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第 06 讲 空间向量及其线性运算 4 种常见考法归类
1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及
空间距离的求解.
2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
知识点1 空间向量的有关概念
1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．
注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量
可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2. 表示法：
（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模
（2）字母表示法：用字母表示，若向量 a的起点是A，终点是B，则a也可记作AB，其模记为|a|或|
AB|.
3．几类特殊的空间向量
名称 定义 表示法
零向
规定长度为0的向量叫做零向量 记为0
量
单位 |a|＝1或|
模为 1 的向量叫做单位向量
向量 AB|＝1
相反
与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量 记为 － a
向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫
共线 a∥b或
做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有
向量 AB∥CD
0∥a
相等 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同 a＝b或
向量 一向量或相等向量 AB＝CD
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．
易错辨析：
（1）空间向量就是空间中的一条有向线段？答：有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二
者完全等同起来．
（2）单位向量都相等？答：单位向量长度相等，方向不确定
（3）共线的单位向量都相等? 答：共线的单位向量是相等向量或相反向量
（4）若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？答：将所有空间单位向量的起
点放在同一点，则终点围成一个球
（5）任一向量与它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相
等的．
（6）若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反？答：|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向
不确定
（7）若向量AB，CD满足|AB|>|CD|，则AB>CD？答：向量不能比较大小
（8）空间中，a∥b，b∥c，则a∥c？答：平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行
（9）若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p？答：向量的相等满足传递性
（10）若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？答：当两个空间向量的起点相同，终
点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同
知识点2 空间向量的线性运算
（一）空间向量的加减运算
语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
三角形
法则 图形叙述
加法运算
语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
平行四边形法则
图形叙述
语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
三角形
减法运算
法则 图形叙述交换律 a＋b＝b＋a
加法运算
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
注意点：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角
形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
A A A A A A A A A A
即： 1 2 2 3 3 4 n1 n 1 n
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
A A A A A A A A A A 0
即： 1 2 2 3 3 4 n1 n n 1 ；
（二）空间向量的数乘运算
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
λ>0 λa与向量a的方向相同
λ<0 λa与向量a的方向相反
几何意义
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
λa的长度是a的长度的 | λ |倍
结合律 λ(μa)＝(λμ)a
运算律
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
注意点：
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
(3)向量λa与向量a一定是共线向量．非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．(4)由于向量a，b可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足
数乘运算的分配律．
(5)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立．
(6)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无法运算．
知识点3 共线向量与共面向量
1．共线向量与共面向量的区别
共线(平行)向量 共面向量
表示若干空间向量的有向线段所在的直线
互相平行或重合，这些向量叫做共线向量
定 或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
义 注：规定：零向量与任意向量平行，即对
任意向量a，都有0∥a.
共线向量定理：对于空间任意两个向量
a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ
共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与
使a＝λb.
向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对
注：（1） 存在唯一实数
(x，y)，使p＝xa＋yb.
，使得 ；（2）存在唯一实数
充 ，使得 ，则 ．注意：
不可丢掉，否则实数 就不唯一．
要
条 1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序
件 实数对(x，y),使AP＝xAB＋yAC或对空间任意一点O，
有OP＝OA＋xAB＋yAC.
对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB (x＋y
四点共面的充要条件是存在有序
＝1)． 2、空间中
实数对 ，使得对空间中任意一点 ，都有
共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平
行）
②证明三点共线。 共面向量定理的用途：
用
注意：证明平行时，先从两直线上取有向 ①证明四点共面
途 线段表示两个向量，然后利用向量的线性
运算证明向量共线，进而可以得到线线平 ②线面平行（进而证面面平行）。
行，这是证明平行问题的一种重要方法。
证明三点共线问题，通常不用图形，直接
利用向量的线性运算即可，但一定要注意
所表示的向量必须有一个公共点。
2.直线l的方向向量如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得OP＝λa.
定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
3.与空间向量的线性运算相关的结论
(1)AB＝OB－OA.
(2)在平行六面体ABCDA B C D 中，有AC1＝AB＋AD＋AA1.
1 1 1 1
(3)若O为空间中任意一点，则
①点P是线段AB中点的充要条件是OP＝(OA＋OB)；
②若G为△ABC的重心，则OG＝(OA＋OB＋OC)．
易错辨析：
（1）若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量?
答：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.所以，任意两个空间
向量总是共面，而三个向量可能共面也可能不共面
（2）在平面内共线的向量在空间不一定共线？
答：在平面内共线的向量在空间一定共线
（3）在空间共线的向量在平面内不一定共线？
答：在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线
1、空间向量有关概念问题的解题策略
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向
量相等的必要不充分条件．
(2)空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平
行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．熟练掌握空间向量的有关概念、向量
的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
2、解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过
作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行
四边形中．
注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
(2) 首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．
3、空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量
首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量
的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
4、利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向
量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
5、空间向量线性运算中的三个关键点
6、判定空间图形中的两向量共线技巧
要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行
转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．
7、证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)PA＝λPB (λ∈R)．
(2)对空间任一点O，OP＝OA＋tAB (t∈R)．
(3)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB (x＋y＝1)．
8、解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有AP＝xAB＋yAC或OP＝xOA＋yOB＋zOC (x＋y＋z＝1)，然后利用指定
向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，
将其中一个向量用另外两个向量来表示．
9、证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1) MP＝xMA＋yMB；
(2)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；
(3)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB＋zOM (x＋y＋z＝1)；
(4)PM∥AB (或PA∥MB或PB∥AM)．
10、证明三点共线和空间四点共面的方法比较考点一：空间向量的概念辨析
例1．（2023春·高二课时练习）下列命题中，正确的是（ ）.
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.
【详解】对于A;比如 , 不相等，但 ，故A错误；
对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；
对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；
对于D；若 ， ，但 不相等，故D错误；
故选：C
变式1．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．空间向量 与 的长度相等
B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
【答案】AB
【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.【详解】对于A，向量 与 是相反向量由相反向量的定义知，向量 与 的长度相等，故A正确；
对于B，平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，故B正确；
对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；
对于D，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误.
故选：AB.
变式2．（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果 ，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【答案】A
【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【详解】对于A，零向量 的相反向量是它本身，A错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；
对于C，如果 ，则 ，C正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.
故选：A.
变式3．（2023·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若 ，则 ､ 的长度相等且方向相同
C．若向量 ､ 满足 ，且 与 同向，则
D．若两个非零向量 与 满足 ，则 .
【答案】D
【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.
【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；
若 ，则 ､ 的长度相等但方向不确定，B错误；向量不能比较大小，C错误；
由 可得向量 与 长度相等，方向相反，故 ，D正确.
故选：D.
变式4．（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量 满足 ，则 ；③在正方体 中，必有 ；④若空间向量
满足 ， ，则 ．其中正确的个数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们
的起点和终点都不一定相同，①错误；
对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量
与 的方向不一定相同，②错误；
对于③，根据正方体的性质，在正方体 中，向量 与向量 的方向相同，模也相等，
则 ，③正确；
对于④，由向量相等关系可知 ，④正确．
故选：C.
例2．（2023春·高二课时练习）如图所示，以长方体 的八个顶点的两点为起点和
终点的向量中，
(1)试写出与 相等的所有向量；(2)试写出 的相反向量；
(3)若 ，求向量 的模．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)3.
【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答.
（3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答.
【详解】（1）在长方体 中，与 相等的所有向量（除本身外）有 ，共3
个.
（2） 的相反向量是 .
（3）在长方体 中，连接 ，如图，
，
所以向量 的模 .
变式1．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知 为平行六面体，若以此平行六面体
的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与 相等的向量；
（2）与 相反的向量；
（3）与 平行的向量．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，
（1）根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出；
（2）连接 ，因为 ，所以 是平行四边形，所以 ，这样就可以写出与 相反
的向量；
（3）连接 ，用类似（2）的方法可写出与 平行的向量．
【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，
∴与 相等的向量为 ；（2）连接 ，由平行六面体的性质可得 ，
∴ 是平行四边形，
∴ ，与 相反的向量为 ．
（3）连接 ，由平行六面体的性质可得 ，
∴ 是平行四边形，
∴ ，与 平行的向量为 ．
变式2．（2023·江苏·高二专题练习）在平行六面体 中，下列四对向量：① 与 ；
② 与 ；③ 与 ；④ 与 .其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.
【详解】对于① 与 ，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于② 与 长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量；
对于③ 与 ，易知 是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量；
对于④ 与 ，易知 是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同．
故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2．
故选：B.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD-ABC D 的中心为O，则下列结论中
1 1 1 1
① + 与 + 是一对相反向量；
1 1
② - 与 - 是一对相反向量；
1 1
③ + + + 与 + + + 是一对相反向量；
1 1 1 1
④ - 与 - 是一对相反向量．
1 1
正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.
【详解】设E,F分别为AD和AD 的中点，
1 1
① + 与 + 不是一对相反向量，错误；
② - 与 - 不是一对相反向量，错误；
③ + + + 是一对相反向量,正确；
1 1 1④ - 与 - 不是一对相反向量,是相等向量，错误．
1
即正确结论的个数为1个
故选：A
考点二：空间向量的线性运算
例3．（2023·全国·高三对口高考） （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】 .
故选：C
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知 是三个不共面向量，已知向量 则
_________.
【答案】
【分析】根据空间向量的线性运算求解.
【详解】 ，
，
故答案为：例4．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）在长方体 中， 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据长方体 ，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.
【详解】如图，可得 ， ，所以 .
故选：B
变式1．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体 中，下列各式中运
算的结果为向量 的是（ ）.
① ；② ；③ ；④ .
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理逐项分析运算.
【详解】对①： ，①正确；
对②： ，②正确；
对③：以 为基底向量，
则 ， ，根据空间向量基本定理可知： ，③错误；
对④： ，④错误.
故选：A.
变式2．（2023秋·高二课时练习）根据如图的平行六面体 ，化简下列各式：
(1) ；
(2) .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由 ， ，及相反向量的定义即可求解；
（2）由向量减法法则及 即可求解.
【详解】（1）在平行六面体 中，
因为 ， ，
所以 ；（2）在平行六面体 中，
因为 ，
所以 .
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知平行六面体 ，则下列四式中：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
正确的是__________．
【答案】①②③
【分析】由平行六面体的性质，结合空间向量的线性运算可得.
【详解】 ，①正确；
，②正确；
由平行六面体 性质可知，③正确；
记 的中点为E，
则 ，④错误.
故答案为：①②③
例5．（2023春·河南信阳·高二统考期中）在斜三棱柱 中， 的中点为 ，，则 可用 表示为_______________．
【答案】
【分析】利用空间向量的线性运算可求 .
【详解】
.
故答案为： .
变式1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中， ， ， ．点M
在OA上，且满足 ，N为BC的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到．
【详解】如图，连接 ，是 的中点， ，
， ，
．
故选： ．
变式2．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体 中， ， 是 的
中点， 是 的中点，设 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的基底表示 ，再利用向量线性运算求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为Q是 的中点，所以 ，因为M为PQ的中点，所以 ，
故选：C.
变式3．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体 中，P是 的中点，点
Q在 上，且 ，设 ， ， ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】因为P是 的中点，
所以 ，
又因为点Q在 上，且 ，
所以
，
所以 ，
故选：C.
例6．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）在四面体 中， 是棱 的中点，且，则 的值为__________.
【答案】0
【分析】利用空间向量加减法法则，把 用 表示出来，即可求出结果.
【详解】
如图所示，因为 是棱 的中点，
所以 ，
则 ，
所以 ，
故答案为：0.
变式1．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱
PC的中点，若 ，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】运用向量的线性运用表示向量 ，对照系数，求得 ，代入可得选项.【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
变式2．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，
若 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】因为点 是上底面 的中心，
所以 ,
又因为 ,
所以 ，
所以 ，
考点三：空间向量共线问题
（一）空间向量共线的判断
例7．（2023·江苏·高二专题练习）下列向量中，真命题是______．（填序号）①若A、B、C、D在一条直线上，则 与 是共线向量；
②若A、B、C、D不在一条直线上，则 与 不是共线向量；
③向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
④向量 与 是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．
【答案】①
【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.
【详解】对于①，若A、B、C、D在一条直线上，则 与 是共线向量，故①正确；
对于②，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是 与 是共线向量，
故②不正确；
对于③，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是 与 是共线向量，
故③不正确；
对于④，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C不在一条直线上，但是 与 是共线向量，故④
不正确；
故答案为：①
变式1．（2023春·高二课时练习）如图，正方体 中，O为 上一点，且 ，
BD与AC交于点M.求证： 三点共线．
【答案】证明见解析.【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求 的关系，即可推理作答.
【详解】在正方体 中，令 ，
，BD与AC交于点M，即点M是 的中点，
于是
，
，
因此 ，即 ，而直线 与直线 有公共点 ，
所以 三点共线.
变式2．（2023·江苏·高二专题练习）已知 、 、 、 、 、 、 、 、 为空间的 个点（如图所
示），并且 ， ， ， ， ．求证： ．
【答案】证明见解析．
【分析】根据题意，由向量的线性运算可得 ，即可得到证明.
【详解】 ， ， ，
，
，因为 、 无公共点，故 .
例8．（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量 ， ， ， ，
， ，则一定共线的三个点是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理分别判断 ， ， ， 四组向量是否共线，即可
得解.
【详解】若 ，则存在唯一实数 使得 ，
即 ，
所以 ，无解，
所以 不共线，则 三点不共线，
若 ，则存在唯一实数 使得 ，
即 ，
所以 ，无解，
所以 不共线，则 三点不共线，
，
若 ，则存在唯一实数 使得 ，即 ，
所以 ，无解，
所以 不共线，则 三点不共线，
，
所以 ，
又点 为两向量的公共端点，所以 三点共线.
故选：D.
变式1．（2023春·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G
为AM上一点，且 .求证：B，G，N三点共线.
【答案】证明见解析.
【分析】由空间向量的共线定理证明，
【详解】证明：取CD的中点E，连接AE，BE，因为M，N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心，
所以M在BE上，N在AE上，
设 ， ， ，
因为M为 BCD的重心，
所以
因为 ，所以 ，
所以 ，
同理得 ，
∴ .
又 ，
∴B，G，N三点共线
（二）由空间向量共线求参数值
例9．（2023春·高二课时练习）对于空间任意两个非零向量 ， ，“ ”是“ ”的
（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分和必要条件的定义法，再结合共线向量的定义即可求解．
【详解】显然 能推出 ，但 包括向量 ， 同向共线和反向共线两种情况，
即当 时，得 或 ，
因此 推不出 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
变式1．（2023春·高二课时练习）若空间非零向量 不共线，则使 与 共线的
k的值为________．
【答案】 /
【分析】由题存在实数λ使得 ，解相应方程可得答案.
【详解】由题意知，存在实数λ使得 ，
即 ,解得 .
故答案为：
变式2．（2023春·高二课时练习）设 是空间两个不共线的非零向量，已知 ，
， ，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
【答案】 .
【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.
【详解】因为 ， ，则有 ，又A， B， D三点共线，于是 ，即 ，而 不共线，
因此 ，解得 ，
所以实数k的值是 .
变式3．（2023春·高二课时练习）设 ， 是两个不共线的空间向量，若 ， ，
，且A，C，D三点共线，则实数k的值为______.
【答案】 /0.4
【分析】由向量加法得 ，由A，C，D三点共线得 ，即可求
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，又∵A，C，D三点共线，∴ ，
∴ ，∴ .
故答案为： .
（三）空间共线向量定理的推论及其应用
例10．（2023春·高二课时练习）已知 、 、 共线， 为空间任意一点（ 、 、 不共线），
且存在实数 、 ，使 ，求 的值．
【答案】
【分析】分析可知存在 使得 ，利用空间向量共线的基本定理可求得 的值.
【详解】因为 、 、 共线，则存在 使得 ，即 ，
所以， ，又因为 ，则 .
变式1．（2023·江苏·高二专题练习）在正方体 中，点E在对角线 上，且 ，
点F在棱 上，若A、E、F三点共线，则 ________ ．
【答案】 /
【分析】设 ，可得 ，根据A、E、F三点共线即可求得.
【详解】因为正方体中， ，
设 ，又 ，
所以 ，即 ，
因为A、E、F三点共线，所以 ，解得 ，即 .
故答案为： .
变式2．【多选】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱 中，P为空间一点，且满足
， ，则（ ）
A．当 时，点P在棱 上 B．当 时，点P在棱 上C．当 时，点P在线段 上 D．当 时，点P在线段 上
【答案】BCD
【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解
【详解】当 时， ，所以 ，
则 ，即P在棱 上，故A错误；
同理当 时，则 ，故P在棱 上，故B正确；
当 时， ，所以 ，即 ，
故点P在线段 上，故C正确；
当 时， ，故点 在线段 上，故D正确．
故选：BCD．
考点四：空间向量共面问题
（一）空间向量共面的判断
例11．【多选】（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
【答案】ACD
【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断；
【详解】A.如图所示： ， 三个向量共面，故错误；
B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；C.如图所示： ，在正方体中 三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；
D. 如图所示： ，在正方体中 三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错
误；
故选：ACD
变式1．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（ ）
A．若 与 共面，则存在实数 ，使
B．若存在实数 ，使向量 ，则 与 共面
C．若点 四点共面，则存在实数 ，使
D．若存在实数 ，使 ，则点 四点共面
【答案】BD
【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若 共线，则A结论不恒
成立；若 三点共线，则C项结论不恒成立.
【详解】对于A项，如果 共线，则 只能表示与 共线的向量.
若 与 不共线，则不能表示，故A项错误；
对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数 ，使向量 ，则 与 共面，故B项正
确；对于C项，如果 三点共线，则不论 取何值， 只能表示与 共线的向量.若点 不
在 所在的直线上，则无法表示，故C项错误；
对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数 ，使 ，则 共面，所
以点 四点共面，故D项正确.
故选：BD.
变式2．（2023秋·高二课时练习）当 ，且 不共线时， 与 的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
【答案】A
【分析】利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.
【详解】根据平行四边形法则可得，以 ， 为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为
，
所以 与 共面.
故选：A.
变式3．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体 中，向量 ， ， 是________
向量(填“共面”或“不共面”)．
【答案】共面
【分析】根据空间向量的运算法则化简得到 ，即可得到 是共面向量.【详解】由空间向量的运算法则，可得 ，
又由 ，可得 ，
所以 是共面向量.
故答案为：共面.
例12．（2023秋·高二课时练习）已知 是不共面向量，
，证明这三个向量共面.
【答案】证明见解析
【分析】由空间向量基本定理可得答案.
【详解】由 是不共面向量，得 与 不共线，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以这三个向量共面.
变式1．（2023春·高二课时练习）已知向量 分别在两条异面直线上， 分别为线段 的
中点，求证：向量 共面．
【答案】证明见解析
【分析】由向量的运算法则得到 ，结合 和
，得到 ，即可得证.
【详解】证明：由向量的运算法则，可得 ，
两式相加，可得 ,因为 分别为线段 的中点，可得 ，
所以 ，即 ，
所以 是共面向量.
变式2．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量 ， 不共线， ， ，
，则（ ）
A． 与 共线 B． 与 共线
C． ， ， ， 四点不共面 D． ， ， ， 四点共面
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.
【详解】对于A， ， 不存在实数 ，使得 成立， 与 不共线，A错误；
对于B， ， ， ，
又 ， 不存在实数 ，使得 成立， 与 不共线，B错误；
对于C、D，若 ， ， ， 四点共面，
则有 ，
，即 ，故 ，
故 ， ， ， 四点共面，C错误，D正确.
故选：D.
变式3．（2023春·高二课时练习）设空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若点 满足向量关系
（其中 ），试问： ， ， ， 四点是否共面？
【答案】共面【分析】由已知得 ，由此利用空间向量共面定理能证明 ， ， ， 四点共
面．
【详解】解： ， ， ， 四点共面．
理由如下： ， ，
，
即 ，由 ， ， 三点不共线，可知 和 不共线，
由共面定理可知向量 ， ， 共面，
， ， ， 四点共面．
（二）空间向量共面求参数
例13．（2023秋·辽宁锦州·高二统考期末）已知向量 ， ， 是空间向量的一组基底，
， ， ，若A，B，C，D四点共面．则实数 的值为__________．
【答案】
【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.
【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对 ，使得 ,即
，
所以 ，
故答案为：
变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知 是不共面向量， ，若 三个向量共面，则实数 ______.
【答案】4
【分析】根据向量共面列方程，化简求得 的值.
【详解】以 为空间一组基底，
由于 三个向量共面，所以存在 ，
使得 ，
即 ，
整理得 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
变式2．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面
外一点O，满足 ，则 _____________．
【答案】
【分析】根据题意和空间向量的基本定理列方程，解之即可求解.
【详解】由题意得，因为A、B、C、D满足四点共面且任意三点不共线，
，
所以 ，解得 .
故答案为：-4.
变式3．（2023春·高一课时练习）已知 三点不共线， 是平面 外任意一点，若
，则 四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.
【详解】 四点共面的充要条件是 ， ，
整理可得 ，
由 ，则 ，解得 ，
故选：A.
变式4．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）在三棱锥 中，M是平面ABC上一点，且
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理 ，进而得出方程 ，解之即可.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ．
因为M是平面ABC上一点，所以 ，所以 ．
故选：B.
变式5．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知 为空间任意一点，
四点共面，但任意三点不共线．如果 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A【分析】由题设条件推得 ，再由四点共面可求得
【详解】因为 ，
所以由
得 ，
即 ，
因为 为空间任意一点， 满足任意三点不共线，且四点共面，
所以 ，故 .
故选：A.
变式6．（2023春·高二课时练习）如图,平面 内的小方格均为正方形,点 为平面 内的一点, 为
平面 外一点,设 ,则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先将 写为 ,再根据平面向量基本定理,将 写为 ,代入 中,利用向量的加
减,化为 的形式,跟题中对比相等,即可得出结果.
【详解】由题知 ，
四点共面,
根据平面向量基本定理,不妨设 , ，
则
,
，
,
.
故选:B
变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知点 在 确定的平面内， 是平面 外任意一点，实数
满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】因为 ，点 在 确定的平面内，
所以 ，即 ，所以 ，
所以当 时， 的有最小值2．
故选：D
变式8．（2023·江苏·高二专题练习）已知点 不共线， 是空间任意一点，点 在平面 内，且
，则（ ）A． 有最小值 B． 有最大值 C． 有最小值1 D． 有最大值1
【答案】A
【分析】因为 四点共面，则 ，即 ，从而得出答案．
【详解】因为 四点共面，则 ，即 ，
所以当 时， 有最小值 ．
故选：A．
变式9．（2023春·高一课时练习）在正方体 中，E为 中点，
，使得 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】正方体中存在三条互相垂直的直线，故我们可以建立空间直角坐标系进行计算.
【详解】
如图建系，设棱长为6，则
，解之：故选：C
变式10．（2023秋·浙江温州·高二校考期末）在正四面体 中，点 在平面 内的投影为 ，点
是线段 的中点，过 的平面分别与 ， ， 交于 ， ， 三点.
(1)若 ，求 的值；
(2)设 ， ， ，求 的值.
【答案】(1)0
(2)6
【分析】（1） 为正 的中心，利用空间向量的线性运算，把 用 表示，可求
的值；
（2）根据已知条件，把 用 表示，由 ， ， ， 共面，可求 的值.
【详解】（1）正四面体 中， 在底面 内的投影 为正 的中心，
∴ ，
∴ ， ， ，∴ .
（2）因为 ，且 ， ， ，
所以 ，即 ，
因为 ， ， ， 共面，所以 ，即 .
（三）空间共面向量定理的推论及其应用
例14．（2023·高二校考课时练习）对于空间任意一点 和不共线的三点 ，有如下关系：
，则（ ）
A． 四点必共面 B． 四点必共面
C． 四点必共面 D． 五点必共面【答案】B
【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点 和不共线三点 ，若点 满足
且 ，则 四点共面.
【详解】对于空间任一点 和不共线三点 ，若点 满足 且
，则 四点共面.
而 ，其中 ，所以 四点共面.
故选：B.
变式1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有
，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面
【答案】B
【分析】根据空间向量的加减法，可得 三个向量共面，可得答案.
【详解】由 ，得 ，
即 ，故 共面.
又因为三个向量有同一公共点P，所以 共面.
故选：B
变式2．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知 是空间中不共线的三个点，
若点 满足 ，则下列说法正确的一项是（ ）
A．点 是唯一的，且一定与 共面
B．点 不唯一，但一定与 共面
C．点 是唯一的，但不一定与 共面D．点 不唯一，也不一定与 共面
【答案】A
【分析】由 ，可得 ，从而有 共面， 四点共面，
再结合 不共线，即可得答案.
【详解】由空间向量的知识可知 共面的充要条件为存在实数 ，使 ，
因为 ，
所以 ，
所以 共面，
所以 四点共面，
因为 ，所以 ，
所以点 唯一.
故选：A.
变式3．【多选】（2023春·高二课时练习）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
【详解】空间向量共面定理， ，若 ， ， 不共线，且 ， ， ， 共面，
则其充要条件是 ；
对于A，因为 ，所以可以得出 ， ， ， 四点共面；
对于B，因为 ，所以不能得出 ， ， ， 四点共面；对于C， ，则 ， ， 为共面向量，所以 与 , ， 一定共面；
对于D，因为 ，所以 ，因为 ，所以不能得出
， ， ， 四点共面．
故选：AC．
变式4．【多选】（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）以下能判定空间四点P、
M、A、B共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.
【详解】对A：若 ，结合向量基本定理知： 为共面向量，故四点P、M、A、
B共面，A正确；
对B：若 ，且 ，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B共面，B
正确；
对C：若 ，则 ，可知直线 的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不
一定共面，C错误；
对D：若 ，可知直线 的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B共面，D正确；
故选：ABD.
1．在平行六面体 中，M为AC与BD的交点，若 ， ， ，则下列向
量中与 相等的向量是（ ）．A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体 中， ，
所以 .
故选：A.
2．已知空间向量 ， ，且 ， ， ，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共线判断三点共线即可．
【详解】解：
，
又 与 过同一点B，
∴ A、B、D三点共线．
故选：C．
3．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 的中点分
别为 ，点 在 上， ．(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）作出并证明 为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.
【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，
则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）过 作 垂直 的延长线交于点 ，
因为 是 中点，所以 ，
在 中， ，
所以 ，因为 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
即三棱锥 的高为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
一、单选题
1．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量 、 、 共面即它们所在直线共面C．若 ， ，则 与 所在直线平行
D．若 ，则存在唯一的实数 ，使
【答案】A
【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断．
【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；
空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；
若 ， ，但当 时， 与 不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，
它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；
若 ，当 时，不存在唯一的实数 ，使 ，D错．
故选：A．
2．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．已知 ， ， ， ， 是空间任意五点，则
B．若两个非零向量 与 满足 ，则四边形 是菱形
C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量
D．对于空间的任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，则 ， ，
， 四点共面
【答案】C
【分析】根据空间向量的运算，即可判断A项；根据已知可推得 ，且 ，即可判断B项；
根据空间向量可以平移，即可得出C项；当且仅当 时， ， ， ， 四点共面，可知D项错
误.
【详解】对于A，因为 ，故A项错误；
对于B，因为 ，所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，不一定是菱形，故B项错误；
对于C，因为空间向量可以平移，将空间任意两个向量平移到同一起点时，则这两个向量可以是共面向量，故C项正确；
对于D，对于空间的任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，当且
仅当 时， ， ， ， 四点共面，故D项错误.
故选：C.
3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）如图，在 中，点 分别是棱 的中点，则
化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.
【详解】如图所示，连接 ，因为 分别是棱 的中点，所以
.
故选：C.
4．（2023秋·天津·高二校联考期末）在四面体 中， ，Q是 的中点，且M为PQ的中点，若 ， ， ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的基底表示 ，再利用向量线性运算求解即可
【详解】因为 ，所以 ，
因为Q是 的中点，所以 ，
因为M为PQ的中点，所以 ，
故选：D
5．（2022秋·高二单元测试）在平行六面体 中，设 ， ， ，则以
为基底表示 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由向量的加法法则可得 ，再将已知条件代入即可得答案.
【详解】因为 .
故选：A.
6．（2023秋·广西防城港·高二统考期末）如图，设 为平行四边形 所在平面外任意一点， 为
的中点，若 ，则 的值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出 ，结合条件即可得出答案.
【详解】 为 的中点，
，
四边形 为平行四边形， ，
.
，
， ，
，
故选：B.
7．（2023春·高二课时练习）平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足， ，则x＋3y等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
【详解】空间向量共面定理， ，若 ， ， 不共线，且 共面，则其充
要条件是 ；
由点A，B，C，D共面得 ①
又由点B，C，D，E共面得 ②
联立①②，解得
所以
故选：B
8．（2023秋·高二课时练习）已知 为三条不共面的线段，若 ，那么
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.
【详解】根据向量加法法则可得： ，
即 ，
因为 ，
所以 ， ， ，
所以 ， ， ，所以 .
故选：B.9．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“ ”
是“A、B、C、D四点共圆”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】D
【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由 ，
当“A、B、C、D四点在同一条直线上时， A, B, C, D四点不共圆，
若A、B、C、D四点共圆，当ABCD 是矩形时，此时AC，BD为圆的直径,满足 ，而当
ABCD 不是矩形时，显然AC，BD不是圆的直径，此时 .
故选: D
10．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共
面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先证明四点共面的条件，再根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
【详解】空间向量共面定理， ，若 ， ， 不共线，且 ， ， ， 共面，
则其充要条件是 ；
对于A，因为 ，所以不能得到 ， ， ， 四点不共面；
对于B，因为 ，所以不能得出 ， ， ， 四点共面；
对于C，由条件可得 ，则 ， ， 为共面向量，所以 与 , 一定共面；
对于D，因为 ，所以 ，因为 ，所以不能得出， ， ， 四点共面．
故选：C．
二、多选题
11．（2021秋·广东佛山·高二校考阶段练习）在平行六面体 中，与向量 相等的向量有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由平行六面体和向量相等的定义判断
【详解】解：如图，在平行六面体 中，与向量 相等的向量有 ， ， ，
故选： BC
12．（2022·高二课时练习）（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线
B．向量 ， ， 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量 ， ，满足 ，则 ∥
D．若 ∥ ，则存在唯一的实数λ，使 =λ
【答案】ABD
【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C
【详解】对于A，若 ，则 与 共线， 与 共线，但 与 不一定共线，所以A错误，
对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误，
对于C，因为 ，所以 ，所以 与 共线，所以 ∥ ，所以C正确，
对于D，若 ， ，则不存在 ，使 =λ ，所以D错误，
故选：ABD
13．（2022秋·浙江台州·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量 与 的长度相等
B．在空间四边形ABCD中， 与 是相反向量
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】AD
【分析】利用空间向量的相关概念逐一判断即得解.
【详解】解：向量 与 是相反向量，长度相等，故选项A正确；
空间四边形ABCD中， 与 的模不一定相等，方向也不一定相反，故选项B错误：
空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，故选项C错误；
由空间向量的有关概念与性质易知选项D正确．
故选：AD．
14．（2022秋·江西·高二南昌县莲塘第一中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．若空间中的 ， ， ， 满足 ，则 ， ， 三点共线
B．空间中三个向量 ， ， ，若 ，则 ， ， 共面
C．对空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，则 ， ， ，
四点共面
D．设 是空间的一组基底，若 ， ，则 不能为空间的一组基底
【答案】ABC
【分析】根据向量的线性运算可判断A，根据向量的共面定理可判断B、C、D．【详解】对于A，根据向量的线性运算，若空间中的 ， ， ， 满足 ，则
，即 ，则 ， ， 三点共线，故A正确；
对于B，因为 ，则 共线，则根据共面向量的定义可得， ， ， 共面，故B正确；
对于C，对空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，又
，则 ， ， ， 四点共面，故C正确；
对于D，若 ， ， 共面，则 ，则 共面，与
是空间的一组基底矛盾，所以 ， ， 不共面，所以 能为空间的一组基底，故D错误，
故选：ABC．
三、填空题
15．（2022·高二课时练习）有下列四个命题：
①已知A，B，C，D是空间任意四点，则 ；
②若两个非零向量 与 满足 ，则 ；
③分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；
④对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 （x，y，z∈R），则P，A，
B，C四点共面．
其中正确命题有_____．
【答案】②
【分析】利用空间向量的概念与运算、共面向量定理对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【详解】对于①，A，B，C，D是空间任意四点，则 成立，①错误；
对于②，若两个非零向量 与 满足 ，即 ，则 ，②正确；
对于③，因为空间任意两个向量共面，因此分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，
这两个向量是共面向量，③错误；
④对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 x y z （x，y，z∈R），当且仅当x+y+z＝1时成立，则P，A，B，C四点共面，④错误．
故答案为：②
16．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三
角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，
AC，若点P满足 且 ，则 的最小值为 ___________ .
【答案】
【分析】由向量 满足条件可知 是平面 上的动点，转化为求 到平面 的距离，利用补形及等
体积法求解即可.
【详解】因为点P满足 且 ，
所以 四点共面，即 是平面 上的动点，
所以 的最小值即为 到平面 的距离.
由题意，几何体可补成边长为6的正方体，如图，
则可知 ，
设 到平面 的距离为 ，则 ,
即 ，
解得 ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题
17．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知 为空间的 个点，且 ，
， ， ， ， ， ．
(1)求证： 四点共面， 四点共面；
(2)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由 和 ，分别得到 ， ， 共面和 ， ， 共
面，即可得证；
（2）连接 ， ，化简得到 ，证得 ，利用线面平行的判定定理，证得 平面
，再由 ，证得 ，从而证得 平面 ，结合面面平行的判定定理，即可
证得平面 平面 ．【详解】（1）解：因为 ，且 ，
所以向量 ， ， 共面，即 四点共面．
又因为 ，且 ，
所以 ， ， 共面，即 ， ， ， 四点共面．
（2）解：连接 ， ，如图所示，
可得
，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 与 相交，所以平面 平面 ．
18．（2023春·高二课时练习）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是
AC，BF的中点，求证： .
【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算，计算判断 与 共线即可推理作答.
【详解】（方法1）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
则有 ，又 ，
两式相加得： ，因此 与 共线，而直线 与 不重合，
所以 .
（方法2）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
，
因此 与 共线，而直线 与 不重合，
所以 .
