文档内容
第一章《空间向量与立体几何》
1.1.1 空间向量及其线性运算
【划重点】
1．理解空间向量的有关概念.
2．类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.
3．理解向量共线、向量共面的定义.
4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．
【知识梳理】
知识点一 空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|
AB|.
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －
相反向量
a
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那
共线向量
么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都
(平行向量)
有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等知识点二 空间向量的线性运算
加法 a＋b＝OA＋ AB ＝OB
空间向
减法 a－b＝OA－OC＝CA
量的线
当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；
性运算
数乘 当λ<0时，λa＝λOA＝MN；
当λ＝0时，λa＝0
交换律：a＋b＝b＋a；
运算律 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三 共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
知识点四 共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果
直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向
量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
【例题详解】
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等一、向量概念的应用
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量 满足 ，则
D．相等向量其方向必相同
(2)下列命题中，正确的是（ ）.
a b
A．若 ，则 B．若 ，则
a b
C．若 ，则 D．若 ，则
跟踪训练1 (1)下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
(2)给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量 满足 ，则 ；
③在正方体 中，必有 ；
④若空间向量 满足 ， ，则 ；
⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、空间向量的加减运算
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等例2 (1)空间向量 （ ）
A． B． C． D．
(2)已知空间向量 ，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练2 (1)（多选）已知平行六面体 ，则下列各式运算结果是 的为（ ）
A． B．
C． D．
(2)在正方体 中， ________．
三、空间向量的线性运算
例3 (1)已知在空间四边形 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
(2)如图，平行六面体 中，AC与BD的交点为M，设 ， ， ，则下列向
量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等跟踪训练3 (1)在三棱锥 中， 是 的中点，则 ________.
(2)如图所示，在长方体ABCD－ABC D 中，O为AC的中点．
1 1 1 1
(i)化简： － － ＝________；
(ii)用 ， ， 表示 ，则 ＝________.
四、向量共线的判定及应用
例4 (1)满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A． B．
C． D．
(2)如图，已知空间四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是 ， 上的点，
且 ， . 用向量法求证：四边形 是梯形.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等跟踪训练4 (1)已知空间向量 ， ，且 ， ， ，则一定共线的三点
是（ ）
A． B． C． D．
(2)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n＝________.
五、向量共面的判定
例5 (1)对于空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，有如下关系： ，则
（ ）.
A．四点 、 、 、 必共面
B．四点 、 、 、 必共面
C．四点 、 、 、 必共面
D．五点 、 、 、 、 必共面
(2)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(i)E，F，G，H四点共面；
(ii)BD∥平面EFGH.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等跟踪训练5 (1)对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系： ，则
（ ）
A．四点P、A、B、C不一定共面 B．四点P、A、B、C必共面
C．四点O、P、B、C必共面 D．无法判断
(2)如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且 ， ， ，
， ， . 求证：
(i)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；
(ii) ；
(iii) .
【课堂巩固】
1．已知 ， ， ， 为空间中的任意四点，则 （ ）
A． B． C． D．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等2．下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
a b
B．若 ，则 ､ 的长度相等且方向相同
C．若向量 ､ 满足 ，且 与 同向，则
D．若两个非零向量 与 满足 ，则 .
3．对于空间中的三个向量 ， ， ，它们一定是（ ）
A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．无法判断
4．若空间中任意四点O，A，B，P满足 ，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．点P可能在直线AB上 D．以∉上都不对
5．在下列条件中，能使 与 ， ， 一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选）在正方体 中，下列各式中运算结果为 的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）如图所示，在长方体 中， ，则在以八个顶点中的两个
分别为始点和终点的向量中（ ）
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A．单位向量有8个
B．与 相等的向量有3个
C．与 的相反向量有4个
D．向量 共面
8．空间中任意四个点 ， ， ， ，则 ________．
9．如图，在长方体 中，设 ， ， ，则 ______．
10．已知向量 ， ， 不共面， ， ， ．求证：B，C，
D三点共线．
【课时作业】
1．正方体 中，化简 （ ）
A． B． C． D．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等2．如图，在平行六面体 中，E是 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．对空间中任意一点 和不共线的三点 ，能得到 在平面 内的是（ ）
A． B．
C． D．
4．有下列命题：
①若 与 平行，则 与 所在的直线平行；
②若 与 所在的直线是异面直线，则 与 一定不共面；
③若 、 、 两两共面，则 、 、 一定也共面；
④若 与 是平面 上互不平行的向量，点 ，点 ，则 与 、 一定不共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．在长方体 中， ， ，点 分别在棱 上， ，
，则 （ ）
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6．若向量 与 不共线且 ， ， ，则（ ）
A． ， ， 共线 B． 与 共线
C． 与 共线 D． ， ， 共面
7．给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有 ；
② 是 ， 共线的充要条件；
③若 ， 共线，则 ；
④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若币 （其中x，y， ），则
P，A，B，C四点共面.
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知 ， 是空间两个不共线的向量， ，那么必有（ ）
A． ， 共线 B． ， 共线
C． ， ， 共面 D． ， ， 不共面
9．（多选）如图，在三棱柱 中，P为空间一点，且满足 ， ，则
（ ）
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A．当 时，点P在棱 上
B．当 时，点P在棱 上
C．当 时，点P在线段 上
D．当 时，点P在线段 上
10．（多选）空间四点 及空间任意一点 ，由下列条件一定可以得出 四点共面的有
（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，已知空间四边形 ，连接 分别是 的中点，则
________．
12．光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直
观图如图所示，其上下底面边长之比约为 ，则 ______．
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14．设 ， 是两个不共线的空间向量，若 ， ， ，且A，C，D三点
共线，则实数k的值为______.
15．如图所示，在三棱柱 中， 是 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向
量.
(1) ；
(2) ；
(3) .
16．如图，已知 ， 分别为四面体 的面 与面 的重心， 为 上一点，且
.求证： ， ， 三点共线.
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