文档内容
第10讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系
4 种常见方法归类
1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.
2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，
并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间直线的向量表示式
设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使AP＝ta，即AP＝tAB.
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使OP＝OA＋ta.
(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋tAB.
注意点：
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线
与l平行或重合．
(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向
量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
2．空间平面的向量表示式
①如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本
定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP＝xa＋yb.②如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP＝OA＋
xAB＋yAC.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．
③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，
那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·AP＝0}．
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
易错辨析：
（1）空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？答案：能
（2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？答案：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，
若两个定方向向量不共线能确定．
（3）由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点？答案：能
知识点2 空间平行、垂直关系的向量表示
设u，u 分别是直线l，l 的方向向量，n，n 分别是平面α，β的法向量．
1 2 1 2 1 2
线线平行 l∥l⇔u∥u⇔∃λ∈R，使得u 证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的
1 2 1 2 1
＝λu 两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量
2
注：此处不考虑线线重合的情 共线的充要条件证明．②建立空间直角坐标系，通过坐
标运算，利用向量平行的坐标表示．
况．但用向量方法证明线线平行
时，必须说明两直线不重合
线面平行 l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0 (1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向
1 1 1 1 1
注：证明线面平行时，必须说明 量垂直．
(2)特别强调直线在平面外．
直线不在平面内；
面面平行 α∥β⇔n∥n⇔∃λ∈R，使得n (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法
1 2 1
＝λn
2 向量平行．
注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证
明．
线线垂直 l⊥l⇔u⊥u⇔u·u＝0 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两
1 2 1 2 1 2
直线的方向向量相互垂直．
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂
直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量
积为0.
线面垂直 l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u （1）基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在
1 1 1 1
＝λn 的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积
1
均为零，从而证得结论．
（2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向
量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数
量积均为零，从而证得结论．
（3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向
向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向
向量与平面法向量共线，从而证得结论．
面面垂直 α⊥β⇔n⊥n⇔n·n＝0 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、
1 2 1 2
线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直
1、理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
2、利用待定系数法求法向量的步骤
3、求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量
（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量
（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0
4、用空间向量证明平行的方法
(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．
(2)线面平行：
①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
③先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内．
(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．
5、用空间向量证明垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．
(2)线面垂直：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不
共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量
的数量积均为零，从而证得结论．
③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线
方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
考点一：求直线的方向向量
例1．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面
ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向
向量．变式1．（2023春·高二课时练习）已知直线 的一个方向向量为 ，另一个方向向量为 ，则
________， ________.
变式2．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知直线 的一个法向量是 ，则 的倾斜角的大
小是（ ）
A． B． C． D．
变式3．【多选】（2022秋·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体 中，E为棱
上不与 ，C重合的任意一点，则能作为直线 的方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l的一个方向向量 ，且直线l过A(0，
y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点二：求平面的法向量
例2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知 ， ，，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·高二课时练习）已知 ，则平面 的一个单位法向量是
（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为
鳖臑.在鳖臑 中， 平面 ， ， .若建立如图所示的“空间直角坐
标系，则平面 的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·高二课时练习）在如图所示的坐标系中， 为正方体，给出下列结论：
①直线 的一个方向向量为 ；
②直线 的一个方向向量为 ；
③平面 的一个法向量为 ；
④平面 的一个法向量为 .其中正确的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式4．（2023·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面
中心， 平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量___________；
变式5．（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体 中，E，F分别为棱 的中
点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面 的一个法向量；
(2)平面 的一个法向量.
变式6．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量 ， ，，则下列说法正确的是（ ）
A． 与 是共线向量 B．与 同向的单位向量是
C． 在 方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是
变式7．（2023春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知 ，
分别是平面 ， 的法向量，则平面 ， 交线的方向向量可以是（ ）
A． B． C． D．
变式8．（2023秋·福建南平·高二统考期末）已知四面体ABCD的顶点坐标分别为 ， ，
， ．
(1)若M是BD的中点，求直线CM与平面ACD所成的角的正弦值；
(2)若P，A，C，D四点共面，且BP⊥平面ACD，求点P的坐标．
变式9．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知点 在平面 内， 是平面 的一个
法向量，则下列点 中，在平面 内的是（ ）
A． B． C． D．
变式10．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点 在平面 内，平面
，其中 是平面 的一个法向量，则下列各点在平面 内的是（ ）
A． B． C． D．
考点三：用空间向量证明平行问题判断直线、平面的位置关系
例3．（2023秋·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l的一个方向向量为 ，平面α的一个法向量为 ，则（ ）
A．l∥α或l α B．l⊥α
C．l α ⊂ D．l与α斜交
⊂
变式1．（2023春·高二单元测试）若平面 与 的法向量分别是 ， ，则平面 与
的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断
变式2．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）已知平面 与平面 是不重合的两个平面，若平面α的法
向量为 ，且 ， ，则平面 与平面 的位置关系是________.
变式3．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体 中， ，以点
为坐标原点，以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，设对角面 所在法向量为
，则 __________．
变式4．【多选】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、
面位置关系的结论中正确的是（ ）
A．若两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，则
B．若直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
C．若两个不同平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
D．若平面 经过三点 ， ， ，向量 是平面 的法向量，则
（二）已知直线、平面的平行关系求参数
例4．（2022秋·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线 的方向向量是 ，
平面 的法向量 ，若直线 平面 ，则 ______．变式1．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线 的一个方向向量为 ，平
面 的一个法向量 ，若 ，则实数 _______．
变式2．（2022秋·天津蓟州·高二校考期中）直线 的方向向量是 ，平面 的法向量
，若直线 ，则 ___________.
变式3．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法
向量为 ，若 ，则 的值为______
（三）证明直线、平面的平行问题
例5．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱 中侧棱
与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC ，BC，AB， 的中点．
1 1
求证：PN∥面ACC A；
1 1
变式1．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥 中，侧面PAD为等边三角形，线段
AD的中点为O且 底面ABCD， ， ，E是PD的中点．证明： 平面PAB；
变式2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面
，D，E分别为棱AB， 的中点， ， ， .
证明： 平面 ；
变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥 中，
底面 ， ．点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点，
， ．
求证： 平面 ；
变式4．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥 中， 底面 ，且 ，
四边形 是直角梯形，且 ， ， ， ， 为 中点， 在线段 上，且 .
求证： 平面 ；
变式5．（2023·四川成都·校考一模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面
， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点.
求证： 平面 ；
变式6．（2021·高二课时练习）如图，在长方体 中，点E，F，G分别在棱 ， ，
上， ；点P，Q，R分别在棱 ，CD，CB上， ．求证：平面
平面PQR．
变式7．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD﹣ABC D 的底面边长1，
1 1 1 1
侧棱长4，AA 中点为E，CC 中点为F．
1 1求证：平面BDE∥平面BDF；
1 1
考点四：利用空间向量证明垂直问题
（一）判断直线、平面的位置关系
例6．（2021秋·北京·高二校考期中）直线 的方向向量分别为 ，则
（ ）
A． B． ∥ C． 与 相交不平行 D． 与 重合
变式1．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为
，则直线l和平面 位置关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
变式2．【多选】（2022秋·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知 为直线l的方向向量,
分别为平面 , 的法向量（ , 不重合）,那么下列说法中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
变式3．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关
系的结论中，正确的是（ ）A．两条不重合直线 的方向向量分别是 ，则
B．直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
C．两个不同的平面 的法向量分别是 ，则
D．直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
变式4．【多选】（2022·高二课时练习）下列命题是真命题的有( )
A．A，B，M，N是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为 ，直线m的方向向量 为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则l⊥α
D．平面α经过三点 ， 是平面α的法向量，则u+t＝1
（二）已知直线、平面的垂直关系求参数
例7．（2023春·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面 的法向量为
，直线 的方向向量为 ，则下列选项中使得 的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线 的方向向量为
，平面 的法向量为 .若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
变式2．（2023春·高二课时练习）已知 是直线l的方向向量， 是平面的法向量．若 ，则 ______．
变式3．（2022秋·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l方向向量为 ，平面 的
法向量为 ，且 ，则m为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
变式4．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D-ABC中， ，
，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且 ，若 平面PBC，则实数 （ ）
A． B． C． D．
（三）证明直线、平面的垂直问题
例8．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平
面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
变式1．（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体 中， 分别是
的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明： ．
变式2．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体 中， ， ， 都是
边长为2的等边三角形，平面 平面 ，平面 平面 ．
(1)判断 ， ， ， 四点是否共面，并说明理由；
(2)在 中，试在边 的中线上确定一点 ，使得 平面 ．
变式3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，底面 是
等腰三角形，且 ，又侧棱 ，面对角线 ，点 分别是棱
的中点， .证明： 平面 ；
变式4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在四棱台 中，平面
平面ABCD，底面ABCD为正方形， ， .
求证： 平面 .
变式5．（2023春·高二课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝
CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA.
变式6．（2022秋·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是
梯形，点E在 上， ．求证：平面 平面 ；
变式7．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）已知：在四棱锥 中，底面 为
正方形，侧棱 平面 ，点 为 中点， ．
求证：平面 平面 ；
1．如图，在正四棱柱 中， ．点 分别在棱 , 上，
．证明： ；
2．如图，在长方体 中，E、P分别是 的中点， 分别是 的中点，
．
求证： 面 ；
3．如图所示，四棱锥 的底面 是边长为1的菱形 ， 是 的中点， 底
面 ， ．
证明：平面 平面 ；
4．如图，直三棱柱 中， ， ， ，侧棱 ，侧面 的两条
对角线交点为D， 的中点为M．求证： 平面 ；
5．如图，在棱长为1的正方体 中，点 是棱 的中点，点 是棱 上的动点．
(1)试确定点 的位置，使得 平面 ；
6．如图，正三棱柱 的所有棱长都为2，D为 中点．
求证： 平面 ；
7．如图1，已知 是上．下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 折成直二面
角，如图2．证明： ；
8．如图，在棱长为1的正方体 中， 与 交于点E， 与 交于点F．
求证： 平面 ；
一、单选题
1．（2023春·高二课时练习）若 在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在三棱锥 中，
底面 ， ， ， ，D为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）A． B． C． D．
3．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）已知直线 ，则下列结论正确的个数是（ ）
①直线 的截距为
②向量 是直线 的一个法向量
③过点 与直线 平行的直线方程为
④若直线 ，则
A． B． C． D．
4．（2023·江苏·高二专题练习）不重合的两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ．不重合的两个平面 ，
的法向量分别为 ， ，直线 ， 均在平面 ， 外．下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高二专题练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体 ，给出下列结论：
①直线 的一个方向向量为 ；②直线 的一个方向向量为 ；
③平面 的一个法向量为 ；
④平面 的一个法向量为 ．
其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·江苏·高二专题练习）若 ， 分别为直线 ， 的一个方向向量，则
（ ）．
A． B． 与 相交，但不垂直
C． D．不能确定
7．（2023·全国·高三专题练习）设向量 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量，
则（ ）
A． B． 或 C． D．
8．（2023春·高二课时练习）已知平面内的两个向量 = (2，3，1)， = (5，6，4)，则该平面的一个法向
量为（ ）
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
9．（2023春·高二课时练习）设 ， 是不重合的两个平面， ， 的法向量分别为 ， ， 和 是不
重合的两条直线， ， 的方向向量分别为 ， ，那么 的一个充分条件是（ ）
A． ， ，且 ， B． ， ，且
C． ， ，且 D． ， ，且
10．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考阶段练习）直线 的方向向量为 ，平面的法向量为 ，若 ，则 （ ）
A．-2 B．2 C．6 D．10
11．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知点 在平面 内， 是平
面 的一个法向量，则下列点P中，在平面 内的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线l在平面 外，直线l的方向向
量是 ，平面 的法向量是 ，则l与 的位置关系是___________（填“平行”或“相
交”）
13．（2023春·高二课时练习）设平面 的一个法向量分别为 ，则 的位置
关系为________．
14．（2023春·高二课时练习）若平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为
，且 ，则 ________.
15．（2023春·高二课时练习）已知 是直线l的一个方向向量， 是平面α的一个
法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________.
二、多选题
16．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）若 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量，
， 是直线 上不同的两点，则以下命题正确的是（ ）
A．
B．
C． ，使得D．设 与 的夹角为 ，则
17．（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）以下命题正确的是（ ）．
A．直线l的方向向量 ，直线m的方向向量 ，则
B．直线l的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 或
C．两个不同平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
D．平面 经过三点 ， ， ，向量 是平面 的法向量，则 ，
18．（2023秋·江西宜春·高二校考期末）已知空间中三点 ， ， ，则下列结论正
确的有（ ）
A．
B．与 共线的单位向量是
C． 与 夹角的余弦值是
D．平面 的一个法向量是
19．（2023秋·江西宜春·高二统考期末）已知空间中三点 ，则下列结论正确
的有（ ）
A． B．与 共线的单位向量是
C． 与 夹角的余弦值是 D．平面 的一个法向量是
20．（2023秋·河北沧州·高二统考期末）在正四面体ABCD中，E，F是BC，AD的中点，平面ADE的法
向量为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． 是平面BCF的法向量 D．
21．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则
B．两个不同的平面 ， 的法向量分别是 ， ，则
C．若直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，若 ，则实数
D．若 ， ， ，则点 在平面 内
四、解答题
22．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱 中， 分别是棱 上的点，
.
证明：平面 平面 ；
23．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）在正四棱柱 中， ， ，E在线段
上，且 .求证： 平面DBE；
24．（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图所示，在直四棱柱 中，
， ， ， ， .
证明： ；
25．（2023秋·云南大理·高二统考期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
，四边形 满足 ， ， ，点M为PC的中点.
求证： ；
26．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段 的中点， 在平面 内的射影为 .
(1)求证： 平面 ；
27．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在四棱锥 中， 底面ABCD，底面ABCD
是矩形， ， ，E是PA的中点， ， .
证明： 平面DEF.
28．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在直三棱柱 中，其中
为 的中点，点 是 上靠近 的四等分点， 与底面 所成角的余弦
值为 ．求证：平面 平面 ；
