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第一章《空间向量与立体几何》
1.1.1 空间向量及其线性运算
【划重点】
1．理解空间向量的有关概念.
2．类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.
3．理解向量共线、向量共面的定义.
4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．
【知识梳理】
知识点一 空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
注：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|
AB|.
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －
相反向量
a
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那
共线向量
么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都
(平行向量)
有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量知识点二 空间向量的线性运算
加法 a＋b＝OA＋ AB ＝OB
空间向
减法 a－b＝OA－OC＝CA
量的线
当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；
性运算
数乘 当λ<0时，λa＝λOA＝MN；
当λ＝0时，λa＝0
交换律：a＋b＝b＋a；
运算律 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三 共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
知识点四 共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果
直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向
量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
【例题详解】一、向量概念的应用
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量 满足 ，则
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；
单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；
向量不能比较大小，故C错误；
相等向量其方向必相同，故D正确；
故选：D.
(2)下列命题中，正确的是（ ）.
a b
A．若 ，则 B．若 ，则
a b
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.
【详解】对于A;比如 , 不相等，但 ，故A错误；
对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；
对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；
对于D；若 ， ，但 不相等，故D错误；
故选：C
跟踪训练1 (1)下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】C
【分析】根据个选项，可判断选项A、B、D正确，选项C，零向量方向是无限的，但是任意向量方向是确
定的，故可作出判断.
【详解】由已知，
选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；
选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，
该选项正确；
选项C，在直线 上取非零向量 ，把与向量 平行的非零向量称为直线 的方向向量，该选项错误；
选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.
故选：C.
(2)给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量 满足 ，则 ；
③在正方体 中，必有 ；
④若空间向量 满足 ， ，则 ；
⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可.
【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构
成一个球面，故①为假命题；
对于②，向量相等即模相等和方向相同，故②为假命题；
对于③，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以， ，故③为真命题；
对于④，根据向量相等的定义，明显成立，故④为真命题.
对于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故⑤为假命题
故选：C
二、空间向量的加减运算
例2 (1)空间向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的加减法则即可求解.
【详解】
故选：D
(2)已知空间向量 ，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的加减运算即可求解.
【详解】 ，
故选： .
跟踪训练2 (1)（多选）已知平行六面体 ，则下列各式运算结果是 的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用空间向量的加法化简可得出合适的选项.【详解】如下图所示：
对于A选项， ，A对；
对于B选项， ，B对；
对于C选项， ，C对；
对于D选项， ，D错.
故选：ABC.
(2)在正方体 中， ________．
【答案】
【分析】根据空间向量的加法减法运算求解即可.
【详解】 .
故答案为：
三、空间向量的线性运算
例3 (1)已知在空间四边形 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到 ，最后代入计
算即可.
【详解】因为 ，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得 ，
所以 .
故选：A.
(2)如图，平行六面体 中，AC与BD的交点为M，设 ， ， ，则下列向
量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可．
【详解】由已知得 ，
故选：C．
跟踪训练3 (1)在三棱锥 中， 是 的中点，则 ________.
【答案】
【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意在三棱锥 中， 是 的中点，可得 ,
则 ,
故答案为：
(2)如图所示，在长方体ABCD－ABC D 中，O为AC的中点．
1 1 1 1
(i)化简： － － ＝________；
(ii)用 ， ， 表示 ，则 ＝________.
【答案】
【分析】(i)由图形及空间向量相加减法则可得答案；
(ii)注意到， ， ，后利用 ， 表示 即可.
【详解】(i)
；
(ii)因 ，则 ，
又 ，则 .故答案为： ； .
四、向量共线的判定及应用
例4 (1)满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误；
若 ，则 ，而 ，据此可知 ，即 两点重合，选项B错
误；
，则A、B、C三点共线，选项C正确；
，则线段 的长度与线段 的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，三点共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
(2)如图，已知空间四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是 ， 上的点，
且 ， . 用向量法求证：四边形 是梯形.【分析】根据题意得出 ，利用空间向量共线定理证明即可.
【详解】证明：连接 .
点E，H分别是边 ， 的中点，且 ， ，
，
且 .
又 不在 上， 四边形 是梯形.
跟踪训练4 (1)已知空间向量 ， ，且 ， ， ，则一定共线的三点
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线判断三点共线即可．
【详解】解： ，
又 与 过同一点B，
∴ A、B、D三点共线．
故选：C．(2)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n＝________.
【答案】1
【详解】由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得AC＝λAB，即OC－OA＝λ(OB－OA)，
所以OC＝(1－λ)OA＋λOB，所以m＝1－λ，n＝λ，
所以m＋n＝1.
五、向量共面的判定
例5 (1)对于空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，有如下关系： ，则
（ ）.
A．四点 、 、 、 必共面
B．四点 、 、 、 必共面
C．四点 、 、 、 必共面
D．五点 、 、 、 、 必共面
【答案】B
【分析】根据四点共面的性质进行判断即可,
【详解】因为 ，
所以四点 、 、 、 必共面，
故选：B
(2)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(i)E，F，G，H四点共面；
(ii)BD∥平面EFGH.
【分析】(i)要证E，F，G，H四点共面，只需证明向量 ， ， 共面，结合向量的线性运算及共面
向量定理证明即可；
(ii)由向量共线结合线面平行的判定定理证明．
【详解】(i)如图，连接EG，BG．因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ，
由向量共面的充要条件可知，向量 ， ， 共面，
又 ， ， 过同一点E，从而E，F，G，H四点共面．
(ii)因为 ＝ － ＝ － ＝ ( － )＝ ，
又E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD，
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，
所以B⊂D∥平面EFGH． ⊄
跟踪训练5 (1)对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系： ，则
（ ）
A．四点P、A、B、C不一定共面 B．四点P、A、B、C必共面
C．四点O、P、B、C必共面 D．无法判断
【答案】B
【分析】利用空间向量的运算，整理等式，根据共面定理，可得答案.
【详解】由 ，整理可得 ，
则 ，故 、 、 、 共面，
故选：B.
(2)如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且 ， ， ，， ， .求证：
(i)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；
(ii) ；
(iii) .
【分析】(i)利用空间向量基本定理证明即可，
(ii)由 ，结合空间向量的减法和数乘运算可得 ，从而可证得结论，
(iii)由 ，结合(ii)中的结论与 可得证
【详解】(i)因为 ， ，
所以由共面向量定理可得 是共面向量， 是共面向量，
因为 有公共点 ， 有公共点 ，
所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面，
(ii)因为
，
所以 ；
(iii)【课堂巩固】
1．已知 ， ， ， 为空间中的任意四点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【详解】已知 ， ， ， 为空间中的任意四点，则 ．
故选： ．
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
a b
B．若 ，则 ､ 的长度相等且方向相同
C．若向量 ､ 满足 ，且 与 同向，则
D．若两个非零向量 与 满足 ，则 .
【答案】D
【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.
【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；
a b
若 ，则 ､ 的长度相等但方向不确定，B错误；
向量不能比较大小，C错误；
由 可得向量 与 长度相等，方向相反，故 ，D正确.
故选：D.
3．对于空间中的三个向量 ， ， ，它们一定是（ ）
A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．无法判断
【答案】A
【分析】根据平面向量基本定理分析判断.【详解】若 共线，则 ， ， 共线， ， ， 共面；
若 不共线，则 可作为基底向量， 可以用基底向量线性表示，根据平面向量基本
定理可知： ， ， 共面；
综上所述： ， ， 共面.
故选：A.
4．若空间中任意四点O，A，B，P满足 ，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．点P可能在直线AB上 D．以∉上都不对
【答案】A
【分析】由已知化简可得 ，即可判断.
【详解】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以 ，即 ，
即 ，所以 与 共线．
又 ， 有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
故选：A.
5．在下列条件中，能使 与 ， ， 一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
【详解】解：空间向量共面定理， ，若 ， ， 不共线，且 ， ， ， 共
面，则其充要条件是 ；对于A，因为 ，所以不能得出 ， ， ， 四点共面；
对于B，因为 ，所以不能得出 ， ， ， 四点共面；
对于C， ，则 ， ， 为共面向量，所以 与 ， ， 一定共面；
对于D，因为 ，所以 ，因为 ，所以不能得出
， ， ， 四点共面．
故选：C．
6．（多选）在正方体 中，下列各式中运算结果为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】A中， ；B中， ；C中， ；D中，
,即得解.
【详解】根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：
A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， ．
故选：BD．7．（多选）如图所示，在长方体 中， ，则在以八个顶点中的两个
分别为始点和终点的向量中（ ）
A．单位向量有8个
B．与 相等的向量有3个
C．与 的相反向量有4个
D．向量 共面
【答案】ABC
【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得.
【详解】由题可知单位向量有 共8个，故A正确；
与 相等的向量有 共3个，故B正确；
向量 的相反向量有 共4个，故C正确；
因为 ，向量 有一个公共点 ，而点 都在平面 内，点 在平面
外，所以向量 不共面，故D错误.
故选：ABC.8．空间中任意四个点 ， ， ， ，则 ________．
【答案】
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】解： ．
故答案为：
9．如图，在长方体 中，设 ， ， ，则 ______．
【答案】
【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可.
【详解】
由
故答案为：
10．已知向量 ， ， 不共面， ， ， ．求证：B，C，
D三点共线．
【分析】求出 后可得它们共线，从而可证B，C，D三点共线．
【详解】 ，而 ，
所以 ，故B，C，D三点共线．【课时作业】
1．正方体 中，化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
【详解】 .
故选：C.
2．如图，在平行六面体 中，E是 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.
【详解】 ．
故选：A.
3．对空间中任意一点 和不共线的三点 ，能得到 在平面 内的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】用向量来判定点 在平面内 ，只需要满足： （ ）
【详解】因为A、B、C三点不共线，则 不共线，
若 四点共面，则存在唯一的一组实数 使得 ，
即 ，变形得 ，
对于 ， ，整理得 ，则 ，所以 在平面
内，故选项 正确；
对于 ， ，可得：
则 ，故 不在平面 内，故选项 错误；
对于C， ，可得： ，
则 ，故 不在平面 内，故选项C错误；
对于 ， ，可得：
则 ，故 不在平面 内，故选项 错误；
故选：
4．有下列命题：
①若 与 平行，则 与 所在的直线平行；
②若 与 所在的直线是异面直线，则 与 一定不共面；
③若 、 、 两两共面，则 、 、 一定也共面；
④若 与 是平面 上互不平行的向量，点 ，点 ，则 与 、 一定不共面．
其中正确命题的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据空间向量共线、共面及基本定理判断即可；
【详解】解：①若向量 ， 平行，则向量 ， 所在的直线平行或重合，因此①不正确；
②若向量 ， 所在的直线为异面直线，则向量 ， 是共面向量，因此②不正确；
③若三个向量 ， ， 两两共面，则向量 ， ， 不一定共面，
可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中 轴、 轴、 轴方向上的单位向量，因此③不正确；
④若 与 是平面 上互不平行的向量，即 与 可以作为平面 上的一组基底，点 ，点 ，
但是直线 可以平行平面 ，则 与 、 共面，故④错误．
故选：A
5．在长方体 中， ， ，点 分别在棱 上， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得 ，从而得到 ，即可得到 ，从而得解；
【详解】解：由长方体的性质可得 ，又 ，所以 ，因为 ，所以
，所以 ，因为 ，所以 ；
故选：D
6．若向量 与 不共线且 ， ， ，则（ ）A． ， ， 共线 B． 与 共线
C． 与 共线 D． ， ， 共面
【答案】D
【分析】利用空间向量共线定理和共面定理判断.
【详解】因为 ，即 ，即 ，
又 与 不共线，所以 共面，故D正确A错误；
因为 ，所以 与 不共线， 与 不共线，故BC错误；
故选：D
7．给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有 ；
② 是 ， 共线的充要条件；
③若 ， 共线，则 ；
④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若币 （其中x，y， ），则
P，A，B，C四点共面.
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】直接利用向量的运算，向量的共线，共面向量的充要条件判定①②③④的结果．
【详解】解：①若 ， ， ， 是空间任意四点，则有 ；真命题．
② 或 是 ， 共线的充要条件；假命题．
③若 ， 共线，则 ；也可能重合，假命题．
④对空间任意一点 与不共线的三点 ， ， ，若 （其中 ． ， 当且仅当时，则 ， ， ， 四点共面．假命题．
故选： ．
8．已知 ， 是空间两个不共线的向量， ，那么必有（ ）
A． ， 共线 B． ， 共线
C． ， ， 共面 D． ， ， 不共面
【答案】C
【分析】根据共面向量定理可作出判断
【详解】由题知， ， 是空间两个不共线的向量， ，
由共线向量定理知，A，B，C三点共线，
由共面向量定理知， ， ， 共面.
故选：C
9．（多选）如图，在三棱柱 中，P为空间一点，且满足 ， ，则
（ ）
A．当 时，点P在棱 上 B．当 时，点P在棱 上
C．当 时，点P在线段 上 D．当 时，点P在线段 上
【答案】BCD
【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解
【详解】当 时， ，所以 ，
则 ，即P在棱 上，故A错误；同理当 时，则 ，故P在棱 上，故B正确；
当 时， ，所以 ，即 ，
故点P在线段 上，故C正确；
当 时， ，故点 在线段 上，故D正确．
故选：BCD．
10．（多选）空间四点 及空间任意一点 ，由下列条件一定可以得出 四点共面的有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量共面定理及其推论，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【详解】对A： ，定有 共面，且有公共顶点 ，
故 四点共面，故A正确；
对B： ， ，
故 四点不共面，故B错误；
对C： ，可得 三点共线，
则 四点一定共面，故C正确；
对D： ， ，
故 四点一定共面，故D正确.
故选：ACD.11．如图，已知空间四边形 ，连接 分别是 的中点，则
________．
【答案】
【分析】根据空间向量的加法与数乘运算求解即可.
【详解】解：因为 分别是 的中点，所以 ，
所以 .
故答案为：
12．光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直
观图如图所示，其上下底面边长之比约为 ，则 ______．
【答案】
【分析】作出辅助线，利用题目中给出的上下底面边长之比，得到空间向量之间的比例关系，结合空间向
量运算法则求出答案.
【详解】如图，延长 ， ， ， 相交于一点 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ，所以 .
故答案为：
13．已知长方体 ，若 为 与 的交点，则 ___________ .
【答案】
【分析】由题知 ，进而计算即可得答案.
【详解】解：如图，因为 为 与 的交点，所以 为 的中点，
所以，
所以， .
故答案为：
14．设 ， 是两个不共线的空间向量，若 ， ， ，且A，C，D三点
共线，则实数k的值为______.【答案】 /0.4
【分析】由向量加法得 ，由A，C，D三点共线得 ，即可求
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，又∵A，C，D三点共线，∴ ，
∴ ，∴ .
故答案为： .
15．如图所示，在三棱柱 中， 是 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向
量.
(1) ；
(2) ；
(3) .
【答案】(1) ，图中表示见解析
(2) ，图中表示见解析
(3) ，图中表示见解析
【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减法的运算法则和几何意义化简．【详解】（1）解： .
（2）解：因为 是 的中点，所以 ，又 ，
所以 .
（3）解：
16．如图，已知 ， 分别为四面体 的面 与面 的重心， 为 上一点，且
.求证： ， ， 三点共线.【分析】设 ， ， ，结合已知条件可得 ，再由 有公共端点，即可得
结论
【详解】证明：取 的中点 ，连接 ，
因为 ， 分别为四面体 的面 与面 的重心，
所以 在 上， 在 上，
设 ， ， ，
因为 为 的重心，
所以
，
因为 ，所以 ,
所以 ，
因为 为 的重心，
所以 ，
∴ .
又 ，
∴ ， ， 三点共线.
