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第04讲：平面向量与解三角形高频考点突破
【考点梳理】
考点一．向量的有关概念
名称 定义 备注
既有大小，又有方向的量；向量的
向量 平面向量是自由向量
大小叫做向量的长度(或称模)
零向量 长度为0 的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于 1 个单位 的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量
方向相同或相反的非零向量又叫做 0与任一向量平行或共线
共线向量
共线向量
两向量只有相等或不等，不能比较大
相等向量 长度相等且方向相同的向量
小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
考点二.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算 (2)结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
求实数λ与向量a的 向与a的方向相同；
数乘 (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
积的运算 当λ<0时，λa的方向
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
与a的方向相反；当
λ＝0时，λa＝0
考点四：.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
1．平面向量基本定理如果e、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a＝
1 2 1 2
λe＋λe.
1 1 2 2
其中，不共线的向量e、e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
考点五．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，a－b＝ ( x － x ， y － y)，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝.
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0.a、b共线⇔xy － xy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
【知识拓展】
1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．设a＝(x，y)，b＝(x，y)，如果x≠0，y≠0，则a∥b⇔＝.
1 1 2 2 2 2考点六．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
考点七：．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的
定义
数量积，记作a·b
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
考点八：.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx ＋ yy，由此得到
1 1 2 2 1 2 1 2
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ x 2 ＋ y 2 或|a|＝.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，则A，B两点间的距离AB＝|AB|＝.
1 1 2 2
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a⊥b⇔xx ＋ yy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 1 2
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.
考点九．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
(2)a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 (1)＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(3)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin B ，c＝ 2 R sin
C；
(7)cos A＝；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
变形 cos B＝；
(5)a∶b∶c＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C ；
cos C＝
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
考点十：角形常用面积公式(1)S＝a·h(h 表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
a a
【题型梳理】
题型一：平面向量的基本概念
1．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 与 的长度相等且方向相同或相反；
B．若 ，且 与 的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若 ，则 与 方向相同或相反
【答案】B
【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起
点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量 即可判断.
【详解】对于A，由 只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；
对于B，因为 ，且 与 同向，由两向量相等的条件，可得 = ，故B正确；
对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；
对于D，依据规定： 与任意向量平行，故当 时， 与 的方向不一定相同或相反，故D错误.
故选：B.
2．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 ， ，则
C．已知点 ， ，则与向量 平行的单位向量是
D．已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 在 方向上的投影向量是
【答案】D【分析】根据向量的模、向量共线、平行向量、单位向量、向量的投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正
确答案.
【详解】A选项，当 时， 与 可能垂直，此时不满足 或 ，A选项错误.
B选项， ， ，当 为 时， 不一定平行，B选项错误.
C选项， ， ，则 ，
则与向量 平行的单位向量是 ，或 ，C选项错误.
D选项， 在 方向上的投影向量是 ，D选项正确.
故选： D
3．（2022春·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向 B．
C．对任一向量 ， 总是成立的 D． 与线段 的长度不相等
【答案】B
【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．
【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；
由于 与 方向相反，长度相等，故B正确；
因为零向量的模为0，故C错误；
与线段 的长度相等，故D错误．
故选：B．
题型二：平面向量的线性运算
4．（2023春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）如图，在 中，点 为 边的中点， 为线段 的中点，
连接 并延长交 于点 ，设 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，再根据平面向量基本定理分别表示 ，进而根据向量共线设 ，代入向量可
得 ，进而得到 .
【详解】设 ，则 ，又
，
设 ，则 ，
故 ，即 ，
故 .
故选：C
5．（2021春·浙江·高一期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正
八边形ABCDEFGH，其中 ，给出下列结论：
① 与 的夹角为 ；② ；
③ ；
④ 在 上的投影向量为 （其中 为与 同向的单位向量）．
其中正确结论为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】对四个选项一一判断：
对于①：直接求出 与 的夹角；对于②：利用向量的线性运算直接求解；对于③：利用向量加法的三角形法
则直接求解；对于④：由 在 上的投影向量与 方向相反，即可判断.
【详解】在图2中，正八边形的对角线把周角进行八等分，所以每一份均为 .
对于①： 与 的夹角为 .故①错误；
对于②：因为 .
在 中， ， ，所以 .
而 ，所以 正确.故②正确；
对于③：由向量加法的三角形法则得： .故③错误；对于④：由图知， 在 上的投影向量与 方向相反.故④错误.
故选：B
6．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图，在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得 ，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，
所以
.
故选：A
题型三：平面向量的基本定理
7．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）如图，在 中，点 ， 分别在边 和边 上， ， 分别为
和 的三等分点，点 靠近点 ，点 靠近点 ， 交 于点 ，设 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用 表示 ，结合平面向量基本定理确定其表达式.
【详解】设 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：B.
8．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）如图，在 中， ， ，直线 交
于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由 三点共线可得存在实数 使得 ，再由 三点共线可解得 ，利
用向量的线性运算化简可得 ，即 .
【详解】根据图示可知， 三点共线，由共线定理可知，
存在实数 使得 ,
又 ，所以 ，
又 三点共线，所以 ，解得 ，
即可得 ，所以 ，
所以 ，即 ，可得 ，
又 ，即可得 .
故选：A
9．（2022春·福建福州·高一校联考期末）如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足
，若 ， ，则 的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由P、C、D三点共线及 ，可求m的值，再用 、 作基底表示 ，进而求 即可.
【详解】∵ ， ，
即 且 ，∴ ，
又C、P、D共线，有 ，即 ，
即 ，而 ，
∴
∴ = .
故选：C
题型四：平行向量的垂直和平行问题
10．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）已知向量 ， ，且 ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出 、 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数 的值，最后根据向
量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为 ， ，所以 ，
，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，则 .
故选：A
11．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知非零向量 ， 满足 ， ，若
，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得 ，根据数量积的定义及运算律求出 ，即可求出 ，最后根据 计算可
得.
【详解】因为 ，所以 ，
∴ ，又 ，所以 ，∴ 或 （舍去），
所以 ，
所以 在 方向上的投影向量为 .
故选：A.
12．（2021秋·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知 是腰长为 的等腰直角三角形， 点是斜边 的中
点，点 在 上，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的减法及数乘运算表示出 ，由向量的数量积运算法则化简转化为关于 的表达式，再
利用直角三角形性质求出 即可得解.
【详解】由题意可知，
,，
由 点是斜边 的中点，可知
故选：C
题型五：平行向量数量积
13．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）如图，在 中， ， ， 为 上
一点，且满足 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，因为点 在 上，则 ，又
，利用平面向量的基本定理求出 的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得 的
值.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系．
已知 ， ， ，得 ， ，， ， ，
， ，
， ，
因为点 在 上，则 ，
又 ，且 、 不共线，
可得 ，且 ，解得 ．
，
．
故选：D．
14．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，设
， ，则向量 在 方向上的投影向量为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量公式求解即可.
【详解】因为知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，
在 方向上的投影向量为 ．
故选：A．
15．（2022春·陕西商洛·高一统考期末）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意设 ， ， ，即可根据向量运算得出
，再根据三角函数范围得出答案.
【详解】由题意可设 ， ， ，
则 ， ，
则 ，
，
，
其中 ，
，
则 ，
故选：D.
题型六：平面向量的综合问题
16．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）如图，在 OAB中，P为线段AB上的一个动点（不含端
△
点），且满足 ．
(1)若 ，用向量 ， 表示 ；(2)在（1）的条件下，若 ， ，且 ，求 的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以向量 ， 为基底，根据向量的线性运算，把 用向量 ， 表示；
（2）以向量 ， 为基底，结合（1）中的结论，求 的值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ．
（2）由（1）可知 ，
所以
．
因为 ， ， ，
所以 ，
即 的值 ．
17．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期末）平面内给定三个向量 ， ， ．
(1)若 ，求实数 ；
(2)若 满足 ，且 ，求 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或【分析】（1）易得 ，再根据 ，利用共线向量定理求解；
（2）设 ，得到 ， ，再根据 ， 求解.
【详解】（1）解：因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ；
（2）设 ，
则 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
解得 或 ，
所以 或 .
18．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）如图，在 中， 为 边上一点，且
．(1)设 ，求实数 、 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)设点 满足 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据向量的减法运算和线性表示即可求解；(2)利用数量积的运算律求解；(2)用基底 表示出向量
，再用数量积运算律表示出模长，即可得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
（2）
；
（3）因为 ，所以 ，
因为 ， ，
, ,
所以 ,
,
所以 ,即 ，得证.
题型七：正余弦定理的基本计算19．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）在 中，角A，B，C所对的边分别是，a，b，c， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理可得 ，再结合倍角正弦公式即可求解.
【详解】由正弦定理得：
.
故选：C
20．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）已知在 中， ， ， ，且
，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以有 ，
解得 ，或 ，而已知 ，所以 ，
因此 的面积为 ，
故选：C
21．（2022春·四川南充·高一统考期末）在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 ，
△
则sin（B＋C）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理求出 ，再求出 ，则sin（B＋C）＝ 代入即可求出答案.【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
sin（B＋C）＝ .
故选：B.
题型八：边角互化问题
22．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）若 ，且 ，那么
是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答.
【详解】由 ，得 ，
化简得 ，
所以由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以由正余弦定理角化边得 ，化简得 ，
所以 ，
所以 为等边三角形，
故选：B
23．（2022春·四川绵阳·高一统考期末）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，且 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B
【分析】利用正弦定理 可得 ，根据三角形性质和边角互化得出
， ，解方程组可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，即 ；
因为 ，由正弦定理可得 ①；
因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 ②；
由①②可得 ，解得 或 （舍）.
故选：B.
24．（2022春·内蒙古包头·高一统考期末）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错
误的是（ ）
A．若 ，则 一定是等边三角形
B．若 ，则 一定是等腰三角形
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 ，则 一定是钝角三角形
【答案】B
【分析】根据正余弦定理中，边角互化即可求解.
【详解】对于A:由正弦定理以及 得 ，因为
,所以 ,故 是等边三角形，故A对，
对B:由 以及正弦定理得： ,
由于 ，因此 ,或者 ,即 ,或者 ，故 为
等腰三角形或者直角三角形，故B错误，
对C:由正弦定理得 ,由于在 中， ,因此可得 ,
由于 ,故 ,故C正确，
对于D:由 得 ，故 为钝角，因此D正确
故选：B
题型九:三角形的面积公式问题
25．（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在 中，内角 的对边分别为 若 的面积为
，且 ， ，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理及同角三角函数的商数关系，结合正弦定理及圆的
面积公式即可求解.
【详解】由 及 ，得 ，
所以 ，即 ，
于是有 ，因为 ，所以 ，
所以 外接圆的半径为 ，
所以 外接圆的面积为 ．
故选：B.
26．（2022春·河南安阳·高一统考期末）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，
且AB边上的中线 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A【分析】根据余弦定理，结合三角形面积公式和基本不等式进行求解即可.
【详解】由 ，得 ，
如图，作出平行四边形ACBE，则 与 的面积相等.在 中， ， ，则
，∴ .
又 ，∴ ，
∴ ，
故 面积的最大值为 .
故选：A
27．（2022春·吉林白山·高一统考期末）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 的面积为 ，
且 ， ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由同角三角函数的基本关系求出 ，再由面积公式求出 ，最后由余弦定理及完全平方公式求出 ，
即可得解；
【详解】解：因为 ，所以 ．
由 ，得 ．
由余弦定理 ，得 ，
得 ，即 ，所以 的周长为 ．
故选：D题型十：解三角形的综合问题
28．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 边上中线的长.
【答案】(1) ；
(2)若 ，则 边上中线 的长为 ；
若 ，则 边上中线 的长为 ；
【分析】（1）利用正弦定理将条件化为边的关系可得 ，再结合余弦定理求 ；
（2）利用正弦定理化边为角，结合（1）角 ，解三角形求 边上中线的长.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
由余弦定理可得 ，又 ，
所以 ，
（2）由 可得 ，
所以 ， ，
所以 或 ，
所以 或 ，
若 ，则 ，又 ，所以 ，
设 的中点为 ，
所以 边上中线 的长为 ，
若 ，则 ， 为等边三角形，
因为 ，所以 ，
设 的中点为 ，
所以 边上中线 的长为 .
29．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由二倍角的正弦公式、余弦定理化简已知式可得 ，进而求出 的值，结合
，可求出 .
（2）由三角恒等变换的应用可求 ，由题意可求出 ，由正切函数的性质求解即可.
【详解】（1）由
，
所以 ，可得： ，
即 ，由余弦定理可得： ，
又 ，所以 .
（2）由
，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，得 ，
所以 ，所以 ，所以 .
的取值范围为 .30．（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知在 中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且
．
(1)求 ；
(2)若 ， 为 的平分线，求 的长；
(3)若 ，且 为锐角三角形，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) ．
【分析】（1）对已知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后化简可求出角 ；
（2）由 为 的平分线，得 ，再由 可求出 的长；
（3）设 的外接圆半径为R，利用正弦定理将已知等式化简变形可求得 ，再利用正弦定理可求得
， ，然后表示出三角形的面积，利用三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函
数的性质可求得结果.
【详解】（1）由 及正弦定理得 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
（2）设 ，∵ ， 为 的平分线，
∴ ．
由 ，得 ．
解得 ，即CD的长为 ．
（3）设 的外接圆半径为R．
∵ ，
∴ ，即 ．
由正弦定理可得 ，
∴ ， ．
∴ 的面积
．
∵ 是锐角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即锐角 面积的取值范围是 ．
【专题突破】
一、单选题
31．（2023秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考期末）已知非零向量 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示， ,当 时， 与 垂直， ，所以
成立，此时 ，
∴ 不是 的充分条件，
当 时， ，∴ ,∴ 成立，
∴ 是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
32．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）在 中，角 的对边分别为 ，已
知 ，且 ，点 满足 ， ，则的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.
【详解】由 ，
可得 ，即 .又 ，所以 ．
因为 ，所以点 为 的重心，
所以 ，所以 ，
两边平方得 ．
因为 ，所以 ，
于是 ，所以 ，
的面积为 .
因为 的面积是 面积的 倍.故 的面积为 ．
【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于
难度题.
33．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦
图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一
个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
【详解】由题意
,
即 ，
所以
故选：A.
34．（2023春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位
移分别为 ， ，则 在 上的投影向量的长度为（ ）
A．10 B． C． D．2
【答案】D
【分析】先求得 与 夹角的余弦值，再根据投影向量的定义求出 在 上的投影向量，即可求解.
【详解】设 与 的夹角为 ，
则 ，
所以 在 上的投影向量为 ，所以 在 上的投影向量的长度为 ，
故选:D.
35．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量 ， ， ，若
与 共线，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求得 的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程，求得答案.
【详解】由题意向量 ， ， ，
则 ，
由于 与 共线，则 ，
故选：D
36．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知 外接圆圆心为 ，半径为 ， ，
且 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量 在向量 上的投影向量为 ．
【详解】由 知 为 中点，
又 为 外接圆圆心， ， ，
，， ， ，
∴ 在向量 上的投影为： ，
向量 在向量 上的投影向量为： ．
故选：D．
37．（2023春·浙江丽水·高一统考期末）如图， 、 、 三点在半径为 的圆 上运动，且 ， 是圆
外一点， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，可知 为 的中点，计算得出 ，利用向量模的三角不等式可
求得 的最大值.
【详解】连接 ，如下图所示：因为 ，则 为圆 的一条直径，故 为 的中点，
所以， ，
所以，
，
当且仅当 、 、 共线且 、 同向时，等号成立，
因此， 的最大值为 .
故选：C.
38．（2023春·江苏南通·高一校考期末）已知 点在 所在的平面内，满足
，则动点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心
【答案】D
【分析】由给定条件可得 ，由 表示出 即可判断作答.
【详解】令 边BC上的高为h，则有 ，令边BC的中点为D，则 ，
因此， ，即 ，
所以动点 的轨迹一定通过 的重心.
故选：D
39．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，D是AC边上一点，且满足 ， ．则ac的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】由 可得 ，再由基本不等式即可求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等，
所以 ，即 ，
故ac的最小值为 .
故选：B.
40．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知△ 的内角 所对的边分别为 ，
满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．（ ， ）
【答案】D
【分析】利用余弦定理求出B的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取
值范围．
【详解】由 ，可得 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，可得 ，
又因为，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为 .
故选：D.
二、多选题
41．（2023春·江苏南通·高一期末）下列命题为真命题的有（ ）
A．已知非零向量 ， ， ，若 ， ，则
B．若四边形ABCD中有 ，则四边形ABCD为平行四边形
C．已知 ， ， ， 可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】由平面向量基本定理结合投影向量的运算逐一判断即可．
【详解】对于选项A，对于非零向量 ， ， ，由 ， ，且 为非零向量，可知 ，故A正确；
对于选项B，四边形ABCD中有 ，由平行四边形判定定理可得，
四边形ABCD为平行四边形，故B正确；
对于选项C， ， ，则 ，即 ，
则 ， 不能作为平面向量的一组基底，故C错误；对于选项D，向量 ， ，则 ， ，
故向量 在向量 上的投影向量为 ，故D正确.
故选：ABD.
42．（2023春·浙江温州·高一统考期末）平面向量 ， ， 满足 ， ， 与 夹角为 ，且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】AD
【分析】设 ， ， ，利用 和 与 夹角为 ，求出 ，利用 ，
求出 ，然后结合向量的坐标运算和平面直角坐标系即可逐个选项判断.
【详解】由题知，设 ， ， ，
因为 ， 与 夹角为 ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
即 或 ，
因为 ，
所以 或 ，即 或 ，
则 或 ，即 或 ，
所以 ，A正确；
以 的起点为原点 ， 的方向为 轴正向建立平面直角坐标系，
当 时，
则 的终点落在 上， 的终点落在 上，
作 点关于 的对称点 ，
是指 ，即 ，
最小时，即 的长度，
则 ，
当 时，
则 的终点落在 上， 的终点落在 上，
作 点关于 的对称点 ，
是指 ，即 ，最小时，即 的长度，
则 ，B错；
如图，当 时，点 为 的终点，
则 是指 与 的长，即 ，
根据图像易知， 没有最大值，故C错；
同理，当 时，此时点 为 的终点，
则 是指 与 的长，即 ，
根据图像易知， 没有最大值，故C错；
当 时， ，
，
当 时，上式有最大值，且为 ；
当 时， ，
，当 时，上式有最大值，且为 ，D正确.
故选：AD
43．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个
正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形 的边长为2， 是正八边形
边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数 ，则函数 的最小值为
B． 的最大值为
C． 在 方向上的投影向量为
D．
【答案】AB
【分析】以 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算向量坐标，求出函数解析式，利用二次
函数求出最值，A正确；取 的中点 ，得到 ，求出 的最大值，从而得到
的最大值，B正确；利用数量积的几何意义求解投影向量，C错误；计算向量坐标即可判断D错误，得到
答案.
【详解】如图所示：以 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，设 ，
在 中，根据余弦定理可得， ，整理得到 ，
，
， ，设 ，
对选项A： ， ，
所以 ，
所以
，
所以当 时，函数 有最小值为 ，A正确；
对选项B：取 的中点 ，则 ， ，
则 ， ，
两式相减得： ，由正八边形的对称性知，当点 与点 或 重合时， 最大，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ，B正确；
对选项C： ， ，
所以 ，即投影向量为 ，C错误；
对选项D：因为 ， ，所以 ，
又
，所以 ，D错误.
故选：AB
44．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，下列叙述正确的是
（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．已知 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 为锐角三角形
【答案】BC
【分析】利用正弦定理化边为角，化简判断三角形的形状，判断A，由条件，结合正弦定理求 ，由
此判断B；根据正弦定理，结合边角关系判断C；由正弦定理可得边的比例，再由余弦定理求最大角，由此判断D.【详解】设 的外接圆的半径为 ，
由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ， ，
所以 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，A错误；
，B正确；
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，C正确；
因为 ，由正弦定理可得 ，
设 ，则 ，
因为 中最大边为 ，最大角为角 ，且 ，又 ，
所以角 为钝角，D错误；
故选：BD.
45．（2023春·福建南平·高一期末）在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 ，
，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出 ，由面积公式求出 ，再由余弦定理求出 ，
即可得解.【详解】 ，
由正弦定理可得 ，
整理可得 ，
所以 ，
为三角形内角， ，
∴ ，∵ ， ，故A正确，B错误；
∵ ， ，
，解得 ，
由余弦定理 ，得 ，
解得 或 （舍去），故D正确，C错误.
故选：AD.
三、填空题
46．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）设向量 、 满足 ， ，则 _________.
【答案】
【分析】利用数量积的定义与运算法则求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故 .
故答案为： .
47．（2023春·上海闵行·高一闵行中学校考期末）已知 中， ，且 ，
则 __________.【答案】
【分析】根据 ，结合向量的数量积的运算公式，求得 ，即可求解.
【详解】在 中， ，且 ，
可得 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
48．（2023春·浙江丽水·高一统考期末）如图，测量河对岸的塔高 ，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个
基点 和 进行测量，现测得 米， ，在点 和 测得塔顶 的仰角分别为 ，则塔高
______米．
【答案】
【分析】设 米，进而可得BC， BD，然后利用余弦定理求解.
【详解】设 米，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
所以 ，解得 （米）.
故答案为：28.
49．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，则 的最小值为__________.
【答案】
【分析】由已知条件结合基本不等式，求出 和角 的范围，再结合已知条件和正弦定理、余弦定理，求解即
可.
【详解】在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
∵ ，当且仅当 时取等号，
∴ ，∴ ，
由余弦定理可知， ，
∴由正弦定理有 ，即 ，
∴
，
∵ ，∴ ，∴ .
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题
50．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）在钝角三角形 中， ， ， ， .(1)求 的值；
(2)已知 ， ， 三点共线，若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)若 ， ，若 ， ；
(2)若 ， 的取值范围为 ，
若 ， 的取值范围为 .
【分析】（1）由条件结合三角形面积公式求 ，利用 表示 ，结合数量积的运算律求 的值；
（2）设 ，利用 表示 ，结合数量积运算律求 ，再求其最小值，由此可得 的取值
范围.
【详解】（1）因为 ， ， ，
又 ，
所以 ，
所以 ，所以 或 ，
若 ，则 ，
则 ，
，所以 为钝角，
，，
所以 ，
所以 ，
若 ，则 ，
，
则 ，
综上：若 ， ，若 ， .
（2）由已知，设 ，
则 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， 取最小值，最小值为 ，
故 的取值范围为 ，
由 恒成立可得， ，
所以 的取值范围为 ，
当 时， ，
当 时， 取最小值，最小值为 ，故 的取值范围为 ，
由 恒成立可得， .
的取值范围为 ，
综上：若 ， 的取值范围为 ，
若 ， 的取值范围为 .
51．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知m>0，n>0，如图，在 中，点M，N满足 ， ，
D是线段BC上一点， ，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
(1)若点O满足 ，证明： ．
(2)求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用 依次表示 ，再结合向量共线定理证明
即可；
(2)由(1) ，结合结论可得 ，再利用基本不等式求 的最小值．【详解】（1）由题可知 ，
因为点E为AD的中点，所以 ．
由 ，则 ，即 ，
，
又
所以 ，又 三点不共线，
所以 ．
（2）因为M，N，E三点共线，
所以可设 ，又 ， ，
所以
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立．所以 的最小值是 ．
52．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）已知 的周长为 ，且 ，
(1)求边长 的值；
(2)若 ，求角 的大小，
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与 的周长得到关于 的关系式，解之即可；
（2）利用三角形面积公式得到 ，结合（1）中结论得到 ，从而利用余弦定理即可得解.
【详解】（1）因为 ，则由正弦定理得 ，
又 的周长为 ，则 ，
将 代入上式 ，解得 ，
所以边长 .
（2） ， ，则 ，
又（1）知 ，
，
因此所求角 的大小是 .
53．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）设函数 ．
(1)当 时，求函数 的值域；
(2) 的内角 所对的边分别为 的面积是 且 ， 求 的面
积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）综合应用三角恒等变换与三角函数的知识即可求得结果；
（2）综合应用平面向量数量积、三角函数、解三角形等知识即可求得结果.【详解】（1）
，
， ，则 ，
所以函数 的值域为 ．
（2）由（1）知， ，即 ，
， ，
故 ，即 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，
，
又 ， ，
故 .
54．（2023春·河南·高一校联考期末）如图，在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
．(1)求 ；
(2)过点A作 ，交线段 于点 ，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，结合整体法即可得解；
（2）先由题意求得 ，再利用正弦定理求得 ，从而在 中求解即可.
【详解】（1）因为 ，则 ，
所以由余弦定理得， ，
又 ，所以 .
（2）因为 ，则 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以在 中，由正弦定理 得， ，
又 ，
所以在 中， .
55．（2023春·河南周口·高一校联考期末）在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
△
(1)求C；(2)若 ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为 ，求OC．
△
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正余弦定理及两角和的正弦公式化简可得 ，据此求解；
（2）由三角形面积公式及余弦定理求出 ，再由定理及正弦定理求解即可.
【详解】（1）由 及 ，
有 ，
又由正弦定理，有 ，
有 ，有 ，有 ，
又由 ，可得 ；
（2）由 ，有 ，
可得 ，
在 OAB中，由 OAB的面积为 ，有 ，
△ △
可得 ，
又由余弦定理及AB＝7，有 ，
有 ，
代入 ，有AO＋BO＝8，联立 解得 或
由对称性不妨设
在 OAB中，有 ，可得 ，
△
又由OA为角A的角平分线，有 ，
在 OAC中，由正弦定理有 ，有 ，
△
可得 ．
