文档内容
第 20 讲 椭圆的简单几何性质 10 种常见考法归类
1.掌握椭圆的简单几何性质．
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.
知识点1 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 － a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a
顶点 A ( － a , 0) ， A ( a , 0) ,_ B (0 ，－ b ) ， B (0 ， b ) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a ) , B ( － b , 0) ， B ( b , 0)
1 2 1 2 1 2 1 2
轴长 长轴长＝，短轴长＝
焦点 F ( － c , 0) ， F ( c , 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 |FF|＝
1 2
对称性 对称轴 x 轴和 y 轴 ，对称中心(0,0)
离心率 e＝(0b>0) a2 +m b2 +m (m>−b2 )
x2 y2 y2 x2
②有相同离心率： + =k（ ，焦点在 轴上）或 + =k（ ，焦点在 轴上）
a2 b2 k>0 a2 b2 k>0
知识点2 点与椭圆的位置关系
点P(x，y)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
0 0
点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1.
知识点3 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点4 直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
(2)根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x，y)，(x，y)，则弦长公式为：
1 1 2 2
|AB|＝·＝ ·.
注：（1）已知弦 是椭圆 （ ）的一条弦，中点 坐标为 ，则 的斜率
为 ，运用点差法求 的斜率，设 ， ； 、 都在椭圆上，
两式相减得： ，即 ，故
b2
（2）弦 的斜率与弦中心 和椭圆中心 的连线的斜率之积为定值：−
a2
1、用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
2、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－
c2，e＝等．
3、求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再
代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关
于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，
即可求得e的值或范围．
4、判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，
得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与
椭圆相离．
5、解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与
系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x，y)，B(x，y)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x，
1 1 2 2 0
y)是线段AB的中点，
0
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即k ＝－.
AB
6、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭
圆的范围．
7、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
考点一：由标准方程研究几何性质
例1．（2023秋·高二课时练习）椭圆 的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆中 的关系即可求解.
【详解】由于 ，所以椭圆的焦点在 轴上，且 ，故焦点为
，故选：D
变式1．（2023秋·高二课时练习）椭圆 与椭圆 的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的离心率
【答案】B
【分析】利用椭圆的方程分别求出两个方程的a，b，c的值以及焦点所在位置，即可判断每个选项的正误.
【详解】对于椭圆 ，则 ，且焦点在x轴上，
所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为 ，离心率为 ，
对于椭圆 ，因为 ，则 ，
可得 ，且焦点在y轴上，
所以长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为8，焦点为 ，离心率为 ，
所以A、C、D错误，B正确.
故选：B.
变式2．（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上且 轴，
则 到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】先求出 、 的坐标，再由 轴，可求出 ，再由勾股定理可求出 ，然后利用等
面积法可求得结果.
【详解】由 ，得 ，所以 ，
所以 ， ，
当 时， ，解得 ，
因为 轴，所以 ，
所以 ，
设 到直线 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
故选：A
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆上，如果
是直角三角形，求点 的坐标．
【答案】答案见解析
【分析】根据题意对直角位置进行分类讨论，当 或 为直角时可直接求得点 横坐标，当
为直角时，利用向量构造方程组即可求得结果.【详解】根据题意可知， ，
不妨设 ，设 ；
①若 为直角，即 与 轴垂直，此时点 的横坐标与 ，即 ；
又因为点 在椭圆上，所以 ，解得
所以，点 的坐标为 或 ；
②若 为直角，此时点 的横坐标与 ，即 ；
又因为点 在椭圆上，所以 ，解得
所以，点 的坐标为 或
③若 为直角，则 ，即
可得 ，联立椭圆方程可得 ，
解得 ，所以
即点 的坐标为 或 或 或
考点二：利用几何性质求标准方程
例2．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点 ；
(2)经过两点 和 ；(3)经过 两点.
(4)过点 且与椭圆 有相同焦点.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由题意可得 ，然后利用椭圆的定义得到 ，进而即可求解；
（2）椭圆的方程为 （ ， ， ），将点 的坐标代入，解方程组即可求解；
（3）椭圆的方程为 （ ， ， ），将点 的坐标代入，解方程组即可求解；
（4）根据题意可知椭圆的焦点坐标为 ，设所求方程为 ，
将点 代入得即可求解.
【详解】（1）由题意知 ，且焦点坐标分别为 ， .
由 ，得 ，可得 ，所以
.
又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为 .（2）设椭圆的方程为 （ ， ， ）.将 两点的坐标代入方程，
得 ，解得 ，
故所求椭圆的标准方程为 .
（3）设所求的椭圆方程为 ．
把 两点代入，
得： ，解得 ，
∴椭圆方程为 ．
（4）依题意，知椭圆的焦点坐标为 .
设所求方程为 ，
将点 代入得 ，所以 ，
则所求椭圆的标准方程为 .
变式1．（2023·高二课时练习）求与椭圆 的焦点相同，且经过点 的椭圆的标准方程.
【答案】 .
【分析】由题设可得 且焦点为 ，设椭圆为 且 ，根据点在椭圆上求参数，即可
得椭圆标准方程.【详解】由题设，椭圆焦点为 则 ，令椭圆的标准方程为 且 ，
又 在椭圆上，则 ，整理得 ，解得 或
(舍).
所以椭圆的标准方程为 .
变式2．（2023·高二课时练习）与椭圆 有相同的焦点，且短半轴长为 的椭圆方程是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出椭圆 的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求
椭圆的标准方程.
【详解】椭圆 的标准方程为 ，该椭圆的焦点坐标为 ，
设所求椭圆的长半轴长为 ，则 ，
故所求椭圆的标准方程为 .
故选：B.
变式3．（2023秋·高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三
等分，则此椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】根据椭圆几何性质可知 ，代入椭圆标准方程即可求得结果.
【详解】根据题意可设椭圆方程为 ，
易知 ，且 ，解得 ；
所以 ，故椭圆方程为 .
故选：A
变式4．（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦
点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为 ，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】B
【分析】首先根据已知条件得到 ， ，即可得到 ， ， ，再分类
讨论即可得到答案.
【详解】因为短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，
所以 ，设 ， ， ， ，
因为焦点到椭圆上点的最短距离为 ，
所以 ，即 . ， ， .
当焦点在 轴时，椭圆的方程为 ，
当焦点在 轴时，椭圆的方程为 .
故选：B考点三：点与椭圆的位置关系
（一）点和椭圆位置关系的判断
例3．（2023·全国·高二假期作业）已知椭圆 ，则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于
的点即为答案.
【详解】由椭圆方程为 ，
因为 ，所以点 在椭圆内部，A错误；
因为 ，所以点 在椭圆内部，B错误；
因为 ，所以点 在椭圆外部，C正确；
因为 ，所以点 在椭圆内部，D错误.
故选：C.
变式1．（2023秋·高二课时练习）若点 在椭圆 上，则下列说法正确的是（ ）
A．点 不在椭圆上 B．点 不在椭圆上
C．点 在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系
【答案】C
【分析】根据椭圆的对称性可判断.
【详解】点 与点 关于原点对称，点 与 关于 轴对称，
点 与 关于 轴对称，
若点 在椭圆 上，根据椭圆的对称性， ， ， 三点都在椭圆上，
故选：C
变式2．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆 ，直线
，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】根据直线方程可得直线 过定点 ，判断点 与椭圆C的位置关系即可得结果.
【详解】对于直线 ，整理得 ，
令 ，解得 ，
故直线 过定点 .
∵ ，则点 在椭圆C的内部，
所以直线l与椭圆C相交.
故选：A.
（二）根据点和椭圆位置关系求参数
例4．（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．
【答案】
【分析】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解.
【详解】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆 上，所以点(m,n)满足椭圆的范围 ，
因此 ，即 ．
故答案为： .
变式1．（2023·高二课时练习）点 在椭圆 的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.
【详解】因为点 在椭圆 的外部，
所以 ,解得 ,
故选：B.
变式2．（2023秋·高二课时练习）若点 在椭圆 的内部，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】由 在椭圆的内部有 ，即可求参数m的范围.
【详解】∵点 在椭圆 的内部，
∴ ，整理得 ，解得 ．
故答案为：
（三）点和椭圆位置关系的应用
例5．（2023秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆
方程得到 ，即可得解.
【详解】解： 直线 ，令 ，解得 ，所以直线 恒过定点 ，
直线 与椭圆 恒有公共点，
即点 在椭圆内或椭圆上， ，即 ，
又 ，否则 是圆而非椭圆，
或 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
变式1．（2023·全国·高二专题练习）如果直线l： 与椭圆C： （ ）总有公共
点，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】根据题意直线过的定点在椭圆上或椭圆内，进而 ，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知直线l： 过定点 ，
因为直线l： 与椭圆C： （ ）总有公共点，
所以点 在椭圆上或椭圆内，
所以 ，由于 ，所以 ，所以实数a的取值范围是
变式2．（2023秋·湖南郴州·高二校考期中）已知点 和焦点在 轴上的椭圆： ，且过 作
椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，点 在椭圆的外部.进而可推得 ，则 ，开方即可得出答案.
【详解】由题意可得，点 在椭圆的外部.
所以， ，所以 .
又椭圆焦点在 轴上，所以 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 .
故选：C.
变式3．【多选】（2023春·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考开学考试）已知椭圆 的左、右焦点
分别为F，F，过F 的直线l 与过F 的直线l 交于点M，设M的坐标为(x，y)，若l⊥l，则下列结论正
1 2 1 1 2 2 0 0 1 2
确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据轨迹是以斜边为直径的圆，判断在椭圆内或椭圆外即可.
【详解】由题意可得，椭圆的焦点分别为 ， ，
因为 ，所以点M在以 为直径的圆上，则短半轴长为 ，所以点M在椭圆 内，故A正确；
由 得 ，则该椭圆的长半轴长为 ，所以点M在椭圆 外，故D正
确.
故选：AD
考点四：椭圆的离心率问题
（一）求椭圆的离心率
例6．（2023秋·高二单元测试）设 ， 是椭圆 的两个焦点， 为直线
上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为_______.
【答案】 /0.625
【分析】分别表示出 、 ，在 中由 计算可得结果.
【详解】如图所示，由图知 ，
所以 ， ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以在 中，由 得 ，
解得： ，
所以椭圆E的离心率为 .
故答案为： .
变式1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： （
）的左，右焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用余弦定理结合椭圆的定义求离心率即可.【详解】在 中， ，
设 ，由题意知 , ，
由余弦定理得 , ，
由椭圆定义知 ，则离心率 .
故选:C.
变式2．（2023春·河北·高二校联考期末）如图所示，斜率为 的直线 交椭圆 于
M、N两点，交 轴、 轴分别于Q、P两点，且 ，则椭圆的离心率为______．
【答案】 /0.5
【分析】数形结合，表示出M、N点的坐标，代入方程 ，找到 的关系，再结合
，即可求解椭圆的离心率；
【详解】设直线 由图可知， ，
设直线 由图可知， ，
又因为 ，设 在 轴上投影长度为 ，所以
代入 ，解得： ，
上式除以下式得： ，
等式两边同时除以 ，解得： 即：
又因为 ，解得 ，所以椭圆的离心率为 ，
故答案为： ；
变式3．（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆 的右焦点为 ，过原点的直
线 与 交于 两点，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为 ，由椭圆的对称性可得四边形 为矩形，再根据椭圆的定义求出
，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.【详解】如图，设椭圆的左焦点为 ，
由椭圆的对称性可得 ，
所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以四边形 为矩形，所以 ，
由 ，得 ，
又 ，所以 ，
在 中，由 ，
得 ，即 ，所以 ，
即 的离心率为 .
故选：A.
变式4．（2023春·上海虹口·高二统考期末）已知 是等边三角形， 、 分别是边 和 的中
点.若椭圆以 、 为焦点，且经过 、 ，则椭圆的离心率等于________.
【答案】
【分析】如图建立平面直角坐标系，设 的边长为 ，即可求出 、 、 ，从而求出 、 ，
即可求出离心率.【详解】如图建立平面直角坐标系，
因为 是等边三角形， 、 分别是边 和 的中点，
所以 ，设 的边长为 ，
则 ，即 ， ， ，
又 ，所以 ，
所以椭圆的离心率 .
故答案为：
变式5．（2023春·湖北武汉·高二校联考期末）已知椭圆 的左､在顶点分别为 ，
且以线段 为直径的圆与直线 相切，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程得到以 为直径的圆的半径和圆心坐标，再由该圆与直线 相切，
得到 ，进而可求出椭圆的离心率.【详解】因为椭圆C： 的左､右顶点分别为 ， ，
因此以 为直径的圆的半径为 ，圆心坐标为 ，
又该圆与直线 相切，如图，
所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，则 ，
因此 ，即 ，
所以离心率为 .
故选：C.
变式6．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知椭圆 的左、右焦点分别
为 ， ， 为 上的动点．若 ，且点 到直线 的最小距离为 ，则 的
离心率为______．
【答案】 /
【分析】得到椭圆切线为 ，将其与椭圆方程联立，利用判别式为0解出 ，则可得到离心率.
【详解】由题意知 ，解得 ，将直线 沿着其法向量方向向右下方平移 单位，
因为直线倾斜角为 ，那么在竖直方向向下移动了2个单位，此时直线为 ，且与 相切．联立 ，得 0，
所以 ，解得 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 的离心率为 ．
故答案为： .
变式7．（2023·高二课时练习）已知椭圆 （ ）的一条弦所在的直线方程是
，弦的中点坐标是 ，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】椭圆的中点弦问题，利用点差法构造弦中点坐标与 的关系，计算离心率即可.
【详解】设直线 与椭圆相交于 ， 两点，弦的中点坐标是 ，
则 ， ，直线 的斜率 .由 ，得 ，
， ，
故椭圆的离心率 .
故选：B.
（二）求椭圆的离心率的取值范围
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点为 ，若椭圆
上恰好有6个不同的点，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】六个 点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设 是第一象限内的点，分
和 ，列方程组求得 点横坐标 ，由 可得离心率范围．
【详解】显然， 是短轴端点时， ，满足 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在
四个象限内各有一个，
设 是第一象限内使得 为等腰三角形的点，
若 ，则 ，又 ，消去 整理得：
，解得 (舍去)或 ，同 得 ，所以 ，即 ，
若 ，则 ，又 ，消去 整理得：
，解得 或 ，
舍去．
所以 ，所以 ，即 ，
时， ， 是等边三角形， 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上， 的范围是 ．
故选：D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 关于 轴､ 轴均对称，焦点在 轴上，且焦距为
，若点 不在椭圆 的外部，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设出椭圆方程，由于 不在椭圆 的外部，得到 ，结合 ，得到
，求出离心率的取值范围.
【详解】设椭圆 的方程为 ，因为 不在椭圆 的外部，
所以 ，因为 ，
所以 ，化简得： ，
同除以 得： ，结合 ，
解得： ，
故 .
故选：B
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，
若椭圆C上存在一点P使得 ，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，用坐标表示出等式 ，点 在椭圆上，适合椭圆方程，求得 代入上式，
求得 ，然后由 得出 的不等关系，求得 的范围．
【详解】设 ，则 ， ，
由 ， ，化为 ， ，整理得 ，
， ，解得 ．
变式3．（2023·全国·高二期末）已知点 是椭圆 的左右焦点，椭圆上存在不同两
点 使得 ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先设点，利用向量关系得到两点坐标之间的关系 ，再结合点在椭圆上，代入
方程，消去 即得 ，根据题意 ，构建 的齐次式，解不等式即得结果.
【详解】设 ，由 得 ，
， ，即 ，
由 在椭圆上，故 ，即 ，
消去 得， ，
根据椭圆上点满足 ，又 两点不同，可知 ，
整理得 ，故 ，故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：
圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到 一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围.
变式4．（2023春·上海青浦·高二统考期末）点 为椭圆 的右顶点， 为椭圆 上
一点（不与 重合），若 （ 是坐标原点），则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，由 ，得到 ，再与椭圆方程联立得到
，再由点P的位置求解.
【详解】解：设 ，
又 ，且 ，
则 ，与椭圆方程联立 ，
即 ，解得 或 ，
则 ，即 ，
即 ，则 ，
故选：B
变式5．（2023春·湖南益阳·高二统考期末）若椭圆上存在点 ，使得 到椭圆两个焦点的距离之比为 ，
则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件设出 到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果.
【详解】由题可设点 到椭圆两个焦点的距离之分别 ，
所以 ，得到 ，
又 ，所以 ，得到 ，故 .
故选：C.
（三）由椭圆的离心率求参数（范围）
例8．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆 的离心率
，则 的值可能是（ ）
A．3 B．7 C．3或 D．7或
【答案】C
【分析】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答.
【详解】椭圆 的离心率 ，
当椭圆焦点在x轴上时， ，即 ， ，解得 ，
当椭圆焦点在y轴上时， ，即 ， ，解得 ，
所以 的值可能是3或 .
故选：C
变式1．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 的离心率为 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论 判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案.
【详解】当 时 ，则 ；当 时 ，则 ；
所以 推不出 ，充分性不成立；
当 时，则 ，必要性成立；
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
变式2．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆 的离心率为 ，则椭
圆 的长轴长为___________.
【答案】 或
【分析】根据题意，分类讨论 和 两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.
【详解】因为椭圆 的离心率为 ，易知 ，
当 时，椭圆焦点在 轴上， ， ，
所以 ，解得 ，则 ，所以椭圆的长轴长为 .
当 时，椭圆焦点在 轴上， ， ，
所以 ，得 ，满足题意，
此时 ，所以椭圆的长轴长为 .
故答案为： 或 .
变式3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，则长轴与短轴的比值为______.
【答案】
【分析】根据 间的关系知 ，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，得到 ，所以长
轴与短轴的比值为 .
故答案为： .
变式4．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
考点五：直线与椭圆的位置关系
例9．（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.【详解】联立 ，
则
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交
故选：C.
变式1．（2023秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）直线 ： 与椭圆
的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
【答案】A
【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关
系；
方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由 判断出直线l与椭圆的位置关系.
【详解】方法1：
∵ ，即： ，
∴直线l恒过定点 ，
又∵椭圆
∴ ，
∴定点M在椭圆内，
∴直线l与椭圆相交.
方法2：
∴ 恒成立，
∴直线l与椭圆相交.
故选：A.变式2．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）直线 与曲线 的公共
点的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】考虑 和 两种情况，画出曲线和直线图像，根据图像得到答案.
【详解】当 时，曲线 ，即 ，双曲线右半部分；
一条渐近线方程为： ，直线与渐近线平行；
当 时，曲线 ，即 ，椭圆的左半部分；
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有 个公共点.
故选：B
变式3．（2023秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）若直线 与 ： 没有交点，则过点
、 两点的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A．至多为 B． C． D．
【答案】B
【分析】由直线与圆相离得到 点位置后判断.
【详解】直线 与 ： 没有交点，所以直线 与 ： 相离，
所以 ，得 ，
故点 在以原点为圆心，2为半径的圆内，所以
，即在椭圆 内部，
而易知 在椭圆外，
所以过点 、 两点的直线与该椭圆必有2个交点．
故选：B
变式4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线 与椭圆 (m>0)有且仅有
一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.
【答案】
【分析】法1用代数法转化为一元二次方程只有两个相等实根求解；法2用椭圆在椭圆上一点处的切线方
程的形式求解；法3用椭圆的定义可求解.
【详解】法1：联立方程 得 ，
得 ，
所以 ，得 ，所以 .
法2：设 ，则 处切线 ，
可化为 ，比对得 ，代入椭圆方程得： ，得 .
得 ，所以 ，得 ，所以 .
法3：椭圆长轴长 ，焦点 .
由椭圆的定义知，椭圆上每一个点P，均满足 ，
椭圆上外部的每一个点P，均满足 ，直线 与椭圆有且仅有一个公共点P，
则对于直线 上任意一点 ，满足 ，当且仅当 在点 处时，等号成立，
即当 在 处时， 取得最小值 .求得 关于直线 对称的点为 ，
所以 ，
因此 ，椭圆方程为 ，P的坐标是 .
故答案为： ；
变式5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，离心率为 ，过 的直线分
别与 相切于 ， 两点，则直线 方程为（ ）
A． 或 B．C． D． 或
【答案】A
【分析】首先证明椭圆 上一点 处的切线方程为： ，即可得到点
是椭圆 外一点，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为 ， ，则切点弦
的方程为 ，再根据离心率分类讨论分别求出椭圆方程，即可得到切点弦方程．
【详解】首先证明椭圆 上一点 处的切线方程为： ，
①当切线斜率存在时, 设过点 的切线方程为 ，
联立方程 ，得 ，
，即 ，
，
又 ，
把 代入 中，得 ，
，
化简得 .
②当切线斜率不存在时，过 的切线方程为 ，满足上式.
综上，椭圆上一点 的切线方程为： .
再证明若点 是椭圆 外一点，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为 ， ，则切点弦 的方程为 ．
这是因为在 ， 两点处，椭圆 的切线方程为 和 ．
两切线都过 点，所以得到了 和 ，
由这两个“同构方程”得到了直线 的方程 ；
因为椭圆 ，离心率为 ，
若焦点在 轴，则 ， ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以椭圆 ，
所以过 作椭圆 的两条切线方程，
切点弦方程 为 ；
若焦点在 轴，则 ， ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以椭圆 ，
所以过 作椭圆 的两条切线方程，
切点弦方程 为 ，即 ；
综上可得直线 方程为 或 .
故选：A
考点六：弦长及中点弦问题
（一）弦长问题
例10．（2023秋·高二课时练习）过椭圆 的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则 等于________．
【答案】
【分析】求出直线方程，联立直线与椭圆，由根与系数的关系，利用弦长公式求解.
【详解】由 得 ＝1，
，
，直线l的方程为 ．
由 得 .
设 ，
则 ， ，
.
故答案为：
变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、
两点，则弦 的长为_________．
【答案】
【分析】设点 、 ，将直线 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式
可求得 的值.
【详解】在椭圆 中， ， ，则 ，故点 ，
设点 、 ，由题意可知，直线 的方程为 ，即 ，联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， .
故答案为： .
变式2．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率
，直线 交椭圆于M，N两点.求弦MN的长.
【答案】
【分析】根据定点坐标得到 值，再根据离心率和 关系即可求出 ，最后联立直线方程解出交点横
坐标，最后利用弦长公式即可得到答案.
【详解】由已知得 ，且 ，
即 ，所以 ，即 ，
解得 ，所以椭圆方程为 .
将 与 联立，
消去 得 ，
所以 ，
所以所求弦长 .变式3．（2024秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）斜率为 的直线l与椭圆C： 交于
A，B两点，且 在直线l的左上方.若 ，则 的周长是______.
【答案】
【分析】确定点P在椭圆上，设 ，联立椭圆方程可得根与系数的关系，化简可
得 ，结合题意可求得 ，由此可求出A，B的横坐标，即可求得
，即得答案.
【详解】由题意知 满足 ，即P在椭圆C： 上，
设 ，
联立 ，得 ，需满足 ，即 ，
又因为 在直线l的左上方，故 ，即 ，即 ；
若A或B的横坐标为 ，则 ，
则 或 ，与 不符，
故A或B的横坐标不可能为为 ；
则 ， ，
则
上式中，分子等于
，即 ，
又 ，则 与x轴围成的三角形为正三角形，
故 ，
故直线PA的方程 ，联立 ，
可得 ，其两根为 ，
则 ，即 ，故 ；
同理求得 ， ，
而 ，
故 的周长是 ,
故答案为：
【点睛】难点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，求解三角形周长，即要求出直线和椭圆相交的弦长，
难点在于计算的复杂以及计算量较大，因此要十分细心.
变式4．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是 ， ，并且经过
点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线 与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：将 代入椭圆方程，结合焦点坐标，列出方程组，求出 ，得到椭圆
方程；解法二：由椭圆定义求出 ，结合焦点坐标，求出 ，得到答案；
（2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出弦长，求出最大值和直线方程.【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为 ．
由题意知， ，
解得 ．
所以，椭圆C的标准方程为 ．
解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ．
根据椭圆定义得 ，
即 ．
又因为 ，所以 ，
所以，椭圆C的标准方程为 ．
（2）由 ，消去y，得 ，
因为直线 与椭圆C相交于A，B两点，
所以 ，解得 ．
设 ， ，
则 ， ，
所以
当 时， 取最大值 ，此时直线l的方程为
变式5．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知点 在圆 上运动，过点 作 轴的垂线段
为垂足， 为线段 的中点（当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合）．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)经过点 作直线 ，与圆 相交于 两点，与点 的轨迹相交于 两点，若 ，
求直线 的方程．
【答案】(1)点 的轨迹是椭圆，方程为
(2) 或
【分析】（1）利用相关点法求解点 的轨迹方程，得到点 的轨迹为椭圆；
（2）考虑直线 的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用垂径定理得到 ，联立直线与椭圆方程，由弦长公式求出 ，从而列出方程，求出答案.
【详解】（1）点 ，点 ，则点 ，由点 是 的中点，得 ， ，
因为 在圆 上，所以 ，
可得 ，即 ，所以点 的轨迹是椭圆。
（2）若直线 的斜率不存在，则 ，
将 代入 中，解得 ，则 ，
将 代入 中，解得 ，则 ，
而 ，舍去；
若直线 的斜率存在，设为 ，则 ，
由点到直线的距离公式得圆心 到直线 的距离 ，
则 ，联立 得 ，
设 ， ，则 ， ，
，
由 ，
得 ，解之得 ．
综上所述，直线 的方程为 或 ．
变式6．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆 的焦点坐标为 、
，点 为椭圆 上一点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)经过点 且倾斜角为 的直线 与椭圆 相交于 、 两点， 为坐标原点，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的定义求出 的值，结合 的值可得出 的值，由此可得出椭圆 的标准方程；
（2）设点 、 ，写出直线 的方程，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，求出点 、
的纵坐标，再利用三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】（1）解：由椭圆的定义可得 ，所以， ，又因为 ，则 ，
所以，椭圆 的标准方程为 .
（2）解：设点 、 ，由题意可知，直线 的方程为 ，即 .
联立 可得 ，解得 ， ，
所以， .
变式7．（2023春·广东江门·高二统考期末）已知椭圆 的离心率为 ，且与双曲
线 有相同的焦距．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的左、右顶点分别为 ，过左焦点 的直线 交椭圆 于 两点（其中点 在 轴上方），
求 与 的面积之比的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线方程可确定焦距，再结合离心率和椭圆 的关系可求得椭圆方程；
（2）设 ，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据三角形面积公式可知所求面积之比为，利用 可构造不等式求得 的范围，从而确定面积之比的
取值范围.
【详解】（1） 双曲线 的方程可化为 ， 其焦距为 ，
设椭圆 的焦点为 ， ，解得： ，
又椭圆 的离心率 ， ， ，
椭圆 的方程为 .
（2）
由（1）知： ， ， ，
由题意知：直线 斜率不为 ，则可设 ， ， ，
由 得： ，则 ，
， ；
， ，
；，
又 ， ，
，即 ，
又 ， ，
设 ，则 ， ，解得： ，
，即 与 的面积之比的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题重点考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积相关问题的求解；解题关键是能
够将问题转化为变量 的取值范围的求解问题，利用非对称韦达的处理方法，结合 的范围可
构造不等式求得结果.
变式8．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知 分别为椭圆 的左､右
焦点，直线 过点 与椭圆交于 两点，且 的周长为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)直线 过点 ，且与 垂直， 交椭圆 于 两点，若 ，求四边形 面积的范围.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）设 ，由题 的周长为 ，据此可得答案；
（2）先讨论两直线 中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形 的面积；再
讨论两直线 的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得 与 ，从而得到得
关于 的关系式，由此得解.
【详解】（1）设 ，由椭圆的定义可知 的周长为 ，所以
，所以离心率 .
（2）由（1）可知 ，又 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
①当直线 中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形 的面积
.
②当直线 的斜率都存在，且都不为0时，设 的方程为 ，由 ，
可得 ， .所以 .
所以 .设 的方程为 ，同理可得 .
所以四边形 的面积
，
因为 ，当且仅当 时取等号.所以 ，
即此时 .
由①②可知，四边形 面积的范围为 .
（二）中点弦问题
例11．（2023秋·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知椭圆 的弦被点
平分，则这条弦所在的直线方程为______.
【答案】
【分析】设这条弦的两个端点分别为 、 ，由中点坐标公式得 ，利用点差法可
求得直线 的斜率，再由点斜式可得出这条弦所在直线的方程.【详解】解：已知椭圆 的弦被点 平分，
设这条弦的两个端点分别为 、 ，
则 ，得 ，
由于点 、 均在椭圆 上，则 ，
两式相减得 ，可得 ，
即 ，
所以直线 的斜率为 ，
因此，这条弦所在直线的方程为 ，即 .
故答案为： .
变式1．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知过点 的直线，与椭圆 相交于A，B
两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是___________________.
【答案】
【分析】用点差法即可求出直线 的斜率，再用点斜式即可求出直线 的方程.
【详解】设 ， ，根据中点坐标公式， ， ，
且 ， ，两式相减，化简可得 ，所以 ，即直线 的斜率为 ，
根据点斜式，得到直线 的方程为 ，即 .
故答案为：
变式2．（2023·全国·高三对口高考）直线 截椭圆 所得弦的中点M与椭圆中心连线
的斜率为_________．
【答案】 /
【分析】根据题意利用点差法分析运算即可.
【详解】设线 与椭圆 的交点坐标为 ，则 ，
可得 ，
因为 在椭圆上，则 ，两式相减得 ，
整理得 ，即
所以 .
故答案为： .
变式3．（2023秋·高二课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中
点的直线的斜率为 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由点差法计算即可.
【详解】设 ，M、N中点为D ，则 ，
由题意得：
因为M、N在椭圆上，则 ，
两式相减整理得 ，
∴ .
故选：B.
变式4．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为 的动直线与椭圆 交于
两点，线段 的中点为 ，则 的轨迹长度为_________．
【答案】 /
【分析】设斜率为 直线方程为 ，联立方程组，写出韦达定理，然后求出线段 的中点为
的参数方程，消参后得到 的轨迹方程，然后利用数形结合方法分析即可.
【详解】设斜率为 直线方程为： ，
代入椭圆 中，消元整理得：
，线段 的中点为 ，设 ，
则 ，
所以 ，
，
所以 ，消去 得： ，
所以线段 的中点为 的轨迹方程为： ，
如图所示：
的轨迹即为线段 ，
由 或 ，
所以 ，
所以 的轨迹长度为：，
故答案为： .
变式5．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知 ，P是平面内一
动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为 ．记点P的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，然后根据斜率之积为 列方程整理可得；
（2）方法一：利用点差法求得直线斜率，再联立直线方程和椭圆方程消元，由弦长公式可得；
方法二：设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和点Q坐标求出直线方程，然后由弦长公式可得.
【详解】（1）设 ，由题可得 ，
则 ．
整理得 ，
故曲线C的方程为 ．
（2）（法一）设 ，则 两式相减得 ，则 ，
因为线段MN的中点 ，所以 ，所以 ，
故直线l的方程为 ，即 ，
联立方程组 ，消去y整理得 ，
，则 ，
则 .
（法二）易知直线斜率存在，设直线方程为 ，
联立方程组 ，消去y整理得 ，
，
则 ,
又 ，可求得 ，即有 ，
则 .
考点七：求椭圆的参数或范围问题
例12．（2023秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知点A，B是椭圆 上不关于长轴对称
的两点，且A，B两点到点 的距离相等，求实数m的取值范围．
【答案】 .
【分析】利用两点间距离公式及椭圆方程可得 ，再利用椭圆的有界性即求.
【详解】由题可设 ，且 ，
由 ，可得 ，
∴ 又 ，
∴ ，
∴ ，
由 ，可得 ，即 ，
∴实数m的取值范围为 .
变式1．（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知椭圆 ，若椭圆上存在两点 、关于直线 对称，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ， 中点为 ，利用点差法结合条件可得点 ，根据
在椭圆内部，进而即得．
【详解】椭圆 ，即： ，
设椭圆上两点 关于直线 对称， 中点为 ，
则 ， ，
所以 ，
∴ ，
∴ ，代入直线方程 得 ，即 ，
因为 在椭圆内部，
∴ ，
解得 ，
即 的取值范围是 ．
故选：A．
变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C： （ ）的右焦点 ，点是椭圆C上的一个动点．求证： ．
【答案】详见解析.
【分析】利用椭圆方程及两点间公式可得 ，再根据椭圆的有界性即证.
【详解】由 ，可得 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
即 .
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的焦点为 ， ，椭圆上的动点 坐标
在第一象限，且 为锐角， 的取值范围为__________．
【答案】
【分析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，写出圆的方程，与椭圆方程联立，消去y求
得交点的横坐标，然后可得答案．
【详解】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部， ，
所以该圆的方程为： ，
由 ，消去y得： 解得 ，
又∵P在椭圆上，且由 为锐角，可知P不在x轴上，由于 的左右顶点横坐标分别为-3和3，
∴为使 为锐角，
的取值范围是
又动点 坐标 在第一象限，
故答案为： ．
变式4．（2023·高二课时练习）已知椭圆 的两个焦点为 ， ， 为椭圆上任意一点，求
使 的x的取值范围．
【答案】
【分析】由题意，可得 ，所以 ，即 ，又 ，
联立即可求解.
【详解】解：由题意得 ，
因为点 不可能在线段 上，所以若 ，则 ，
所以 ，化简得 ，
又因为 ，所以消去 化简得 ，即 ，
所以使 的x的取值范围是 .变式5．（2023·全国·高三专题练习）若经过点 的直线l与椭圆 有A，B两个交点（其中
点A在x轴上方），求 的取值范围．
【答案】 .
【分析】设 ，利用椭圆的性质可得 ，然后利用两点间距离公式可得
，进而即得.
【详解】设 ，则 ，又点A在x轴上方，
∴ ， ，又 ，
∴ ，
由 ，可得 ，
∴ ，即 的取值范围为 .
考点八：求椭圆的最值问题
例13．（2023秋·高二课时练习）已知点 是椭圆 上一点，求点P到点 的距
离的取值范围．
【答案】
【分析】根据题意可知 ，由两点之间的距离公式可得 ，
，再根据二次函数的单调性，即可求出结果.【详解】解：因为点 是椭圆 上一点，
所以 ，
又 ， ，
所以 ， ，
设 ， ，
则 ，
所以函数 在区间 上单调递减，
所以 ， ，
所以 ，
所以函数点P到点 的距离的取值范围 .
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右顶点为 ， 为 上一点，则 的最大
值为______.
【答案】
【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数计算最值作答.
【详解】椭圆 的右顶点为 ，设点 ，则 ，即 ，且
，
于是得 ，
因 ，则当 时， ，所以 的最大值为 .
故答案为：
变式2．（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆 的离心率为 ，下顶点为
，点 为 上的任意一点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，得到 ，求得 ，结合二次函数的性质，即可求
解.
【详解】由椭圆 的离心率 ，可得 ，所以椭圆的方程为 ，
设 ，则 ，可得 ，
又由点 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故选：A.
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，
则 的最小值为___________.【答案】 /
【分析】将求 最小值的问题，转化为求点 到圆心 距离最小值的问题，结合点 满足椭圆方程，
转化为二次函数求最值即可.
【详解】不妨设点 为 ， ，则 ，则
设圆 的圆心为 ，则 坐标为
则 的最小值，即为 的最小值与圆 的半径 之差.
又
当 时， ，当且仅当 时取得等号；
故 .
故答案为： .
变式4．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）若 ，且 在 上， 在圆 上，
则 的最小值为______.
【答案】1
【分析】结合点与圆的位置关系可得 ，证明 等于点 到直线 的距离
的一半，利用平面几何结论求 的最小值.
【详解】如图， ，当且仅当 为线段 与圆的交点时等号成立；设点 的坐标为 ，则 ， ，
，
所以 等于点 到直线 的距离的一半，
过点 作直线 的垂线，垂足记为 ，过点 作直线 的垂线，垂足记为 ，
则
当且仅当点 为线段 与椭圆 的交点时等号成立，此时点 的坐标为 ，所以
的最小值为1，
故答案为：1.
变式5．（2023秋·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知点 是曲线
上的动点则 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】画出动点 的轨迹，再利用 的几何意义可求 的取值范围.
【详解】方程 即 或 ，即 或 ，
所以 对应的图形如图所示（椭圆及其内部的线段）：
设 ，则 ，
当 在椭圆上时， ，
而 ，故 ，
当 在椭圆内部的线段上时，有 ，
又此时 ，而 ，
故 .
故答案为： .
考点九：椭圆的定点、定值问题
例14．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆 离心率为 ，焦距为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 分别作斜率和为 的两条直线 与 ，设 交 于 、 两点， 交 于 、 两点， 、
的中点分别为 、 .求证：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 的方程；
（2）设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，则 ，将直线 的方程与
椭圆 的方程联立，列出韦达定理，可求得点 的坐标，同理可得出点 的坐标，求出直线 的方程，
并化简直线 的方程，即可得出直线 所过定点的坐标.
【详解】（1）解：由已知条件可得 ，解得： .
所以，椭圆 的方程为 .
（2）解：设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，则 .
联立 ，
因为点 在椭圆 内，则直线 、 与椭圆 均相交，设点 、 ，
所以， ，则 ，
所以，线段 的中点为 .
同理可得，线段 的中点为
所以直线 斜率为
.
所以直线 方程为：
，
所以，直线 的方程可化为 ，由 可得 ，因此直线 恒过定点 .
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
变式1．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知椭圆 ： 的离
心率为 ，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点， 面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AP、BQ的斜率分别为 、 ，且 .求证：直线PQ经过定点.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据离心率设 ，故 ，根据 的最大值可求 ，故可求椭圆
的标准方程.
（2）利用“知点求点”可得 的坐标（用 表示），取 ，则可证明 共线，故可证
直线PQ经过定点.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 .
因为离心率为 ，故 ，故可设 ，故 .
设 ，则 ，当且仅当 时等号成立，故 即 ，故 .
故 ，所以椭圆方程为： .
（2）
由（1）可得 .
直线 的方程为 ，
由 可得 ，
该方程必有一根 ，故 即 ，
所以 ，同理 ， .
取 ，若 ，则 或 ，
故 ，此时直线 的方程为： ，过定点 ；
若 ，则 ， ，
，
故 ，故 共线，即直线 过定点 ，
综上，直线PQ经过定点 .
变式2．（福建省泉州市部分中学2022-2023学年高二下期末联考数学试题）已知 为坐标原点，点 到点
的距离与它到直线 的距离之比等于 ，记 的轨迹为 ．点 在 上， 三点共线，
为线段 的中点．
(1)证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
(2)直线 与 相交于点 ，试问以 为直径的圆是否过定点，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)定点 ，理由见解析
【分析】（1） 先设 ，再根据距离比计算轨迹，最后计算斜率积即可；
（2）先设 ，再根据 为直径的圆过定点 ，计算 可得.
【详解】（1）设 ，则有 ，
整理得 ；
设 , ， ，则 ， ，由 ，两式相减： ，
整理得 ， ， ，
即直线 与直线 的斜率之积为定值 ．
（2）显然直线 的斜率不为0，设直线 方程为 ，
联立方程组 ，消去 得： ，
所以 ， ， ，
， 直线 ， 从而点 ，
根据椭圆的对称性可知，若以 为直径的圆过定点，则该定点在 轴上，可设为 ，
以 为直径的圆过定点 ，则 ，
又 ， ，
从而 ，
整理得 ，
故 ，解方程组可得 ，
即以 为直径的圆过定点 ．
变式3．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知椭圆 的离心率是 ，其左、右焦点
分别为 、 ，过点 且与直线 垂直的直线交 轴负半轴于 .
(1)设 ，求 的值；(2)求证： ；
(3)设 ，过椭圆Γ右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是点 关于 轴
的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不
存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据离心率、 及 计算可得；
（2）依题意可得 ， ，即可求出 ，求出直线 的方程，即可求出 点坐标，再求出向
量的坐标，即可得证；
（3）先求出椭圆 的方程，设出直线方程，联立后得出 、 两点纵坐标的关系式，根据 、 的坐标
表示出直线 的方程，令 ，化简得出点 的横坐标为定值.
【详解】（1）因为 ， 且 ，解得 ， .
（2）因为 ，所以 ， ，
又 、 ， ，
所以 ，所以直线 ： ，令 ，解得 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 .（3）当 时由（2）可知 ， ，所以椭圆方程为 ，
设直线 方程为 ， ，则 ，
联立 得 ，
则 ， ， .
直线 的方程为 ，
令 得，
故在 轴上存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
例15．（2023春·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆 经过点 ，且
离心率为 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点 ，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与
AQ的斜率之和为定值.【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据离心率以及的几何性质即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，根据两点斜率公式，代入化简即可求解.
【详解】（1）由题意可知： ，又 ，解得 ，
所以椭圆方程为
（2）证明：由题意可知直线 有斜率，由于 与点 的连线的斜率为 ，且
的横纵坐标恰好与 相反，因此直线 有斜率 满足 且 ，
直线 的方程为： ，
联立直线与椭圆方程： ，
设 ，
则 ，
，
将 代入可得故直线AP与
AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.
变式1．（2023秋·江苏扬州·高二校考期中）已知 分别为椭圆W： 的左、右焦点，M为椭
圆W上的一点．
（1）若点M的坐标为 （ ），求 的面积；
（2）若点M的坐标为(x，y)，且 是钝角，求横坐标x 的范围；
0 0 0
（3）若点M的坐标为 ，且直线 （ ）与椭圆W交于两不同点 ，求证： 为
定值，并求出该定值；
【答案】（1） ；（2） ；（3）定值为0，证明见解析.
【分析】（1）把M 代入椭圆方程，可得 ，由 可得答案；
（2）由余弦定理得 ，由 是钝角得
，结合 可得答案；
（3）设 ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和可得答案.
【详解】（1）因为点M 在椭圆上，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 .
（2）因为点M在椭圆上，所以 ，
由余弦定理得
，
因为 是钝角，所以 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
的范围为 .
（3）设 ，
由 得 ，
， ，
又 ，所以，
即有 为定值.
变式2．（2023·高二课时练习）已知点M为椭圆 上的任一点，它与此椭圆的短轴两
端点 、 的连线分别交x轴于点P、Q．求证： 为定值．（O为坐标原点）
【答案】证明见解析
【分析】设 点坐标为 ，分别写出直线 和 的直线方程，求得点P、Q的坐标表示，即
可得出 的表达式并联立椭圆方程化简可得到证明.
【详解】根据题意可知，不妨设 ， ，
点M与短轴两端点 、 不重合，设 ，
所以直线 的方程为 ，可得其与交 轴的交点 ，
同理， 的方程为 ，可得其与交 轴的交点 ，
所以
又因为M在椭圆上，即 ，整理得 ，即 ，
所以 为定值.
变式3．（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知点 在椭圆 上，点
为椭圆 上异于顶点的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ．
记直线 的斜率分别为 ．
(1)求证： 为定值；
(2)若 ，求证： 为定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设出切线方程 ，代入椭圆方程，由判别式等于0即可得两切线斜率的积；
（2）设 ，由（1）可得 ，根据椭圆方程用 表示 可得 ，再利用
即可求解.
【详解】（1）依题意可设过 点的切线方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
由 ，
可得 是方程 的两解，
所以 ，又因为点 在椭圆 上，即 ，
所以 .
（2）设 ，由（1）可得 ，即 ，所以 ，
又由 得 ，
即 ，
所以
.
【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
考点十：椭圆的实际应用问题
例16．（2023春·河北邯郸·高二统考期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：
每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星 看作一个质点， 绕太
阳的运动轨迹近似成曲线 ，行星 在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，
距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星 的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千
米），近日点距离和远日点距离之积是16，则 （ ）
A．39 B．52 C．86 D．97
【答案】D
【分析】根据椭圆方程表示近日点距离与远日点距离，再根据条件得到两个方程求解即可.
【详解】根据椭圆方程 ，得长半轴 ，半焦距 ，
近日点距离为 ，远日点距离为 ，近日点距离和远日点距离之和是 ，
近日点距离和远日点距离之积是 ，
解得 ，则 .
故选：D.
变式1．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在 处时，在如图所示的截面
里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面 ，水面宽 ，那么当水位上升 时，水面宽度
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为： ，求直线 被椭圆所截得的弦
长，代入椭圆方程即可求解.
【详解】以图中水面所在的直线为 轴，水面的垂直平分线所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，根据
已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为： ，
当水位上升 时，水面的宽度也即当 时，直线 被椭圆所截的弦长.
把 代入椭圆方程可得： ，
所以当水位上升 时，水面的宽度为 ，
故选： .
变式2．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、
梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在
平面截桥面为线段 ，且 过椭圆的下焦点， 米，桥塔最高点 距桥面 米，则此椭圆的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为 ，依题意可得 ，即
可求出离心率.
【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为 ，
令 ，即 ，解得 ，依题意可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
故选：D．变式3．（2023秋·河南郑州·高二郑州四中校考期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出
的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆
的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点 处，灯丝与反射镜的顶点 的距离 ，过焦点
且垂直于轴的弦 ，在 轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中 三者的关系及焦距的定义即可求解.
【详解】由题设知 ，解得 ，
所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为 ．
故选：C.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 上、下顶点分别为 ，且短轴长
为 ，T为椭圆上（除 外）任意一点，直线 的斜率之积为 ， ， 分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年
外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点 发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点 ．（提示：光线射
到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出T点，利用斜率之积为 列出方程化简即可；（2）当M为椭圆顶点时结论显然成立，
当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，只需证明法线平分 ．
【详解】（1）由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设 ，直线 的斜率分别为 ， ，
由题意知 ， ，由 得 ，整理得 ，故椭圆C
的方程为 ．
（2）
当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，
只需证明法线平分 ．
设M点坐标为 ，则 ．
设与椭圆切于M点的切线方程为 ，
与椭圆方程联立得 消去y得： ，，
得 ．
所以切线斜率为 ，所以法线斜率为 ，法线方程为 ，
令 ，可得法线与x轴交点N的横坐标为 ，
易知 ， ，所以 ， ，
，
所以 ， ，
所以 ，
则 或 （舍去），
所以法线MN平分 ，所以原结论成立．
1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C交
于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 ，求出 范围，再根据三角形面积比得到关于 的方
程，解出即可.
【详解】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，
，解得 或 （舍去），
故选：C.3．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知
．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形
面积的二倍，求直线 的方程．
【答案】(1)椭圆的方程为 ，离心率为 .
(2) .
【分析】（1）由 解得 ，从而求出 ，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公
式即求离心率.
（2）先设直线 的方程，与椭圆方程联立，消去 ，再由韦达定理可得 ，从而得到 点和 点坐
标.由 得 ，即可得到关于 的方程，解出 ，代入直线
的方程即可得到答案.
【详解】（1）如图，由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ，离心率为 .
（2）由题意得，直线 斜率存在，由椭圆的方程为 可得 ，
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 整理得： ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以 ， .
所以 , , ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以直线 的方程为 .4．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、
下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合题意得到 ， ，再结合 ，解之即可；
（2）依题意求得直线 、 与 的方程，从而求得点 的坐标，进而求得 ，再根据题意求得
，得到 ，由此得解.
【详解】（1）依题意，得 ，则 ，
又 分别为椭圆上下顶点， ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为椭圆 的方程为 ，所以 ，
因为 为第一象限 上的动点，设 ，则 ，易得 ，则直线 的方程为 ，
，则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即 ，
而 ，则直线 的方程为 ，
令 ，则 ，解得 ，即 ，
又 ，则 ， ，
所以
，
又 ，即 ，
显然， 与 不重合，所以 .
5．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）设直线 的方程，进而可求点 的坐标，结合韦达定理验证 为定值即可.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ，
联立方程 ，消去y得： ，
则 ，解得 ，
可得 ，
因为 ，则直线 ，
令 ，解得 ，即 ,
同理可得 ，则
，
所以线段 的中点是定点 .
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；
也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆 的一个焦点为 ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程可知 值，根据焦点坐标得到 值，即可求出 代入离心率公式求解.
【详解】因为椭圆 的一个焦点为 ，
所以 ， ，则 ，
所以 ，
则离心率 ．
故选：C.
2．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，点
是椭圆 上关于 轴对称的两点.若直线 的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则 ，得到 ，由椭圆的方程，得到 ，结合
，即可求解.
【详解】由题意，椭圆 的左顶点为 ，
因为点 是椭圆 上关于 轴对称的两点，可设 ，则 ，
所以 ，可得 ，又因为 ，即 ，
代入可得 ，所以离心率为 .
故选：D.
3．（2023秋·高二课时练习）若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆，该卫星近地点离地面的距
离为 km，远地点离地面的距离为 km，地球的半径为 km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得 ， ，从而得 ， ，再根据
求解即可.
【详解】解：由题意得 ， ，
可得 ， ，
则 = .
故选：A.
4．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知椭圆 ： ，若矩形的四个顶点都在 上，
则称 为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形 的外接椭圆的短轴长为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法即可得解.
【详解】因为椭圆的短轴长为 ，则 ，即 ，
所以椭圆方程 为 ，
又正方形 的边长为4，
由椭圆与正方形的对称性可知，正方形 的其中一个顶点坐标为 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：B.
5．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的
历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞
的伞面是一个半径为 的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为 时，伞面在地面
形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再求出离心率作答.
【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为 的等腰
三角形，
腰长为伞面圆的直径 ，椭圆长轴长 为底边长，则 ，即 ，
而椭圆的短轴长 ，即 ，
所以椭圆的离心率
故选：D
6．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知椭圆 的离心率为 ，左､右焦点分别为
，过左焦点 作直线与椭圆在第一象限交于点 ，若 为等腰三角形，则直线 的斜率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据离心率求出 的关系，根据等腰三角形和椭圆的定义求出答案.
【详解】设椭圆的焦距为 ，因为离心率为 ，所以 ， ；
因为 为等腰三角形，且 在第一象限，所以 ，
由椭圆的定义可得 .
设直线 的倾斜角为 ，则 ， ， ；所以 .
故选：B.
7．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过
作垂直于 轴的直线，在第二象限分别交 及圆 于点 ，若 为 的中点， 为 的上顶点，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出A、B两点的坐标，由A为 的中点列式可得 ，再结合 可得 ，
进而求得 及 .
【详解】如图所示，
由题意知 ，则直线 的方程为 ，因为A、B两点位于第二象限，
所以 ，则 ，
，则 ，
又因为A为 的中点，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以在△ 中， ， ， ，
所以 ，所以 .
故选：C.
8．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 到两个定点 ，
的距离的积等于 ，记点 的轨迹为曲线 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．曲线 关于坐标轴对称 B． 周长的最小值为
C． 面积的最大值为 D．点 到原点距离的最小值为
【答案】C
【分析】设 ，求出其轨迹方程，利用代换即可判断A，利用基本不等式可判断BD；利用基本不等
式与余弦定理可判断C.
【详解】对于A：设 ，由 得 ，即
，
以 替换 方程不变， 替换 方程不变，所以曲线 关于坐标轴对称，故A正确；对于B， 的周长 ，
当且仅当 时等号成立，故B正确；
对于C，
，当且仅当 时，等号成立.
所以当 ，即 时， 取得最大值，
所以 的最大面积为 ，故C错误；
对于D，由 ，
即 ，即 ，即 ,
当且仅当 ，即 时等号成立，故D正确.
故选：C.
9．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知 分别为曲线 与圆
上的动点，若存在 ，使得三角形 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意分析可得点 在 或 ，而点 也在 上，结
合二次函数的性质求出结果.【详解】 ，即 ，
设 ，则 , ,
,则 相当于 旋转 ，
或 ，
或 ，
所以点 在 或 ，
即 ①或 ②，
而点 也在 ③上，即③与①或②有公共点，
若点 在 ①上，则 ，
∵ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
若点 在 ②上，则
∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
所以 ，
综上， .
故选：B.
10．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知圆 与圆
交点的轨迹为 ，过平面内的点 作轨迹 的两条互相垂直的切线，则点 的
轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设两圆交点为 ，根据椭圆的定义求出轨迹 的方程，设点 ，当切线斜率存在且
不为 时，设切线方程为： ，联立直线与椭圆方程，根据 且 求出 ，
当切线的斜率不存在或为 时，求出 点坐标，即可得解.
【详解】圆 圆心 ，
圆 圆心 ，
设两圆交点为 ，则由题意知 ， ，所以 ，
又由于 ，所以由椭圆定义知，交点 是以 、 为焦点的椭圆，
且 ， ，则 ，所以轨迹 的方程为 ，设点 ，当切线斜率存在且不为 时，设切线方程为： ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
即 ，由于 ，则由根与系数关系知 ，即 ．
当切线斜率不存在或为 时，点 的坐标为 ， ， ， ，满足方程 ，故所求轨迹方程为 ．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由椭圆的定义求出轨迹 的方程，再分切线的斜率存在且不为零和
不存在或为零两种情况讨论，根据 ，利用韦达定理及 求出方程.
二、多选题
11．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）已知椭圆 的两个焦点为
是椭圆 上的动点，且 的面积最大值是 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率是
B．若 是左，右端点，则 的最大值为
C．若 点坐标是 ，则过 的 的切线方程是
D．若过原点的直线交 于 两点，则
【答案】BD
【分析】利用已知解出 得到椭圆方程，由离心率的公式计算结果验证选项A；利用椭圆定义计算验证选
项B；通过联立方程组求切线方程验证选项C；运用点差法验证选项D.
【详解】 的面积最大值是 ，则 ，椭圆方程 .
，椭圆 离心率 ，A选项错误；
若 是椭圆 的左，右端点，则 ，以 为焦点作新椭圆， P为两个椭圆的交点，当
新椭圆短轴最长时 最大，所以当P为椭圆 的上顶点 或下顶点 时， 有最大值为 ，B选项正确；
点在椭圆 上，过点 的 的切线斜率显然存在，设切线方程为 ，
代入椭圆 方程消去y得 ，
由 ，解得 ，
则切线方程为 ，即 ，故C选项错误；
设 ， 都在椭圆上，有 和 ，
两式相减得 ， ， ，
，D选项正确.
故选:BD.
12．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦点在 轴上，且 分别为椭圆 的左、
右焦点， 为椭圆 上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 的离心率为
C．存在 ，使得
D． 面积的最大值为
【答案】ACD【分析】A选项，根据焦点在在 轴上，列出不等式，求出答案；B选项，求出 ，进而求出离心
率；C选项，写出以 为直径的圆的方程，联立椭圆方程，得到当 时，方程有解，故C正确；
D选项，由几何性质得到当 点位于上顶点或下顶点时， 面积取得最大值，表达出最大面积，配方
后求出最值.
【详解】A选项，椭圆 的焦点在 轴上，故 ，解得 ，A正确；
B选项，设 ，则 ，
故 的离心率为 ，B错误；
C选项，以 为直径的圆的方程为 ，与椭圆 联立得， ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，故 ，满足要求，
故存在 ，使得 ，C正确；
D选项，因为 ，故当 点位于上顶点或下顶点时， 面积取得最大值，
故最大面积为 ，
因为 ，所以当 时， 面积取得最大值，最大值为 ，D正确.
故选：ACD13．（2023春·河南许昌·高二统考期末）椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，
以下说法正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．过点 的直线与椭圆 交于 、 两点，则 的周长为
C．椭圆 上存在点 ，使得 的面积为
D． 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则 的最大值为
【答案】BD
【分析】求出椭圆 的离心率，可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；求出 的取值范围，
可判断C选项；利用平面内两点间的距离公式结合圆的几何性质可判断D选项.
【详解】在椭圆 中， ， ，则 ，
对于A选项，椭圆 的离心率为 ，A错；
对于B选项， 的周长为 ，B错；
对于C选项，当点 为椭圆 短轴的端点时， 的面积取最大值，且最大值为 ，
所以， ，故椭圆 上不存在点 ，使得 的面积为 ，B错；
对于D选项，圆 的圆心为坐标原点 ，该圆的半径为 ，
设点 ，则 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以， ，
当且仅当 、 、 三点共线，且 为线段 上的点，以及点 为椭圆 的长轴端点时，取最大值 ，D对.
故选：BD.
14．（2023春·湖北·高二统考期末）“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中
国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在
以月球球心 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在 点处变轨进入以 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕
月飞行，最后在 点处变轨进入以 为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 ，圆形轨
道Ⅲ的半径为 ，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C．若 不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随 的增大而增大
D．若 不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随 的增大而增大
【答案】AC
【分析】根据图中几何关系列方程组求出a，c，然后可得b，可判断AB；分离常数，利用反比例函数的性
质可判断CD.
【详解】在椭圆中，由图可知 ，解得 ，
所以 ，所以 ，A正确，B错误；，当 不变时，由反比例函数的性质可知，函数 在 上单调递
增，C正确；
，当 不变时，由反比例函数的性质可知，函数 在 上单调
递减，D错误.
故选：AC
15．（2023秋·高二单元测试）已知 ， 是椭圆 ： 的左右顶点，过点 且斜率不为零的
直线与 交于 ， 两点， ， ， ， 分别表示直线 ， ， ， 的斜率，则下列
结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．直线 与 的交点的轨迹方程是
【答案】ABD
【分析】A选项，设 ，得到 ，利用斜率公式表达出 ；B选项，设出直线
： ，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，利用斜率公式表达出 ；C选
项，由AB选项可得C错误；D选项，表达出直线 和直线 方程，联立后得到 ，
结合 求出答案.
【详解】对于A：设交点 ，因为 在椭圆上，故 ，所以 .选项 正确；
对于B：设 ， ，直线 ： ，联立 ，
消去 ，得 ，则 ①， ②，
所以
，故选项B正确；
对于C：联立 和 ，相除得 ，故选项C错误；
对于D：设直线 方程： ③，
直线 方程： ④，联立③④，消 得，
，结合选项B中①②得 ，
所以 .D正确；
故选：ABD.
【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，本题的难点是表达出直线 和
直线 方程，联立后得到 ，下一步的处理方法，本题中用到了求轨迹方程的交轨法，
属于较难一些的方法，要结合交点坐标得到 ，再代入式子中，即可求解.
三、填空题
16．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 ，
过点 作 的角平分线交椭圆 的长轴于点 ，则点 的坐标为__________.
【答案】
【分析】根据角平分线定理可得 ，利用坐标运算即可得答案.
【详解】
椭圆 的左、右焦点分别为 ，又 ，
由角平分线定理知 ，则 ，解得 ，所以点 坐标为.
故答案为： .
17．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知点 是椭圆 ： 的右焦点，点 关于直
线 的对称点 在 上，其中 ，则 的离心率的取值范围为_______.
【答案】
【分析】求出点 关于直线 的对称点 的坐标，代入椭圆 的方程中，整理可得 ，求
出 的范围则可求得离心率的取值范围.
【详解】过点 且与直线 垂直的直线 为 ，
两直线的交点 ，从而点 .
点 在椭圆 上，
则 ，即
则 .
由于 ，则 ， ，
故答案为：18．（2023春·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习） 是椭圆 内接
的内切圆，且 在y轴右侧，则 ______.
【答案】
【分析】根据题意作出图形，利用内切圆的性质及点B在椭圆上建立方程求解.
【详解】由题意， 在y轴右侧，作出图形，如图，
由椭圆及圆的对称性知， 轴，
设 ，过圆心 作 于点 ，BC交x轴于H，
由椭圆方程知 ，所以 ，
， ，
又B在椭圆上，所以 ，
又 ，即 ，可得 ，
所以 ，
化简可得 ，解得 ，或 （舍去）.
故答案为：
19．（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 ，则椭圆上一点 处的切线方程为 ．试运用该性质解决以下问题：椭圆C： ，
点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，
则 面积的最小值为______．
【答案】2
【分析】设 ，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得M、N坐标，代入面
积公式，即可求得 面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】
设 ，由题意得，过点B的切线l的方程为： ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 面积 ，
又点B在椭圆上，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 面积的最小值为2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：设出点 的坐标直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基
本不等式求解.20．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
过点 作直线 交椭圆 于 两点，若 ， 则椭圆 的离心率为
____________.
【答案】 /
【分析】由题意可得 ，且 ，延长 并延长交椭圆于点 ，然后利用椭圆的对称
性和椭圆的定义可得 ， ， ，则由勾股定理的逆定理可得 ，再在
中利用勾股定理列方程可求出 的关系，从而可求出离心率.
【详解】因为 ， ，
所以 ，且 ，
延长 并延长交椭圆于点 ，
则由对称性可设 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，
则 ， ， ，
得
所以 ，
在 中，由 ，得
，化简得 ，所以 ，所以离心率 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，解题的关键是利用椭圆的对称性和椭圆的定义表示出
各线段的长.
21．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，左顶点是A，
左、右焦点分别是 ， ， 是 在第一象限上的一点，直线 与 的另一个交点为 ．若 ，
且 的周长为 ，则直线 的斜率为________．
【答案】
【分析】由平行关系得出对应线段成比例，结合椭圆定义，表示出长度，利用余弦定理求出 ，
得出结果.
【详解】因为椭圆 ： 的离心率为 ，则 ，
又因为 ，即 ，
则 ，可得 ，
所以 ，①又因为 ，可得 ，②
又因为 ，③
由①②③知 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
可得 为锐角，则 ，
所以 ，即 的斜率为 ．
故答案为： .
【点睛】方法点睛：1．椭圆离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然
后把b用a，c代换，求e的值．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
四、解答题
22．（2023春·河南·高二校联考期末）已知椭圆C： 的焦距为 ，离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；(2)已知 ，E为直线 上一纵坐标不为0的点，且直线DE交C于H，G两点，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，求 ，再结合公式 ，即可求解椭圆方程；
（2）首先设直线DE的方程为 ，与直线 和椭圆方程联立，利用弦长公式，表示
和 ，利用分析法，转化为证明 ，再代入韦达定理，即可证明.
【详解】（1）设C的半焦距为c（ ）.
由已知得 ， ，又由 ，
解得 ， .
所以椭圆C的方程为 ；
（2）设直线DE的方程为 ，则 .
将 代入 ，得 .
设H，G的坐标分别为 ， ，
则 ， ， .
，，
要证 ，只要证 ，
即要证 .
即要证 ，
即要证 （*）.
因为 ，
所以（*）式成立，所以 成立.
以 成立.
23．（2023秋·四川内江·高三期末）已知点 是圆 上的任意一点，点 ，线段
的垂直平分线交 于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若过点 的直线交轨迹 于 、 两点， 是 的中点，点 是坐标原点，记 与 的面
积之和为 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知 ，所以动点 的轨迹是椭圆，即可求解；（2）分析出 ，直线 的斜率不存在时， ，直线 的斜率存在时，可
通过设而不求的方法求得 ，令 后可得 ，根据 的范围即可
求出 的范围，进而可求其最大值.
【详解】（1）由题意可知 ，
所以动点 的轨迹 是以 为焦点且长轴长为4的椭圆，
则 ，所以 ，
因此动点 的轨迹 的方程是 .
（2）如图：
不妨设点 在 轴上方，连接 ，
因为 分别为 有中点，所以 ，
所以 ，
当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，则 ， ，
此时 ；
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，
设 ， ，显然直线 不与 轴重合，即 ，联立 ，得 ，
则 ， ，
所以 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 ，令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
综上， ，即 的最大值为 .
24．（河北省邢台市2023-2023学年高二下学期期末数学试题）椭圆 的两焦点为
， ，且椭圆过点 .
(1)求椭圆的方程；
(2) 是坐标原点， 是椭圆上两点， 是平行四边形，求以 为直径的圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义及焦点坐标求得椭圆的方程；（2）根据点差法求出直线 的方程，与椭圆方程联立求出弦长 得到圆的直径，以 的中点 为圆
心，得出圆的方程.
【详解】（1）
，
则 ，又 ，所以 ，故椭圆的方程为 .
（2） 的中点为 ，设 ， ，
则 ， ，
两式相减整理得 ，其中 ，
， ，
故 ，则 .
故 的方程为 ，即 ，
代入椭圆方程整理得
得 ， ，所以 ，
故所求圆的方程为 .25．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆 的中心为 ，离心率为 .圆 在 的内部，半径为 ， 、
分别为 和圆 上的动点，且 ， 两点的最小距离为 .
(1)建立适当的坐标系，求 的方程；
(2)若直线 与圆 相切，且与 相交于A，B两点.
①求证：以 为直径的圆过原点；
②求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）建立平面直角坐标系，由椭圆离心率、 及 列方程求解即可；
（2）①（ ）当直线 垂直于 轴时，计算A、B坐标，进而计算可得 即可证明结果；（ ）
当直线 不垂直于 轴时，设出直线 的方程，结合直线 与圆 相切可得 与与 的关系式，联立
直线 方程与椭圆方程可得韦达定理，代入 计算可得 即可证明结果.
②（ ）当直线 垂直于 轴时，可得 ；（ ）当直线 不垂直于 轴时，计算弦长，运用换元法及基本不等式可求得 的范围，结合直线 与圆 相切可得
原点O到直线 的距离为半径，再运用三角形面积公式即可求得结果.
【详解】（1）以 为坐标原点， 椭圆 的长轴、短轴所在直线分别为 轴、 轴， 建立平面直角坐标系，
如图所示，
设椭圆的长半轴为 ， 短半轴为 ， 半焦距为 ，
依题意得 ，解得
所以 的方程为 .
（2）①如图所示，
（ ）当直线 垂直于 轴时，
不妨设 ，
此时 ， 所以 ，
故以 为直径的圆过原点 .（ ）当直线 不垂直于 轴时， 如图所示，
设直线 的方程为 .
因为 与圆 相切，
所以 到直线 的距离 ，即 ，
由 得 ，
所以 ，
所以
，
所以 ，
故以 为直径的圆过原点 ，
综上， 以 为直径的圆过原点 ；
②由①知，（ ）当斜率不存在时， 轴，此时 ；
（ ）当直线 斜率存在时， ，，
令 ，
则
，
，
则 ，
当 时， .
令 ，
所以 ，当且仅当 即 时取等号，
即 ，当且仅当 即 时取等号，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，综上， ；
因为圆 半径 ，直线l与圆 相切，
所以 ，
，
所以△ 面积的取值范围是 .
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题方法点睛：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
26．（2023春·广东阳江·高二统考期末）已知椭圆 的焦距为 ，点 在
上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 与直线 相交于不同的两点 、 ， 为弦 的中点， 为椭圆 的
下顶点，当 时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆 的方程；（2）设点 、 、 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，由 可得出
，由韦达定理求出点 的坐标，根据 结合斜率关系可得出 ，代入
结合 可得出 的取值范围.
【详解】（1）解：由题意可知 ，所以 ，所以 ①，
又 ，所以 ②，
由①②可得 ， ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）解：设点 、 、 ，
联立 ，得 ，
由题知 ，可得 ③，
由韦达定理可得 ，
，从而 ，
，，则 ，即 ④，
把④代入③得 ，解得 ，又 ，故 的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
27．（安徽省安庆、池州、铜陵三市2023-2023学年高二下学期联合期末检测数学试题）已知椭圆：
的一个焦点为 ，椭圆上的点到 的最大距离为3，最小距离为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆左右顶点为 ，在 上有一动点 ，连接 分别和椭圆交于 两点， 与
的面积分别为 ．是否存在点 ，使得 ，若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 点坐标为 或 ．
【分析】（1）由条件列方程求 ，可得椭圆方程；
（2）设 横坐标为 ，结合三角形面积公式可得 可化为 ，再证明
，设直线 的斜率为 ，分别联立 与椭圆方程求 ，由此计算 ，由此可求 的坐标.【详解】（1）设椭圆 的半焦距为 ，
因为椭圆上的点到 的最大距离为3，最小距离为1，
所以 ， ，又 ，
解得 ， ， ，
故椭圆的标准方程为 ；
（2）由（1）可得 ，
假设存在点 ，使得 ，
设 ，则 ，
设 横坐标为 ，
则 ，
所以 ，
整理得 ，①
设 点坐标为 ，直线 斜率为 ， 斜率为 ，故 ，设直线 的斜率为 ，
故直线 方程为 ，直线 方程为 ，
将直线 和椭圆联立
可得 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，
将直线 和椭圆联立
可得 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，
将 横坐标代入①式可得， ，
整理得 ，
化简得 ，解得 ，即 ，
当 时，直线 的方程为 ，
代入点 可得 ，即点 的坐标为 ，
当 时，直线 的方程为 ，
代入点 可得 ，即点 的坐标为 ，
故 点坐标为 或 ．【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．
28．（2023春·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知椭圆G： 的离心率为 ，
且过点 ．
(1)求椭圆G的方程；
(2)若过点M（1，0）的直线与椭圆G交于两点A，B，设点 ，求 的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列方程解出 ，即可得出方程；
（2）根据题意设直线 及交点 坐标，联立直线与椭圆的方程得到 ， ，表示出 ，
再由向量的模长公式结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）依题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）当直线 斜率为 时， ， ， ，所以 ，所以 ，
当直线 斜率不为 时，设 ， ，直线 的方程为： ，
联立方程组可得 ，得到 ，
，
由根与系数的关系得到 ， ，
，所以 ，
而 ，
所以
当 时， ，
当 时， ，因为 ，
当且仅当 时取等， ，
，所以 .
故 的范围为： .综上所述： 的范围为： .
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，联立直线方程与椭圆方程，消去x(或y)建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，再由基本不等式和向量的模长公
式求解即可.
