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第05讲：空间立体几何高频考点突破
【考点梳理】
考点一：空间几何体结构
（1）多面体
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱柱 有两个面互相平行，其余 底面(底)：两个互相平行的 直棱柱：侧棱垂直于
各面都是四边形，并且相 面 底面的棱柱
邻两个四边形的公共边都 侧面：其余各面 斜棱柱：侧棱不垂直
互相平行，由这些面所围 侧棱：相邻侧面的公共边 于底面的棱柱
成的多面体叫做棱柱 顶点：侧面与底面的公共顶 正棱柱：底面是正多
记作：棱柱ABCDEF 点 边形的直棱柱
－
A′B′C′D′E′F
′
棱锥 有一个面是多边形，其余 底面(底)：多边形面 正棱锥：底面是正多
各面都是有一个公共顶点 侧面：有公共顶点的各个三 边形，并且顶点与底
的三角形，由这些面所围 角形面 面中心的连线垂直于
成的多面体叫做棱锥 侧棱：相邻侧面的公共边 底面的棱锥
顶点：各侧面的公共顶点
记作：棱锥S－ABCD
棱台 用一个平行于棱锥底面的 上底面：原棱锥的截面
平面去截棱锥，底面和截 下底面：原棱锥的底面
面之间那部分多面体叫做 侧面：其余各面
棱台 侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的
公共顶点
记作：棱台ABCD－
A′B′C′D′
（3）圆柱、 圆锥、 圆台、 球
旋转体 结构特征 图形 表示
圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一 圆柱用表示它的轴的字
周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆 母表示， 如图中的圆柱
柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 记作圆柱 O′O
底面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧
面；无论旋转到什么位置， 平行于轴的边都叫做圆
柱侧面的母线
圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其 圆锥也用表示它的轴的
余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 字母表示， 如图中的圆
锥记作圆锥 SO圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之 圆台也用表示它的轴
间的部分叫做圆台 的字母表示， 如图中的
圆台记作圆台 O′O
球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴， 旋转一周形成 球常用表示球心的字母
的曲面叫做球面， 球面所围成的旋转体叫做球体， 来表示， 左图可表示为
简称球.半圆的圆心叫做球的球心， 连接球心和球面 球 O
上任意一点的线段叫做球的半径； 连接球面上两点
并且经过球心的线段叫做球的直径
考点二：空间几何体的直观图
1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
2、斜二测画法的步骤：①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线
长度不变
√2
4 2√2
3、原图与直观图的关系：S = S ；S S
直 原 原= 直
考点三：简单几何体的表面积与体积
1、空间几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
（2）圆柱的表面积
S=2πrl+2πr2
（3）圆锥的表面积
S=πrl+πr2
（4）圆台的表面积
S=πrl+πr2 +πRl+πR2
（5）球的表面积
S=4πR2
2、空间几何体的体积
1
V= S ×h
V=S ×h 3 底
（1）柱体的体积 底 （2）锥体的体积1 4
V= （S +√S S +S )×h V= πR3
3 上 上 下 下 3
（3）台体的体积 （4）球体的体积
3、球的组合体
（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线
√3
长（ a）.
6 6
a a
（3）球与正四面体的组合体：棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 12 ，外接球的半径为 4 .
考点四：空间直线、平面的平行
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
平面外一条直线与此平面内的
一条直线平行，则该直线与此
判定定理 ⇒l∥α
平面平行(简记为“线线平行⇒
线面平行”)
一条直线与一个平面平行，则
过这条直线的任一平面与此平
性质定理 ⇒l∥b
面的交线与该直线平行(简记
为“线面平行⇒线线平行”)
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面内的两条相
交直线与另一个平面
判定定理 平行，则这两个平面 ⇒α∥β
平行(简记为“线面平
行⇒面面平行”)
如果两个平行平面同
时和第三个平面相
性质定理 ⇒a∥b
交，那么它们的交线
平行
考点五．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，
平面α叫做直线l的垂面．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面
判定定理 内的两条相交直线都 ⇒l⊥α
垂直，则该直线与此平面垂直
垂直于同一个平面的
性质定理 ⇒a∥b
两条直线平行
2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，
它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：.
3．平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这
两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个
判定定理 平面的垂线，则这 ⇒α⊥β
两个平面垂直
两个平面垂直，则
一个平面内垂直于
性质定理 ⇒l⊥α
交线的直线与另一
个平面垂直
【题型梳理】
题型一：空间几何体的结构
1．（2023春·福建南平·高一校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．正方形的直观图是正方形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台2．（2023春·四川宜宾·高一宜宾市叙州区第一中学校校考期末）下列命题中，正确的是 ( )
A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面
B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面
C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
3．（2023春·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期中）给出下列说法：
①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块
其中正确说法的个数是（ ）
A． B． C． D．
题型二：直观图
4．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考期末）如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是
平行四边形 ，且 ， ， ，则平面图形OABC的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
5．（2023春·云南昆明·高一昆明一中校考期中）已知 是一平面图形的直观图，斜边 ，则这个平
面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023春·广东茂名·高一统考期中）如图，水平放置的 的斜二测直观图为 ，已知，则 的周长为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：空间几何体的表面积和体积
7．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现
的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径 ，圆柱体部分的高 ，
圆锥体部分的高 ，则这个陀螺的表面积（单位： ）是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上.棱锥
的各棱长为： ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．9．（2023春·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期末）“辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种
估算方法：几何体的体积V等于其上底面的面积S、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积 的4倍、
下底面的面积 之和乘以高h的六分之一，即 .我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体
称为拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面.中国古代名词“刍童”（原
来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体.已知某“刍童”尺寸如图所示，且体积为 ，则它的高为
（ ）
A． B． C． D．4
题型四：内接球和外接球表面积和体积
10．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖
臑.在鳖臑 中， 平面 ， ，且 ，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮
革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已
作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有四个点 ， ， ，
恰好构成三棱锥 ，若 ， ，且 ， ， ， ，则该鞠的表面积
为（ ）A． B． C． D．
12．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知三棱锥 中， ， ， 三点在以 为球
心的球面上，若 ， ，且三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五：点线面的位置关系
13．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）下列表述中正确的是（ ）
A．若直线 平面 ，直线 ，则
B．若直线 平面 ，直线 ，且 ，则
C．若平面 内有三个不共线的点到平面 的距离相等，则
D．若平面 满足 ， ， ，则
14．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列结论不正
确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ， ， 与 相交，则
15．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知直线 、 ，平面 、 ，给出下列命题：
①若 ， ，且 ，则
②若 ， ，则
③若 ， ，且 ，则
④若 ， ，且 ，则其中正确的命題是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
题型六：线面的平行和性质
16．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）如图，在四棱锥 中， 平面
是 的中点.
(1)证明： 面
(2)证明：平面 平面 ；
(3)求三棱锥 的体积.
17．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）如图：在正方体 中 ， 为 的中点.(1)求三棱锥 的体积；
(2)求证： 平面 ；
(3)若 为 的中点，求证：平面 平面 .
18．（2023春·四川宜宾·高一校考期末）如图，四棱锥 中， 底面 ，底面 为菱形，点F
为侧棱 上一点．
(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若 ，求证：平面 平面 ．
题型七：线面的垂直和性质
19．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）如图，在直三棱柱 中， ， ，， 为棱 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
20．（2023春·河南·高一校联考期末）如图，三棱柱 中， 为等边三角形， ，
， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值．21．（2023春·福建南平·高一校考期末）如图所示，已知在三棱锥 中， ，M为 的中
点，D为 的中点，且 为正三角形．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）若 ，求三棱锥 的体积．
题型八：距离和线面角平面角问题
22．（2023春·江苏南通·高一校考期末）如图， 是圆 的直径， 是圆上异于 、 一点，直线 平面
， ， .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的正切值.
23．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知边长为6的菱形 ， ，把 沿着翻折至 的位置，构成三棱锥 ，且 ， ， .
(1)证明： ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求 与平面 所成角的正弦值.
24．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，
M，N分别为PA，BC的中点底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于点O．
(1)求证：MN∥平面PCD；
(2)二面角B－PC－D的平面角为θ，若 ．
①求PA与底面ABCD所成角的大小；
②求点N到平面CDP的距离．【专题突破】
一、单选题
25．（2023春·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）四棱台 中，其上、下底面均为正方形，若
，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为 ，则该棱台的体积为（ ）
A．224 B．448 C． D．147
26．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为
6m，顶角为 的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．
已知棱台 是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中 ， ，则该
“刍童”外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
28．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）如图，在棱长均为 的直三棱柱 中， 是 的
中点，过 、 、 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点 所在部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023春·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）已知 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
30．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下
列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
31．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）如图，平面四边形ABCD中， ， 为正三
角形，以AC为折痕将 折起，使D点达到P点位置，且二面角 的余弦值为 ，当三棱锥
的体积取得最大值，且最大值为 时，三棱锥 外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
32．（2023春·福建南平·高一期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为正方形，
为 的中点，则异面直线 与 所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
33．（2023春·河南南阳·高一统考期末）如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：
① 与 所成的角为 ② ∥平面
③ ④平面 ∥平面
其中正确判断的序号是（ ）．
A．① ③ B．② ③ C．① ② ④ D．② ③ ④
二、多选题34．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，
， ，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
35．（2023春·湖南株洲·高一统考期末）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 ，在轴
截面ABCD中， ，且 ，下列说法正确的是（ ）
A．该圆台轴截 面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的表面积为
D．沿着该圆台表面，从点 到 中点的最短距离为
36．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，下列判断
中正确的是（ ）A．平面 平面
B．
C．
D．异面直线 与 所成角的取值范围是
37．（2023春·浙江宁波·高一统考期末）已知正四棱柱 的底面边长为1，侧棱长为2，点M为侧棱
上的动点（包括端点）， 平面 ．下列说法正确的有（ ）
A．异面直线AM与 可能垂直
B．直线BC与平面 可能垂直
C．AB与平面 所成角的正弦值的范围为
D．若 且 ，则平面 截正四棱柱所得截面多边形的周长为
三、填空题
38．（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知圆锥的母线长为1，底面半径为r，若圆锥的侧面展开图的面积为
扇形所在圆的面积的 ，则 ＝____________．
39．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）已知三棱锥 中， 平面 ，
，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ______．
40．（2023春·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱
塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代
书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为 .若某
空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为______.
41．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）如图，在棱长为1的正方体 中，点A到平面
距离是______．
42．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知如图（1） 为梯形， ， ，点
E在CD上， ， ， ，现将 沿AE折成如图（2） 位置，使得二面角
的大小为 ，则直线AB与平面APE所成角的正弦值是__________.四、解答题
43．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为6的棱形，
，平面 交平面CDEF于EF，平面 平面ABCD， 中BC边上的高 ， ，
．
(1)求证：
(2)求几何体ABCDEF的体积
(3)求直线 与平面 所成角的大小
44．（2023春·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期末）如图，四面体ABCD中， 等边三角形， ，
且 .
(1)记AC中点为M，若面 面ABD，求证： 面ADC；
(2)当二面角 的大小为 时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.45．（2023春·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形．
(1)若点E是PD的中点，证明： 平面 ；
(2)若 ， ，且平面 平面 ，求二面角 的正切值．
46．（2023春·浙江丽水·高一统考期末）如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， ， ，在锐角 中， ，点 在 上， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正切值.47．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）如图所示，在平行四边形ABCD中， ，
，E为边AB的中点，将 沿直线DE翻折为 ，若F为线段 的中点．在 翻折过程
中，
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 ，求 与面 所成角的正弦值.
48．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形．
(1)若点 是 的中点，证明： 平面 ；
(2)若 ， ，且平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正切值．49．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）如图，三棱锥 的底面是等腰直角三角形，其中
， ，平面 平面 ，点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当 与平面 所成的角为 时，求二面角 的余弦值.
