文档内容
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
【划重点】
1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．
2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．
3．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．
【知识梳理】
知识点一 空间中直线、平面的向量表示
1．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
2．平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平
面完全确定，可以表示为集合 {P|a·AP＝0}．
知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示
1．设u，u 分别是直线l，l 的方向向量，则l∥l⇔u∥u⇔∃λ∈R，使得u＝λu.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
3．设n ，n 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n∥n⇔∃λ∈R，使得n＝λn .
1 2 1 2 1 2
知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示
1．设 u，u 分别是直线 l , l 的方向向量，则l⊥l⇔u⊥u⇔u·u＝0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
3．设n，n 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n⊥n⇔n·n＝0.
1 2 1 2 1 2
【例题详解】
一、直线的方向向量例1 (1)若点 ， 在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由方向向量的概念求解，
【详解】由 ，l的方向向量与 平行，只有选项A满足题意，
故选：A
(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，
AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量．
【答案】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得．
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则 ， ，
所以 即为直线PC的一个方向向量.
跟踪训练1 (1)设l 的方向向量为 =（1，2，﹣2），l 的方向向量为 =（﹣2，3，m），若l⊥l，则m
1 2 1 2
等于（ ）A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】由l⊥l，可得其两直线的方向向量垂直，即 ，所以 ，从而可求出m的值
1 2
【详解】因为l 的方向向量为 =（1，2，﹣2），l 的方向向量为 =（﹣2，3，m），且l⊥l，
1 2 1 2
所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：B
(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD－ABC D 为正方体，棱长为 1，则直线 DD 的一个方向向量为
1 1 1 1 1
________，直线 BC 的一个方向向量为________．
1
【答案】(不唯一)(0,0,1) (0,1,1)
【详解】∵DD ∥AA，AA1＝(0,0,1)，直线DD 的一个方向向量为(0,0,1)；
1 1 1
BC ∥AD，AD1 ＝(0，1,1), 故直线BC 的一个方向向量为(0,1,1)．
1 1 1
二、求平面的法向量
例2 如图在长方体 中， ， ， ，M是 的中点．以D为原点， ，
， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面 的法向量；
(2)求平面 的法向量．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）可以观察出y轴垂直于平面 ，故 就是平面 的一个法向量；（2）利
用求解平面的法向量的方法进行求解.
【详解】(1)因为y轴垂直于平面 ，所以 是平面 的一个法向量．
(2)因为 ， ， ，M是 的中点，所以M，C， 的坐标分别为 ， ，
．因此 ， ．
设 是平面 的法向量，则
， ．
所以 所以
取 ，则 ， ．于是 是平面 的一个法向量．
跟踪训练2 已知四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB
＝BC＝1，AD ，试建立空间直角坐标系，求平面SAB，平面SDC的一个法向量．【答案】平面SAB的一个法向量为（1，0，0），平面SDC的一个法向量为（2，﹣1，1）．
【分析】以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，能求出平面SAB的一个
法向量和平面SDC的一个法向量．
【详解】
∵四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵SA＝AB＝BC＝1，AD ，
∴S（0，0，1），A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（ ，0，0），
平面SAB的法向量 （1，0，0），
（ ，0，﹣1）， （1，1，﹣1），
设平面SDC的一个法向量 （x，y，z），
则 ，取z＝1，
得平面SDC的一个法向量 （2，﹣1，1）．
三、证明线线平行
例3 在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝3，AD＝4，AA ＝2，点M在棱BB 上，且BM＝2MB ，点S在
1 1 1 1 1 1 1
DD 上，且SD＝2SD，点N，R分别为AD，BC的中点．求证：MN∥RS.
1 1 1 1
【详解】证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
则MN，RS分别为MN，RS的方向向量，
所以MN＝，RS＝，所以MN＝RS，所以MN∥RS，因为M∉RS，
所以MN∥RS.
方法二 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则MN＝MB1＋B1A1＋A1N＝c－a＋b，
RS＝RC＋CD＋DS＝b－a＋c.
所以MN＝RS，所以MN∥RS.
又R∉MN，所以MN∥RS.
跟踪训练3 如图所示，在正方体 ABCD－ABC D 中，E，F分别为DD 和BB 的中点．求证：四边形
1 1 1 1 1 1
AECF是平行四边形．
1
【详解】证明 以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体
的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C (0,1,1)，F，
1
∴AE＝，FC1＝，EC1＝，AF＝，
∴AE＝FC1，EC1＝AF，
∴AE∥FC1，EC1∥AF，
又∵F∉AE，F∉EC ，
1
∴AE∥FC ，EC ∥AF，
1 1
∴四边形AECF是平行四边形．
1
四、证明线面平行
例4 如图，在正方体 中，E，F分别是面 ，面 的中心．求证： 平面 ．【答案】证明见解析
【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量，利用向量关系即可证明.
【详解】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则可得 ，
， ，
平面 ， 平面 .
跟踪训练4 如图，在长方体 中，底面 是边长为2的正方形， ，E，F分别
是 的中点．求证： 平面 ；【分析】建立空间直角坐标系，求解平面 的法向量 ，利用向量法求解线面平行即可.
【详解】证明：如图所示，以点 为坐标原点，以 分别为 轴建立空间直角坐标系
则 ，
，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
五、证明面面平行例5 如图，长方体 中， ， ，
(1)求证：平面 平面 ;
(2)线段 上，是否存在点 ，使得 平面 .
【分析】（1）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间坐标系，分别求平面 和平
面 的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行；
（2） ，当 垂直与平面 的法向量时 平面 ，求 的值即可.
【详解】（1）因为长方体 ，所以 ， ， 两两垂直，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间坐标系：
由题知 ,
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，
因为 ，所以平面 平面 .
（2）设线段 上存在点 使得 平面 ，
由（1）得 ， ，平面 的法向量 ，
所以 ，
由 解得 ，即 为线段 中点时， 平面 .
跟踪训练5 如图，已知在正方体ABCD－ABC D 中，M，N，P分别是AD，BD，BC的中点，利用向
1 1 1 1 1 1
量法证明：
（1）MN∥平面CC DD；
1 1
（2）平面MNP∥平面CC DD．
1 1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直
线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..
【详解】（1）证明：以D为坐标原点， ， ， 的方向
分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，
D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方体的性质，知AD⊥平面CC DD，
1 1
所以 ＝(2，0，0)为平面CC DD的一个法向量.
1 1
由于 ＝(0，1，－1)，
则 ＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以 ⊥ .
又MN 平面CC DD，
1 1
所以M⊄N∥平面CC DD.
1 1
（2）证明：因为 ＝(2，0，0)为平面CC DD的一个法向量，
1 1
由于 ＝(0，2，0)， ＝(0，1，－1)，
则 ，
即 ＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，
所以平面MNP∥平面CC DD.
1 1
六、证明线线垂直问题
例6 如图，在直四棱柱 中， ， ， ， ．求证：
；【答案】证明见解析
【分析】根据直四棱柱的性质可得 ， ，再由 ，即可建立空间直角坐标系，
利用空间向量法计算可得.
【详解】证明：在直四棱柱 中 平面 ， 平面 ．
所以 ， ．又 ，所以 ， ， 两两互相垂直，
以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ．所以 ， ．
所以 ，所以 ．
跟踪训练6 如图，在直三棱柱 - 中， 3， =4， 5，(1)求证 ；
(2)在 上是否存在点 ，使得 并说明理由
【分析】（1）以C为坐标原点， 、 、 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 ，
利用向量法能证明AC⊥BC.
（2）假设在AB上存在点D，使得AC ⊥CD，设 ，则利用向量法能求出在AB线上是否存在点
1
D，使得AC ⊥CD.
1
【详解】（1）在直三棱柱ABC﹣ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4，AC､BC､CC 两两垂直，以C为
1 1 1 1 1
坐标原点， 、 、 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 ，如下图示：
则 ， ， ， ，
， ， ， ， .
（2）假设在 上存在点 ，使得 ，利用上式所建的空间直角坐标系，设 ，则
，其中 ，于是 ，又 ， 由 得： ，解得 ，此时，
.
在 上存在点 ，使得 ，点 与点 重合.
【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要
认真审题，注意向量法的合理运用.
七、证明线面垂直问题
例7 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC， E为PC的
中点，EF⊥BP于点F. 求证：PB⊥平面EFD.
【详解】证明 由题意得，DA，DC，DP两两垂直，
所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，
设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
所以PB＝(1,1，－1)，DE＝，EB＝，设F(x，y，z)，
则PF＝(x，y，z－1)，EF＝.
因为EF⊥PB，所以x＋－＝0，
即x＋y －z＝0.①
又因为PF∥PB，可设PF＝λPB(0≤λ≤1)，
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
所以EF＝.
方法一 因为PB·DE＝(1,1，－1) ·＝0＋－＝0，所以PB⊥DE ，所以PB⊥DE，
因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD.
所以PB⊥平面EFD.
方法二 设n＝(x，y，z)为平面EFD的法向量，
2 2 2 2
则有
即
所以取z＝1，则n＝(－1，－1,1)．
2 2
所以PB∥n，所以PB⊥平面EFD.
2
跟踪训练7 在正四棱柱 中， ， 为 的中点.
求证：（1） 平面 .
（2） 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题意建立如图空间直角坐标系，求出平面 的法向量、 的坐标，由向量的坐标
运算即可求证；
（2）求出 坐标，结合平面 的法向量，由向量共线即可求证．
【详解】根据题意以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在的直线为 轴，建立空
间直角坐标系 ，设底面边长为 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，
， ，（1）设平面 的法向量 ，
， ，
由 ，即 ，
取 ，则 ， ，得 ，
又 ，
因为 ，所以 ，且 平面 ,
所以 平面 ．
（2）由（1）可知平面 的法向量 ，
， ，所以 ，
所以 平面 ．
八、证明面面垂直问题
例8 如图，在直三棱柱 中， 为 的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ．
【分析】（1）利用向量法去证明 平面 ；
（2）利用向量法去证明平面 平面 ．
【详解】（1）在直三棱柱 中，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ，
， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
，且 平面 ，则 平面
（2） ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
又平面 的法向量 ，则 ，则
平面 平面 ．
跟踪训练8 如图，在正四棱锥P－ABCD中，侧棱长为 ，底面边长为2．点E，F分别CD，BC中点．
求证：(1)PA⊥EF；(2)平面PAB⊥平面PCD．
【分析】建立如图的空间直角坐标系，
（1）由两直线的方向向量的数量积为0证明线线垂直；
（2）由两平面的法向量的数量积为0可得证面面垂直．
【详解】（1）连接AC，BD交于点O，连接PO，由正四棱锥性质OA，OB，OP两两互相垂直，以OA，
OB，OP分别为x，y，z轴建系如图．易得 ， ，∴ ， ， ， ， ，
， ，
， ，∵ ，∴ ，即PA⊥EF；
（2）设平面PAB，平面PCD法向量分别为 ， ，
，取 ，则 ， ，
，取 ，则 ， ，
，∴ ，∴平面PAB⊥平面PCD.
【课堂巩固】
1．有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直
其中真命题的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平
面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.
【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；
当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；
因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；
若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.
故选：A
2．已知平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】由题设知 ，结合它们的坐标得 即可求 ，进而求 .
【详解】由 ，知： ，则 ，解得 ， ，故 .
故选：C
3．若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则可能使 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接计算直线方向向量和平面法向量的数量积可知.
【详解】由题知，当 时， 或 .
A选项：因为
B选项：C选项：
D选项：
故选：C
4．已知平面 平面 ， ＝（1，－1，1）为平面 的一个法向量，则下列向量是平面 的一个法向量
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断选项中与向量 平行的向量，即得平面 的一个法向量.
【详解】B中，向量 ，可知 ，所以 ，故 是平面 的一个法向量；易
见，ACD中向量均不与向量 平行，所以不能作为平面 的一个法向量.
故选：B.
5．（多选）在菱形 中，若 是平面 的法向量，则以下结论一定成立的是（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】ACD
【分析】由平面的法向量证得线面垂直，再根据面面垂直的判断即可逐一判断各选项作答.
【详解】因 是平面 的法向量，则有 平面 ，
而 平面 ， 平面 ，因此，平面 平面 ，平面 平面 ，A，C都正
确；
平面 ，则 ，又四边形 为菱形， ，
于是得 平面 ， 平面 ，从而得平面 平面 ，D成立；
因 是二面角 的平面角，而 与 不一定垂直，则平面 与平面 不一定垂直，
B不成立.故选：ACD
6．（多选）已知 为两个不重合的平面，l为 上的一条直线，且其方向向量为 ，若 ，则
平面 的法向量可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由法向量与平面内的所有向量垂直判断．
【详解】 ， ，
， ．
知ABC都有可能，D不可能．
故选：ABC．
7．（多选）若平面 ，平面 的法向量为 ，则平面 的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据平面垂直则法向量数量积为零，逐一计算，即可判断和选择.
【详解】根据题意， 与平面 的法向量数量积为零，
对A：因为 ，满足题意，故A正确；
对B：因为 ，故B错误；
对C：因为 ，满足题意，故C正确；
对D：因为 ，故D错误.
故选：AC.
8．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心， 平面ABC，写出：（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4） 的重心坐标___________.
【答案】
【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.
对于（1）（2）：直接求出方向向量；
对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得；
对于（4）：利用重心坐标公式直接求得.
【详解】由题意可得： , , .
.
由图示，可得： ， ， ， ， ， ，
（1）直线BC的一个方向向量为 ，
（2）点OD的一个方向向量为 ；
（3） , .设 为平面BHD的一个法向量，则 ，不妨设 ，则 .
故平面BHD的一个法向量为 .
（4）因为 ， ， ， ，
所以 的重心坐标为 .
故答案为：（1） ；（2） ；（3） （4） .
9．已知平面 的一个法向量为 ，直线 的一个方向向量为 ，且 平面 ，则
______.
【答案】
【分析】根据 可求出结果.
【详解】因为 平面 ，所以 ，
则 ，解得 .
故答案为：
10．设直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则直线 与平面 的位置关系
为______.
【答案】直线 在平面 内或平行于平面
【分析】根据给定条件，求出 ，再利用空间位置关系的向量证明判断作答.
【详解】依题意， ，则 ，
所以直线 与平面 的位置关系是直线 在平面 内或平行于平面 .
故答案为：直线 在平面 内或平行于平面11．已知直线 的一个方向向量 ，平面α的一个法向量 ，若 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据 ，可得 ，从而可求得 ，即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
12．已知 为直线l的方向向量， 为平面 的法向量，且 ，判断直线l与平面 的位置关系是平行
还是垂直．
(1) ， ；
(2) ， ．
【答案】(1)平行；(2)垂直
【分析】（1）由直线方向向量与平面的法向量垂直，得线面平行；
（2）由直线方向向量与平面的法向量平行，得线面垂直．
【详解】(1) ， ，又 ，所以 ．
(2) ，即 ，所以 ．
13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平
面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量；【答案】 （1，0，2）
【分析】由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．利用线面垂直的性质定理与判定定理可得PC⊥BD，BD⊥平面
PAC，即可证明BD⊥AC．又底面ABCD为矩形，可得ABCD为正方形．建立如图所示的空间直角坐标系．
设平面BPC的法向量为 （x，y，z），可得 ，即可得出平面BPC的一个法向量为 ．
【详解】解：∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴PA⊥BD． ⊂
∵PC⊥平面BDE，BD 平面BDE，∴PC⊥BD．
又PA∩PC＝P，∴BD⊥⊂平面PAC，AC 平面PAC，
∴BD⊥AC． ⊂
又底面四边形ABCD为矩形，∴矩形ABCD为正方形．
建立如图所示的空间直角坐标系．
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．
（0，2，0）， （﹣2，0，1），
设平面BPC的法向量为 （x，y，z），
则 ，即 ，取 （1，0，2）．∴平面BPC的一个法向量为 （1，0，2）．
14．如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 上的动点，且 ，
其中 ，以 为原点建立空间直角坐标系 .
(1)写出点 ， 的坐标；
(2)求证： .
【答案】(1) ， ；(2)证明见解析
【分析】（1）根据空间直角坐标系中 ， 的位置写出坐标；
（2）求出 ，证明出结论.
【详解】（1）根据空间直角坐标系可得 ， .
（2）∵ ， ，
∴ ， .
即 ，
∴ ，
故 .
15．如图， 且 ， ， 且 ， 且 ，
平面ABCD， .若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： 平面CDE；【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量判断位置关系
【详解】因为 ， ， 平面ABCD，
而AD､ 平面ABCD，所以 ， ，
因此以D为坐标原点，分别以 ､ ､ 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为 且 ， 且 ， ，
所以 ， ， ， ， ， ， ， ，
.
设 为平面CDE的法向量， ， ，
则 ，不妨令 ，可得 ；
又 ，所以 .
又∵直线 平面CDE，∴ 平面CDE；16．如图，正方体 中， 、 分别为 、 的中点．
(1)用向量法证明平面 平面 ；
(2)用向量法证明 平面 ．
【分析】（1）利用向量法可得两平面的法向量，再根据法向量互相平行证明面面平行；
（2）利用向量法证明平面 的法向量与 平行，即可得证.
【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 ，
则 ， ， ， ， ， ，
故 ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，即 ，
故平面 平面 ；（2）由 ， 是线段 ， 中点，
则 ， ，
所以 ，
则 ，
所以 平面 .
【课时作业】
1．已知 ，则平面ABC的一个单位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出平面ABC的一个法向量，进而得出单位法向量．
【详解】因为
所以 ，令平面ABC的一个法向量为
可得 ，即 ，令 ，则 ，所以
故平面ABC的单位法向量是 ，即 或 ．
故选：B．
2．已知向量 ， 分别为直线 方向向量和平面 的法向量，若 ，则实数 的值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由题意得到 ，列出方程，求出实数 的值.
【详解】由题意得： ，所以 ，解得：
故选：C
3．已知平面 过点 ，它的一个法向量为 ，则下列哪个点不在平面 内（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设点 为平面内 异于 点的任意一点，由 可得 ，然后逐一判断即
可.
【详解】设点 为平面内 异于 点的任意一点，则
由 可得 ，即对于A， ，满足；对于B， ，满足；
对于C， ，不满足；对于D， ，满足；
故选：C
4．设平面 的法向量的坐标为 ，平面 的法向量的坐标为 .若 ，则 等于（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】根据 可得平面 的法向量与平面 的法向量共线，建立等式解出即可.
【详解】解：因为 ，则平面 的法向量与平面 的法向量共线，
即 ，即 ，解得 .
故选：A
5．设 为直线 的一个方向向量， 为平面 的一个法向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】利用空间向量与立体几何的关系即可得到二者的逻辑关系，进而可得“ ”是“ ”的
必要非充分条件.
【详解】 为直线 的一个方向向量， 为平面 的一个法向量，
则由 ，可得 或 ，则“ ”不是“ ”的充分条件；
由 ，可得 ，则“ ”是“ ”的必要条件.
则“ ”是“ ”的必要非充分条件.
故选：B6．已知平面 外的直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则 与 的位置关系
是（ ）
A． B． C． 与 相交但不垂直D． 或
【答案】B
【分析】由 确定正确答案.
【详解】由于 ，即 ，
由于 ，所以 .
故选：B
7．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中， 是棱长为1的正方体，给出下列结论中，
正确的是（ ）
A．直线 的一个方向向量为
B．直线 的一个方向向量为
C．平面 的一个法向量为
D．平面 的一个法向量为
【答案】AC
【分析】求出 即可判断 的正误，求出平面 的法向量判断 的正误，求出平面
的法向量判断 的正误.【详解】由题意， , , , , ,
∵ ，∴向量 为直线 的一个方向向量，故 正确, 不正确；
设平面 的法向量为 ， 则 ,
由 ， 得 ，
令 得 ，则 正确;
设平面 的法向量为 ，则 ，
由 ， 得 ，
令 得 ，则 不正确.
故选： .
8．（多选）已知 为直线l的方向向量, 分别为平面 , 的法向量（ , 不重合）,那么下列说法中
正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.
【详解】解:若 ,因为 , 不重合,所以 ,
若 ,则 共线,即 ,故选项A正确;
若 ,则平面 与平面 所成角为直角,故 ,若 ,则有 ,故选项B正确;
若 ,则 ,故选项C错误;
若 ,则 或 ,故选项D错误.
故选:AB
9．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心， 平面ABC，写出：平
面BHD的一个法向量___________；
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用向量法得出平面BHD的一个法向量.
【详解】由题意可知 ，
则
, .设 为平面BHD的一个法向量，
则 ，不妨设 ，则 .
故平面BHD的一个法向量为 .故答案为： （答案不唯一）
10．直线l的方向向量是 ，平面 的法向量 ，若直线 平面 ，则
______．
【答案】2
【分析】根据直线 平面 ，可得 ，即可得解.
【详解】若直线 平面 ，则 ，
∴ ，解得 ．
故答案为： .
11．若平面 、 的法向量分别为 ， ，则 与 的位置关系是________．
【答案】斜交
【分析】判断两平面法向量的位置关系，即可判断出平面 与 的位置关系.
【详解】 ， ，则 ，且 ，
与 既不平行也不垂直，因此，平面 与 斜交．
故答案为：斜交.
【点睛】本题考查利用平面的法向量判定两平面的位置关系，考查推理能力，属于基础题.
12．已知平面 的法向量分别为 ， ，若 ，则 的值为_______．
【答案】
【分析】由平面 互相垂直可知其对应的法向量也垂直，然后用空间向量垂直的坐标运算求解即可.
【详解】∵ ，
∴平面 的法向量互相垂直，
∴ ，即 ，解得 ,
故答案为： .13．已知 ， ， ．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面 经过点A，且 是 的法向量， 是平面 内任意一点，试写出x，y，z满足的关系
式．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据直线方向向量的求法求得正确答案.
（2）由 来求得 满足的关系式.
【详解】(1)直线 的一个方向向量为 .
(2) 是 的法向量，所以 ，
即 ，
即 .
14．在棱长为2的正方体 中，E，F分别为棱 的中点，在如图所示的空间直角坐
标系中，求：
(1)平面 的一个法向量；
(2)平面 的一个法向量.【答案】(1) (答案不唯一)；(2) (答案不唯一)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量；
（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.
【详解】（1）
由题意，可得 ,
连接AC，因为底面为正方形，所以 ,
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
且 ，则AC⊥平面 ，
∴ 为平面 的一个法向量. (答案不唯一).
（2）
设平面 的一个法向量为 ，
则
令 ，得
∴ 即为平面 的一个法向量.(答案不唯一).
15．已知长方体 中， ， ， ，点S、P在棱 、 上，且， ，点R、Q分别为AB、 的中点．求证：直线 直线 ．
【答案】证明见解析.
【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得.
【详解】以点D为原点，分别以 、 与 的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则 、 、 、 、 、 、 、 ，
由题意知 、 、 、 ，
∴ ， ．
∴ ，又 ， 不共线，
∴ .
16．如图，在直三棱柱 中， ， ，D为AB的中点．试用向量的方法证
明：(1) ；
(2) 平面 ．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证得结论成立.
（2）利用向量的方法证得结论成立.
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
所以 .
（2） ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可令 ，
，所以 平面 .17．如图，在四棱锥 中， 底面ABCD， ， ， ，
，E为PC上一点，且 ．
(1)求证： 平面PBC；
(2)求证： 平面BDE．
【分析】（1）以A为原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标
系，证明 ， ，原题即得证；
（2）设平面BDE的法向量为 ，证明 即得证.
【详解】（1）证明：如图，以A为原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立
空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，即 ， ，
又因为 ， 平面PBC．
所以 平面PBC．
（2）证明：由（1）可得 ， ， ．
设平面BDE的法向量为 ，
则 ，即 令 ，得 ， ，
则 是平面BDE的一个法向量，
因为 ，所以 ，
因为 平面BDE，所以 平面BDE．
18．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点， （ 为常数，且 ）．若直线BF 平面ACE，求实数 的值；
【答案】
【分析】由题意可知， ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ，分别求出平面
ACE的法向量 和直线BF的方向向量 ，由 ，即可得出答案.
【详解】因为 底面 ， ， 平面 ，所以 ， ．
由题意可知， ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
则 ，所以 ．
设平面 的一个法向量为 ．
由 得： 不妨令 ，得 ．
因为 平面 ，所以 ，解得 ．19．已知在正方体 中， 分别是棱 的中点．
证明： 与平面 不平行.
【分析】建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，求出平面 的法向量，证明其法向量与方向向量
不垂直，进而说明 与平面 不平行.
【详解】以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则
令 ，得 ，
因为 ，
所以 与平面 不平行．20．已知正方体ABCD－ABC D 中，E为棱CC 上的动点．
1 1 1 1 1
(1)求证：AE⊥BD；
1
(2)若平面ABD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
1
【详解】(1)证明 以D为坐标原点，以DA，DC，DD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
1
系．
设正方体棱长为a，则 A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A(a，0，a)，C (0，a，a)．
1 1
设E(0，a，b)(0≤b≤a)，
A1E＝(－a，a，b－a)，
BD＝(－a，－a，0)，
A1E·BD＝a2－a2＋(b－a)·0＝0，
∴A1E⊥BD，即AE⊥BD.
1
(2)解 设平面ABD，平面EBD的法向量分别为n＝(x，y，z)，n＝(x，y，z)．
1 1 1 1 1 2 2 2 2
∵DB＝(a，a，0)，DA1＝(a，0，a)，DE＝(0，a，b)，
∴取x＝x＝1，
1 2
得n＝(1，－1，－1)，n＝，
1 2
由平面ABD⊥平面EBD，得n⊥n，
1 1 2
∴2－＝0，即b＝.
∴当E为CC 的中点时，平面ABD⊥平面EBD.
1 1
