文档内容
第 12 讲 倾斜角与斜率 5 种常见考法归类
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的
计算公式.
知识点1 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾
斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
知识点2 直线的斜率
1．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝ tan α .
2．斜率公式
经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝.当x＝x 时，直线PP 没有斜率．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
注：①若直线l经过点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，则直线PP 的方向向量P1P2的坐标为(x－x，y－y)，
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
也可表示为(1，k)，其中k＝.
②倾斜角不是90的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当 x x 时，直线与x轴
1 2
垂直，直线的倾斜角90，斜率不存在；当 y y 时，斜率k 0，直线的倾斜角0，直线
1 2
x
与 轴重合或者平行
③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换
知识点3 斜率与倾斜角的联系
倾斜角
0 0 90 90 90 180
（范围）
斜率 k
k 0 k 0 k不存在 k 0
（范围）
1、求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x≠x”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
1 2
(2)斜率公式与两点P，P 的先后顺序无关，也就是说公式中的x 与x，y 与y 可以同时交换位置．
1 2 1 2 1 2
3、在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 － －1 －
4、斜率与倾斜角的关系
（1）由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x≠x)求解．
1 2
考点一：求直线的倾斜角
例1．（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若 是直线l的倾斜角，则 ；②若直线倾
斜角为 ，则它斜率 ；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一
定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线 的一个方向向量为 ，则它的倾斜角
为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线 的倾斜角 ，直线 与 的交点为 ，直线 和 向
上的方向所成的角为 ，如图，则直线 的倾斜角为________．
变式4．（2023·江苏·高二假期作业）如图，直线l的倾斜角为（ ）
A．60° B．120°
C．30° D．150°
变式5．【多选】（2023秋·高二课时练习）若直线 与 轴交于点 ，其倾斜角为 ，直线 绕点
顺时针旋转45°后得直线 ，则直线 的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023·高二课时练习）直线 与直线 的夹角为______．
考点二：求直线的斜率
例2．（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是 ，则此直线的斜率是（ ）A． B． C． D．
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
变式2．（2023秋·天津南开·高二崇化中学校考期末）已知直线 的一个方向向量为 ，则直线
的斜率为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知直线 的斜率分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（2023秋·江西·高二校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为 ，则该
等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.
变式5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x
轴的交点分别为 ，则正方形ABCD四边所在直线中过点 的直线的斜率可以是
（ ）
A．2 B． C． D．考点三：斜率与倾斜角的关系
（一）由倾斜角求斜率值（范围）
例3．【多选】（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点 和 的
直线的倾斜角 ，则实数 的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）过不重合的 两点的直线 的倾斜角
为 ，则 的取值为________．
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________．
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）若经过点 和 的直线的倾斜角是钝角，则实数 的取值
范围是________．
变式4．（2023秋·安徽六安·高二校考阶段练习）若过点 ， 的直线的倾斜角为锐角，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（二）由斜率求倾斜角的值（范围）
例4．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点 ．直
线l的倾斜角是___________．
变式1．（2023秋·高二课时练习）若直线 的斜率 的取值范围是 ，则该直线的倾斜角 的取值范
围是________.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若直线的倾斜角 满足 ，则 的取值范围是
__________变式3．（2023秋·高二课时练习）直线l的斜率为k，且 ，则直线l的倾斜角的取值范围是
__________．
变式5．（2023秋·安徽六安·高二校考阶段练习）将直线 绕原点旋转 得到直线 ，若直线
的斜率为 ，则直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
考点四：斜率公式的应用（一）利用直线斜率处理共线问题
例5．（2023秋·河南·高二校联考阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上：
(1) ；
(2) .
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知三点 共线，则 的值为________.
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l经过三点 ，则直线l的斜率k＝
__________，y＝__________．
变式3．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点 ， ， ，若线
段 ， ， 不能构成三角形，则 的值是________.
（二）斜率公式的几何意义的应用
例6．（2023秋·高二课时练习）已知直线 过点 ，且不过第四象限，则直线 的斜率 的最
大值是________.
变式1．（2023·全国·高二专题练习）若实数 、 满足 ， ，则代数式 的取值范围
为______
变式2．【多选】（2023·全国·高三专题练习）点 在函数 的图象上，当 ，则 可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
变式3．（2023秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点 ， ，若点 在线段AB
上，则 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
考点五：直线与线段的相交关系求斜率的范围
例7．（2023秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知坐标平面内三点A(-1，
1)，B(1，1)， ．
(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为 的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点 ，过点 的直线 与线段 有公共点．
(1)求直线 的斜率 的取值范围；
(2)求直线 的倾斜角 的取值范围．
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知 ．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
变式3．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点 ， 为
的边 上一动点，则直线 斜率 的变化范围是（ ）
A． B．
C． D．变式4．（2023秋·安徽滁州·高二校考期中）已知点 ， ， ，若点 是线段
上的一点 ，则直线 的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点 作直线 ，若直线 与
连接 ， 的线段总有公共点，则直线 的斜率的取值范围是______．
变式6．（2023秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知点 ，若直线 与线段
没有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．直线 与直线 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
2．图中的直线 的斜率分别为 ，则有（ ）A． B．
C． D．
3．若三点 ， ， ，（ ）共线，则 的值等于___________.
一、单选题
1．（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）以下四个命题，正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°
B．经过 两点的直线的倾斜角为锐角
C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
2．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两 ， ，且倾斜角为 ，则 的值为
（ ）
A．－6 B．－4
C．0 D．6
3．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知直线 .则下列结论正确的是（ ）
A．点 在直线 上 B．直线 的倾斜角为
C．直线 在 轴上的截距为8 D．直线 的一个方向向量为4．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点 在同一直线上，则实数 等于
（ ）
A． B． C．6 D．12
5．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点P( 2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为
（ ）
A．1或4 B．4 C．1或3 D．1
6．（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点 ，直线 的倾斜角为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）若直线 的斜率为 ，且 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
8．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）经过点 的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．2
9．（2023·江苏·高二假期作业）若直线 经过点 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A．0° B．30°
C．60° D．90°
10．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线 的斜率为 ，且 ，
则直线 的倾斜角的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
11．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过两点 ， 的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点 ， ，直线 过点
，若直线 与线段 相交，则直线 的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过点 作直线 ，且直线 与连接点 ， 的
线段总有公共点，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
14．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）
A．若直线的倾斜角为 ，则
B．直线的倾斜角 的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
15．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角 取值范围是
B．若直线的斜率为 ，则该直线的倾斜角为
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
16．（2023·江苏·高二假期作业）下列各组点中，共线的是（ ）A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点 ， ，斜率为 的直线 过点 ，则
下列满足直线 与线段 相交的斜率 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
18．（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）将直线MN绕原点旋转60°得到直线 ，
若直线 的斜率1，则直线MN的倾斜角是______（结果用角度制表示）．
19．（2023·高三课时练习）已知过点 和 的直线 的倾斜角为钝角，则实数 的
取值范围是______.
20．（2023·高二课时练习）若直线 的斜率为 ，则直线 的倾斜角的取值范围是______.
21．（2023春·上海宝山·高一统考期末）在平面直角坐标系 中，锐角 的大小如图所示，则
______.
四、解答题
22．（2023春·高二单元测试）过点 的直线 与以 、 为端点的线段 有交点，求直线的倾斜角 的取值范围．
23．（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后
再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过 、 （ ）两点，求直线l的倾斜角的取值
范围.
25．（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）已知 ．
(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围．
26．（2023·江苏·高二假期作业）如图，在菱形 中， ，求对角线 与 所在直线的
斜率．
．
