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第04讲：平面向量与解三角形高频考点突破
【考点梳理】
考点一．向量的有关概念
名称 定义 备注
既有大小，又有方向的量；向量的
向量 平面向量是自由向量
大小叫做向量的长度(或称模)
零向量 长度为0 的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于 1 个单位 的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量
方向相同或相反的非零向量又叫做 0与任一向量平行或共线
共线向量
共线向量
两向量只有相等或不等，不能比较大
相等向量 长度相等且方向相同的向量
小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
考点二.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算 (2)结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b的和的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
求实数λ与向量a的 向与a的方向相同；
数乘 (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
积的运算 当λ<0时，λa的方向
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
与a的方向相反；当
λ＝0时，λa＝0
考点四：.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等1．平面向量基本定理
如果e、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a＝
1 2 1 2
λe＋λe.
1 1 2 2
其中，不共线的向量e、e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
考点五．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)，a－b＝ ( x － x ， y － y)，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝.
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝ ( x － x ， y － y)，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0.a、b共线⇔xy － xy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
考点六．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
考点七：．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的
定义
数量积，记作a·b
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
考点八：.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx ＋ yy，由此得到
1 1 2 2 1 2 1 2
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ x 2 ＋ y 2 或|a|＝.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，则A，B两点间的距离AB＝|AB|＝.
1 1 2 2
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a⊥b⇔xx ＋ yy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 1 2
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等考点九．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
(2)a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 (1)＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(3)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin B ，c＝ 2 R sin
C；
(7)cos A＝；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
变形 cos B＝；
(5)a∶b∶c＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C ；
cos C＝
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
考点十：角形常用面积公式
(1)S＝a·h(h 表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
a a
【题型梳理】
题型一：平面向量的基本概念
1．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 与 的长度相等且方向相同或相反；
B．若 ，且 与 的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若 ，则 与 方向相同或相反
2．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 或
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等B．若 ， ，则
C．已知点 ， ，则与向量 平行的单位向量是
D．已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 在 方向上的投影向量是
3．（2022春·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量只有大小没有方向 B．
C．对任一向量 ， 总是成立的 D． 与线段 的长度不相等
题型二：平面向量的线性运算
4．（2023春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）如图，在 中，点 为 边的中点， 为线段 的中点，
连接 并延长交 于点 ，设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2021春·浙江·高一期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正
八边形ABCDEFGH，其中 ，给出下列结论：
① 与 的夹角为 ；
② ；
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④ 在 上的投影向量为 （其中 为与 同向的单位向量）．
其中正确结论为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图，在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型三：平面向量的基本定理
7．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）如图，在 中，点 ， 分别在边 和边 上， ， 分别为
和 的三等分点，点 靠近点 ，点 靠近点 ， 交 于点 ，设 ， ，则 （ ）
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C． D．
8．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）如图，在 中， ， ，直线 交
于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·福建福州·高一校联考期末）如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足
，若 ， ，则 的值为（ ）.
A． B． C． D．
题型四：平行向量的垂直和平行问题
10．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）已知向量 ， ，且 ，则
为（ ）
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11．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知非零向量 ， 满足 ， ，若
，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021秋·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知 是腰长为 的等腰直角三角形， 点是斜边 的中
点，点 在 上，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
题型五：平行向量数量积
13．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）如图，在 中， ， ， 为 上
一点，且满足 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，设
， ，则向量 在 方向上的投影向量为（ ）
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A．2 B． C． D．
15．（2022春·陕西商洛·高一统考期末）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：平面向量的综合问题
16．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）如图，在 OAB中，P为线段AB上的一个动点（不含端
△
点），且满足 ．
(1)若 ，用向量 ， 表示 ；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，且 ，求 的值
17．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期末）平面内给定三个向量 ， ， ．
(1)若 ，求实数 ；
(2)若 满足 ，且 ，求 的坐标．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等18．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）如图，在 中， 为 边上一点，且
．
(1)设 ，求实数 、 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)设点 满足 ，求证： ．
题型七：正余弦定理的基本计算
19．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）在 中，角A，B，C所对的边分别是，a，b，c， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）已知在 中， ， ， ，且
，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
21．（2022春·四川南充·高一统考期末）在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 ，
△
则sin（B＋C）＝（ ）
A． B． C． D．
题型八：边角互化问题
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等22．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）若 ，且 ，那么
是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
23．（2022春·四川绵阳·高一统考期末）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，且 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
24．（2022春·内蒙古包头·高一统考期末）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错
误的是（ ）
A．若 ，则 一定是等边三角形
B．若 ，则 一定是等腰三角形
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 ，则 一定是钝角三角形
题型九:三角形的面积公式问题
25．（2022春·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在 中，内角 的对边分别为 若 的面积为
，且 ， ，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
26．（2022春·河南安阳·高一统考期末）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，
且AB边上的中线 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
27．（2022春·吉林白山·高一统考期末）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 的面积为 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等且 ， ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
题型十：解三角形的综合问题
28．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 边上中线的长.
29．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
30．（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知在 中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且
．
(1)求 ；
(2)若 ， 为 的平分线，求 的长；
(3)若 ，且 为锐角三角形，求 面积的取值范围．
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一、单选题
31．（2023秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考期末）已知非零向量 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
32．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）在 中，角 的对边分别为 ，已
知 ，且 ，点 满足 ， ，则
的面积为
A． B． C． D．
33．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦
图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一
个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
34．（2023春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位
移分别为 ， ，则 在 上的投影向量的长度为（ ）
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35．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量 ， ， ，若
与 共线，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
36．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知 外接圆圆心为 ，半径为 ， ，
且 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A． B． C． D．
37．（2023春·浙江丽水·高一统考期末）如图， 、 、 三点在半径为 的圆 上运动，且 ， 是圆
外一点， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
38．（2023春·江苏南通·高一校考期末）已知 点在 所在的平面内，满足
，则动点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心
39．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，D是AC边上一点，且满足 ， ．则ac的最小值为（ ）
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40．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知△ 的内角 所对的边分别为 ，
满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．（ ， ）
二、多选题
41．（2023春·江苏南通·高一期末）下列命题为真命题的有（ ）
A．已知非零向量 ， ， ，若 ， ，则
B．若四边形ABCD中有 ，则四边形ABCD为平行四边形
C．已知 ， ， ， 可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为
42．（2023春·浙江温州·高一统考期末）平面向量 ， ， 满足 ， ， 与 夹角为 ，且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最大值为
43．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个
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边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数 ，则函数 的最小值为
B． 的最大值为
C． 在 方向上的投影向量为
D．
44．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，下列叙述正确的是
（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．已知 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 为锐角三角形
45．（2023春·福建南平·高一期末）在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 ，
，且 ，则（ ）
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C． D．
三、填空题
46．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）设向量 、 满足 ， ，则 _________.
47．（2023春·上海闵行·高一闵行中学校考期末）已知 中， ，且 ，
则 __________.
48．（2023春·浙江丽水·高一统考期末）如图，测量河对岸的塔高 ，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个
基点 和 进行测量，现测得 米， ，在点 和 测得塔顶 的仰角分别为 ，则塔高
______米．
49．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，则 的最小值为__________.
四、解答题
50．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）在钝角三角形 中， ， ， ， .
(1)求 的值；
(2)已知 ， ， 三点共线，若 恒成立，求实数 的取值范围.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等51．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知m>0，n>0，如图，在 中，点M，N满足 ， ，
D是线段BC上一点， ，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
(1)若点O满足 ，证明： ．
(2)求 的最小值．
52．（2023春·上海浦东新·高一统考期末）已知 的周长为 ，且 ，
(1)求边长 的值；
(2)若 ，求角 的大小，
53．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）设函数 ．
(1)当 时，求函数 的值域；
(2) 的内角 所对的边分别为 的面积是 且 ， 求 的面
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54．（2023春·河南·高一校联考期末）如图，在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
．
(1)求 ；
(2)过点A作 ，交线段 于点 ，且 ，求 ．
55．（2023春·河南周口·高一校联考期末）在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
△
(1)求C；
(2)若 ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为 ，求OC．
△
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