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第 16 讲 圆的方程 7 种常见考法归类
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
知识点1 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
注：（1）圆的方程的推导：
设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．
知识点2 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在
圆内．
(2)根据点M(x，y)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
0 0
(x－a)2＋(y－b)2＞r2⇔点在圆外；
0 0(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔点在圆上；
0 0
(x－a)2＋(y－b)2＜r2⇔点在圆内．
0 0
知识点3 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点.
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 .
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需
要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则
5. 以A(x，y)，B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x－x)(x－x)＋(y－y)(y－y)＝0.
1 1 2 2 1 2 1 2
知识点4 圆的轨迹问题
轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标
满足的关系式．
1、求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于
a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐
标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
2、判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．
(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2
＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，
点在圆上；当d0 表示以为圆心，以为半径的圆
5、利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方
程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，
E，F.
6、求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
7、用代入法求轨迹方程的一般方法8、圆上的点到定点的最大、最小距离
设 的方程 ，圆心 ，点 是 上的动点，点 为平面内一点；
记 ;
①若点 在 外，则 ;
②若点 在 上，则 ;
③若点 在 内，则 ;
9、与圆有关的最值问题常见的几种类型
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
考点一：求圆的标准方程
（一）由圆的标准方程求圆心、半径
例1．（2023秋·高二课时练习）已知圆 的标准方程为 ，则此圆的圆心及半径长分
别为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023秋·高二单元测试）圆 的圆心和半径分别是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知圆C的标准方程为 ，则圆心C的坐标为
________，圆的面积为________．
（二）求圆的标准方程例2．（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知圆 的圆心为点 ，且经过原点，则圆 的标
准方程为__________.
变式1．（广东省广州市培正中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）求圆心在y轴上，半径为1，
且过点 的圆的标准方程.
变式2．（福建省泉州外国语中学2022-2023学年高二上学期期中质量监测数学试题）与x轴相切，且圆心
坐标为 的圆的标准方程为_______________
变式3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系 中，已知 、
两点，若圆 以 为直径，则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（2023·江苏·高二假期作业）求经过点 和坐标原点，并且圆心在直线 上的圆的
方程．
变式5．（广东省肇庆市百花中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）直线 与直线
相交于点 ，直线 过点 且与直线 平行.
(1)求直线 的方程；
(2)求圆心在直线 上且过点 的圆的方程.
考点二：圆的一般方程
（一）圆的一般方程辨析
例3．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程 表示一个圆，则
的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
变式1．（2023秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程 表示圆，
则实数a的可能取值为（ ）
A． B．2 C．0 D．
（二）由圆的一般方程求圆心、半径
例4．（上海市第三女子中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）圆 的圆
心坐标是________.
变式1．（2023春·湖北武汉·高二武汉市新洲区第一中学校考开学考试）已知圆C： ，则
圆C的圆心和半径为（ ）
A．圆心 ，半径 B．圆心 ，半径
C．圆心 ，半径 D．圆心 ，半径
变式2．（2023秋·高二课时练习）圆C： 的圆心是_____，半径是_____．
（三）求圆的一般方程
例5．（2023秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线 上，且过点 的圆；
(2)过三点 的圆.
变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆 经过抛物线 与 轴的交点，且过点 ，则
圆 的方程为______.
变式2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点 四点共圆，则点D到坐标原点
O的距离为______．
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（
）A． B．
C． D．
变式4．（2023秋·高二校考课时练习）已知圆经过点 和 ，该圆与两坐标轴的四个截距之和为
，求圆的方程.
考点三：根据对称性求圆的方程
例6．（2023秋·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中）圆 关于直线
对称的圆的标准方程为______.
变式1．（2023秋·高二单元测试）圆 关于直线 对称的圆是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）与圆 关于直线 对称的圆的标准方程是
______.
变式3．（2023秋·高二课时练习）已知圆 ，圆 与圆 关于直线 对称，
则圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆 与圆 关于直线 对称，则
圆 的标准方程为（ ）
A． B．C． D．
变式5．（2023秋·高二课时练习）求圆 关于直线 的对称圆方程.
考点四：点与圆的位置关系
例7．【多选】（2023秋·高二课时练习）(多选)下列各点中，不在圆 的外部的
是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为 ,半径为5的圆的标准方程,并判断点
是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？
变式2．（2023秋·高二校考课时练习）若点 在圆 的内部，则a的取值范围
是（ ）.
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·高二课时练习）点 与圆 的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定
考点五：圆过定点问题
例8．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中）若圆
过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1变式1．（2023·高二课时练习）点 是直线 上任意一点， 是坐标原点，则以 为直
径的圆经过定点（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线 与坐标轴分别交于三个不同的点 、 、 ，
则 的外接圆恒过的定点坐标为_______
变式3．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数 ，圆 恒
过定点，则定点坐标为__．
变式4．（2023秋·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知曲线 ：
．
（1）当 取何值时，方程表示圆？
（2）求证：不论 为何值，曲线 必过两定点．
（3）当曲线 表示圆时，求圆面积最小时 的值．
考点六：与圆有关的轨迹问题
例9．（上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）点 与两个定点 ，
的距离的比为 ，则点 的轨迹方程为______．
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知圆 ： ，过点 的直线与圆 交于点
， ，线段 的中点为 ，则点 的轨迹方程为___________.
变式2．（2023秋·安徽阜阳·高二校联考阶段练习）已知圆 经过点 ，且被直线
平分.
(1)求圆 的一般方程；
(2)设 是圆 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程.变式3．（2023秋·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点 且圆心C在直线
上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点 ，求线段EF的中点M的轨迹方程.
变式4．（2023秋·高二课时练习）正方形 与点 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且
，则 的取值范围为___________.
变式5．【多选】（2023秋·高一单元测试）已知点 ， 动点 满足 ，则下面结论正
确的为（ ）
A．点 的轨迹方程为 B．点 到原点 的距离的最大值为5
C． 面积的最大值为4 D． 的最大值为18
考点七：与圆有关的最值问题
例10．（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点 ，当圆C到原点O的距
离最小时，圆C的标准方程为______．
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知圆 经过点 ，且圆心在直线 上运动，求当半径最小
时的圆的标准方程为_______________
变式2．（2023秋·高二课时练习）圆过点 ，求面积最小的圆的方程为_________
变式3．（2023秋·高二课时练习）如果圆的方程为 ，那么当圆面积最大时，该圆
的方程为________，最大面积为________．
变式4．（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆 上的点到直线 的最大
距离是（ ）A． B． C． D．
1．（2020·山东·统考高考真题）已知圆心为 的圆与 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方
程为______________．
3．（2022·全国·统考高考真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为____________．
4．（2022·北京·统考高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
一、单选题
1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆 平分的直线是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·高二课时练习）若点 是圆 的弦 的中点，则弦 所在的
直线方程为（ ）A． B．
C． D．
3．（2022秋·高二课时练习）过三点 的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021秋·高二课时练习）已知圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是 和 ，则圆的标
准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆C： ，过点 的两条直线 ， 互相垂直，
圆心C到直线 ， 的距离分别为 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．47．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）过定点A的动直线 和过定点B的动直线
交于点M，则 的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
8．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知A，B，P是直径为4的圆上的三个动点，且
，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）若直线 始终平分圆 的周长，则
的取值可能是( )
A． B．-
C． D．2
10．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）过四点 中的三点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·高二课时练习）设有一组圆 ： ，下列命题正确的是（ ）
A．不论 如何变化，圆心 始终在一条直线上
B．所有圆 均不经过点
C．经过点 的圆 有且只有一个
D．所有圆的面积均为
12．（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线 （ ）
A．若 ，则C是圆B．若 ， ，则C是圆
C．若 ， ，则C是直线
D．若 ， ，则C是直线
13．（2023秋·高二课时练习）已知圆 关于直线 对称，则下
列结论正确的是（ ）
A．圆 的圆心是
B．圆 的半径是2
C．
D． 的取值范围是
三、填空题
14．（2023秋·高二课时练习）圆 过原点，则a，b，r应满足的条件是__________．
15．（2023春·上海宝山·高二统考期末）若 表示圆，则实数 的值为______.
16．（2023秋·高二课时练习）过点 的直线与圆 交于点B，则线段 中点P的轨迹方程
为___________.
17．（2023秋·高二课时练习）已知实数 满足 ，则 的最大值为
_________．
18．（2023秋·高二课时练习）已知 ， ，动点M满足 ，则点M的轨迹方程是
______．
四、解答题
19．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）已知方程 .
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求 到直线 的距离的最大值和最小值.
20．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，线段 ，且两个端点 、 分别在 轴和
轴上滑动．求线段 的中点 的轨迹方程；
21．（2023秋·高二课时练习）求经过三点 ， ， 的圆的方程．
22．（2023秋·高二课时练习）已知圆C的半径为 ，圆心在直线 上，且过点 ，求圆
C的标准方程.
23．（2023·江苏·高二假期作业）赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如
图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度 和圆拱高 表示
出赵州桥圆弧所在圆的半径．
24．（2023秋·高二课时练习）已知点 和 ，求:
(1)线段 的垂直平分线l的方程;
(2)以线段 为直径的圆的标准方程.
