文档内容
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
【划重点】
1．理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.
2．利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离．
3．会用向量法求线线、线面、面面夹角.
4．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．
【知识梳理】
知识点一 点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量AP=a，则向量AP在直线l
上的投影向量为AQ＝ ，则点P到直线l的距离为 (如图)．
知识点二 点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．
知识点三 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二
面角称为平面α与平面β的夹角．
知识点四 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围两条异面直 设两异面直线 l，l 所成的角为θ，其方向向
1 2
线所成的角 量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的
直线与平面
方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ
所成的角
＝|cos 〈u，n〉|＝
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法
两个平面的
向量分别为n，n，则cos θ＝|cos 〈n，n〉|
1 2 1 2
夹角
＝
【例题详解】
一、点到直线的距离
例1 (1)已知空间直角坐标系中的三点 ， ， ，则点A到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
(2)直线l的方向向量为 ，且l过点 ，则点 到l的距离为__________.
(3)如图，在空间直角坐标系中有长方体 求点B到直线 的距离.
跟踪训练1 (1)已知直线l过点 ，且直线l的一个方向向量为 ，则坐标原点O到直线l的距离d为___________.
(2)如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，且 ， 为棱 的
中点，点 在 上，且 ，则 的中点 到直线 的距离是______．
二、点到平面的距离与直线到平面的距离
例2 如图，正方体 的棱长为2，点 为 的中点．
(1)求点 到平面 的距离为 ；
(2)求 到平面 的距离．
跟踪训练2 (1)已知平面 的一个法向量 ，点 在 内，则 到 的距离为
（ ）
A．10 B．3 C． D．(2)如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截得到的，其中 ， ，
， ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
(3)如图所示，若正方形ABCD的边长为1， 平面ABCD，且 ，E、F分别为AB、BC的中点，
则直线AC到平面PEF的距离为______．
三、两条异面直线所成的角
例3 (1)正方体 中，E，F分别为 ， 的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦
值为（ ）A． B． C． D．
(2)如图，在圆锥 中， ， 为底面圆的两条直径， ，且 ， ，
，异面直线 与 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练3 (1)在棱长均等的正三棱柱 中，直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．(2)如图，在四棱锥 中， ，底面ABCD为长方形， ， ，Q
为PC上一点，且 ，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
四、直线与平面所成的角
例4 在四棱锥 中， 底面 ．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
跟踪训练4 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，，M，N分别为 的中点， .
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
五、两个平面的夹角
例5 如图1，在直角梯形 中， ， ， ， ， .现沿平行于 的
折叠，使得 且 平面 ，如图2所示.
(1)求 的长度；
(2)求二面角 的大小.跟踪训练5 如图，在圆锥 中， 是底面的直径， 是底面圆周上的一点，且 ， ，
， 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【课堂巩固】
1．已知空间中三点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正方体 的棱长为2， ， 分别为上底面 和侧面 的中心，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．3．已知棱长为1的正方体 ABCD－ABC D，则平面 ABC 与平面 AC D 之间的距离为( )
1 1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
4．若异面直线l 的方向向量与l 的方向向量的夹角为150°，则l 与l 所成的角为( )
1 2 1 2
A． B． C．或 D．以上均不对
5．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（
）
A． B． C． D．
6．如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是边长为 的正三角形， ， 是
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点 ，若 ， 两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.8．在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为 的中点.
则点 到平面 的距离为__________.
9．已知向量 为平面 的法向量，点 在 内，则点 到平面 的距离为
__________．
10．如图，在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， ， ．
(1)求点 到直线 的距离；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
11．如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，E,F分别为BB CC 的中点， ，过点E, F,
1 1 1 1 1, 1
G的平面交AA 于点H，求DA 到平面EFGH的距离．
1 1 1
12．如图，在空间直角坐标系中有单位正方体 ，点E是 的中点，求直线 与直线
CE所成角的余弦值．13．如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（III）求二面角 的正弦值．
14．如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ，
分别是 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.15．如图，在底面是矩形的四棱雉 中， 平面 ， ， ， 是PD的中
点.
(1)求证：平面 平面PAD；
(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
(3)求B点到平面EAC的距离.
【课时作业】
1．在棱长为2的正方体 中，点E为棱 的中点，则点 到直线BE的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
2．直线l的方向向量为 ，且l过点 ，则点 到直线l的距离为（ ）A． B． C． D．
3．已知正方形 的边长为1， 平面 ，且 ， 分别为 的中点，则直线
到平面 的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，已知 是侧棱长和底面边长均等于 的直三棱柱， 是侧棱 的中点.则点 到平面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）A． B． C． D．
6．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则α与β的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(
)
A． B． C． D．
8．在棱长为1的正方体 中，E为线段 的中点，F为线段 上的中点，点M满足
，则点M到直线AE的距离为________________．
9．已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为
__________.
10．在三棱锥 中，平面 平面 ，若棱长 ，且 ，则点
到平面 的距离为________．11．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为____．
12．如图，已知正三棱柱 的所有棱长均为1，则线段 上的动点P到直线 的距离的最小
值为______.
13．如图，在棱长为2的正方体 中，E为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点C到平面 的距离．
13．如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 的中点．
(1)求直线 与平面 所成角的余弦值．
(2)求直线 到平面 的距离．14．斜三棱柱 的各棱长都为2， ，点 在下底面ABC的投影为AB的中点O．
(1)在棱 （含端点）上是否存在一点D使 ？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点 到平面 的距离．
15．如图在边长是2的正方体 中，E，F分别为AB， 的中点．
（1）求异面直线EF与 所成角的大小．
（2）证明： 平面 ．16．如图，在正三棱柱ABC-ABC 中，AB=AA=2，点P，Q分别为AB，BC的中点．
1 1 1 1 1 1
（1）求异面直线BP与AC 所成角的余弦值；
1
（2）求直线CC 与平面AQC 所成角的正弦值．
1 1
17．如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ，
，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．18．如图，在四棱锥 中， ，底面ABCD为菱形，边长为2， ，
且 ，异面直线PB与CD所成的角为 ，
(1)求证：
(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.
(3)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．
