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专题强化1：空间向量的应用
【基础巩固】
1．设向量 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量，则（ ）
A． B． 或 C． D．
2．两平面α，β的法向量分别为 ，若α⊥β，则y＋z的值是（ ）
A．－3 B．6 C．－6 D．－12
3．如图，在正三棱锥D-ABC中， ， ，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且
，若 平面PBC，则实数 （ ）
A． B． C． D．
4．若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 ，则直线 与平面 的所成的角等于（ ）
A． B． C． D．以上均错
5．已知点 在平面 内， 是平面 的一个法向量，则下列点 中，在平面 内的是
（ ）A． B． C． D．
6．若 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，则 与 的位置关系是（ ）
A． B．
C． D． 与 相交但不垂直
7．已知两个平面的法向量分别为 ，则这两个平面的夹角为（ ）
A． B． C． 或 D．
8．将边长为 的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， ，
，其中 与 在平面 的同侧，则异面直线 与 所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．已知平面 内一点 ，点 在平面 外，若 的一个法向量为 ，则Q到平面
的距离为______．
10．已知向量 ， 分别是直线 和平面 的方向向量和法向量，若 ，则 与 所成角的大小是
______.11．设 分别是空间两直线 的方向向量，则直线 ， 所成角的大小为
___________.
12．已知二面角 ，其中平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，则二
面角 的大小可能为__________.
13．如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
14．在直角梯形 中， ，O为 中点，如图（1）．把
沿 翻折，使得平面 平面 ，如图（2）．
(1)求证： ；
(2)若M为线段 的中点，求点M到平面 的距离．15．如图,在三棱台 中,已知平面 平面 , , ,
(1)求证:直线 平面 ;
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值.
16．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，平面 平面 ， ，
．
且
(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点C到平面 的距离．【综合运用】
17．如图，圆锥 的高为 是底面圆 的直径， 为圆锥的母线，四边形 是底面圆 的
内接等腰梯形，且 ，点 在母线 上，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18．如图，多面体 中， 是平行四边形， ⊥平面 ， ⊥ ， ，
， ，点 在棱 上.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)若点 到平面 的距离为 ，求线段 的长.【拓广探究】
19．四棱锥 ， 平面ABCD，底面ABCD是菱形， ，平面 平面PBC.
(1)证明： ⊥ ；
(2)设M为PC上的点，求PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值.20．如图，三棱柱 的所有棱长都为2， ， .
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若不存在，请说明理由；
若存在，求 的长.
