文档内容
第 18 讲 圆与圆的位置关系 4 种常见考法归类
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点1 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r，r，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r，r 的 |r－r|＜d＜
1 2 1 2
d＞r＋r d＝r＋r d＝|r－r| d＜|r－r|
1 2 1 2 1 2 1 2
关系 r＋r
1 2
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)，
1 1 1 1 1
C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)，
2 2 2 2 2
联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别
式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，
两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
知识点2 圆与圆位置关系的应用
设圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
1 1 1 1圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，②
2 2 2 2
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D－D)x＋(E－E)y＋F－F＝0.③
1 2 1 2 1 2
方程③表示圆C 与C 的公共弦所在直线的方程．
1 2
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是
两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距 d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定
理求解．
知识点3 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含
有2条外公切线和2条 有 2 条外公切线和 1 只有2条外公切线 只有 1 条外公切 无公切线
内公切线，共4条 条内公切线，共 3 线
条；
C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 C 2
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离 求解
知识点4 圆系方程
(1) 以 为圆心的同心圆圆系方程： ；
(2) 与圆 同心圆的圆系方程为 ；
(3) 过直线 与圆 交点的圆系方程为
(4) 过两圆 ，圆 ： 交点的圆系方程为
（ ，此时圆系不含圆 ：
）特别地，当 时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.1、判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位
置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
2、圆系方程
一般地过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0与圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0交点的圆的方程可设为：
1 1 1 1 2 2 2 2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
1 1 1 2 2 2
3、两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0与圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0相交，则两圆公共弦所在直线的
1 1 1 1 2 2 2 2
方程为(D－D)x＋(E－E)y＋F－F＝0.
1 2 1 2 1 2
4、公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾
股定理求解．
5、求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程
考点一：圆与圆位置关系的判断
（一）判断圆与圆的位置关系
例1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）圆 与圆 的位置
关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
变式1．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O： 与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 的圆心在直线 上，点 与 都在圆 上，
圆 ，则 与 的位置关系是___________.
变式3．【多选】（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知圆 ，则（ ）
A．点 在圆C内 B．直线 与圆C相切
C．圆 与圆C相切 D．圆 与圆C相切
变式4．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中， ，
，动点 满足 ，则使 为等腰三角形的点 个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
变式5．【多选】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M： ，圆N：
，直线l： ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆N的圆心为
B．圆M与圆N相交
C．当圆M与直线l相切时，则
D．当 时，圆M与直线l相交所得的弦长为
变式6．（2022·全国·高二专题练习）已知点 在圆 ： 上，点 ， ，满足
的点 的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
（二）由圆的位置关系求参数
例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆 与圆 外切，则实数 （ ）
A．－1 B．1 C．1或4 D．4
变式1．（2023秋·高二课时练习）若两圆 和圆 相交，则a的取值范围是
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
变式2．（2023秋·高二课时练习）当 为何值时，两圆 和
.
(1)外切；
(2)相交；
(3)外离.
变式3．（2022秋·高二课时练习）若圆 与圆 有公共点，则 满足的条件是
（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆 ： 与圆 ：
有公共点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知圆 ， ，
，若以线段 为直径的圆与圆 有公共点，则 的值可能为______.（写出一个即可）
变式6．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆 和两点，若圆C上存在点P，使得 ，则a的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
变式7．（2023秋·高一单元测试）已知圆 与圆 内切，则
的最小值为_______
变式8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆C的方程为 ，若直线 上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，则k的取值范围为__________．
考点二：与圆相交有关的问题
（一）求两圆的交点坐标
例3．（2022·高二课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
变式1．（2022·高二课时练习）求圆 与圆 的交点的坐标．
变式2．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆 ： 和圆 ：
交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______.
变式3．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）已知圆 与圆 交于A，
B两点，则四边形 的面积为（ ）
A．12 B．6 C．24 D．
（二）圆系方程的应用
例4．（2023·全国·高三专题练习）经过点 以及圆 与 交
点的圆的方程为______．
变式1．（2022秋·高二单元测试）求过两圆 和圆 的交点，且圆心在直线 上的圆的方程.
（三）求两圆公共弦方程
例5．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆 与圆
的公共弦所在直线方程为___________.
变式1．（2022秋·高二课时练习）已知圆 与圆 ，求
两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆 ： 过圆 ：
的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
变式3．（2022秋·高二课时练习）已知过圆 外一点 做圆的两条切线，切点为 两点，
求 所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（四）求两圆公共弦长
例6．（2022·高二课时练习）已知圆 ，圆 .
(1)求圆 与圆 的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程.
变式1．（2023·河南·统考二模）若圆 与圆 的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为 ，且与直线
相切．
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C与圆 的公共弦的长．
变式3．（2021秋·高二课时练习）若圆O：x2＋y2＝5与圆O：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，
1
且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为________；线段AB的长为________．
变式4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆 与圆
相交所得的公共弦长为 ，则圆 的半径 （ ）
A． B． C． 或1 D．
变式5．（2021秋·高二课时练习）圆 与圆
的公共弦长的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
考点三：两圆的公切线问题
（一）圆的公切线条数
例7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆 与圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．【多选】（2023秋·高一单元测试）已知圆 与圆 ，下列说
法正确的是（ ）
A． 与 的公切线恰有4条
B． 与 相交弦的方程为
C． 与 相交弦的弦长为
D．若 分别是圆 上的动点，则
变式2．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知直线 是圆 的切线，并且点 到直线
的距离是2，这样的直线 有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆 和
有且仅有一条公切线，则 ______；此公切线的方程为______
变式4．（2022秋·高二课时练习）已知两圆 ， ，当圆 与圆
有且仅有两条公切线时，则 的取值范围________.
变式5．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆 和
恰有三条公切线，若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（二）圆的公切线方程例8．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆 和圆
都相切的一条直线的方程___________.
变式1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知圆 与圆 ，写出圆C
和圆E的一条公切线的方程______.
变式2．（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆 和 都相切的一条直线方程
____________．
变式3．【多选】（2022秋·高二单元测试）已知圆 ，圆 ，
则下列是圆 与圆 的公切线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（二）圆的公切线长
例9．【多选】（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）已知圆 ，圆
，则（ ）
A．圆 与圆 相切
B．圆 与圆 公切线的长度为
C．圆 与圆 公共弦所在直线的方程为
D．圆 与圆 公共部分的面积为
变式1．【多选】（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）圆
与圆 相交于 ， 两点，则（ ）A． 的直线方程为 B．公共弦 的长为
C．圆 与圆 的公切线长为 D．线段 的中垂线方程为
变式2．【多选】（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知 与
相交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ）．
A．直线AB的方程为
B．过A，B两点，且过点 的圆的方程为
C． 与 的公切线的长度为
D．以线段AB为直径的圆的方程为
变式3．（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为 ，圆 的方程为
.
(1)判断圆A与圆 是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
考点四：圆与圆的最值问题
例10．【多选】（2023秋·高一单元测试）点 在圆 ： 上，点 在圆 ：
上，则（ ）
A． 的最小值为
B． 的最大值为
C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆公共弦所在直线的方程为
变式1．【多选】（2023·湖南·校联考二模）已知点 在圆 上，点 在圆
上，则（ ）
A．两圆外离 B． 的最大值为9
C． 的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
变式2．【多选】（2022秋·山东威海·高二校考阶段练习）已知点 ，且点P在圆
上，C为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：
C．当 最大时， 的面积为
D． 的面积的最大值为
变式3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知圆C： ，圆 是以圆 上任意
一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆 交于A，B两点，则当 最大时， （ ）
A．1 B． C． D．2
1．圆 与圆 的位置关系为
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离2．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆
的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
3．若⊙ 与⊙ 相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂
直，则线段AB的长度是_________．
4．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
________________．
一、单选题
1．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）圆 与圆 的位置关系
为（ ）．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
2．（2023春·江苏盐城·高二统考期末）在坐标平面内，与点 距离为 ，且与点 距离为 的直
线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点 为直线 ： 上的动点，过点 作圆
： 的切线 ， ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知点P为直线 上的一点，M，N分别为圆 ：与圆 ： 上的点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
5．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆 的方程为 ，若直
线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 在圆 内
B．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
C．直线 与圆 相离
D．圆 关于 对称
二、多选题
7．（2023春·湖南·高二校联考期末）已知圆 和圆 ， 分别是圆 ，
圆 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 与圆 有四条公切线
B． 的取值范围是
C． 是圆 与圆 的一条公切线
D．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则存在点 ，使得8．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知直线l： ，圆C： ，则下
列说法错误的是（ ）
A．若 或 ，则直线l与圆C相切
B．若 ，则圆C关于直线l对称
C．若圆E： 与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则
D．若 ，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则
9．（2023秋·高一单元测试）如图所示，该曲线W是由4个圆： ， ，
， 的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）
A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆 与曲线W有8个交点，则
C． 与 的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线 的距离的最小值为4
10．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知 ，过点 作圆 的切线，
切点分别为 ，则下列命题中真命题是（ ）
A．B．直线 的方程为
C．圆 与 共有4条公切线
D．若过点 的直线与 交于 两点，则当 面积最大时， .
三、填空题
11．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆 和
外切形成一个8字形状，若 ， 为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点
（不同于点A，P），则 的最大值为______．
12．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知点 ， ，若圆
上存在点P满足 ，则实数a的取值的范围是____________．
13．（2023春·广西·高二校联考期中）已知圆心在原点的单位圆 和圆 外
切， ________．
14．（2023秋·高二课时练习）已知圆C过点 且与圆 切于点 ，则圆C的方程为
__________.
15．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知两定点 ，如果动点 满
足 ，点 是圆 上的动点，则 的最大值为__________.
16．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知点 ， ，若圆
上有且只有一点 ，使得 ，则实数 的一个取值为___________.（写出满足条
件的一个即可）
四、解答题17．（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆
(1)若直线 过定点 ，且与圆C相切，求直线 的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线 上，且与圆C外切，求圆D的方程．
18．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知圆 经过 ，圆
.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若圆 与圆 相切，求 的值.
19．（2023秋·高一单元测试）已知圆 ，M是y轴上的动点，MA、MB分别与圆C相切
于A、B两点，
(1)如果点M的坐标为 ，求直线MA、MB的方程；
(2)求 面积的最大值．
20．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）在平面直角坐标系 中，已知圆 .
设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)设垂直于 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
21．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知圆 和圆
(1)若圆 与圆 相交于 两点，求 的取值范围，并求直线 的方程（用含有 的方程表示）
(2)若直线 与圆 交于 两点，且 ，求实数 的值
22．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波
罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 .
(1)求 的轨迹方程；
(2)设圆 是以 为直径的圆，求证圆 与圆 相交，并求公共弦所在的直线方程.
