文档内容
3.3 抛物线
【划重点】
1．掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2．会求简单的抛物线方程．
3．掌握抛物线的几何性质.
4．会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.
5．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
【知识梳理】
知识点一 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
知识点二 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
知识点三 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
知识点四 直线和抛物线
1．直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，
即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；
若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1 个公共点．
2．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
3．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
①yy＝－p2，xx＝；
1 2 1 2
②＝x＋x＋p；
1 2
③＋＝.
【例题详解】
一、求抛物线的标准方程
例1 (1)已知点 是拋物线 的焦点， 是 上的一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由抛物线的定义可知， ，所以 ．
故选：C.
(2)已知抛物线C与双曲线 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的方程可求得其焦点坐标，从而可设抛物线的方程，利用焦点和双曲线焦点相同，求
得参数值，即得答案.
【详解】由已知可知双曲线 的焦点为 ,
故设抛物线方程为 ，则 ，
故 ，所以抛物线方程为 ,故选:D.
(3)已知抛物线过点 ，则抛物线的标准方程为 ．
【答案】 或
【分析】由于点 在第四象限，所以抛物线的开口向右或向下，然后设出抛物线方程，将点 的坐
标代入可求出 ，从而可得抛物线方程
【详解】∵抛物线过点 ，且点 在第四象限，
∴抛物线的开口向右或向下．
若开口向右，则设方程为 ，
∵过点 ，∴ ，
∴抛物线的标准方程为 ；
若开口向下，则设方程为 ，
∵过点 ，∴ ，
∴抛物线的标准方程为 ．
综上，抛物线的标准方程为 或 ．
跟踪训练1 (1)已知点 为抛物线 ： 上一点，且点 到 轴的距离比它到焦点的距离小
3，则 （ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】由抛物线的定义可知点 到焦点的距离等于它到准线的距离，可得 ，从而得出答案.
【详解】由题得，抛物线的准线方程为 ，
由抛物线的定义可知，点 到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点 到 轴的距离比它到准线 的距离小3，
于是得 ，所以 ．
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
(2)以椭圆 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.
【详解】由椭圆 可得 ，
所以左焦点坐标为 ，
所以以 为焦点的抛物线的标准方程为 ，
故选：C.
(3)已知抛物线的准线是圆 与圆 的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答.
【详解】将两圆 、 的方程相减得： ，
显然圆 的圆心 到直线 距离1小于其半径2，
圆 的圆心 到直线 距离 小于其半径 ，
因此直线 是圆 与圆 的公共弦所在的直线，即抛物线的准线，所以抛物线的标准方程为： .
故选：C
二、抛物线定义的应用
例2 (1)已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，若 到直线 的距离为7，则
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据题意转化为点 到准线 的距离为 ，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，如图，
因为点 在 上，且 到直线 的距离为 ，
可得 到直线 的距离为 ，即点 到准线的距离为 ，
根据抛物线的定义，可得点 到焦点的距离等于点 到准线的距离，
所以 .
故选：B
(2)已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一个动点， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可．
【详解】由题意可知抛物线 的焦点坐标为 ，准线 的方程为 ，过 作 于 ，
由抛物线定义可知 ，所以 ，
则当 共线时 取得最小值，所以 最小值为 ．
故选：B．
(3)已知抛物线 的焦点为F，点P在C上，若点 ，则 周长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.
【详解】 ，故 ,
记抛物线 的准线为 ，则 ： ，
记点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
则 .
故选：A.(4)若抛物线C ： 上的一点到焦点的距离为 ，到 轴的距离为3，则 .
【答案】2
【分析】由抛物线的定义可得 ，解之即可求得 .
【详解】 抛物线C ： 上的一点到焦点的距离为 ，
该点到准线的距离为 .
又该点到 轴的距离为3，
，解之可得 或 ，
又 .
故答案为： .
跟踪训练2 (1)已知点P是抛物线 上的动点，点P在y轴上的射影是点M，已知点 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由题意求得抛物线的准线和焦点，再利用抛物线的定义即可求得 的最小值.
【详解】因为抛物线的方程为 ，所以抛物线的准线： ，焦点 ，
不妨设 在准线： 上的射影为 ，又 ，如图，
所以 .
故选：A.
.
(2)设抛物线 的焦点为F，l为准线，P为C上一动点，则点P到准线l的距离 和点P到直线
的距离 之和 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】过点 ，作 与直线 垂直，垂足为 ，结合抛物线的定义可知
.结合图象可知，当 共线时，距离和取得最小值，根据点到直线的距离，即可得
出答案.
【详解】由已知，可得 ，过点P作 ，垂足为 .
由抛物线的定义，点 到准线 的距离 等于点 到焦点的距离 .
过点 ，作 与直线 垂直，垂足为 ，
则 ，当 三点共线，且点 位于线段 上时，等号成立.
此时 的最小值等于点 到直线 的距离 .
故选：A.
三、抛物线的几何性质的应用
例3 (1)（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为 轴
【答案】AD
【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A， ，开口向左，故A正确；
对选项B， ，焦点为 ，故B错误；
对选项C， ，准线方程为 ，故C错误；
对选项D， ，对称轴为 轴，故D正确.
故选：AD
(2)已知抛物线 上一点 到其准线及对称轴的距离分别为3和 ，则 （ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1【答案】B
【解析】由题意，得到 ，结合抛物线方程，即可求出结果.
【详解】因为抛物线 上一点 到其准线及对称轴的距离分别为3和 ，
所以 ，即 ，代入抛物线方程可得 ，
整理得 ，解得 或 .
故选：B.
(3)O为坐标原点，F为抛物线 的焦点，M为C上一点，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】A
【分析】先根据定义求出点 的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点 的纵坐标，进而求出面积.
【详解】由 可得抛物线的焦点 ，准线方程为 ，
由抛物线焦半径公式知 ，
将 代入 ，可得 ，
所以 的面积为 ，
故选：A．
跟踪训练3 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB
的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
【答案】B
【详解】因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB
与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组得或
不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S ＝×4p×2p＝4p2.
△AOB
(2)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
【答案】C
【详解】设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，
解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x. 故选C.
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标
原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2,0) B．(1,0)
C．(8,0) D．(4,0)
【答案】B
【详解】因为＝2，所以＝＝4，于是b2＝3a2，则＝，
故双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
不妨设A，B，
则|AB|＝p，又三角形的高为，
则S ＝··p＝，
△AOB
即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)．
四、和抛物线有关的轨迹问题
例4 (1)动点 满足方程 ，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.
【详解】由 得 ，
等式左边表示点 和点 的距离，等式的右边表示点 到直线 的距离，整个等式表示的意义是点 到点 的距离和到直线 的距离相等，且点 不在直线
上，所以其轨迹为抛物线.
故选：D.
(2)设圆 与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离
等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分别求得 ， 的坐标与切线 ，再根据抛物线的定义即可求得动点 的轨迹方程．
【详解】因为圆 与 轴交于 ， 两点（ 在 的上方），
所以 ， ，
又因为过 作圆 的切线 ，
所以切线 的方程为 ，
因为动点 到 的距离等于 到 的距离，
所以动点 的轨迹为抛物线，且其焦点为 ，准线为 ，
所以 的轨迹方程为 ．
故选：A.
跟踪训练4 已知动圆M与直线 相切，且与定圆C： 外切，那么动圆圆心M的轨迹
方程为 .
【答案】
【分析】根据动圆 与直线 相切，且与定圆C： 外切，可得动点 到 的距离
与到直线 的距离相等，由抛物线的定义知，点 的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】解：方法一：由题意知，设 ，
则 ，，
解得 .
方法二：由题意知，动点M到 的距离比到 的距离多1，
则动点M到 的距离与到 的距离相等，
根据抛物线的定义， 为准线， 为焦点，
设抛物线为 ， ， ，
故 .
故答案为： .
五、直线与抛物线的位置关系
例5 (1)已知过抛物线 的焦点 ，且倾斜角为 的直线 交抛物线 于A，B两点，则
（ ）
A．32 B． C． D．8
【答案】A
【分析】由题意可得直线 的方程为 ，联立直线 与抛物线的方程得 ，由韦达
定理可得 ，再根据抛线的定义即可得答案.
【详解】解：因为抛物线 ，
所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，得 ，显然 ，
设
则有 ，
所以 ，
由抛物线定义可知 .
故选：A.
(2)（多选）已知抛物线 的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上
方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
【答案】ACD
【分析】由弦长公式计算可得选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判
定直线与圆相切.
【详解】
由题，焦点 ，设直线 ,
联立 ，
，，
同理可得， ，
，故A选项正确；
，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；
记 中点 ，则点M到y轴的距离为 ，
由抛物线的性质， ，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；
，记 中点 ，
则点N到抛物线的准线的距离 ，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，
D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：抛物线的焦点弦常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
(1)(2)弦长 (α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
(5) （定值）.
(6) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(3)已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 作 的一条切线，切点为 ，则 的面积为
【答案】
【分析】求出切点坐标后可求 的面积.
【详解】过点 作 的一条切线，该切线的斜率必定存在，可设为 ，
则切线方程为： ，
由 可得 即 ，
所以 ，故 ，所以 ，
而 ，故 的面积为 .
故答案为：
跟踪训练5 (1)已知命题p： ，命题q：直线 与抛物线 有两个公共点，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】联立直线方程和抛物线方程，消元后利用判别式为正可求 的范围，故可得正确的选项.
【详解】由 和 可得 ，
整理得到： ，
因为直线与抛物线有两个不同的交点，故 ，
故 ，故命题q成立能推出命题p成立；
反之，若 ，取 ，此时 仅有一个实数根 ，
故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，
故命题p成立不能推出命题q成立，
故p是q的必要不充分条件，
故选：B.
(2)（多选）设F为抛物线C： 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】求得直线AB的方程，代入抛物线方程，由根与系数的关系求解可判断CD；利用数量积的定义计
算可判断B；由抛物线的定义求解可判断A．
【详解】抛物线C的焦点为 ，所以直线AB的方程为 ，
将 代入 ，整理得 ，设 ，由根与系数的关系得 ，故D错误；
，故C错误；
，故B正确；
由抛物线的定义可得 ，故A正确.
故选：AB．
【课堂巩固】
1．过点 ，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设抛物线方程为 ，代入点的坐标，即可求出 的值，即可得解；
【详解】解：依题意设抛物线方程为 ，因为抛物线过点 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线方程为 ；
故选：C2．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交抛物线于 两点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，作出抛物线与直线AB的图像，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为
曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB的倾斜角，从而可得答案．
【详解】如图，当点 在第一象限时，过点 分别向准线作垂线，垂足为 ，作 ，垂足为
，
则 轴，设 ，则 ， ，
由抛物线的定义得 ，则有 ，
在 中， 等于直线 的倾斜角，其正切值即为 值，
， ，∴ ，
于是直线l的倾斜角为 ，斜率 ．
当点 在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为 .
故选：D．
3．若动点 到点 的距离等于它到直线 的距离，则 点的轨迹方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】依题意，动点 到点 的距离等于它到直线 的距离，
所以 的轨迹为抛物线， ，
所以 点的轨迹方程为 .
故选：D
4．已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和 距离之和的最小值
是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义可得动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值为焦点 到直线
的距离加1，由点到直线的距离公式计算可得选项.
【详解】由题可知 是抛物线 的准线，设抛物线的焦点为 ，则 ，
所以动点 到 的距离等于 到 的距离加1，即动点 到 的距离等于 .
所以动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值为焦点 到直线 的距离加1，
即其最小值是 .故选：D
5．抛物线 的焦点为F，点 ，P为抛物线上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用抛物线定义，结合图形可解.
【详解】如图，过点P作PH垂直于准线，垂直为H，
根据抛物线的定义 ，所以当A，P，H三点共线时 最小，
此时 .
故选：A．
6．抛物线 上一点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出与 平行且与 相切的直线方程 ，从而 与 之间的距离即为 上一点 到直线 距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.
【详解】设直线 与 相切，
联立 与 得： ，
由 ，得： ，
则直线 为 ，
故 与 之间的距离即为 上一点 到直线 距离的最小值，
由两平行线间距离公式得： .
故选：A
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 上点 到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距
离为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由抛物线的性质可求得 ，从而可得焦点坐标.
【详解】抛物线 的准线方程为： ，
由抛物线的性质可知：点 到焦点的距离等于 到准线的距离，
即 ，得 ，抛物线方程为 ，
则焦点坐标为 ，焦点到y轴的距离为2.
故选：C
8．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交 于点 ，与抛物线的一个交点为 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】作 ，根据共线向量可确定 为 中点，根据三角形中位线性质可求得 ，根据抛物线
定义可求得 ，进而得到 .
【详解】由抛物线方程知： ， ，
设准线 与 轴交于点 ，作 ，垂足为 ，
， 为 中点，又 ， ，
由抛物线定义知： ， .
故选：C.
9．（多选）已知抛物线 的焦点在直线 上，则抛物线 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】分焦点在 轴， 轴上进行讨论，根据条件求出即可
【详解】由于焦点在直线 上，
则当焦点在y轴上时，令 ，
所以焦点坐标为： ，设方程为 ，由焦点坐标知 ，
所以抛物线 的方程为：
当焦点在x轴上时，令 ，
所以焦点坐标为： ，
设方程为 ，由焦点坐标知 ，
所以抛物线 的方程为： ，
故选：BC.
10．（多选）已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上一个动点，点 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．过点 与抛物线 有唯一公共点的直线有2条
C． 的最小值为
D．点 到直线 的最短距离为
【答案】AD
【分析】先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据该抛物线的性质逐项分析.
【详解】由抛物线方程知： ，焦点坐标为 ，准线方程为： ；
对于A， 表示点M到焦点F的距离，等于M点到准线的距离，即 ，正确；
对于B，如图：过A点有 和y轴与抛物线C有一个交点，错误；
对于C，当M点在AF的连线上时， 最小，错误；
对于D，设 ，由点到直线距离公式得 ，
当 时，d最小， ，正确；
故选：AD.
11．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离计算可得.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
因为点 在抛物线 上，且 ，所以 ，解得 .
故答案为：
12．已知 为抛物线 上的动点， 为抛物线的焦点，点 ，则 周长的最小值为
.
【答案】7
【分析】设抛物线的准线为 ，过 作 于 ，过 作 于 ，由抛物线的性质可将 的
周长转化为 ，由图可知当 三点共线时，取得最小值，从而可求得答案.【详解】当 时， ，所以点 在抛物线内，
由 ，得焦点为 ，准线 为 ，
过 作 于 ，过 作 于 ，则 ，
所以 的周长为 ，
由图可知当 三点共线时， 取得最小值，
此时 的最小值为 ，
因为 ，
所以 的最小值为7，即 的周长的最小值为7，
故答案为：7
13．若点 满足方程 ，则点P的轨迹是 ．
【答案】抛物线
【分析】根据轨迹方程所代表的意义判断 点的轨迹满足曲线的定义.
【详解】由 得 ，
等式左边表示点 和点 的距离，等式的右边表示点 到直线 的距离.
整个等式表示的意义是点 到点 的距离和到直线 的距离相等，
其轨迹为抛物线.故答案为：抛物线
14．已知抛物线 的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可求出结果.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
过 作准线 的垂线，垂足为 ，则 ，
所以 .当且仅当 与准线垂直时，取等号.
所以 的最小值为 .
故答案为： .
15．分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点 ;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 .
【答案】(1) 或
(2) 或 或 或
【分析】（1）由题意方程可设为 或 ,将 代入求解即可;
（2）根据抛物线的定义焦点到准线的距离为 ,即 ,写出抛物线方程即可.【详解】（1）由题意,方程可设为 或 ,
将点 的坐标代入,得 或 ,
∴ 或 ,
∴所求的抛物线方程为 或 .
（2）由焦点到准线的距离为 ,可知 ,
∴所求抛物线方程为 或 或 或 .
16．已知抛物线 的焦点 在直线 上
(1)求抛物线 的方程
(2)设直线 经过点 ，且与抛物线 有且只有一个公共点，求直线 的方程
【答案】(1)
(2) 的方程为 、 、
【分析】（1）求得 点的坐标，由此求得 ，进而求得抛物线 的方程.
（2）结合图象以及判别式求得直线 的方程.
【详解】(1)抛物线 的焦点在 轴上，且开口向上，
直线 与 轴的交点为 ，则 ，
所以 ，抛物线的方程为 .
(2)当直线 的斜率不存在时，直线 与抛物线只有一个公共点.
那个直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
， ，， 解得 或 .
所以直线 的方程为 或 .
综上所述， 的方程为 、 、 .
【课时作业】
1．若抛物线 上的点 到其焦点的距离是点 到 轴距离的3倍，则 等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由抛物线的定义得出 ，将点 坐标代入方程可得 ．
【详解】由题意， ， ，则 ，解得
故选：D
2．若抛物线 （ ）上一点 到其焦点的距离为2，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用焦半径公式解方程算出 即可获解.
【详解】∵抛物线 上的点 到焦点的距离为2，∴ ，即 ，则 ，
∴ ，则 .
故选：D.
3．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与该抛物线交于A，B两点，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】根据题意可得抛物线的方程，从而可得 坐标，从而得到 .
【详解】因为抛物线 的焦点为 ，则 ，所以抛物线方程为 ，
设 ，不妨令 ，
则可得 ，即 ，
所以 .
故选:D
4．已知抛物线 的焦点为F，点P在抛物线上且纵坐标为4，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
点P在抛物线上， 等于点P到准线的距离，点P纵坐标为4，则 .
故选：C
5．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于A，B点， ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【分析】根据 ， 和抛物线的定义得到 ， ，然后根据 ，
得到直线 的倾斜角为 ，即可得到 ，最后将点 坐标代入抛物线方程中求 即
可.
【详解】
过点 ， 作准线的垂线，交准线与 ， ，过点 作 ，交 与点 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ， ，
在直角三角形 中， ， ，所以 ，即直线 的倾斜角为 ，所以
，
将点 坐标代入抛物线方程中可得 ，解得 或 （舍去）.
故选：C.
6．已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 是抛物线 上一点，若 ，则
的最小值为（ ）A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点坐标求得 ，设 在准线 上的射影为 ，利用抛物线的定义进行转化后
易得最小值．
【详解】由焦点 到其准线的距离为 得 ；
设 在准线 上的射影为 如图,
则 ，
当且仅当 共线时取得等号．所以所求最小值是4．
故选：D．
7． 是抛物线 的焦点，点 ， 为抛物线上一点， 到直线 的距离为 ，则 的
最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据抛物线定义有 ，数形结合判断其最小值.
【详解】由题设，抛物线焦点 ，准线为 ，故 ，如上图： ，仅当 共线且 在 两点之间时等号成立.
故选：C
8．若点 ， 在抛物线 上， 是坐标原点，若等边三角形 的面积为 ，则该抛物
线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得 点的坐标，代入抛物线方程求得 的值.
【详解】设等边三角形 的边长为 ，
则 ，解得 ．
根据抛物线的对称性可知 ，且 ，
设点 在 轴上方，则点 的坐标为 ，即 ，
将 代入抛物线方程得 ，
解得 ，故抛物线方程为 ．
故选：A
9．已知抛物线C： 的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若 ，则 的面
积为（ ）A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】利用题目所给的条件，计算出A点的坐标可得答案.
【详解】依题意作下图：
设 ， ，所以 ，
可得 ，由 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
10．过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线交抛物线 于 、 两点，抛物线的准线为 ，
于 ， 于 ，则四边形 的面积为（ ）
A．32 B． C．64 D．
【答案】D
【分析】设直线AB的方程为 ，与抛物线的方程联立整理得 ，求得 ，及 ，， ，由面积公式求得四边形 的面积得选项.
【详解】解：由抛物线 得其焦点 ，设直线AB的方程为 ，
与抛物线的方程联立 ，整理得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
所以四边形 的面积为 ，
故选：D.
11．（多选）已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为2，则（ ）
A．焦点 的坐标为
B．过点 恰有2条直线与抛物线 有且只有一个公共点
C．直线 与抛物线 相交所得弦长为8
D．抛物线 与圆 交于 两点，则
【答案】ACD
【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.
【详解】由题可知抛物线方程为
对于A，焦点 的坐标为 ，故A正确
对于B，过点 有抛物线的2条切线，还有 ，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误对于C， ，弦长为 ，故C
正确
对于D， ，解得 （ 舍去），交点为 ，有 ，故D正确
故选：ACD
12．（多选）已知抛物线C的方程为 ，焦点为F，且过点 ，直线l： ，点P是抛
物线C上一动点，则（ ）
A．
B． 的最小值为2
C．点P到直线l的距离的最小值为2
D．点P到直线l的距离与到准线的距离之和的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据抛物线方程直接求解，对于B，设点 ，然后表示出 ，结合抛物线的性质
可求出其最小值，对于C，设过点P且与直线l平行的直线为 ： ，代入抛物线方程化简，由
判别式等于零可求出 ，再利用两平行线间的距离公式可求得结果，对于D，由抛物线的性质可得点P到
直线l的距离与到准线的距离之和的最小值就是点 到直线l的距离.
【详解】∵抛物线C过点 ，则 ，∴ ，
∴抛物线C的方程为 ，则焦点的坐标为 ，故选项A正确；
设点 ， ，则 ，故选项B正确；
设过点P且与直线l平行的直线为 ： ，与抛物线方程联立得 ，
令 ，解得 ，
∴ ： ，此时两直线间的距离为 ，
∴点P到直线l距离的最小值为 ，故选项C错误；
∵点P到直线l的距离与到准线的距离之和大于等于点 到直线l的距离，
∴点P到直线l的距离与到准线的距离之和的最小值为点 到直线l的距离为 ，故D选
项正确，
故选：ABD．
13．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，点 是抛物线 上一点， 到准
线的距离为 ，且 ，则抛物线 的方程为 .
【答案】
【分析】根据抛物线的几何意义结合三角形种的关系求解即可
【详解】依题意可得 ，所以抛物线 的方程为 .
故答案为：
14．已知抛物线 上的两点 到焦点的距离之和为5，线段 的中点的横坐标是2，则
＝ ．
【答案】1
【分析】设 ， ， 中点坐标为 ，根据抛物线定义可得 ，再结合线段AB的中点的横坐标是2，可得 ，即可得答案.
【详解】解：设 ， ， 中点坐标为 ，
则 ， ，
解得 .
故答案为：1.
15．已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一动点，则 周长的最小值为
.
【答案】 /
【分析】过 作准线的垂线，垂足为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，进而结合抛物线的定义求解即可.
【详解】解：由题知 ，准线方程为 .
如图，过 作准线的垂线，垂足为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，
所以 周长 ，当且仅当 为 与抛物线的
交点 时等号成立.
故答案为：
16．设 是坐标原点， 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的一点， 与 轴正向的夹角为，则 .
【答案】
【分析】由题意设 ， ，代入抛物线方程，求出 ，即可求出 点坐标，再由距离
公式计算可得.
【详解】由题意设 ， ，代入 得 ，
解得 或 （舍去）．
，
.
故答案为：
17．已知抛物线 ，焦点为 ，准线为 ，抛物线 上一点 的横坐标为 ，且点 到准
线 的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为抛物线 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）先求抛物线 的准线方程，根据抛物线的定义，即可求得结论；
（2）利用代入法，即可求线段 的中点 的轨迹方程．
【详解】（1）解：抛物线 的准线方程为 ，
抛物线 上一点 的横坐标为 ，且点 到准线 的距离为 ，
根据抛物线的定义可知 ，抛物线 的方程是 ；
（2）解：由（1）知 ，设 ， ，则 ，即 ，
而点 在抛物线 上， ，
，即 ，
所以点 的轨迹方程是 ．
18．已知动圆 过定点 ，且与直线 ： 相切，圆心 的轨迹为 ．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)过点 作倾斜角为 的直线 交轨迹 于 ， 两点，求 ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）设 ，利用题中条件建立等式，可求动点 的轨迹方程；
（2）直线与曲线联立方程组，利用韦达定理和弦长公式计算弦长.
【详解】（1）设 ，由动圆 过定点 ，且与直线 ： 相切，
，整理得 ，
故动点 的轨迹方程为 ．
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，
则由 ，整理得 ,
．19．已知动点 与点 的距离与其到直线 的距离相等.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)求点 与点 的距离的最小值，并指出此时 的坐标.
【答案】(1) ；
(2) ， 或
【分析】（1）利用抛物线的定义得解；
（2）设 ，求出 即得解.
【详解】（1）解：由题意知动点 到 的距离与它到直线 的距离相等，
所以动点 的轨迹为以 为焦点、以直线 为准线的抛物线，
因此动点 的轨迹方程为 .
（2）解：设 ，
由两点间的距离公式得： ，
当 ，即 时， ，
即当 或 时，点 与点 的距离最小，最小值为 .
20．已知直线 与抛物线 交于 两点， .
(1)求 ；
(2)设抛物线 的焦点为 ，过点 且与 垂直的直线与抛物线 交于 ，求四边形 的面积.
【答案】(1)2；(2)32【分析】（1）联立 和抛物线方程，可得根与系数关系式，利用弦长公式即可求得答案；
（2）求出直线 的方程，联立抛物线方程可得根与系数关系式，求出 ，根据四边形面积的计算可得
答案.
【详解】（1）设 ，
由 ，可得 ，
易得 ，所以 ，
则 ，
即 ，因为 ，所以 .
（2）由题意可得抛物线 的焦点为 ，直线 的方程为 .
联立 ，化简可得 ，则 ，
设 ，则 ，
则 ，
因为 ，所以 .
