程总有两个实数根，
∴ ，
∴ ， ，
∵关于x的一元二次方程 恰有一个根小于 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数 满足方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，根据题意化为整式方程，解一元二次方程，并检验，
即可求解．
解： ，
∴
∴
即
解得： （舍去）
∴ ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
故答案为： ．
14．（2025·江苏南京·一模）在 中， ， 边上的高是10，则 的最小值为 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，以点 为原点， 所在直线为 轴建
立平面直角坐标系，设 ， ，求出 ， ，根据 化
简得 ，由 可求出 可得结论．
解：以点 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，设 ， ，如图，
∴ ， ，
∵ ，平方后得： ，
化简得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ 的最小值为15．
故答案为：15
15．（2025九年级下·四川成都·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点 ，若 ， 均为整数，则
称点 为“整点”．特别地，当 时，称“整点” 为“平衡整点”．已知点 是一
个“平衡整点”，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系，解分式方程，新定义，掌握知识点的应用是解题的关键．由新定
义得出方程 ，然后解方程并检验即可．
解：由题意得， ，
，
解得： ， ，
经检验： ， 是原方程的解，
当 时，点 ，不符合题意；当 时，点 ，符合题意；
∴ ，
故答案为： ．
16．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知 ，则
的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用
配方法把方程 变形为 ，求出 的值，再代入到题目中的式子，
利用裂项法求和即可解答．
解： ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
17．（2025·江苏淮安·二模）图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣．图②是某景区池塘的示意图，点 与点 由 段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位： ），桥中各弯曲处
均成直角．若 边与 边垂直， 边比 边长 ，则
【答案】9
【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质，解一元二次方程，根据题意设 ，则 ，进而
根据勾股定理，即可求解．
解：如图，作 交 的延长线于点 ，连接
设 ，则 ，依题意得
解得： 或 （舍去）
故答案为： ．
18．（2025·湖北·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系
数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程 ，这
是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为 ，请你运用
代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题
过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用．
【答案】
【分析】本题考查了代数基本定理解高次方程，解一元二次方程．设另外两根是 的根，由其中一个根为 ，则 可化为
，求出 ， ，得到 ，求解即可．
解：设另外两根是 的根，
∵已知其中一个根为 ，
∴ 可化为 ，
即 ，
计算得 ，
可得 ， ，
∴ ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）解下列方程
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）无解
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解分式方程，掌握因式分解法，将分式化为一元一次方程求解
的方法是关键．
（1）运用因式分解法求一元二次方程的解即可；
（2）根据分式的性质，将分式方程化为一元一次方程求解，再检验根即可．
解：（1）解： ，
因式分解得， ，
∴ 或 ，解得， ；
（2）解： ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项、合并同类项得， ，
检验，当 时，原分式方程无意义，
∴原分式方程无解．
20．（本小题满分8分）（2025·北京海淀·二模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等
的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 是一元二次方程 的解，求该方程的另一个解．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数
根．
（1）根据根的判别式得出 ，解不等式即可；
（2）根据 是方程 的解，得出 ，求出 ，得出一元二次方程
，解方程即可．
解：（1）解： 方程有两个不相等的实数根，
，
解得： ；
（2）解： 是方程 的解，
，
．方程为 ．
解得 ．
方程的另一个解为 ．
21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知 的两边 的长是关于
x的一元二次方程 的两个根，第三边 的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时， 为等腰三角形？并求 的周长．
【答案】（1）见分析；（2） 时， 为等腰三角形， 的周长分别为30或32．
【分析】此题考查解一元二次方程，根的判别式，灵活选用适当的方法求得方程的解即可．
（1）根据方程的系数结合根的判别式 ，可得出 ，进而可证出：无论n取何值，此方
程总有两个不相等的实数根；
（2）由（1）的结论及 为等腰三角形，可得出 只能是 的腰，再将 代入原方程中求
出n的值，分别解一元二次方程求解即可．
解：（1）证明：
∴无论n为何值方程总有两个不等实根；
（2）解：∵方程有两个不相等实根，
为等腰三角形，
∴方程的其中一根应为10，
∴ ，
即： ，
解得 ，
当 时，方程为 ，解得 ，
∴三边为10，10，12，周长为 ，
当 时，方程为 ，
解得 ，
∴三边为8，10，12，周长为 ．
22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售
出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈
利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
（2）平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，
请说明为什么？
【答案】（1）每件服装应降价20元；（2）不能，理由见分析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
（1）设每件服装应降价x元，则平均每天可售出 件，根据平均每天销售这种服装盈利1200元，
列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每件服装应降价y元，则平均每天可售出 件，根据平均每天销售这种服装盈利达到1500
元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论．
解：（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
又∵要尽量减少库存，
∴ ，
答：每件服装应降价20元；
（2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下：设每件服装应降价y元，则平均每天可售出 件，
依题意得： ，
整理得： ．
∵ ，
∴该方程无实数根，
∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元．
23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）阅读下列材料：把形如 的二次三
项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即
．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当 取何值时，代数式 有最小（或最大）值？
∵ ，∴
∴当 时，代数式 有最小值 ．
【直接应用】
（1）仿照上述例子解决问题：当 取何值时，代数式 有最小（或最大）值；
【类比应用】
（2）已知 （ 为任意实数），判断 与 的大小关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．①请直接写出 与 的函数关系式及自变量 的取值范围；
②当 为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）当 时，代数式 有最小值1；（2） ，理由见分析；（3）①
；②当 时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米
【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，一元一次不等式的应用．
（1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）利用作差法和配方法得 ，即可得出结论；
（3）①根据题意可得， ，进而得 ，再根据墙长24米，得 ，解不
等式即可得自变量 的取值范围；
②设鸡场的面积为 平方米，则 ，再利用配方法求最值即可．
解：（1） ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，代数式 有最小值1；
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ；（3）①根据题意可得， ，
∴ ，
∵墙长24米，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的函数关系式为 ；
②设鸡场的面积为 平方米，则
，
∴当 时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米．
24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·安徽六安·期中）对于关于 的代数式 ，若存在实
数 ，使得当 时代数式的值也等于 ，则称 为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于 的代
数式 ，当 时，代数式等于0；当 时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不
动值”．
（1）关于 的代数式 的不动值是_______．
（2）判断关于 代数式 是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由．
（3）已知关于 的代数式 ．
①若此代数式仅有一个不动值，求 的值；
②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数 的值．
【答案】（1）4或 ；（2）没有不动值，理由见分析；（3）① ；②1或3或5
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得 ，解方程即可得到答案；
（2）根据可得只需要判断出方程 是否有解即可；
（3）①根据题意可得关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可；
②根据题意可得方程 ，解方程可得 或
，再根据方程的解至少有一个为整数即可得到答案．
解：（1）解：当 时，则 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴关于 的代数式 的不动值是4或 ；
（2）解：关于 代数式 没有不动值，理由如下：
当 时，则 ，
∴ ，
∴原方程无解，
∴ 不成立，
∴关于 代数式 没有不动值；
（3）解：①∵关于 的代数式 仅有一个不动值，
∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
②当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∵原代数式的不动值至少有一个是整数，
∴ 或 是整数，
∴a的值可以是1或3或5．
