文档内容
1.1.2 空间向量的数量积运算
【划重点】
1．会识别空间向量的夹角.
2．熟记数量积公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉及其变形.
3．能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题．
4．理解并熟记向量a在向量b上的投影向量：|a|cos〈a，b〉
【知识梳理】
知识点一 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 叫做向量a，b的夹
角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
知识点二 空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作
a·b.
定义
即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
①a⊥b⇔a·b＝0
性质
②a·a＝a2＝|a|2
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
运算律 ②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
知识点三 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向
量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为
A′，B′，得到A′B′，向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′的夹角就是向量a
所在直线与平面β所成的角．
【例题详解】
一、数量积的计算
例1 (1)如图，已知四棱锥 的各棱长均为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
(2)如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
跟踪训练1 (1)已知空间四面体DABC的每条棱长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则
等于（ ）A． B． C． D．
(2)如图，在直三棱柱 中， ，E，F分别为棱 的中点，则
_____________．
二、利用数量积证明垂直问题
例2 (1)如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记 ， ，
.
(i)用向量 表示向量 ；
(ii)求证 .(2)如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，O为AC与BD的交点，G为CC 的中点，
1 1 1 1 1
求证：AO⊥平面GBD.
1
跟踪训练2 (1)已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足， ，A为垂足， ，且 ．
求证： ．
三、用数量积求解夹角和模
例3 (1)如图，已知平行六面体 中，底面ABCD是边长为1的菱形， ，
.
(i)求线段 的长；
(ii)求异面直线 与 所成角的大小.(2)如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足 ，
点P满足 ．
(i)用向量 表示 ；
(ii)求 ．
跟踪训练3 棱长为2的正方体中，E，F分别是 ，DB的中点，G在棱CD上，且 ，H是
的中点．
(1)求 ．
(2)求FH的长．四、投影向量
例4 (1)四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形，则 在向量 上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
(2)如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ．试确定 在 上
的投影向量，并求 ．
跟踪训练4 如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的
投影向量等于____.【课堂巩固】
1．已知 ， 均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么 等于（ ）
A． B． C． D．4
2．空间四边形 中， ， ，则 的值是（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知正四面体 的棱长为 为棱 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
4．四面体 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（多选）已知四面体 中， ， ， 两两垂直，则以下结论中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）在棱长均为1的四面体 中，下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
7．在棱长为1的正方体 中， 为棱 上任意一点，则 =_______.
8．若ABCD为空间四边形，则 ______．
9．已知在三棱锥 中， ，则
___________.
10．已知向量 ，向量 与 的夹角都是 ，且 ，试求
(1) ；
(2) ．
11．如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1) · ；
(2) · ；(3) · .
12．如图, 在直三棱柱 (即 平面 ), , , 求
13．如图，在平行六面体 中， ， ， ，
M，N分别为 ， 中点．
(1)求 的长；
(2)证明： ．14．如图，空间四边形 的各边及对角线长为 ， 是 的中点， 在 上，且 ，设
， ， ，
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)求向量 与向量 所成角的余弦值.
【课时作业】
1．在空间四边形 中， 等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
2．已知 ， ， 均为空间单位向量，它们之间的夹角均为 ，那么 （ ）
A．2 B． C． D．6
3．空间有一四面体A-BCD，满足 ， ，则所有正确的选项为（ ）① ；
②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；
③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；
④若 且 ，则∠BDC是锐角
A．② B．①③ C．②④ D．②③④
4．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，二面角 的平面角为 ， ， ， ， ， ， ，若
，则 长为（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知直三棱柱 中， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）如图，已知四面体 的所有棱长都等于 ， 分别是 的中点，则（ ）A．
B．
C．
D．
8．（多选）已知四面体A－BCD的所有棱长均为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行六面体 中， ，且 ， ，
则 的长为____________．
10．如图，正四面体 的长为1， ，则 ______．
11．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，且 ，分别为 上的点，且 ，
__________.
12．平行六面体 ， ， ，若 ，则
______.
13．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为 .
求 的长.14．如图，已知平行六面体 中，底面 是边长为1的菱形， ，
(1)求线段 的长；
(2)求证： ．
15．如图，在平行六面体 中， ，且 ，
(1)试用 表示向量 .
(2)若 ， ， ，求 的长.16．如图，在平行六面体 中， ， ， ， ， ，
， 与 相交于点 .
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 的长.
