文档内容
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
【划重点】
1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．
2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．
3．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．
【知识梳理】
知识点一 空间中直线、平面的向量表示
1．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
2．平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平
面完全确定，可以表示为集合 {P|a·AP＝0}．
知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示
1．设u，u 分别是直线l，l 的方向向量，则l∥l⇔u∥u⇔∃λ∈R，使得u＝λu.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
3．设n ，n 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n∥n⇔∃λ∈R，使得n＝λn .
1 2 1 2 1 2
知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示
1．设 u，u 分别是直线 l , l 的方向向量，则l⊥l⇔u⊥u⇔u·u＝0.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
3．设n，n 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n⊥n⇔n·n＝0.
1 2 1 2 1 2
【例题详解】
一、直线的方向向量例1 (1)若点 ， 在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，
AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量．
跟踪训练1 (1)设l 的方向向量为 =（1，2，﹣2），l 的方向向量为 =（﹣2，3，m），若l⊥l，则m
1 2 1 2
等于（ ）
A．1 B．2 C． D．3
(2) 在如图所示的坐标系中，ABCD－ABC D 为正方体，棱长为 1，则直线 DD 的一个方向向量为
1 1 1 1 1
________，直线 BC 的一个方向向量为________．
1
二、求平面的法向量
例2 如图在长方体 中， ， ， ，M是 的中点．以D为原点， ，
， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面 的法向量；
(2)求平面 的法向量．跟踪训练2 已知四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB
＝BC＝1，AD ，试建立空间直角坐标系，求平面SAB，平面SDC的一个法向量．
三、证明线线平行
例3 在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝3，AD＝4，AA ＝2，点M在棱BB 上，且BM＝2MB ，点S在
1 1 1 1 1 1 1
DD 上，且SD＝2SD，点N，R分别为AD，BC的中点．求证：MN∥RS.
1 1 1 1
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别为DD 和BB 的中点．
1 1 1 1 1 1
求证：四边形AECF是平行四边形．
1四、证明线面平行
例4 如图，在正方体 中，E，F分别是面 ，面 的中心．求证： 平面 ．
跟踪训练4 如图，在长方体 中，底面 是边长为2的正方形， ，E，F分别
是 的中点．求证： 平面 ．
五、证明面面平行
例5 如图，长方体 中， ， ，
(1)求证：平面 平面 ;
(2)线段 上，是否存在点 ，使得 平面 .跟踪训练5 如图，已知在正方体ABCD－ABC D 中，M，N，P分别是AD，BD，BC的中点，利用向
1 1 1 1 1 1
量法证明：
（1）MN∥平面CC DD；
1 1
（2）平面MNP∥平面CC DD．
1 1
六、证明线线垂直问题
例6 如图，在直四棱柱 中， ， ， ， ．
求证： ；跟踪训练6 如图，在直三棱柱 - 中， 3， =4， 5，
(1)求证 ；
(2)在 上是否存在点 ，使得 并说明理由
七、证明线面垂直问题
例7 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC， E为PC的
中点，EF⊥BP于点F. 求证：PB⊥平面EFD.跟踪训练7 在正四棱柱 中， ， 为 的中点.
求证：（1） 平面 .
（2） 平面 .
八、证明面面垂直问题
例8 如图，在直三棱柱 中， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ．跟踪训练8 如图，在正四棱锥P－ABCD中，侧棱长为 ，底面边长为2．点E，F分别CD，BC中点．
求证：(1)PA⊥EF；
(2)平面PAB⊥平面PCD．
【课堂巩固】
1．有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．43．若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则可能使 的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平面 平面 ， ＝（1，－1，1）为平面 的一个法向量，则下列向量是平面 的一个法向量
的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）在菱形 中，若 是平面 的法向量，则以下结论一定成立的是（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
6．（多选）已知 为两个不重合的平面，l为 上的一条直线，且其方向向量为 ，若 ，则
平面 的法向量可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）若平面 ，平面 的法向量为 ，则平面 的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．8．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心， 平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4） 的重心坐标___________.
9．已知平面 的一个法向量为 ，直线 的一个方向向量为 ，且 平面 ，则
______.
10．设直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则直线 与平面 的位置关系
为______.
11．已知直线 的一个方向向量 ，平面α的一个法向量 ，若 ，则 ______．
12．已知 为直线l的方向向量， 为平面 的法向量，且 ，判断直线l与平面 的位置关系是平行
还是垂直．
(1) ， ；
(2) ， ．
13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，
PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量．14．如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 上的动点，且 ，
其中 ，以 为原点建立空间直角坐标系 .
(1)写出点 ， 的坐标；
(2)求证： .
15．如图， 且 ， ， 且 ， 且 ，
平面ABCD， . 若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： 平面CDE．
16．如图，正方体 中， 、 分别为 、 的中点．(1)用向量法证明平面 平面 ；
(2)用向量法证明 平面 ．
【课时作业】
1．已知 ，则平面ABC的一个单位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量 ， 分别为直线 方向向量和平面 的法向量，若 ，则实数 的值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知平面 过点 ，它的一个法向量为 ，则下列哪个点不在平面 内（ ）
A． B． C． D．
4．设平面 的法向量的坐标为 ，平面 的法向量的坐标为 .若 ，则 等于（ ）A．4 B．-4 C．2 D．-2
5．设 为直线 的一个方向向量， 为平面 的一个法向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
6．已知平面 外的直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则 与 的位置关系
是（ ）
A． B． C． 与 相交但不垂直 D． 或
7．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中， 是棱长为1的正方体，给出下列结论中，
正确的是（ ）
A．直线 的一个方向向量为
B．直线 的一个方向向量为
C．平面 的一个法向量为
D．平面 的一个法向量为
8．（多选）已知 为直线l的方向向量, 分别为平面 , 的法向量（ , 不重合）,那么下列说法中
正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
9．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心， 平面ABC，写出：
平面BHD的一个法向量___________；10．直线l的方向向量是 ，平面 的法向量 ，若直线 平面 ，则
______．
11．若平面 、 的法向量分别为 ， ，则 与 的位置关系是________．
12．已知平面 的法向量分别为 ， ，若 ，则 的值为_______．
13．已知 ， ， ．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面 经过点A，且 是 的法向量， 是平面 内任意一点，试写出x，y，z满足的关系
式．
14．在棱长为2的正方体 中，E，F分别为棱 的中点，在如图所示的空间直角坐
标系中，求：
(1)平面 的一个法向量；(2)平面 的一个法向量.
15．已知长方体 中， ， ， ，点S、P在棱 、 上，且
， ，点R、Q分别为AB、 的中点．求证：直线 直线 ．
16．如图，在直三棱柱 中， ， ，D为AB的中点．试用向量的方法证
明：
(1) ；
(2) 平面 ．
17．如图，在四棱锥 中， 底面ABCD， ， ， ，，E为PC上一点，且 ．
(1)求证： 平面PBC；
(2)求证： 平面BDE．
18．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD
的中点， （ 为常数，且 ）．若直线BF 平面ACE，求实数 的值．19．已知在正方体 中， 分别是棱 的中点．
证明： 与平面 不平行.
20．已知正方体ABCD－ABC D 中，E为棱CC 上的动点．
1 1 1 1 1
(1)求证：AE⊥BD；
1
(2)若平面ABD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
1
