文档内容
3.3 抛物线
【划重点】
1．掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2．会求简单的抛物线方程．
3．掌握抛物线的几何性质.
4．会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.
5．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
【知识梳理】
知识点一 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
知识点二 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
知识点三 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
知识点四 直线和抛物线
1．直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，
即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；
若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1 个公共点．
2．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
3．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
①yy＝－p2，xx＝；
1 2 1 2
②＝x＋x＋p；
1 2
③＋＝.
【例题详解】
一、求抛物线的标准方程
例1 (1)已知点 是拋物线 的焦点， 是 上的一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
(2)已知抛物线C与双曲线 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
(3)已知抛物线过点 ，则抛物线的标准方程为 ．
跟踪训练1 (1)已知点 为抛物线 ： 上一点，且点 到 轴的距离比它到焦点的距离小
3，则 （ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(2)以椭圆 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
(3)已知抛物线的准线是圆 与圆 的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程
为（ ）
A． B． C． D．
二、抛物线定义的应用
例2 (1)已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，若 到直线 的距离为7，则
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一个动点， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
(3)已知抛物线 的焦点为F，点P在C上，若点 ，则 周长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
(4)若抛物线C ： 上的一点到焦点的距离为 ，到 轴的距离为3，则 .
跟踪训练2 (1)已知点P是抛物线 上的动点，点P在y轴上的射影是点M，已知点 ，则
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等的最小值是（ ）
A． B． C． D．
(2)设抛物线 的焦点为F，l为准线，P为C上一动点，则点P到准线l的距离 和点P到直线
的距离 之和 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
三、抛物线的几何性质的应用
例3 (1)（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为 轴
(2)已知抛物线 上一点 到其准线及对称轴的距离分别为3和 ，则 （ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
(3)O为坐标原点，F为抛物线 的焦点，M为C上一点，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
跟踪训练3 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB
的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
(2)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等C．y2＝±x D．y2＝±x
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标
原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2,0) B．(1,0)
C．(8,0) D．(4,0)
四、和抛物线有关的轨迹问题
例4 (1)动点 满足方程 ，则点M的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
(2)设圆 与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离
等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练4 已知动圆M与直线 相切，且与定圆C： 外切，那么动圆圆心M的轨迹
方程为 .
五、直线与抛物线的位置关系
例5 (1)已知过抛物线 的焦点 ，且倾斜角为 的直线 交抛物线 于A，B两点，则
（ ）
A．32 B． C． D．8
(2)（多选）已知抛物线 的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上
方），则（ ）
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
(3)已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 作 的一条切线，切点为 ，则 的面积为
跟踪训练5 (1)已知命题p： ，命题q：直线 与抛物线 有两个公共点，则p是q的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)（多选）设F为抛物线C： 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【课堂巩固】
1．过点 ，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等2．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交抛物线于 两点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若动点 到点 的距离等于它到直线 的距离，则 点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和 距离之和的最小值
是（ ）
A． B．2 C． D．3
5．抛物线 的焦点为F，点 ，P为抛物线上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
6．抛物线 上一点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 上点 到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距
离为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等8．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交 于点 ，与抛物线的一个交点为 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（多选）已知抛物线 的焦点在直线 上，则抛物线 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上一个动点，点 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．过点 与抛物线 有唯一公共点的直线有2条
C． 的最小值为
D．点 到直线 的最短距离为
11．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ，则 ．
12．已知 为抛物线 上的动点， 为抛物线的焦点，点 ，则 周长的最小值为
.
13．若点 满足方程 ，则点P的轨迹是 ．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等14．已知抛物线 的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则 的最小值为 ．
15．分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点 ;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 .
16．已知抛物线 的焦点 在直线 上
(1)求抛物线 的方程
(2)设直线 经过点 ，且与抛物线 有且只有一个公共点，求直线 的方程
【课时作业】
1．若抛物线 上的点 到其焦点的距离是点 到 轴距离的3倍，则 等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．若抛物线 （ ）上一点 到其焦点的距离为2，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与该抛物线交于A，B两点，则 （ ）
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4．已知抛物线 的焦点为F，点P在抛物线上且纵坐标为4，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于A，B点， ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 是抛物线 上一点，若 ，则
的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
7． 是抛物线 的焦点，点 ， 为抛物线上一点， 到直线 的距离为 ，则 的
最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
8．若点 ， 在抛物线 上， 是坐标原点，若等边三角形 的面积为 ，则该抛物
线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等9．已知抛物线C： 的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若 ，则 的面
积为（ ）
A． B．3 C． D．6
10．过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线交抛物线 于 、 两点，抛物线的准线为 ，
于 ， 于 ，则四边形 的面积为（ ）
A．32 B． C．64 D．
11．（多选）已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为2，则（ ）
A．焦点 的坐标为
B．过点 恰有2条直线与抛物线 有且只有一个公共点
C．直线 与抛物线 相交所得弦长为8
D．抛物线 与圆 交于 两点，则
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等12．（多选）已知抛物线C的方程为 ，焦点为F，且过点 ，直线l： ，点P是抛
物线C上一动点，则（ ）
A．
B． 的最小值为2
C．点P到直线l的距离的最小值为2
D．点P到直线l的距离与到准线的距离之和的最小值为
13．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，点 是抛物线 上一点， 到准
线的距离为 ，且 ，则抛物线 的方程为 .
14．已知抛物线 上的两点 到焦点的距离之和为5，线段 的中点的横坐标是2，
则 ＝ ．
15．已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一动点，则 周长的最小值为
.
16．设 是坐标原点， 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的一点， 与 轴正向的夹角为
，则 .
17．已知抛物线 ，焦点为 ，准线为 ，抛物线 上一点 的横坐标为 ，且点 到准
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(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为抛物线 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．
18．已知动圆 过定点 ，且与直线 ： 相切，圆心 的轨迹为 ．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)过点 作倾斜角为 的直线 交轨迹 于 ， 两点，求 ．
19．已知动点 与点 的距离与其到直线 的距离相等.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)求点 与点 的距离的最小值，并指出此时 的坐标.
20．已知直线 与抛物线 交于 两点， .
(1)求 ；
(2)设抛物线 的焦点为 ，过点 且与 垂直的直线与抛物线 交于 ，求四边形 的面积.
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