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专题强化1：空间向量的应用
【基础巩固】
1．设向量 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量，则（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】由 ，得 ，所以 或
【详解】 ， ， ，
则有 ，
又 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量，所以 或 .
故选：B
2．两平面α，β的法向量分别为 ，若α⊥β，则y＋z的值是（ ）
A．－3 B．6 C．－6 D．－12
【答案】B
【分析】根据题意结合空间向量的坐标运算求解.
【详解】∵ 分别为α，β的法向量且α⊥β，则 ，
∴ ，整理得：y＋z＝6.
故选：B.
3．如图，在正三棱锥D-ABC中， ， ，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且
，若 平面PBC，则实数 （ ）
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，
结合线面平行及向量共线定理求参数 即可.
【详解】由题设，△ 为边长为 的等边三角形，且 ，
等边△ 的高为 ，
在正棱锥中，以 为原点，平行 为x轴，垂直 为y轴， 为z轴，如上图示，
则 ，且 ，
所以 ， ， ，
若 为面PBC的法向量，则 ，令 ，则 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等又 平面PBC，则 且k为实数， ，故 .
故选：D
4．若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 ，则直线 与平面 的所成的角等于（ ）
A． B． C． D．以上均错
【答案】A
【分析】利用直线的方向向量与法向量的夹角与线面角的关系可求答案.
【详解】因为直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 ，
所以直线 与平面 的所成的角为 .
故选：A.
5．已知点 在平面 内， 是平面 的一个法向量，则下列点 中，在平面 内的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据每个选项中P点的坐标，求出 的坐标，计算 ，根据结果是否等于0，结合线面垂直
的性质，即可判断点 是否在平面 内.
【详解】对于选项A， ，所以 ，
根据线面垂直的性质可知 ,故 在平面 内；
对于选项B， ，则 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等在平面 内，根据线面垂直的性质可知 ,故 不在平面 内；
对于选项C， ，则 ，
在平面 内，根据线面垂直的性质可知 ,故 不在平面 内；
对于选项D， ，则 ，
在平面 内，根据线面垂直的性质可知 ,故 不在平面 内；
故选：A
6．若 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，则 与 的位置关系是（ ）
A． B．
C． D． 与 相交但不垂直
【答案】D
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的位置关系可判断直线与平面的位置关系可得.
【详解】因为 且
所以 与 不平行，也不垂直，
所以 与 相交但不垂直.
故选：D
7．已知两个平面的法向量分别为 ，则这两个平面的夹角为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】根据两平面夹角与其法向量夹角的关系，利用向量夹角公式即可得到答案.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【详解】 ，因为向量夹角范围为 ，
故两向量夹角为 ，故两平面夹角为 ，即 ，
故选：B.
8．将边长为 的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， ，
，其中 与 在平面 的同侧，则异面直线 与 所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线 与 所成角的大小.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系.
， ， ， ， ，
，
设异面直线 与 所成角为 ，
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，
异面直线 与 所成角的大小是 .
故选：C.
9．已知平面 内一点 ，点 在平面 外，若 的一个法向量为 ，则Q到平面
的距离为______．
【答案】
【分析】求出 ，得到点到平面的距离公式求出答案.
【详解】因为 ，
所以Q到平面 的距离为 .
故答案为：
10．已知向量 ， 分别是直线 和平面 的方向向量和法向量，若 ，则 与 所成角的大小是
______.
【答案】 /
【分析】若直线与平面所成角为 ，则直线方向向量与平面法向量的夹角为 或 ，由此计算即可.
【详解】设直线 与平面 所成角为 （ ），
则直线 的方向向量 与平面 的法向量 的夹角为 或 ，
由题意，∵ 且 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等∴ ，
∴ ，
∴ 与 所成角的大小是 .
故答案为： .
11．设 分别是空间两直线 的方向向量，则直线 ， 所成角的大小为
___________.
【答案】 /
【分析】空间中直线与直线所成的角，与其对应的方向向量夹角相同，直接利用空间向量的夹角公式计算
即可.
【详解】因为 ，
所以 与 的夹角为 ，即直线 ， 所成角的大小为 .
故答案为： .
12．已知二面角 ，其中平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，则二
面角 的大小可能为__________.
【答案】 或
【分析】利用法向量夹角可得二面角.
【详解】由 ， ，
则 ，
所以二面角 余弦值 ，
所以 或 ，
故答案为： 或 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等13．如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）连接 ，依题意可得 ，从而得到 ，再说明 ， ，即可得
到 ，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接 ，因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ．
在三棱柱 中， ，
所以 ， 四点共面．
因为 ， ， 、 分别为 、 的中点，
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形．
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等（2）由题设 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
因为 ，所以 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系 ，
所以 ，
则 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，于是 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
14．在直角梯形 中， ，O为 中点，如图（1）．把
沿 翻折，使得平面 平面 ，如图（2）．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(1)求证： ；
(2)若M为线段 的中点，求点M到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）先根据面面垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质定理证明线线垂直；
（2）建系，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）在 中， ，且O为 中点，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
且 平面 ，
所以 .
（2）在直角梯形 中， ，
所以 ，则 ，
∴ ，
又∵O、M分别为 、 的中点
∴ ，∴
以O为原点，以 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等则 ，
可得 ，
平面 的一个法向量为 ，
由 ，令 ，则 ，可得 ，
则点M到平面 的距离 ．
15．如图,在三棱台 中,已知平面 平面 , , ,
(1)求证:直线 平面 ;
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】(1)由平面 平面 ,若证直线 平面 ,只需 即可,在等腰梯形 中,
根据边和角的关系即可得到;
(2)由(1)的结论可证明 ,根据线面垂直判定定理,和面面垂直判定定理即可证明平面 平面
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等,即可以 为原点建立合适空间直角坐标系,找出点的坐标,分别求出平面 与平面 的法向量,
求出法向量夹角的余弦值的绝对值即面面角的余弦值,根据同角的三角函数的关系,即可得出正弦值.
【详解】（1）证明:在等腰梯形 中,
过 作 于点 ,画图如下:
所以 , 且 , ,
所以 ,
即 ,
即 ,
因为平面 平面 ,
平面 平面 ,
平面 ,
,
所以 平面 ;
（2）由(1)知 平面 ,
所以 ,
又因为 ,
, 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ,
所以平面 平面 ,
以 为原点,以 方向分别为 轴,过点 在平面 内,做垂直于 的线为 轴,建立如图所示空间
直角坐标系:
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等则 , , , ,
由 ,可得 ,
所以 , ,
, ,
设平面 与平面 的一个法向量分别为 , ,
所以 ,
即 ,
取 ,可得 ,
由 ,
可得 ,
取 ,可得 ,
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等设平面 与平面 所成角为 ,
所以 ,
故 .
故平面 与平面 所成角的正弦值为 .
16．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，平面 平面 ， ，
．且
(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点C到平面 的距离．
【答案】(1)证明过程见解析；(2) .
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式和点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为平面 平面 ，交线为 ，
且平面 中， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ,因为 ， 平面 ，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等所以 平面 ，而 平面 ，
所以 ；
（2）由（1）知， 平面 且 ，
所以 、 、 两两垂直
因此以 原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ， ， ，设
所以 ， ， ， ， ，
因为平面 平面 ，交线为 ，且平面 中， ，
所以 平面 ，
所以 为平面 的法向量且 ，
，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为
所以 ，解得：
所以 ，又 ， ，
平面 的法向量分别为： ，
所以 ， 令 ，则 ，
，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等设点C到平面 的距离为 ，
所以 .
【综合运用】
17．如图，圆锥 的高为 是底面圆 的直径， 为圆锥的母线，四边形 是底面圆 的
内接等腰梯形，且 ，点 在母线 上，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）连接 ，可证出菱形 中 ，结合 可证出 平面 ，再由平
面与平面垂直判定定理即可证出平面 平面 ；
（2）取 中点 ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标
系，使用空间向量进行求解.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【详解】（1）
连接 ，由已知， ，且 ，
∴四边形 为菱形，∴ ，
在圆锥 中，∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ．
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 ．
（2）
取 中点 ，易知 平面 ， ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
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∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
设平面 的一个法向量为 ．
因为 所以 ，令 ，则 ， ，
∴ ，
易知平面 即平面 ，∴平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
∴平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
18．如图，多面体 中， 是平行四边形， ⊥平面 ， ⊥ ， ，
， ，点 在棱 上.
(1)求证： 平面 ；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(2)求二面角 的余弦值；
(3)若点 到平面 的距离为 ，求线段 的长.
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【分析】（1）先得到 平面 ， 平面 ，证明出面面平行，从而证明 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值；
（3）设 ，由点到平面距离公式列出方程，求出线段 的长.
【详解】（1）因为 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又因为在平面 中， ， ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 .
因为 平面 ，所以 平面
（2）因为 平面 ，所以 ， ，
又因为 ，所以 ， ， 两两垂直，如图建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，所以 ， .
设平面 的一个法向量为 ，则
即
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取平面 的法向量为
则
由图可知二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值是
（3）令线段 的长为 ，则 ， ，所以
因为点 到平面 的距离
所以 ，即 ，得 或 （舍），
所以线段 的长为 .
【拓广探究】
19．四棱锥 ， 平面ABCD，底面ABCD是菱形， ，平面 平面PBC.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(1)证明： ⊥ ；
(2)设M为PC上的点，求PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明过程见解析；(2)
【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直证明出线面垂直，得到AE⊥BC，结合PA⊥BC，得到线面垂直，证
明出BC⊥平面PAB， ⊥ ；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值的最大值.
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥PB于点E，
因为平面 平面PBC，交线为PB，且AE 平面PAB，
所以AE⊥平面PBC，
因为 平面PBC，
所以AE⊥BC，
因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以PA⊥BC，
因为 ， 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为AB 平面PAB，
所以BC⊥AB；
（2）因为底面ABCD是菱形，且BC⊥AB，
所以四边形ABCD为正方形，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等设AB=1，则 ，
，
设 ， ，
则 ，
设平面ABM的法向量为 ，
则 ，
解得： ，不妨令 ，则 ，
故 ，
设PC与平面ABM所成角大小为 ，
则 ，
，
当 时， 取得最大值，最大值为 ，
所以PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值为 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等20．如图，三棱柱 的所有棱长都为2， ， .
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若不存在，请说明理由：若
存在，求 的长.
【答案】(1)证明见详解.
(2)在棱 上存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 的长为 .
【分析】（1）取 中点 连接 ．证明 平面 ．得 ，计算出 后由勾股定理
逆定理得 ，从而可得 平面 ，得证面面垂直．
（2）假设在棱 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ，以 所在
直线为 轴建立空间直角坐标系，由共线得 ，用空间向量法求二面角的余弦，从而可得 ，
进一步求出 的长.
【详解】（1）证明：取 中点 连接 ，如图所示：
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所以 ，
又因为 且 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ．
在直角三角形 中， ，
所以 ，
在三角形 中， ，
所以 ，
所以 ，
又因为 平面
所以 平面 ．
又因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）假设在棱 上存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
则以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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因此 ， ， ．
因为点 在棱 上，
则设 ，其中 ．
则
设平面 的法向量为 ，
由 得 ，取
所以平面 的一个法向量为 ．
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
化简得 解得 ，
所以 ，
所以在棱 上存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
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【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，由线面角确定点的位置．掌握面面垂直、线面垂直、线线垂
直的相互转化是证明垂直的关键．求线面角常用方法：
（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；
（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与
平面所成角的正弦值计算．
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